2023年上海中考數(shù)學一輪復習：二次函數(shù)（原卷版+解析）

專題09二次函數(shù)

二次函數(shù)是初中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，也是歷年中考的重點。這部分知識命題形式比較靈活，既有

填空題、選擇題，又有解答題，而且常與方程、幾何、銳角的三角比在一起，顯現(xiàn)在解答題中。因此，熟

練把握二次函數(shù)的相關(guān)知識，會靈活運用一般式、頂點式、交點式求二次函數(shù)的解析式是解決綜合應(yīng)用題

的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。

在知怨導圖

二次函數(shù)二次函數(shù)的

的定義圖像及性質(zhì)

二次函數(shù)

二次函數(shù)解

析式的求法

重點考向

—

一、二次函數(shù)的概念

概念：一般地，形如y=a/+b%+c(a,b,c是常數(shù)，a力0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。

注意：二次項系數(shù)a70,而b,c可以為零.

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量X的二次式，X的最高次數(shù)是2.

⑵a,b,c是常數(shù)，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

(1)一般式：y=?2+Ax+c.已知圖像上三點或三對％、y的值，通常選擇一般式.

(2)頂點式：y=a(x-*)2+左.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

交點式：已知圖像與％軸的交點坐標％、通常選用交點式：y=a(x-

(3)x2,x；)(x-x2).

翼例引微

^4__J____j_________I_____L*

一、單選題

1.下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）

2

A.y=x+2B.y=）

x

C.y=（2x—Ip—4?D.y=2-3x2

2.下列各點中，在二次函數(shù)y=8%-9圖象上的點是（）

A.（-1,-16）B.（1,-16）C.（—3,—8）D.（3,24）

3.若函數(shù)＞=（根-3），中+5是關(guān)于%的二次函數(shù)，則加二（）

A.-3B.3C.3或一3D.2

4.已知拋物線,=--+-+4經(jīng)過（-2,T）和（4,〃）兩點，則"的值為（）

A.-2B.-4C.2D.4

5.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（T。），（2,0）,（0,2）三點，則該函數(shù)的解析式為（）

A.y——/+%+2B.y=爐+x—2C.y-%?+3x+2D.y———%+2

6.將拋物線》=(%-1丫+2沿y軸折疊后得到的新拋物線的解析式為()

A.y=(x+1)2—2B.y=(x-1)2-2C.y=—(x—l)2—2D.=(x+1)2+2

7.小宇利用描點法畫二次函數(shù)丁=仆2+區(qū)+°（〃。0）的圖象時，先取自變量工的一些值，計算出相應(yīng)的函數(shù)

值y,如下表所示：

X01234

y40-103

接著，他在描點時發(fā)現(xiàn)，表格中有一組數(shù)據(jù)計算錯誤，他計算錯誤的一組數(shù)據(jù)是（）A.%=4,y=3

B.x=3,y=0C.x=2,y=-lD.x=0,y=4

8.二次函數(shù)》=奴2+陵+。（〃，b,c為常數(shù)，且QW。）中的x與y的部分對應(yīng)值如表，下列選項正確的是

()

X......-20134......

y......6-4-6-4m......

A.m=6B.這個函數(shù)的圖像與x軸無交點

C.二次函數(shù);y=ax2+bx+c有最小值-6D.當x＜l,y的值隨x值得增大而減小

二、填空題

9.已知關(guān)于X的二次函數(shù)＞=(〃―1的圖象經(jīng)過原點，則〃2的值為.

10.寫出一個開口向上，且與y軸的負半軸相交的拋物線的解析式：.

11.函數(shù)y=依+1)的圖象是拋物線，則左的值是.

12.已知函數(shù)y=(A-l)/M+2x-l為二次函數(shù)，則上的值為.

13.已知拋物線〉=9+如+”的圖象經(jīng)過(-3,0),(1,0),則此拋物線的頂點坐標是

在重點考向

二、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1.二次函數(shù)的圖象：二次函數(shù)^=。/+桁+。的圖象是對稱軸平行于y軸的一條拋物線

拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

①a決定拋物線的開口方向：

當。＞0時，開口向上；當。＜0時，開口向下；時相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于y軸(或重合)的直線記作x=丸.特別地，y軸記作直線尤=0.

③頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向、

開口大小完全相同，只是頂點的位置不同

求拋物線的頂點、對稱軸：

y=ax2+bx+c=Jx+-^-\.'.頂點坐標(--匕"，')對稱軸是直線1=一2~

2a)4〃la4a2a

2.二次函數(shù)的性質(zhì)

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì)對應(yīng)在它的圖象上，有如下性質(zhì):

二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

2

y=a^y=ax2y=a(x+m)y=a[x+c)2y=ax2_C2b、

y—xH-----

,I

拋物線+c+ca)

4ac-b2

+-----------

4a

開口方向當。＞0時開口向上，并向上無限延伸；

當〃V0時開口向下，并無限向下延伸。

頂點坐標(0,0)(0,c)(-m,0)(-m,k)

b4ac-b2

(-,)

2a4a

b

對稱軸y軸y軸直線x=-m直線x=-m直線x=-2

2a

X=0時x=o時X=-m時X=-m時

X=-；^-時，^min=^aC~~T~

a>0

A"。^nin=CL=0^nin=C2a4a

最

值x=o時X=0時X=-m時X=-m時

a<0X=---時，2出=4cic----

Ain二。20Ain二。2a4a

在對稱軸左側(cè)，y隨X的增大而減小

a>0

增在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大支x

減在對稱軸左側(cè)，y隨尤的增大而增大

性

a<0在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大

4.二次函數(shù)產(chǎn)。*2+加+。(。用)的系數(shù)a,b,c,△與拋物線的關(guān)系

a。決定開口方向：當a>0時開口向上，a<0時開口向下。

a、。同時決定對稱軸位置：a、6同號時對稱軸在y軸左側(cè)

a,ba、。異號時對稱軸在y軸右側(cè)

6=0時對稱軸是y軸

c決定拋物線與y軸的交點：c>0時拋物線交y軸的正半軸

cc=0時拋物線過原點

c<Q時拋物線交y軸的負半軸

△決定拋物線與x軸的交點：△>0時拋物線與無軸有兩個交點

△△=0時拋物線與x軸有一個交點

△<0時拋物線與x軸沒有交點

0

典例引微

1________._______________?L-

一、單選題

1.將拋物線y=4-(尤+1)2向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線必定經(jīng)過點()

A.(-2,2)B.(-1,1)C.(0,6)D.(1,-3)

2.拋物線y=/+x+2,點(2,a),(-1,b),(3,c),則a、b、c的大小關(guān)系是()

A.c>a>bB.b>a>c

C.a>b>cD.無法比較大小

3.若二次函數(shù)y=-V+2&+3的圖象與無軸交點個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.以上都不對

