2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：圓錐曲線離心率題型全歸納（學(xué)生版+教師版）

第67講圓錐曲線離心率題型全歸納

知識(shí)梳理

求離心率范圍的方法

一、建立不等式法：

1、利用曲線的范圍建立不等關(guān)系.

2、利用線段長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系.用，工為橢圓工+衛(wèi)=1（°>6>0）的左、右焦

a2b2

22

點(diǎn)，尸為橢圓上的任意一點(diǎn)，4目a-cM+c］；耳B為雙曲線=-二=1（。>。，）>。）

a2b1

的左、右焦點(diǎn)，尸為雙曲線上的任一點(diǎn)，|尸耳|2c-4.

3、利用角度長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系.4K為橢圓《+反=1的左、右焦點(diǎn)，尸為

a2b2

橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若“PF2s則橢圓離心率e的取值范圍為singwevl.

4、利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系.

5、利用判別式建立不等關(guān)系.

6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系.

7、利用基本不等式，建立不等關(guān)系.

二、函數(shù)法：

1、根據(jù)題設(shè)條件，如曲線的定義、等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個(gè)變，量的函數(shù)

關(guān)系式；

2、通過(guò)確定函數(shù)的定義域；

3、利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍.

三、坐標(biāo)法：

由條件求出坐標(biāo)代入曲線方程建立等量關(guān)系.

必考題型全歸納

題型一：建立關(guān)于a和c的一次或二次方程與不等式

例1.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓G與雙曲線C2共焦

點(diǎn)，雙曲線C?實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓G的長(zhǎng)軸三等分，兩曲線的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓，則雙曲

線C2的離心率為（）

1

A.6B.2C.V5D.y/6

22

例2.（2024?湖南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C:\+多=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分

ab~

別為耳,耳,經(jīng)過(guò)尸2的直線交橢圓C于尸,。兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

（而+恒）?而=0,至=2Q，則橢圓C的離心率為.

22

例3.（2024?海南?？?高三統(tǒng)考期中）已知雙曲線C：-方=l（a>0,b>0）的左頂點(diǎn)為

A,右焦點(diǎn)為歹（。,0）,過(guò)點(diǎn)/的直線/與圓（x-c『+y2=（c-a）2相切，與C交于另一點(diǎn)

IT

B,且乙&1尸=:，則C的離心率為（）

6

53

A.3B.-C.2D.-

22

22

變式1.（2024?貴州?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知右焦點(diǎn)為尸的橢圓E：「+2=1（。>。>0）上

ab

的三點(diǎn)A,B,C滿足直線A3過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若3P/AC于點(diǎn)b，且忸盟=3|CF|,則E的

離心率是（）

A.立B.立C."D.1

2522

變式2.（2024?福建龍巖?福建省龍巖第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：

22

^r-3v=1。>0/>0）的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)b分別作C的兩條漸近線的平行線與C交于A,B

兩點(diǎn)，若［48|=2同，則C的離心率為

22

變式3.（2024?湖北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）雙曲線C:'-方=1（”）>0）的左焦點(diǎn)為R

直線即與雙曲線C的右支交于點(diǎn)。，A,2為線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且

\OA\=\OB\=^a（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為.

22

變式4.（2024?河南開(kāi)封?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知A是雙曲線C:'方=l（a>0,b>0）的右頂

點(diǎn)，點(diǎn)尸（2,3）在C上，F(xiàn)為C的左焦點(diǎn)，若AAPF的面積為I，則C的離心率

為.

變式5.（2024?遼寧沈陽(yáng)?東北育才學(xué)校校考一模）如圖，在底面半徑為1,高為6的圓柱

內(nèi)放置兩個(gè)球，使得兩個(gè)球與圓柱側(cè)面相切，且分別與圓柱的上下底面相切.一個(gè)與兩球均

2

相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個(gè)橢圓.則該橢圓的離心率為.

22

變式6.（2024?陜西西安??？既＃┮阎p曲線C：「一1=1伍＞0,。＞0）的左焦點(diǎn)為

ab

F,過(guò)尸的直線與圓/+/=/相切于點(diǎn)Q,與雙曲線的右支交于點(diǎn)P,若

\PQ\=^\QF\,則雙曲線C的離心率為.

