2024-2025學年新教材高中數(shù)學第4章對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)4-5指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)對數(shù)函數(shù)增長的比較信息技術支持的函數(shù)研究鞏固練習含解析北師大版必修第一冊

PAGE§4指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較*§5信息技術支持的函數(shù)探討課后訓練·鞏固提升1.已知m=0.95.1,n=5.10.9,p=log0.95.1,則這三個數(shù)的大小關系是()A.m<n<p B.m<p<nC.p<m<n D.p<n<m解析:∵0<m<1,n>1,p<0,∴p<m<n.答案:C2.下面關于函數(shù)f(x)=log12x,g(x)=12x與h(x)=x-12在區(qū)間(0,+∞A.f(x)遞減速度越來越慢,g(x)遞減速度越來越快,h(x)遞減速度越來越慢B.f(x)遞減速度越來越快,g(x)遞減速度越來越慢,h(x)遞減速度越來越快C.f(x)遞減速度越來越慢,g(x)遞減速度越來越慢,h(x)遞減速度越來越慢D.f(x)遞減速度越來越快,g(x)遞減速度越來越快,h(x)遞減速度越來越快解析:視察函數(shù)f(x)=log12x,g(x)=12x與h(x)=x-12在區(qū)間(0,+∞函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間(0,1)上遞減較快,但遞減速度漸漸變慢;在區(qū)間(1,+∞)上,遞減較慢,且越來越慢;同樣,函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間(0,+∞)上,遞減較慢,且遞減速度越來越慢;函數(shù)h(x)的圖象在區(qū)間(0,1)上遞減較快,但遞減速度變慢;在區(qū)間(1,+∞)上,遞減較慢,且越來越慢.答案:C3.已知y1=2x,y2=x2,y3=log2x,則當2<x<4時,有()A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1解析:在同一平面直角坐標系中畫出這三個函數(shù)的圖象(圖略),在區(qū)間(2,4)上,從上到下圖象依次對應的函數(shù)為y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.答案:B4.有一組試驗數(shù)據(jù)如下表所示:x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關系的函數(shù)模型是()A.y=2x+1-1 B.y=x2-1 C.y=2log2x D.y=x3解析:依據(jù)試驗數(shù)據(jù)第一組(2.01,3),選項A,C,D明顯不滿意,故本題正確答案為B.答案:B5.設x∈(0,1),函數(shù)y=xp(p∈R)的圖象在直線y=x的上方,則實數(shù)p的取值范圍是()A.p≥0 B.0<p<1 C.p<1 D.p>1解析:∵x∈(0,1)時,函數(shù)y=xp(p∈R)的圖象在直線y=x的上方,∴xp>x,且x∈(0,1),∴p<1.答案:C6.某工廠第三年的產(chǎn)量比第一年的產(chǎn)量增長44%,若每年的平均增長率相同(設為x),則以下結論正確的是()A.x>22% B.x<22%C.x=22% D.x的大小由第一年的產(chǎn)量確定解析:設第一年的產(chǎn)量為a,則第三年的產(chǎn)量為(1+44%)a=1.44a,所以a(1+x)2=1.44a,所以(1+x)2=1.44,得x=0.2(負值舍去),即x<22%.答案:B7.生活閱歷告知我們,當水注入容器(設單位時間內(nèi)進水量相同)時,水的高度隨著時間的改變而改變,如圖請選擇與容器相匹配的圖象,A對應,B對應,C對應,D對應.

解析:A容器下粗上細,水高度的改變先慢后快,故與(4)對應;B容器為球形,水高度改變?yōu)榭臁?應與(1)對應;C,D容器都是柱形的,水高度的改變速度都應是直線型,但C容器細,D容器粗,故水高度的改變?yōu)?C容器快,與(3)對應,D容器慢,與(2)對應.答案:(4)(1)(3)(2)8.調(diào)查表明,酒后駕駛是導致交通事故的主要緣由.依據(jù)《中華人民共和國道路交通平安法》規(guī)定,駕駛員在駕駛機動車時血液中酒精含量不得超過0.2mg/mL.某人喝酒后,其血液中酒精含量將上升到3mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精的含量以每時50%的速度削減,則至少經(jīng)過他才可以駕駛機動車.(精確到1h)

解析:設nh后他才可以駕駛機動車,由題意得3(1-0.5)n≤0.2,即2n≥15,n≥log215,故至少經(jīng)過4h他才可以駕駛機動車.答案:4h9.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的出廠價為50元,其成本為25元,在生產(chǎn)過程中,平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5m3污水排出,為了凈化環(huán)境,工廠設計兩種方案進行污水處理,并打算實施.方案1:工廠污水先凈化處理后再排出,每處理1m3污水所耗原料費為2元,并且每月排污設備損耗費為30000元;方案2:工廠污水排到污水廠統(tǒng)一處理,每處理1m3需付14元的排污費.(1)若工廠每月生產(chǎn)3000件產(chǎn)品,在既不污染環(huán)境,又節(jié)約資金的前提下,應選擇哪種處理污水的方案,請通過計算加以說明.(2)若工廠每月生產(chǎn)6000件產(chǎn)品,又該如何決策呢?解:設工廠每月生產(chǎn)x件產(chǎn)品,依方案1的利潤為y1,依方案2的利潤為y2,則y1=(50-25)x-2×0.5x-30000=24x-30000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.(1)當x=3000時,y1=42000,y2=54000.因為y1<y2,故應選擇方案2處理污水.(2)當x=6000時,y1=114000,y2=108000.因為y1>y2,故應選擇方案1處理污水.10.函數(shù)f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=x12的圖象如圖所示,試分別指出各曲線對應的函數(shù),并比較三個函數(shù)的增長差異(以1,a,b,c,d,e為分界點解:由指數(shù)爆炸、對數(shù)增長、冪函數(shù)增長的差異可得曲線C1對應的函數(shù)是f(x)=1.1x,曲線C2對應的函數(shù)是h(x)=x12,曲線C3對應的函數(shù)是g(x)=lnx+由題圖知,當x<1時,f(x)>h(x)>g(x);當1<x<e時,f(x)>g(x)>h(x);當e<x<a時,g(x)>f(x)>h(x);當a<x<b時,g(x)>h(x)>f(x);當b<x<c時,h(x)>g(x)>f(x);當c<x<d時,h(x)>f(x)>g(x);當x>d時,f(x)>h(x)>g(x).11.某種高檔奢侈品定價為60萬元/件,不加收消費稅時,每月大約銷售80件.若政府征收消費稅,每銷售100萬元要征收消費稅p萬元,此時每月銷售量削減203p件(1)將政府每月對該商品征收的總稅金y萬元表示為p的函數(shù),并求出這個函數(shù)的定義域.(2)若政府在此項經(jīng)營中每月收取的稅金不少于128萬元,問稅率p%應當怎樣確定.(3)在政府每月可征收的稅金不少于128萬元的前提下,要讓廠家獲得最大銷售金額,應如何確定p的值?解:(1)由題意知,商品每月銷售量為80-203p件時,y=60因為80-203p>0,p