4.下列關(guān)于二次函數(shù)y=4（x-3）2-5的說法，正確的是（）

A.對稱軸是直線x=-3B.當x=3時有最小值-5

C.頂點坐標是（3,5）D.當x＞3時，y隨x的增大而減少

5.一次函數(shù)y=or+b與二次函數(shù)y=a無2+bx+c在同一坐標系中的圖象可能是（）

6.由于被墨水污染，一道數(shù)學題僅能見到如下文字：已知二次函數(shù)＞=依2+法+。的圖象過點（1,0）……求

證這個二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)一定不具有的性質(zhì)是（）

A.過點（3,0）B.頂點是G2,2）

C.在X軸上截得的線段的長是2D.與y軸的交點是（0,3）

7.足球運動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，

足球距離地面的高度耳（單位：加）與足球被踢出后經(jīng)過的時間f（單位：s）之間的關(guān)系如表：

t01234567

h08141820201814

Q

下列結(jié)論：①足球距離地面的最大高度超過20m；②足球飛行路線的對稱軸是直線f=］；③點（9,0）在

該拋物線上；④足球被踢出5s?7s時，距離地面的高度逐漸下降.其中正確的結(jié)論是（）A.②③

B.①②③C.①②③④D.②③④

8.小明在研究拋物線y=-（x-/z）2-/7+l（/z為常數(shù)）時，得到如下結(jié)論，其中正確的是（）

A.無論尤取何實數(shù)，y的值都小于0

B.該拋物線的頂點始終在直線y=上

C.當-1＜無＜2時，y隨尤的增大而增大，則

D.該拋物線上有兩點4（百,%），B（X2,J2）,若%＜%,尤i+尤2＜2〃，則為

9.如圖，拋物線y=（x-a）2+//（。＞0）與y軸交于點直線y=；尤經(jīng)過拋物線頂點過點2作8A〃尤

軸，與拋物線交于點C,與直線y=g無交于點A,若點C恰為線段中點，則線段0A長度為（）

A.726B.3石C.延D.生叵

33

10.如圖，二次函數(shù)>=點+加；+。的圖像與X軸交于點A（-1,0）,與y軸的交點B在（0,2）與（0,3）

之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=2,下列結(jié)論：①Mc<0；②9a+3b+c>0；③若點

點N1|,yJ是函數(shù)圖像上的兩點，則”>V；?-1<a<-|；⑤c—3a>0,其中正確結(jié)論有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

二、填空題

11.拋物線'=/-x的頂點坐標是.

12.已知拋物線y=*-x-1與x軸的一個交點為G”。），則代數(shù)式-3療+3m+2022的值為.

13.已知二次函數(shù)y=（x+m）2+2,當尤>2時，y的值隨x值的增大而增大，則實數(shù)機的取值范圍是.

14.將拋物線丁=-2（》+3『+3以原點為中心旋轉(zhuǎn)180度得到的拋物線解析式為.

15.如圖，一位籃球運動員投籃，球沿拋物線y=-0.2/+尤+2.25運行，然后準確落入籃筐內(nèi)，已知籃筐的

中心離地面的高度為3.05m,則他距籃筐中心的水平距離OH是m.

16.已知二次函數(shù)%=依2+云+。（<2工0）與一次函數(shù)為=如+〃（加二。）的圖象相交于點4（-1,6）和3（7,3）,如

圖所不，則使不等式加+&v+c<〃a+〃成立的X的取值范圍是

17.如圖，二次函數(shù)〉=。/+灰+<:的圖像與無軸相交于點A、B,與y軸相交于點C.過點C作C￡>_Ly軸,

交該圖像于點D若8（8,0）、￡>（6,4）,則AASC的面積為

18.定義：在平面直角坐標系中，若點A滿足橫、縱坐標都為整數(shù)，則把點A叫做“整點”如：3（3,0）、C（-l,3）

都是“整點”.當拋物線>=以2-4依+1與其關(guān)于X軸對稱拋物線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界）共有9個整

點時，。的取值范圍______.

三、解答題

19.如圖，拋物線>的圖像經(jīng)過A(4,0)、3(0,-4)兩點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點A先向左平移1個單位，再向下平移3個單位得到點C,請判斷點C是否在拋物線上.

20.如圖，直線％=-；x+2與無軸交于點8.拋物線為=-gY+法+。與該直線交于A、8兩點，交y軸于

點D(0,4),頂點為C.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并求出點A的坐標.

(2)求二次函數(shù)圖像與x軸的交點E的坐標，并結(jié)合圖像，直接寫出當才%時，％的取值范圍.

21.二次函數(shù)y=(m+l)x2-2(/71+l)x-2m+4.

(1)求該二次函數(shù)圖象的對稱軸；

(2)若圖象過點4-2,〃)，且求加z的取值范圍；

⑶若點尸(4％),。(2,力)在該二次函數(shù)圖象上，且%?%，求玉的取值范圍.

22.“燃情冰雪，一起向未來”，北京冬奧會于2022年2月4日如約而至，某商家看準商機，進行冬奧會吉

祥物“冰墩墩”紀念品的銷售，每個紀念品進價40元.規(guī)定銷售單價不低于44元，且不高于60元.銷售期

間發(fā)現(xiàn)，當銷售單價定為44元時，每天可售出300個，由于銷售火爆，商家決定提價銷售.經(jīng)市場調(diào)研發(fā)

現(xiàn)，銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個.

(1)求當每個紀念品的銷售單價是多少元時，商家每天獲利2640元；

(2)將紀念品的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤w元最大？最大利潤是多少元？

23.如圖，已知拋物線>=以2+5尤+4的對稱軸是直線x=3,且與x軸相交于A、8兩點(B點在A點的右

側(cè))，與y軸交于C點.