變式7.（2024?河北?高三校聯(lián)考期末）雙曲線C：=1（。＞0力＞0）的左焦點(diǎn)為尸，右

頂點(diǎn)為A,過(guò)A且垂直于無(wú)軸的直線交C的漸近線于點(diǎn)P,尸。恰為的角平分線，則

C的離心率為.

題型二：圓錐曲線第一定義

例4.（2024?湖南株洲?高三校考階段練習(xí)）已知耳，耳分別為雙曲線

22

E：T-4=l（a＞0,6＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)。的直線/與E交于A8兩點(diǎn)（點(diǎn)/在第

ab~

一象限），延長(zhǎng)交E于點(diǎn)C,若忸段=|40/月B耳=[,則雙曲線E的離心率

為.

22

例5.（2024?山西大同?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓G=+多=1（。＞6＞0）的左、右焦點(diǎn)

ab

分別為耳，工，點(diǎn)尸，。為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且|PQI=I月KI,且四邊形

4

PFQF?的面積為5a2,則C的離心率為.

22

例6.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓E:當(dāng)+a=1（"人＞0）的上、下焦點(diǎn)分別為

耳、B，焦距為26,與坐標(biāo)軸不垂直的直線/過(guò)耳且與橢圓E交于A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)P為

線段A耳的中點(diǎn)，若NA88=/月9=90。，則橢圓E的離心率為.

22

變式8.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）耳，外是橢圓E：,方=1（。＞匕＞0）的左，右焦

3

點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓E上一點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，滿足NF]MN=NF?MN=45：

3|NK|二4|N段，則橢圓E的離心率為.

22

變式9.（2024?四川巴中?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線C：=-a=1（°>0/>0）的左、右

ab

3

焦點(diǎn)分別為耳耳，過(guò)耳斜率為"的直線與C的右支交于點(diǎn)P,若線段尸耳恰被y軸平分，

則c的離心率為（）

A.4B.述C.2D.3

23

變式10.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知耳，尸2分別為雙曲線反

22

會(huì)-%=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)。的直線/與E交于4,3兩點(diǎn)（點(diǎn)/在第

一象限），延長(zhǎng)A"交E于點(diǎn)C,若忸閭=|AC|,NRBF2=三,則雙曲線E的離心率為

（）

A.6B.2C.石D.近

22

變式11.（2024?廣東?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：=-上=1（?>0,。>0）,

a

斜率為-6的直線/過(guò)原點(diǎn)。且與雙曲線C交于尸，0兩點(diǎn)，且以P0為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙

曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線。的離心率為（）

A.叵口B.V3+1C.273-1D.273-2

2

22

變式12.（2024?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線E:。-2=l（a>0）的上焦點(diǎn)為可，點(diǎn)、P

CL8

在雙曲線的下支上，若A（4,0）,且|P胤+|的最小值為7,則雙曲線E的離心率為

（）

A.2或逆史B.3或近生C.2D.3

2525

變式13.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線

經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線

22

E:t-與=1（。>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，工，從凡發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖中的48兩

ab

點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)c和。，且cos/A4c=-之,甌麗=0,則E的離心率為（）

4

?-----D.石

2

2

變式14.（2024?甘肅酒泉?統(tǒng)考三模）已知雙曲線-斗=1（。>0,6>0）的右焦點(diǎn)為

a

F,過(guò)點(diǎn)歹的直線/與雙曲線E的右支交于B,C兩點(diǎn)，且|C司=3|尸身，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)。

的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A,若希.喬=0，則雙曲線E的離心率為（）

273D,巫

A.也

2

Y人1

變式15.（2024?山西呂梁?統(tǒng)考二模）已知雙曲線C：/下一1〃〉0,b>0）的左、

右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,直線y=氣與C交于P,Q兩點(diǎn)，西?斯=0,且△PgQ的面積

為4/,則C的離心率是（）

A.V3B.75C.2D.3

題型三：圓錐曲線第二定義

例7.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲

線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，他指出，平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距

離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)0<e<l時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)e=l時(shí)，軌跡為

