2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列2.1.1等差數(shù)列課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析北師大版必修5

PAGE三等差數(shù)列(20分鐘35分)1.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,公差d=2,則a4等于 ()A.5 B.6 C.7 D.9【解析】選C.a4=a3+d=a2+2d=a1+3d=1+3×2=7.2.(2024·寶雞高二檢測(cè))在數(shù)列QUOTE中a1=2,2an+1-2an=1,則a101的值為 ()A.52 B.51 C.50 【解題指南】由2an+1-2an=1,得到an+1-an=QUOTE,進(jìn)而得到數(shù)列QUOTE是首項(xiàng)為2,公差為QUOTE的等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可求解,得到答案.【解析】選A.由題意,數(shù)列QUOTE滿意2an+1-2an=1,即an+1-an=QUOTE,又由a1=2,所以數(shù)列QUOTE是首項(xiàng)為2,公差為QUOTE的等差數(shù)列,所以a101=a1+100d=2+100×QUOTE=52.3.已知等差數(shù)列{an}中各項(xiàng)都不相等,a1=2,且a4+a8=QUOTE,則公差d= ()A.0 B.QUOTE C.2 D.0或QUOTE【解析】選B.依據(jù)題意知d≠0,a4+a8=QUOTE?a1+3d+a1+7d=(a1+2d)2.又a1=2,則4+10d=(2+2d)2,解得d=QUOTE或d=0(舍去).4.若{an}是等差數(shù)列,則下列數(shù)列中仍為等差數(shù)列的有 ()①{|an|}; ②{an+1-an};③{pan+q}(p,q為常數(shù)); ④{2an+n}.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【解析】選C.設(shè)an=kn+b,則an+1-an=k,故②為常數(shù)列,也是等差數(shù)列.pan+q=p(kn+b)+q=pkn+(pb+q),故③為等差數(shù)列,2an+n=2(kn+b)+n=(2k+1)n+2b,故④為等差數(shù)列.①未必是等差數(shù)列,如an=2n-4,則{|an|}的前4項(xiàng)為2,0,2,4,故{|an|}不肯定是等差數(shù)列.5.已知{an}為等差數(shù)列,a5+a7=4,a6+a8=-2,則該數(shù)列的正數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng).

【解析】由已知得QUOTE得QUOTE所以an=-3n+20.令an≥0,解得n≤QUOTE,即n=1,2,3,…,6,故該數(shù)列的正數(shù)項(xiàng)共有6項(xiàng).答案:66.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,數(shù)列{bn}中,bn=3an+4,則{bn}是否為等差數(shù)列?并說明理由.【解析】{bn}是等差數(shù)列,理由如下:因?yàn)閧an}是首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列,所以an+1-an=d,所以bn+1-bn=3an+1+4-3an-4=3(an+1-an)=3d.因?yàn)閐為常數(shù),所以3d也為常數(shù),所以{bn}是首項(xiàng)為b1=3a1+4,公差為3d的等差數(shù)列.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知數(shù)列{log2(an-1)}(n∈N+)為等差數(shù)列,且a1=3,a3=9,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】設(shè)等差數(shù)列{log2(an-1)}的公差為d,則log2(a3-1)-log2(a1-1)=2d,代入a1=3,a3=9得,log28-log22=2d,所以d=1.所以log2(an-1)=log2(a1-1)+(n-1)×1=n.所以an-1=2n,所以an=2n+1.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.在等差數(shù)列{an}中,若a1=-2,a5=2,則a20等于 ()A.15 B.16 C.17 【解析】選C.因?yàn)閧an}為等差數(shù)列,a1=-2,a5=2,所以a5=a1+(5-1)d,即2=-2+4d,所以d=1,所以a20=a1+(20-1)d=-2+19×1=17.2.已知函數(shù)f(x)=cosx,x∈(0,2π)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,且方程f(x)=m有兩個(gè)不同的實(shí)根x3,x4,若把這四個(gè)數(shù)按從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列,則實(shí)數(shù)m等于 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選D.若m>0,則公差d=QUOTE-QUOTE=π,明顯不成立,所以m<0,則公差d=QUOTE=QUOTE.所以m=cosQUOTE=-QUOTE.3.已知QUOTE是等差數(shù)列,且a1=QUOTE,a4=1,則a10= ()A.-5 B.-11 C.-12 D.3【解題指南】由QUOTE是等差數(shù)列,求得an,進(jìn)而求出a10.【解析】選B.因?yàn)镼UOTE是等差數(shù)列,設(shè)bn=QUOTE,b1=QUOTE,b4=QUOTE,所以3d=-QUOTE,d=-QUOTE,所以bn=QUOTE-QUOTE,所以an=QUOTE-1,故a10=-11.4.(2024·荊州高一檢測(cè))《張丘建算經(jīng)》有一道題大意為:今有十等人,每等一人,宮賜金,以等次差(即等差)降之,上三人先入,得金四斤,持出,下四人后入得金三斤,持出,中間三人未到者,亦依等次更給,則每等人比下一等人多得斤? ()