(1)A點的坐標是；B點坐標是:

(2)求直線8c的解析式；

（3）點尸是直線BC上方的拋物線上的一動點（不與8、C重合），是否存在點P,使APBC的面積最大.若

存在，請求出△P8C的最大面積，若不存在，試說明理由；

（4）若點M在x軸上，點N在拋物線上，以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點M

點坐標.

在重聲考向

三、二次函數(shù)的實際應(yīng)用

1、列二次函數(shù)解應(yīng)用題

列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的，不同的是，學習了二次函數(shù)后，

表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個變量的等式.對于應(yīng)用題要注意以下步驟：

（1）審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量

關(guān)系（即函數(shù)關(guān)系）.

（2）設(shè)出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設(shè)變量的單位要準確.

（3）列函數(shù)表達式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù).

（4）按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題。

（5）檢驗所得解是否符合實際：即是否為所提問題的答案.

（6）寫出答案.

要點：

常見的問題：求最大（?。┲担ㄈ缜笞畲罄麧櫋⒆畲竺娣e、最小周長等）、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線

的模型問題等.解決這些實際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.

2、建立二次函數(shù)模型求解實際問題

一般步驟：（1）恰當?shù)亟⒅苯亲鴺讼担唬?）將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標；（3）合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系

式；（4）代入已知條件或點的坐標，求出關(guān)系式；（5）利用關(guān)系式求解問題.

要點:

（D利用二次函數(shù)解決實際問題，要建立數(shù)學模型，即把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在

的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實際問題

時要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實際意義.

（2）對于本節(jié)的學習，應(yīng)由低到高處理好如下三個方面的問題：

①首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；

②學會從實際問題中建立二次函數(shù)的模型；

③借助二次函數(shù)的性質(zhì)來解決實際問題.

真例引順

JJ■_____?_____L-

一、單選題

1.從高處自由下落的物體，下落距離S與下落時間r的平方成正比.若某一物體從125米高度自由下落，5

秒落地，則下落1秒時，距離地面的高度為（）

A.5米B.25米C.100米D.120米

2.我校辦公樓前的花園是一道美麗的風景，現(xiàn)計劃在花園里再加上一噴水裝置，水從地面噴出，如圖，以

水平地面為x軸，出水點為原點建立平面直角坐標系，水在空中劃出的曲線是拋物線y=-f+5x（單位：

米）的一部分，則水噴出的最大高度是（）

“興米）

//\、

1/■,

°x（米）

A.4.5米B.5米C.6.25米D.7米

3.2019年在武漢市舉行了軍運會.在軍運會比賽中，某次羽毛球的運動路線可以看作是拋物線

y=-]-x2+x+^的一部分（如圖），其中出球點B離地面。點的距離是之米,球落地點A到。點的距離是（）

444

A.1米B.3米C.5米D.一米

16

4.如圖，在水平地面點A處有一網(wǎng)球發(fā)射器向空中發(fā)射網(wǎng)球，網(wǎng)球在地面上的落點為8,網(wǎng)球飛行路線是

一條拋物線，小明在直線上點C（靠點8一側(cè)）右側(cè)豎直向上擺放若干個無蓋的、直徑為0.5米，高為

0.3米的圓柱形桶（網(wǎng)球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計）.已知AB=4米，AC=3米，網(wǎng)球飛行的最大

高度OM=3米，若要使網(wǎng)球能落入桶內(nèi)，則至少需擺放圓柱形桶（）.

A.4個B.5個C.6個D.7個

5.單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一，舉辦場地為首鋼滑雪大跳臺.運動員起跳后的飛行路線可

以看作是拋物線的一部分.從起跳到著陸的過程中，運動員起跳后的豎直高度》（單位：m）與水平距離x

（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a（x-/z）2+Ma<0）.如圖記錄了某運動員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù),

根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出該運動員起跳后飛行到最高點時，水平距離為（）.