拋物線；當(dāng)e>l時(shí)，軌跡為雙曲線.則方程立上半=」表示的圓錐曲線的離心率e等

|25-4x|5

于（）

145

A.-B.-C.-D.5

554

22

例8.（2024?北京石景山?高三專題練習(xí)）已知雙曲線二-1=1（也>0）的左、右焦點(diǎn)分別

ab

為3,尸為左支上一點(diǎn)，p到左準(zhǔn)線的距離為d,若d、口片1、I尸BI成等比數(shù)列，則其

離心率的取值范圍是（）

5

A.[V2,+8)B.(1,V2]C.[1+V2,+8)D.(1,1+V2]

例9.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知雙曲線C:\-2=l（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)

尸且斜率為6的直線交C于A、B兩點(diǎn),若/=4而，則C的離心率為（）

A.2B.9C,2D.2

8555

題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）

22

例10.（2024?云南曲靖?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：鼻-方=1（4>00>0）虛軸

的一個(gè)頂點(diǎn)為。，直線x=3a與C交于A,B兩點(diǎn)，若△A3。的垂心在C的一條漸近線

上，則C的離心率為.

例11.（2024?陜西西安?西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C：

22

1r+g=1（。>6>0）的焦距為2c,左焦點(diǎn)為尸，直線/與C相交于4,2兩點(diǎn)，點(diǎn)尸是線

13

段48的中點(diǎn)，尸的橫坐標(biāo)為若直線/與直線小的斜率之積等于-白，則。的離心

316

率為.

22

例12.（2024?山東濟(jì)南?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓C：=+==1（°>6>0）的上頂點(diǎn)

ab

為B,兩個(gè)焦點(diǎn)為用，F(xiàn)2,線段B居的垂直平分線過(guò)點(diǎn)耳，則橢圓的離心率為.

22

變式16.（2024?山東青島?高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線E:=-3=1伍>00>0）與直線

y=a-相交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記直線PA,PB的斜率分別為

K，k2,若匕&=；,且雙曲線E的右焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離為1,則雙曲線E的離心

率為?

變式17.（2024?山東?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，A,8分別是橢圓

22

C：T+方=1（。>6>0）的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在以為直徑的圓。上（點(diǎn)尸異于48兩

點(diǎn)），線段4尸與橢圓C交于另一點(diǎn)Q,若直線3P的斜率是直線的斜率的4倍，則橢圓

C的離心率為（）

6

例13.（2024?廣西?模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的

光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線

22

E：A-與=1（。>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，鳥(niǎo)，從凡發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖2中的A,8兩

ab

12

點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和。，MtanZC4B=-y,|BD|2=AD?D,則雙曲線E的離心

fV2

例14.（2024?河北秦皇島?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知耳，旦是橢圓C:=+馬=1（“>6>0）

ab

（

的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)〃在。上，若。的離心率事6』、，則使為直角三角形的點(diǎn)“

有（）個(gè)

A.2B.4C.6D.8

例15.（2024?湖北武漢?高三武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）過(guò)雙曲線

22

E:]-與=1（。>0/>0）的左焦點(diǎn)尸作/+丁="的一條切線，設(shè)切點(diǎn)為7,該切線與雙

ab

曲線￡在第一象限交于點(diǎn)a若西=3萬(wàn)，則雙曲線片的離心率為（）

7

A.6B.V5C.巫D.巫

22

變式18.（2024?云南昆明?高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)?（x。,幾）是橢圓

22

c：\+==im>6>o）上的一點(diǎn)，耳，區(qū)是c的兩個(gè)焦點(diǎn)，若西施so,則橢圓c的離

ab"

心率的取值范圍是（）

J。當(dāng)B.[I]D.盧,[

I2J12」[2JL2）

題型六：利用正弦定理

22

例16.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知耳，瑞分別為橢圓氏與+七=l（a>b>0）的兩個(gè)

ab

焦點(diǎn)，夕是橢圓￡上的點(diǎn)，PFJPF2,且sin/P入耳=3sin/P4工，則橢圓￡的離心率為

（）

AV10RV10V5nV5

A.---D.---Ur.D.

