2024-2025學年高中數(shù)學第三章三角恒等變換3.1.2兩角和與差的正弦余弦正切公式二課時素養(yǎng)評價含解析新人教A版必修4

PAGE兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(二)(20分鐘35分)1.(2024·金昌高一檢測)與QUOTE相等的是 ()A.tan66° B.tan24° C.tan42° D.tan21°【解析】選B.原式=QUOTE=tan(45°-21°)=tan24°.2.已知tanα=QUOTE,tan(α-β)=-QUOTE,那么tan(2α-β)的值為 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因為tanα=QUOTE,tan(α-β)=-QUOTE,所以tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=QUOTE=QUOTE.3.已知α為銳角,且tan(α+β)=3,tan(α-β)=2,則角α等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTEπ D.QUOTE【解析】選C.因為tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]=QUOTE=QUOTE=-1,因為α為銳角,所以0<2α<π,所以2α=QUOTE,得α=QUOTE.4.已知α+β=QUOTEπ,則(1-tanα)(1-tanβ)= ()A.2 B.-2 C.1 D.-1【解析】選A.因為tan(α+β)=-1=QUOTE,所以tanα+tanβ=-1+tanαtanβ.所以(1-tanα)(1-tanβ)=1-tanα-tanβ+tanαtanβ=2.5.(2024·平頂山高一檢測)已知△ABC中,QUOTEtanAtanB-tanA-tanB=QUOTE,則C的大小為.

【解析】依題意有QUOTE=-QUOTE,即tan(A+B)=-QUOTE.又因為0<A+B<π,所以A+B=QUOTE,所以C=π-A-B=QUOTE.答案:QUOTE6.已知α,β∈QUOTE,且tanα,tanβ是方程x2+3QUOTEx+4=0的兩個根,求α+β.【解析】因為tanα,tanβ是方程x2+3QUOTEx+4=0的兩個根,所以tanα+tanβ=-3QUOTE,tanαtanβ=4,所以tan(α+β)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因為兩根之和小于0,兩根之積大于0,故兩根同時為負數(shù).又α,β∈QUOTE,所以α,β∈QUOTE,所以α+β∈(-π,0),故α+β=-QUOTE.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.tan20°+tan40°+QUOTEtan20°tan40°的值是 ()A.2QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因為tan60°=tan(20°+40°)=QUOTE,所以QUOTE(1-tan20°tan40°)=tan20°+tan40°,所以原式=QUOTE-QUOTEtan20°tan40°+QUOTEtan20°tan40°=QUOTE.2.(2024·沈陽高一檢測)銳角△ABC中,tanAtanB的值 ()A.不小于1 B.小于1C.等于1 D.大于1【解析】選D.由于△ABC為銳角三角形,所以tanA,tanB,tanC均為正數(shù).所以tanC>0.所以tan[180°-(A+B)]>0.所以tan(A+B)<0,即QUOTE<0.而tanA>0,tanB>0所以1-tanAtanB<0,即tanAtanB>1.3.已知tanα=QUOTE,則QUOTE的值是 ()A.2 B.QUOTE C.-1 D.-3【解析】選B.方法一:因為tanα=QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=3,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.方法二:QUOTE=QUOTE=tanQUOTE=tanα=QUOTE.4.已知tanα和tanQUOTE是方程ax2+bx+c=0的兩個根,則a,b,c的關系是 ()A.b=a+c B.2b=a+cC.c=b+a D.c=ab【解析】選C.由根與系數(shù)的關系可知tanα+tanQUOTE=-QUOTE,且tanαtanQUOTE=QUOTE,所以tanQUOTE=tanQUOTE=QUOTE=1.所以-QUOTE=1-QUOTE.所以-b=a-c.所以c=a+b.5.QUOTE的值應是 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.1 D.-1【解析】選A.因為tan10°+tan50°=tan60°-tan60°tan10°tan50°,所以原式=QUOTE=-tan60°=-QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知tanα=2,tanβ=-3,其中0°<α<90°,90°<β<180°,則QUOTE=,α-β=.

【解析】QUOTE=QUOTE=-7.因為tan(α-β)=QUOTE=-1,又0°<α<90°,90°<β<180°,所以-180°<α-β<0°,所以α-β=-45°.答案:-7-45°7.(2024·沈陽高一檢測)tan69°-tan24°-tan69°tan24°=.

【解析】因為tan69°-tan24°=tan(69°-24°)(1+tan69°tan24°)=tan45°(1+tan69°tan24°)=1+tan69°tan24°所以tan69°-tan24°-tan69°tan24°=1+tan69°tan24°-tan69°tan24°=1.答案:18.tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°=.

【解析】原式=QUOTE(tan20°+tan40°)+tan40°tan20°=QUOTEtan60°(1-tan20°tan40°)+tan40°tan20°=1-tan20°tan40°+tan40°tan20°=1.答案:1三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2024·蘄州高一檢測)(1)已知α+β=QUOTE,求(1+tanα)(1+tanβ).(2)利用(1)的結論求(1+tan1°)·(1+tan2°)·(1+tan3°)·…·(1+tan44°)的值.【解析】(1)因為α+β=QUOTE,所以tan(α+β)=1,即QUOTE=1,所以tanα+tanβ=1-tanαtanβ.所以(1+tanα)(1+tanβ)=(tanα+tanβ)+1+tanαtanβ=2.(2)由(1)知當α+β=45°時,(1+tanα)(1+tanβ)=2.所以原式=(1+tan1°)(1+tan44°)(1+tan2°)·(1+tan43°)·…·(1+tan22°)(1+tan23°)=222.10.已知A,B,C是△ABC的三內角,向量m=(-1,QUOTE),n=(cosA,sinA),且m·n=1.(1)求角A.(2)若tanQUOTE=-3,求tanC.【解析】(1)因為m·n=1,所以(-1,QUOTE)·(cosA,sinA)=1,即QUOTEsinA-cosA=1,2sinQUOTE=1.所以sinQUOTE=QUOTE.因為0<A<π,所以-QUOTE<A-QUOTE<QUOTE,所以A-QUOTE=QUOTE,即A=QUOTE.(2)由tanQUOTE=QUOTE=-3,解得tanB=2.又A=QUOTE,所以tanA=QUOTE.所以tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-QUOTE=-QUOTE=QUOTE.【補償訓練】已知tan(π+α)=-QUOTE,tan(α+β)=QUOTE.(1)求tan(α+β)的值.(2)求tanβ的值.【解析】(1)因為tan(π+α)=-QUOTE,所以tanα=-QUOTE,因為tan(α+β)=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以tan(α+β)=QUOTE=QUOTE.(2)因為tanβ=tan[(α+β)-α]=QUOTE,所以tanβ=QUOTE=QUOTE.1.若(tanα-1)(tanβ-1)=2(α,β為銳角),則α+β=.

【解析】(tanα-1)(tanβ-1)=2?tanαtanβ-tanα-tanβ+1=2?tanα+tanβ=tanαtanβ-1?QUOTE=-1,即tan(α+β)=-1,因為α,β為銳角,所以0<α+β<π.所以α+β=QUOTE.答案:QUOTE2.是否存在銳角α,β,使得(1)α+2β=QUOTE,(2)tanQUOTEtanβ=2-QUOTE同時成立?若存在,求出銳角α,β的值;若不存在,請說明理由.【解析】假設存在銳角α,β使得(1)α+2β=QUOTE,(2)tanQUOTEtanβ=2-QUOTE同時成立.由(1)得QUOTE+β=QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE.又tanQUOTEtanβ=2-QUOTE,所以tanQUOTE+tanβ