V/m

A.4mB.7mC.8mD.10m

6.洗手盤臺面上有一瓶洗手液.當同學用一定的力按住頂部A下壓如圖位置時，洗手液從噴口8流出，路

線近似呈拋物線狀，且噴口B為該拋物線的頂點.洗手液瓶子的截面圖下面部分是矩形同學測得:

洗手液瓶子的底面直徑G"=12cm,噴嘴位置點8距臺面的距離為16cm,且8、D、H三點共線.在距離

臺面15.5cm處接洗手液時，手心。到直線板的水平距離為女m,不去接則洗手液落在臺面的位置距期的

水平面是（）cm

C.126D.12-72

二、填空題

7.如圖，一拋物線形拱橋，當拱頂?shù)剿娴木嚯x為2米時，水面寬度為4米；那么當水位上升0.5米后，水

面的寬度為米.（結(jié)果可帶根號）

<—4—>

8.兩輛車A和&從相同標記處同時出發(fā)，沿直線同方向行駛，并且由出發(fā)點開始計時，行駛的距離x與

行駛時間f的函數(shù)關(guān)系分別為：無A=$3+2/和4=〃+次,求：

(1)它們剛離開出發(fā)點時，行駛在前面的一輛車是;

(2)它們出發(fā)后，B車相對A車速度為零的時刻是.

9.小亮和小明在籃球場練習投籃，小亮投籃時籃球出手的高度是1.7米，籃球的運行路線是拋物線的一部

分，籃球運行的水平距離為3米時達到最高點，最高點的高度是3.5米，籃筐的高度是3.05米，結(jié)果小亮

恰好命中籃筐，建立如圖所示的平面直角坐標系(籃球和籃筐均看作一個點)，y軸經(jīng)過拋物線的頂點，解答

下列問題.

(1)小亮投籃時籃球運行路線所在拋物線的解析式為；

(2)小亮投籃時與籃筐的水平距離L為；

(3)小亮投籃后籃球被籃筐彈了出來，恰被離籃筐水平距離為5米處的小明跳起來接住.已知籃球彈出后

運行路線也是拋物線的一部分(兩拋物線在同一平面內(nèi))，運行的水平距離為2米時到達最高點，小明接球的

高度為2.3米.則籃球彈出后最高點的高度為；

三、解答題

10.如圖，有長為12加的籬笆，現(xiàn)一面利用墻(墻的最大可用長度a為5m),設(shè)花圃的寬A3為xm,面積

為Sm?.

a

B'-----------------------'C

(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式及x值的取值范圍；

(2)要圍成面積為9m2的花圃，A2的長是多少米？

(3)當A3的長是多少米時，圍成的花圃面積最大？

11.某商人將進價為每件8元的某種商品按每件10元出售，每天可銷出100件.他想采用提高售價的辦法

來增加利潤.經(jīng)試驗，發(fā)現(xiàn)這種商品每件每提價1元，每天的銷售量就會減少10件.請問每件售價提高多

少元時，才能使一天的利潤最大？最大利潤是多少元？

12.某公司研發(fā)了一款成本為30元的新型產(chǎn)品，投放市場進行銷售.按照物價部門規(guī)定，銷售單價不低于

成本且不高于70元，調(diào)研發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y(個)與銷售單價x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所

示.

（1）求每天的銷售量y（個）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）銷售單價為多少元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？

13.圖1是一個傾斜角為。的斜坡的橫截面.斜坡頂端8與地面的距離為3米.為了對這個斜坡上的綠

地進行噴灌，在斜坡底端安裝了一個噴頭A,8C與噴頭A的水平距離為6米，噴頭A噴出的水珠在空中走

過的曲線可以看作拋物線的一部分.設(shè)噴出水珠的豎直高度為y（單位：米）（水珠的豎直高度是指水珠與水

平地面的距離），水珠與噴頭A的水平距離為尤（單位：米），y與x之間近似滿足二次函數(shù)關(guān)系，圖2記錄了

尤與y的相關(guān)數(shù)據(jù)，其中當水珠與噴頭A的水平距離為4米時，噴出的水珠達到最大高度4米.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）斜坡上有一棵高1.9米的樹，它與噴頭A的水平距離為2米，通過計算判斷從A噴出的水珠能否越過這

棵樹.