2424

22

例17,（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）過(guò)橢圓點(diǎn)+訝=1（?！地?gt;0）的左、右焦點(diǎn)耳，心作傾

斜角分別為￡和1的兩條直線4，若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心

63一

率為（）

A.1B.V3-1

2

CV3-1DV5—1

?2?2

22

例18.（2024?江蘇?揚(yáng)州中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓A+多=1（。>03>0）的左、右焦點(diǎn)

ab

分別為6（-c，o）,鳥(niǎo)（G0）,若橢圓上存在點(diǎn)尸（異于長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），使得

csinZP^F^asinZPF^,則該橢圓離心率e的取值范圍是.

變式19.（2024?廣西南寧?南寧市武鳴區(qū)武鳴高級(jí)中學(xué)校考二模）設(shè)耳、鳥(niǎo)分別為橢圓

22

斗+2=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)M,ZMFtF2=a,NM尸?片=尸，使得

ab

離心率e=2蛇，則e取值范圍為.

smcr

22

變式20.（2024?江西吉安?高三吉安一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）點(diǎn)P是雙曲線G：^--4=1

ab

（。>0,b>0）和圓G：/+/=/+廿的一個(gè)交點(diǎn)，且2/P耳工=NPK大，其中耳，F(xiàn)2

8

是雙曲線C1的兩個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線G的離心率為.

2222

變式21.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓「：3+1=1與雙曲線Q：二-1=1共焦

abmn

點(diǎn)，F(xiàn)i、F2分別為左、右焦點(diǎn)，曲線「與。在第一象限交點(diǎn)為P,且離心率之積為1.若

sinZ^Pf；=2sinN尸片",則該雙曲線的離心率為.

題型七：利用余弦定理

例19.（2024?福建福州?高三福建省福州第八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線

22

C:?-方=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為斗鳥(niǎo)，尸是C右支上一點(diǎn)，線段尸耳與C

的左支交于點(diǎn)若/百尸乙=］，且1PMi=|尸周，則c的離心率為.

22

例20.（2024?江蘇淮安?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）橢圓。:5+==1（〃>8〉0）的左、右焦點(diǎn)分

ab

別為片，工，上頂點(diǎn)為4直線A耳與橢圓C交于另一點(diǎn)8,若44鳥(niǎo)8=120。，則橢圓。的

離心率為.

22

例21.（2024?河北唐山?模擬預(yù)測(cè)）已知耳，&是橢圓￡:5+當(dāng)=1（°>6>0）的左，右焦

ab

點(diǎn)，E上兩點(diǎn)A8滿足3亞=2哥,|4耳|=2|4閭，則E的離心率為.

變式22.（2024?廣東湛江?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線。:0-3=1（4>0,。>0）的

離心率為2,左、右頂點(diǎn)分別為4,4,右焦點(diǎn)為b,點(diǎn)P在C的右支上，且滿足

PF±FA^,則tan/4尸4=（）

A.1B.1C.V3D.2

22

變式23.（2024?河南?校聯(lián)考二模）已知雙曲線C:三-三的左、右焦點(diǎn)分

ab

別是耳，F(xiàn)2,P是雙曲線C上的一點(diǎn)，且忸胤=5,|尸刃=3,/可尸&=120。，則雙曲線

C的離心率是（）

777

A.7B.-C.-D.-

234

22

變式24.（2024?浙江?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：A+與=l（a>6>0）的左、右焦

ab

9

點(diǎn)分別為耳，瑞，點(diǎn)P在c上，且尸耳，耳8,直線尸乙與。交于另一點(diǎn)。，與y軸交于

點(diǎn)M,若雄=2硬，則C的離心率為（）

A3A/3R4「后nV21

7737

變式25.（2024?江西撫州?高三黎川縣第二中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線C：

22

=1（。>“0）的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（c,o），點(diǎn)P在第一象限且在雙曲線C的一條漸

Clu

近線上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OP|=c,p刊=2°,則雙曲線C的離心率為（）

A.V3B.2C.75D.3

變式26.（2024?廣西百色?高三貴港市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：

捺+/=1（。>1>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳,點(diǎn)尸在C上，若西=口，

\PF\+PF^=3b,則C的離心率為.

