2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時素養(yǎng)評價三第一章空間向量與立體幾何1.1.2空間向量基本定理含解析新人教B版選擇性必修第一冊

PAGE三空間向量基本定理(15分鐘30分)1．以下命題正確的是()A．兩個共線向量是指在同始終線上的兩個向量B．共線的兩個向量是相等向量C．共面的三個向量是指在同一平面內(nèi)的三個向量D．共面的三個向量是指平行于同一平面的三個向量【解析】選D.依據(jù)共面與共線向量的定義可以判定．2．在下列條件中使M與A，B，C確定共面的是()A．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))B．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))C．eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D．eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0【解析】選C.在C中，由eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，則eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))為共面對量，即M、A、B、C四點(diǎn)共面；對于A，由eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，其系數(shù)和1－1－1＝－1≠1，不能得出M、A、B、C四點(diǎn)共面；對于B，由eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))，其系數(shù)和eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)≠1，所以M、A、B、C四點(diǎn)不共面；對于D，由eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(OM,\s\up6(→))＝－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，其系數(shù)和不為1，所以M、A、B、C四點(diǎn)不共面．【補(bǔ)償訓(xùn)練】點(diǎn)O為空間隨意一點(diǎn)，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，則A，B，C，P四點(diǎn)()A．確定不共面B．確定共面C．不確定共面D．無法推斷【解析】選B.因?yàn)辄c(diǎn)O為空間隨意一點(diǎn)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝1，所以由共面對量基本定理得A，B，C，P四點(diǎn)確定共面．3．若{a，b，c}是空間的一組基底，則下列各組中不能構(gòu)成空間一組基底的是()A．a(chǎn)，2b，3cB．a(chǎn)＋b，b＋c，c＋aC．a(chǎn)＋2b，2b＋3c，3a－9cD．a(chǎn)＋b＋c，b，c【解析】選C.對于A中a，2b，3c，B中a＋b，b＋c，c＋a，D中a＋b＋c，b，c，每組都是不共面的向量，能構(gòu)成空間的一組基底；對于C，a＋2b，2b＋3c，3a－9c，滿意3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]，是共面對量，不能構(gòu)成空間的一組基底．4．已知兩非零向量e1，e2，且e1與e2不共線，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，則下列結(jié)論有可能正確的是________．(填序號)①a與e1共線；②a與e2共線；③a與e1，e2共面．【解析】當(dāng)λ＝0時，a＝μe2，故a與e2共線，同理當(dāng)μ＝0時，a與e1共線，由a＝λe1＋μe2，知a與e1，e2共面．答案：①②③5．已知正方體ABCD-A′B′C′D′，點(diǎn)E是A′C′的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AE的三等分點(diǎn)，且AF＝eq\f(1,2)EF，以、eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))為基底表示eq\o(AF,\s\up6(→)).【解析】由條件AF＝eq\f(1,2)EF知，EF＝2AF，所以AE＝AF＋EF＝3AF，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(＋)＝eq\f(1,3)(＋)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)(＋)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→)).(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．若向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))的起點(diǎn)M和終點(diǎn)A，B，C互不重合且無三點(diǎn)共線，則能使向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))成為空間一組基底的關(guān)系是()A．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B．eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))C．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))D．eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))【解析】選C.對于A，由結(jié)論eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四點(diǎn)共面知，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面；對于B，D，易知eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，故只有C中eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))不共面．2．已知V為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且VA＝VB＝VC＝VD，eq\o(VP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(VC,\s\up6(→))，eq\o(VM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VB,\s\up6(→))，eq\o(VN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VD,\s\up6(→)).則()A．VA?平面PMNB．VA∥平面PMNC．VA⊥平面PMND．無法推斷VA與平面PMN的位置關(guān)系【解析】選B.如圖，設(shè)eq\o(VA,\s\up6(→))＝a，eq\o(VB,\s\up6(→))＝b，eq\o(VC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(VD,\s\up6(→))＝a＋c－b，由題意知eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(VC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.因此eq\o(VA,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PM,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(PN,\s\up6(→))，所以eq\o(VA,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))，eq\o(PN,\s\up6(→))共面．又VA?平面PMN，所以VA∥平面PMN.3．給出下列命題：①若{a，b，c}可以作為空間的一組基底，d與c共線，d≠0，則{a，b，d}也可作為空間的基底；②已知向量a∥b，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底；③A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))不能構(gòu)成空間的一組基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量組{a，b，c}是空間的一組基底，若m＝a＋c，則{a，b，m}也是空間的一組基底．其中正確命題的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4【解析】選D.