誣模擬檢測

一、單選題

1.二次函數(shù)y=-（x-2）2-3的圖像的頂點坐標是（）

A.（2,3）B.（2,-3）C.（-2,3）D.（-2,-3）

2.下列拋物線中，對稱軸是y軸的拋物線是（）

A.y=x2-lB.y=（x+l）-C.y=x2+xD.y=x2-x-1

3.將拋物線＞=3爐+1繞原點。旋轉(zhuǎn)180。，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為（）

A.y——2X2+1B.y=—2x2—1

11

C.y=——x9+1D.y=——x9-1

22

4.下列函數(shù)中，當元＞0時，＞值隨x值增大而減小的是（）

22

A.y=—xB.y=-x+lC.y=——D.y=x2+1

3x

5.在下列函數(shù)中，同時具備以下三個特征的是（）

①圖像經(jīng)過點（1,1）；②圖像經(jīng)過第三象限；③當x<0時，y的值隨x的值增大而增大

A.y=-x2+2B.y=C.y=-2x+3D.y=-

X

6.將拋物線y=2d向右平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得新拋物線和原拋物線相比，不變的是

（）

A.對稱軸B.開口方向C.和y軸的交點D.頂點.

7.小明準備畫一個二次函數(shù)的圖像，他首先列表（如下），但在填寫函數(shù)值時，不小心把其中一個蘸上了

墨水（表中），那么這個被蘸上了墨水的函數(shù)值是（）

X-10123

y3430

A.-1B.3C.4D.0

8.二次函數(shù)y=a^+笈+。（。*0）的圖象如圖所示，下列說法正確的是（）

B.4a+2b+c>0

C.c>0D.當x=l時，函數(shù)有最小值

9.如圖，已知拋物線y=^+bx+c經(jīng)過點（-1,0）,與y軸交于（0,2）,且頂點在第一象限，那么下列

結(jié)論：①a+c=b；②x=-l是方程爾+兒：+0=0的解；③a6c>0；?c-a>2,其中正確的結(jié)論為（）

C.①②④D.①②③④

10.下列關(guān)于二次函數(shù)尸/-3的圖象與性質(zhì)的描述，不正確的是（）

A.該函數(shù)圖象的開口向上

B.函數(shù)值y隨著自變量x的值的增大而增大

C.該函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱

D.該函數(shù)圖象可由函數(shù)y=『的圖象平移得到

二、填空題

11.如果二次函數(shù)y=(a-l)Y的圖像在y軸的右側(cè)部分是下降的，寫出符合條件的一個。的值是.

12.將拋物線C向左平移2個單位，向上平移1個單位后，所得拋物線為y=(x-l)2,則拋物線C解析式為

13.拋物線y=f-4x+3的頂點坐標是.

14.如果拋物線y=(A+l)無2有最高點，那么上的取值范圍是.

15.如果拋物線丫=加+6尤+c(a*O)的對稱軸是直線x=l,那么2a+60.(從＜,=,＞中選擇)

16.一個邊長為2厘米的正方形，如果它的邊長增加x(x＞0)厘米，則面積隨之增加y平方厘米，那么y關(guān)

于尤的函數(shù)解析式為一.

3

17.如圖，點A在直線上，如果把拋物線y=N沿方向平移5個單位，那么平移后的拋物線的表

達式為.

18.當兩條曲線關(guān)于某直線/對稱時，我們把這兩條曲線叫做關(guān)于直線/的對稱曲線，如果拋物線

G：y=/-2x與拋物線CZ關(guān)于直線尸一1的對稱曲線，那么拋物線C2的表達式為

三、解答題

19.已知拋物線＞=2尤2—4X一6.

(1)請用配方法求出頂點的坐標；

(2)如果該拋物線沿x軸向左平移機(機＞0)個單位后經(jīng)過原點，求的值.

20.已知拋物線y=-2/+fev+c經(jīng)過點A(0,l)、.

（1）求拋物線的表達式；

（2）把表達式化成>=-2（*+加）2+左的形式，并寫出頂點坐標與對稱軸.

21.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象上部分點的坐標（x,y）滿足下表：

X-1012

y-4-228

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；

（2）用配方法求出這個二次函數(shù)圖象的頂點坐標和對稱軸.

22.我們已經(jīng)知道二次函數(shù)y=62+bx+c（a<0）的圖像是一條拋物線.研究二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，我們

主要關(guān)注拋物線的對稱軸、拋物線的開口方向、拋物線的最高點（或最低點）的坐標、拋物線與坐標軸的

交點坐標、拋物線的上升或下降情況（沿x軸的正方向看）.

已知一個二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a*0）的大致圖像如圖所示.