變式27.（2024?廣東深圳?高三校聯(lián)考期中）設(shè)耳，工是雙曲線C：

22

會(huì)-方=i（a>o,b>o）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)耳的直線與c的左、右兩支分別交于aB兩

點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸上，4F3=MB,BB平分/RBM,則C的離心率為（）

A.—B.氈

33

「后n1

33

變式28.（2024?云南?高三云南師大附中校考階段練習(xí)）已知雙曲線C：

22

鼻-斗=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)可作C的一條漸近

ab

線的垂線，垂足為跖且惘工|=3|0叫，則C的離心率為（）

A.72B.2C.76D.20

題型八：內(nèi)切圓問(wèn)題

22

例22.（2024?四川成都?高三成都七中?？茧A段練習(xí)）雙曲線//：「一當(dāng)=1（〃力>0）其左、

ab

qr

右焦點(diǎn)分別為百,耳,傾斜角為三的直線P鳥(niǎo)與雙曲線〃在第一象限交于點(diǎn)尸，設(shè)△與PE

內(nèi)切圓半徑為r,若|Pg|N2也r,則雙曲線〃的離心率的取值范圍為.

10

22

例23.（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）橢圓T+當(dāng)=l（q>Z,>0）的四個(gè)頂點(diǎn)ABCD構(gòu)成菱形的

ab

內(nèi)切圓恰好過(guò)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率6=.

22

例24.（2024?廣東深圳??？级＃┮阎獧E圓f+2=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

ab

片（-C,O）、鳥(niǎo)（C,。），尸為橢圓上一點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），△尸月月的內(nèi)切圓半徑為「，若廠的

最大值為（則橢圓的離心率為.

22

變式29.（2024?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）雙曲線C:※-方=l（a>0,b>0）的

左，右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,右支上有一點(diǎn)滿足/單眼=90。，△耳明的內(nèi)切圓與V

軸相切，則雙曲線。的離心率為.

22

變式30.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓C:=+當(dāng)=1（°>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別

為耳（-c,0）,工（c,0）,點(diǎn)M（%,%）（%>c）是C上一點(diǎn)，點(diǎn)A是直線A/工與>軸的交點(diǎn)，

△A叫的內(nèi)切圓與叫相切于點(diǎn)N,若|阿|=拒由閭，則橢圓C的離心率

e=.

22

變式31.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：1r+%=1e>6>0）的左、右焦點(diǎn)分

別是耳，F(xiàn)”斜率為g的直線/經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)耳且交。于4B兩點(diǎn)（點(diǎn)/在第一象限），設(shè)

△A耳耳的內(nèi)切圓半徑為七48片乙的內(nèi)切圓半徑為馬，若二=2,則橢圓的離心率

r2

e=.

22

變式32.（2024?福建泉州?高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:=+二=1。>/7>0）的左、右

焦點(diǎn)分別是耳，F(xiàn)2,斜率為3的直線/經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)耳且交C于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象

限），設(shè)△△￡工的內(nèi)切圓半徑為小48打工的內(nèi)切圓半徑為若二=3,則橢圓的離心率

r2

e=.

變式33.（2024?山東聊城?統(tǒng)考一模）片，瑞是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓C上異于頂點(diǎn)

的一點(diǎn)，/是△尸月耳的內(nèi)切圓圓心，若耳的面積等于△/￡耳的面積的3倍，則橢圓

C的離心率為.

題型九：橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)

11

例25.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)耳，F(xiàn)2,它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)

為P,設(shè)/耳尸居=26,橢圓與雙曲線的離心率分別為%則（）

cos2esin26*sin2ecos2e_

A.—+=1B.—+=1

才e；才

gi2

C.+=1D.+e；=1

cos2esin20sin2ecos2e

例26.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)耳，F(xiàn)2,它們的交點(diǎn)P對(duì)兩公共

焦點(diǎn)耳，尸2張的角為/招尸乙=5.橢圓與雙曲線的離心率分別為G，%則

C..+4e；=lD.4々+苧=1

22

例27.（多選題）（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，P是橢圓C［：=+多=1（〃>6>0）與雙

ab

22

曲線C2：二-當(dāng)=i（加>o,w>O）在第一象限的交點(diǎn)，且G，G共焦點(diǎn)

mn

斗鳥(niǎo),/耳尸鳥(niǎo)=46工2的離心率分別為6勺，則下列結(jié)論不正確的是（）

13

B.若。=60。，則丁丁4

qe2

C.若6=90。，則小+4的最小值為2D.tan—=—

2n

22

變式34.（多選題）（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，p是橢圓G：I+A=l（a〉b〉0）與