依據(jù)基底的概念，知空間中任何三個不共面的向量都可作為空間的一組基底，否則就不能構(gòu)成空間的一組基底．明顯②正確，③中由eq\o(BA,\s\up6(→))、eq\o(BM,\s\up6(→))、eq\o(BN,\s\up6(→))共面且過相同點(diǎn)B，故A，B，M，N共面．①假設(shè)d與a，b共面，則存在實(shí)數(shù)λ，μ，使d＝λa＋μb，因?yàn)閐與c共線，c≠0，所以存在實(shí)數(shù)k，使d＝kc，因?yàn)閐≠0，所以k≠0，從而c＝eq\f(λ,k)a＋eq\f(μ,k)b，所以c與a，b共面與條件沖突．所以d與a，b不共面．同理可證④也是正確的．4．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，M為空間隨意兩點(diǎn)，假如有eq\o(PM,\s\up6(→))＝＋7eq\o(BA,\s\up6(→))＋6－4，那么M必()A．在平面BAD1內(nèi)B．在平面BA1D內(nèi)C．在平面BA1D1內(nèi)D．在平面AB1C1內(nèi)【解析】選C.由于eq\o(PM,\s\up6(→))＝＋7eq\o(BA,\s\up6(→))＋6－4＝＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋6－4＝＋＋6－4＝＋6(－eq\o(PB,\s\up6(→)))－4(－)＝11－6eq\o(PB,\s\up6(→))－4，于是M，B，A1，D1四點(diǎn)共面．二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)5．下列命題為真命題的是()A．若p＝xa＋yb，則p與a、b共面B．若p與a、b共面，則p＝xa＋ybC．若eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，則P，M，A，B共面D．若P，M，A，B共面，則eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))【解析】選AC.若p＝xa＋yb，則p與a，b確定在同一平面內(nèi)，故A對；若eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，則eq\o(MP,\s\up6(→))、eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))三向量在同一平面內(nèi)，所以P、M、A、B共面．故C對；eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，若p與a、b共面，但假如a，b共線，p就不確定能用a、b來表示，故B不對；同理D也不對．6．下列命題錯誤的是()A．若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線重合B．若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b確定不共面C．若三個向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面D．已知空間的三個不共面對量a，b，c，則對于空間的隨意一個向量p總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc【解析】選ABC.a與b共線，a，b所在的直線也可能平行，故A不正確，符合題意；依據(jù)自由向量的意義知，空間隨意兩向量a，b都共面，故B不正確，符合題意；三個向量a，b，c中隨意兩個確定共面，但它們?nèi)齻€卻不確定共面，故C不正確，符合題意；D選項(xiàng)為空間向量基本定理，故正確，不符合題意．三、填空題(每小題5分，共10分)7．已知O是空間任一點(diǎn)，A，B，C，D四點(diǎn)滿意隨意三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝2x·eq\o(BO,\s\up6(→))＋3y·eq\o(CO,\s\up6(→))＋4z·eq\o(DO,\s\up6(→))，則2x＋3y＋4z＝________．【解析】eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2x)·eq\o(OB,\s\up6(→))＋(－3y)·eq\o(OC,\s\up6(→))＋(－4z)·eq\o(OD,\s\up6(→))，由A，B，C，D四點(diǎn)共面，得－2x－3y－4z＝1，即2x＋3y＋4z＝－1.答案：－18．已知空間向量eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))的模長分別為1，2，3，且兩兩夾角均為60°.點(diǎn)G為△ABC的重心，若eq\o(PG,\s\up6(→))＝xeq\o(PA,\s\up6(→))＋yeq\o(PB,\s\up6(→))＋zeq\o(PC,\s\up6(→))，x，y，z∈R，則x＋y＋z＝________，|eq\o(PG,\s\up6(→))|＝________．【解題指南】運(yùn)用共線向量和共面對量的學(xué)問可解決．【解析】依據(jù)題意得，點(diǎn)G為△ABC的重心，設(shè)BC中點(diǎn)為D，則eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(PG,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))，所以eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))，所以x＝y(tǒng)＝z＝eq\f(1,3)，所以x＋y＋z＝1；|eq\o(PG,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12＋22＋32＋2×1×2×\f(1,2)＋2×1×3×\f(1,2)＋2×2×3×\f(1,2)))＝eq\f(25,9)，所以|eq\o(PG,\s\up6(→))|＝eq\f(5,3).答案：1eq\f(5,3)四、解答題(每小題10分，共20分)9．如圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別在B1B和D1D上，且|BE|＝eq\f(1,3)|BB1|，|DF|＝eq\f(2,3)|DD1|.(1)求證：A、E、C1、F四點(diǎn)共面；(2)若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋z，求x＋y＋z的值．【解析】(1)因?yàn)椋絜q\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)).所以A、E、C1、F四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)閑q\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)，所以x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3)，所以x＋y＋z＝eq\f(1,3).10．如圖所示，在空間幾何體ABCD-A1B1C1D1中，各面為平行四邊形，設(shè)＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→)).(2)eq\o(MP,\s\up6(→))＋NC1．【解析】(1)因?yàn)镻是C1D1的中點(diǎn)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝＋＋＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn)，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.又＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋＝eq\f(1,2)c＋a，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＋＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.1．設(shè)e1，e2，e3不共面，則下列向量組不共面的是______(填序號).①a＝e1＋3e2－e3，b＝2e1－3e2－10e3，c＝－e1＋2e2＋6e3；②a＝2e1＋e2－3e3，b＝2e1＋e2－4e3，c＝3e1＋e2－2e3.【解析】①因?yàn)閑1，e2，e3不共面，a＝e1＋3e2－e3，b＝2e1－3e2－10e3，c＝－e1＋2e2＋6e3，所以若a，b，c共面，則設(shè)c＝xa＋yb，所以－e1＋2e2＋6e3＝x·e1＋3x·e2－x·e3＋2y·e1－3y·e2－10y·e3＝(x＋2y)·e1＋(3x－3y)·e2－(x＋10y)·e3，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝－1，,3x－3y＝2，,－x－10y＝6，))無解，所以a，b，c不共面．②因?yàn)閑1，e2，e3不共面，a＝2e1＋e2－3e3，b＝2e1＋e2－