（1）你可以獲得該二次函數(shù)的哪些信息？（寫出四條信息即可）

（2）依據(jù)目前的信息，你可以求出這個二次函數(shù)的解析式嗎？如果可以，請求出這個二次函數(shù)的解析式;

如果不可以，請補充一個條件，并求出這個二次函數(shù)的解析式.

23.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-；x+2與x軸、y軸分別交于點A、B.拋物線

>=-；/+法+。經(jīng)過點A、2頂點為C.

(1)求該拋物線的表達式；

(2)將拋物線沿y軸向上平移，平移后所得新拋物線頂點為。，如果求平移的距離；

(3)設(shè)拋物線上點M的橫坐標為他，將拋物線向左平移3個單位，如果點M的對應(yīng)點。落在內(nèi)，求優(yōu)

的取值范圍.

專題09二次函數(shù)

二次函數(shù)是初中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，也是歷年中考的重點。這部分知識命題形式比

較靈活，既有填空題、選擇題，又有解答題，而且常與方程、幾何、銳角的三角比在一起，

顯現(xiàn)在解答題中。因此，熟練把握二次函數(shù)的相關(guān)知識，會靈活運用一般式、頂點式、交點

式求二次函數(shù)的解析式是解決綜合應(yīng)用題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。

先知巧導圖

二次函數(shù)二次函數(shù)的

的定義圖像及性質(zhì)

二次函數(shù)

「二x國鼓與)

-563勸

【程的關(guān)系J

二次函數(shù)二次函數(shù)解

的應(yīng)用析式的求法設(shè)法

1R：豆的,

實際應(yīng)用,

在重點考向

一、二次函數(shù)的概念

概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，aK0)的函數(shù)，叫做二次函

數(shù)。

注意：二次項系數(shù)a40,而b,c可以為零.

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的結(jié)構(gòu)特征：

⑶等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.

⑷a,b,c是常數(shù)，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

⑴一般式：y=ax?+Z?x+c.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.

(2)頂點式：y=a(無-左.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

(3)交點式：已知圖像與％軸的交點坐標七、/，通常選用交點式：

y=-x；X%-x2).

翼例引微

一、單選題

1.下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（

y=（2尤一1）——4x2y=2-3x2

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義逐一判斷即可.

【解析】解：A、＞=尤+2未知數(shù)的最高次不是2,不是二次函數(shù)，不符合題意;

2

B、y=r未知數(shù)的最高次不是2,不是二次函數(shù)，不符合題意；

C、y=（2x-l）--4/=4*2—4x+l-4尤2=-4x+l未知數(shù)的最高次不是2,不是二次函數(shù),

不符合題意；

D、＞=2-3/是二次函數(shù)，符合題意；

故選D.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，一般地，形如丫=以2+灰+。（。*0）的函數(shù)叫做

二次函數(shù).

2.下列各點中，在二次函數(shù)丁=/-8尤-9圖象上的點是（）

A.（―1,—16）B.（1,—16）C.（一3,—8）D.（3,24）

【答案】B

【分析】把選項坐標代入二次函數(shù)驗證即可.

【解析】A.y=l+8-9=0?16,選項錯誤，不符合題意；

B.y=l-8-9=-16=-16,選項正確，符合題意；

C.＞=9+24-9=24?8,選項錯誤，不符合題意；

D.y=9-24-9=-24?24,選項錯誤，不符合題意.

故選：B.

【點睛】此題考查了二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是把選項坐標代入二次函數(shù)驗證.

3.若函數(shù)＞=（”7-3）物一+5是關(guān)于x的二次函數(shù)，則（）

A.-3B.3C.3或-3D.2

【答案】A

【A析】根據(jù)二次函數(shù)的定義進行求解即可.

【解析】解：：函數(shù)y=（m—3）J"H+5是關(guān)于X的二次函數(shù)，

|m|-1=2

m-3^0

m=—3,

故選A.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，熟知形如，=改2+笈+°（。片0）的函數(shù)是二次函

數(shù)是解題的關(guān)鍵.

4.已知拋物線＞=-/+/+4經(jīng)過（-2,7）和（4,〃）兩點，則〃的值為（）

A.-2B.-4C.2D.4

【答案】B

【分析】將（-2,T）代入解析式，求出b值，再將（4,〃）代入解析式，求出〃值即可.