A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解題指南】依據(jù)題意將每等人所得的黃金斤數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列,設(shè)公差為d,依據(jù)題意和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式列出方程組,求出公差d即可得到答案.【解析】選B.設(shè)第十等人得金a1斤,第九等人得金a2斤,依次類推,第一等人得金a10斤,則數(shù)列{an}構(gòu)成等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則每一等人比下一等人多得d斤金,由題意得QUOTE,即QUOTE,解得d=QUOTE,所以每等人比下一等人多得QUOTE斤金.5.(2024·北京高考)在等差數(shù)列{an}中,a1=-9,a5=-1.記Tn=a1a2…an(n=1,2,…),則數(shù)列{TnA.有最大項(xiàng),有最小項(xiàng) B.有最大項(xiàng),無(wú)最小項(xiàng)C.無(wú)最大項(xiàng),有最小項(xiàng) D.無(wú)最大項(xiàng),無(wú)最小項(xiàng)【解析】選B.設(shè)公差為d,因?yàn)閍1=-9,a5=a1+4d=-1,所以d=2,所以a1,…,a5<0,a6,…>0,所以T1<0,T2>0,T3<0,T4>0,T5<0,以后都小于0,且越來(lái)越小.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2024·吉安市高一檢測(cè))已知數(shù)列{an}滿意a1=1,an=QUOTE,則它的通項(xiàng)公式an=.

【解析】因?yàn)閍n=QUOTE,所以QUOTE-QUOTE=1,所以QUOTE為等差數(shù)列,即QUOTE=QUOTE+(n-1)·1=n,因?yàn)閍n>0,所以an=QUOTE.答案:QUOTE【誤區(qū)警示】本題由于不留意an>0簡(jiǎn)單造成增根.7.一個(gè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)為:a,2a-1,3-a.則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=.

【解析】因?yàn)閍+(3-a)=2(2a-1),所以a=QUOTE.所以這個(gè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為QUOTE,QUOTE,QUOTE.所以d=QUOTE,an=QUOTE+(n-1)×QUOTE=QUOTE+1.答案:QUOTEn+18.已知等差數(shù)列{an}中,a1<a2<…<an且a3,a6為x2-10x+16=0的兩個(gè)實(shí)根,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式是.

【解析】由題意,QUOTE又因?yàn)閍1<a2<…<an,所以解得a3=2,a6=8,所以QUOTE,a1=-2,d=2,從而an=-2+2(n-1),即an=2n-4.答案:an=2n-4三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知數(shù)列{an}滿意a1=1,且an=2an-1+2n(n≥2,且∈N+).(1)求a2,a3;(2)證明:數(shù)列QUOTE是等差數(shù)列;(3)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an.【解析】(1)a2=2a1+22=6,a3=2a2+23=20.(2)因?yàn)閍n=2an-1+2n(n≥2,且n∈N+),所以QUOTE=QUOTE+1(n≥2,且n∈N+),即QUOTE-QUOTE=1(n≥2,且n∈N+),所以QUOTE是首項(xiàng)為QUOTE=QUOTE,公差d=1的等差數(shù)列.(3)由(2)得QUOTE=QUOTE+(n-1)×1=n-QUOTE,所以an=QUOTE·2n.10.數(shù)列{an}滿意a1=2,an+1=(λ-3)an+2n(n∈N+).(1)當(dāng)a2=-1時(shí),求λ及a3的值;(2)是否存在λ的值,使數(shù)列{an}為等差數(shù)列?若存在,求其通項(xiàng)公式;若不存在,說明理由.【解析】(1)因?yàn)閍1=2,a2=-1,a2=(λ-3)a1+2,所以λ=QUOTE.所以a3=-QUOTEa2+22,所以a3=QUOTE.(2)因?yàn)閍1=2,an+1=(λ-3)an+2n,所以a2=(λ-3)a1+2=2λ-4,a3=(λ-3)a2+4=2λ2-10λ+16.若{an}為等差數(shù)列,則a1+a3=2a2,即λ2-7λ+13=0.因?yàn)棣?49-4×13<0,所以方程無(wú)實(shí)數(shù)解,所以λ值不存在,所以不存在λ的值使{an}為等差數(shù)列.1.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的一部數(shù)學(xué)專著,書中有如下問題:今有女子善織,日增等尺,七日織28尺,其次日、第五日、第八日所織之和為15尺,則第十四日所織尺數(shù)為 ()A.13 B.14 C.15 【解題指南】由已知條件利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式列出方程組,求出首項(xiàng)和公差,由此能求出第十四日所織尺數(shù).【解析】選B.設(shè)第一天織a1尺,從其次天起每天比前一天多織d尺,由已知得QUOTE,解得:a1=1,d=