ab

丫2v2

雙曲線C2：二-2=1（m>。,">0））在第一象限的交點(diǎn)，且G，G共焦點(diǎn)

mn

^^，/耳”=仇￡，。2的離心率分別為外4,則下列結(jié)論正確的是（）

12

C.若。=90°,則e；+e；的最小值為2

22

變式35.（多選題）（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，P是橢圓￡:=+當(dāng)=l（a>b>0）與

ab

22

雙曲線c,：工-當(dāng)=1（〃>0,〃>0）在第一象限的交點(diǎn)，且GC共焦點(diǎn)

mn

6B，/耳因=仇。”。2的離心率分別為華4,則下列結(jié)論正確的是（）

13

A.|P7^|=a+m,\PF2\^a-mB.若9=60°,則萬(wàn)+7=4

e\02

f）yt

c.若，=90°,則e；+e；的最小值為2D.tan7u：

2b

變式36.（2024?新疆?統(tǒng)考三模）在AABC中，cosA=g,AC=3,AB=1,橢圓G和雙

14

曲線G以4,B為公共焦點(diǎn)且都經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,則q與c2的離心率之和為.

題型十：利用最大頂角e

22

例28.（2024?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C：三+當(dāng)=1（a>6>0）,點(diǎn)A,8是長(zhǎng)軸的

ab

兩個(gè)端點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)尸，使得NAM=120。，則該橢圓的離心率的取值范圍是

)

13

22

例29.（2024?全國(guó)?高二專題練習(xí)）設(shè)48是橢圓C：上+乙=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若C

3m

上存在點(diǎn)〃滿足/41勿=120。，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

22

例30.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:3+齊=1（。>6>0）,點(diǎn)P是C上任意一點(diǎn),

若圓O:尤2+/=戶上存在點(diǎn)M、N,使得NMPN=120。，則C的離心率的取值范圍是（）

A.R'

變式37.（2024?四川成都?高三樹(shù)德中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知耳、耳是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),

滿足麗?麗=0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（）

C.(0,1)D.

題型十一：基本不等式

22

例31.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓。：鼻+斗=1（。">0）的右焦點(diǎn)為尸，橢圓。

ab

上的兩點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)你，且滿足麗.麗=0，\FB\<\F^<^3\FB\,則橢圓C的離心率

的取值范圍為（）

",若TV2V3

A.B.D.

222

設(shè)耳、式2分別是橢圓E：4+

例32.（2024?江蘇南京?高三階段練習(xí)）

a

左、右焦點(diǎn)，M是橢圓E準(zhǔn)線上一點(diǎn),“MF?的最大值為60。，則橢圓E的離心率為

()

B.8「V2

A.V/.----D,建

2222

14

例33.（2024?山西運(yùn)城?高三期末）已知點(diǎn)A為橢圓「+南=1（“>6>0）的左頂點(diǎn)，。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)廠作垂直于x軸的直線/,若直線/上存在點(diǎn)P滿足

NAPO=30。，則橢圓離心率的最大值______________.

題型十二：已知所范圍

例34.（2024?四川省南充市白塔中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知耳、工分別為橢圓

22

c：1y+方=1（“>6>0）的左、右焦點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，若在線段A3上（不含

端點(diǎn)）存在不同的兩點(diǎn)4?=1,2）,使得居.而=-，，則橢圓C的離心率的取值范圍為

（）

7.等C[O,fj-

22

例35.（2024?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知月（-。，0）,用（c，0）是橢圓C：5+1=1（。>6>0）

ab

的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P使得兩?陽(yáng)=。2,則橢圓C的離心率的取值范圍為

22

例36.（2024?全國(guó)?高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè)小工分別是橢圓E:3+斗=1（°>6>0）的左、右

ab

2

焦點(diǎn)，若橢圓￡上存在點(diǎn)P滿足廖?困=券，則橢圓E離心率的取值范圍（）

題型十三：西=4/

22

例37.（2024?江蘇?海安縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓C：「+二=1（。>6>0）的

ab

左、右焦點(diǎn)分別為E（-c，。），居（c,0）,若橢圓C上存在一點(diǎn)P,使得吧彳鬻=￡,則