【解析】解：將（-2,7）代入函數(shù)解析式，得：-4=-（-2）2+（-2）/）+4,

解得：6=2,

y——x?+2,x+4,

當x=4時，y=-42+2x4+4=4,即：n=-4；

故選：B.

【點睛】本題考查求二次函數(shù)的函數(shù)值.解題的關(guān)鍵的是利用待定系數(shù)法，正確的求出二次

函數(shù)解析式.

5.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（-L0）,（2,0）,（0,2）三點，則該函數(shù)的解析式為（）

A.y——x?+x+2B.y=+x—2C.y=X？+3尤+2D.y=—x?—x+2

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象經(jīng)過三點，可以設(shè)二次函數(shù)一般式求出解析式

【解析】解：設(shè)yuad+At+c,

把（-1,0）,（2,0）,（0,2）分別代入戶加+法+G得

a-b+c=0

<4a+2b+c=0,

c=2

解得a=-l,b=l,c=2,

；?該函數(shù)的解析式是：y=-/+》+2,

故選：A

【點睛】此題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌

握用二次函數(shù)一般式求出解析式是解題關(guān)鍵.

6.將拋物線y=（x-l）2+2沿y軸折疊后得到的新拋物線的解析式為（）

A.y=（x+1）2—2B.y=（尤_1）一一2C.y=—（無一1）__2D.y=（x+l/+2

【答案】D

【分析】關(guān)于〉軸對稱的兩點橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同，據(jù)此解答即可.

【解析】解：根據(jù)題意，得

翻折后拋物線的解析式的解析式為：y=（-x-l）2+2.

即y=（x+i）-+2.

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換.總結(jié)：關(guān)于X軸對稱的兩點橫坐標相同，縱

坐標坐標互為相反數(shù).關(guān)于y軸對稱的兩點縱坐標相同，橫坐標坐標互為相反數(shù).關(guān)于原點

對稱的兩點橫、縱坐標均互為相反數(shù).

7.小宇利用描點法畫二次函數(shù)了=62+及+C（。*0）的圖象時，先取自變量尤的一些值，計

算出相應(yīng)的函數(shù)值y,如下表所示:

X0i234

y40-103

接著，他在描點時發(fā)現(xiàn)，表格中有一組數(shù)據(jù)計算錯誤，他計算錯誤的一組數(shù)據(jù)是（）

A.x-4,y-3B.元=3,y=0C.x=2,y=-lD.尤=0,y=4

【答案】D

【分析】利用表中數(shù)據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的對稱軸為直線x=2,則頂點坐標為

（2-1）,再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，進行驗證.

【解析】=l和x=3時，y=o；

...拋物線的對稱軸為直線x=2,

頂點坐標為（2,-1）,

設(shè)拋物線為y=a（x-2）2-1,

把x=l,y=0代入得0=a-1,

??a=1,

該二次函數(shù)解析式為y=（》-2）2-1,

當x=0時，y=22-l=3^4,

<'.%=0,y=4錯誤.

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象，找出圖表數(shù)據(jù)特點，根據(jù)函數(shù)的對稱性解答即可，注

意進行驗證，以確保判定的正確性.

8.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，且awO）中的x與y的部分對應(yīng)值如表，下

列選項正確的是（）

X......-20134......

y......6-4-6-4m......

A.m=6B.這個函數(shù)的圖像與x軸無交點

C.二次函數(shù)y=#+8x+c有最小值-6D,當x<l,y的值隨尤值得增大而減小

【答案】D

【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的表達式，從而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷各選項.

【解析】解：：根據(jù)二次函數(shù)的x與y的部分對應(yīng)值圖，

當x=-2時，y=6,當x=O時，y=-4,當x=l時，>=一6,

6=4a-2b+ca=l

<-4=c,解得：<匕=一3,

-6=a+b+cc=-4

y=x2-3x-4,

令x=4,貝|加=y=4?—3x4—4=0,故A錯誤；

（-3）2-4xlx（T）=25>0,

這個函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點，故B錯誤；

函數(shù)有最小值為4x1x（一勺-（-3）2=一"，故c錯誤，

4x14

-33

??,拋物線的對稱軸為直線％=-~=T，開口向上，

ZXI.L

3

???當天<5,y的值隨尤