2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：雙曲線方程及其性質(zhì)（含答案）

雙曲線方程及其性質(zhì)2025高考數(shù)學(xué)專

項(xiàng)復(fù)習(xí)含答案

雙曲線方程陵其性質(zhì)

醮.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2024年新/卷，第12題,5分求雙曲線的離心率無

由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列

2024年新H卷，第19題,17分求直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)

向量夾角的坐標(biāo)表示

利用定義解決雙曲線中集點(diǎn)三角形問題

2023年新/卷，第16題,5分無

求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍

直線的點(diǎn)斜式方程及辨析

2023年新H卷，第21題,12分根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

雙曲線中的定直線問題

求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題

2022年新/卷，第21題,12分求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)

求雙曲線中的弦長(zhǎng)

由中點(diǎn)弦坐標(biāo)或中點(diǎn)弦方程、斜率求參

2022年新H卷，第21題,12分根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程

數(shù)

根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)

雙曲線中的軌跡方程

2021年新/卷，第21題,12分求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

雙曲線中的定值問題

2021年新II卷，第13題,5分根據(jù)a,6,c齊次式關(guān)系求漸近線方程由雙曲線的離心率求參數(shù)的取值范圍

判斷方程是否表示雙曲線二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系

2020年新1卷，第9題,5分

判斷方程是否表示橢圓

判斷方程是否表示雙曲線二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系

2020年新n卷，第10題,5分

判斷方程是否表示橢圓

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容,設(shè)題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為5-17分

【備考策略】1.熟練掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)基本量的求解

2.熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，并會(huì)相關(guān)計(jì)算

3.能熟練計(jì)算雙曲線的離心率

4.會(huì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)雙曲線方程簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用

5.會(huì)求雙曲線中的相關(guān)最值

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，常?？疾闃?biāo)準(zhǔn)方程的求解、基本量的計(jì)算及離心率的求解，需重

??

點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練

IflV考點(diǎn)梳理，

知識(shí)講解

1.雙曲線的定義

平面上一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)E(—C,O),月(c,0)的距離的差的絕對(duì)值

為定值2a(且小于|E￡|=2c)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線

這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離囪弱叫做雙曲線的焦距

2.數(shù)學(xué)表達(dá)式：

||四|一|喇M=2a<㈤月|=2c

3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點(diǎn)在，軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在?/軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程

?M

一、、一

標(biāo)準(zhǔn)方程為：/7—<=l(a>0,b>0)標(biāo)準(zhǔn)方程為：----=1(。>0,6>0)

ab-ab

4.雙曲線中a,b,c的基本關(guān)系

?=(?+/)

5.雙曲線的幾何性質(zhì)

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在力軸上焦點(diǎn)在沙軸上

于

圖形7X

\俯2%

予2/1/2個(gè)2

標(biāo)準(zhǔn)方程-2=1(。>0,b>0)——=1(Q>0,b>0)

abab

x4-a或力>ag<_Q或

范圍

"RxER

A4—Q,O),4(Q,O)4(0,-a),4(0,a)

頂點(diǎn)坐標(biāo)

_8i(0,—b),B2(0,b)B(—b,0),B2(b,0)

實(shí)軸AA=2a實(shí)軸長(zhǎng)，MQ=\A2O\=a實(shí)半軸長(zhǎng)

虛軸B1B2|=2b虛軸長(zhǎng)，|BQ|=|5O|=b虛半軸長(zhǎng)

焦點(diǎn)用(一c,0),用(c,0)E(o,—c)，E(0,c)

焦距|瓦項(xiàng)=2c焦距，囪O|=區(qū)。|=c半焦距

對(duì)稱性對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心為(0,0)

y=+^x?a

漸近線方程y=F

a

e=—(e>1)

a

離心率e2=]=y=1+5=1+(9)；e=/+(N

離心率對(duì)雙曲e越大，雙曲線開口越闊

線的影響e越小，雙曲線開口越窄

6.離心率與漸近線夾角的關(guān)系

cosa

7.通徑：

（同橢圓）

通徑長(zhǎng)：|AW|=|EF|=斗，

“2

半通徑長(zhǎng)：|皿引=|岫|=|EE|=FEI=—

a

8.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為6

考點(diǎn)一、雙曲線的定義及其應(yīng)用

典例引領(lǐng)

22

1.（2024.河北邢臺(tái).二模）若點(diǎn)P是雙曲線。：條-*=1上一點(diǎn)，鼻后分別為。的左、右焦點(diǎn)，則

169

“灰囿=8”是尸鳥|=16”的（）

A.既不充分也不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.充分不必要條件

2.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為鳥、鳥，過E的直線交雙曲線左支于A、8兩點(diǎn),

且|人日=5,若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8,那么△/他的周長(zhǎng)是（）

3.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)PQ,仍滿足方程|J（c+2y+靖—jQ—2）2+才|=3,則動(dòng)點(diǎn)P的

軌跡方程為（）

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)E,月是雙曲線。岑—『=1的左,右焦點(diǎn)，過E的直線與y軸和C的

4o

右支分別交于點(diǎn)P，Q,若饃。月是正三角形，則|P同=（）

M是雙曲線上的一點(diǎn)，且|上陰I=5,則\MF^

3.（23-24高二上?四川涼山?期末）已知點(diǎn)M（2,0）,N（-2,0）,動(dòng)點(diǎn)P滿足條件—|PN|=2,則動(dòng)

點(diǎn)P的軌跡方程為（）

A.《一才=1（工>"）B.《—靖=1（支

OO

C./—不=1（力>1）D.不=1Q4-1）

Oo

考點(diǎn)二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

典例引領(lǐng)

22

1.（2024高三下?全國(guó)?專題練習(xí)）雙曲線方程為7=1,則R的取值范圍是（）

\k\-25-fc

A.k>5B.2<fc<5C.-2<k<2D.-2<A;V2或k>5

2.（2023高三上?湖北孝感?專題練習(xí)）過點(diǎn)（2,2）且與橢圓9^+3力=27有相同焦點(diǎn)的雙曲線方程為

3.（22-23高二下?甘肅武威?開學(xué)考試）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑴Q=4,經(jīng)過點(diǎn)>1（1,生，口）；

（2）焦點(diǎn)3軸上,且過點(diǎn)（3,-4V2）,（j,5）.

即時(shí)檢測(cè)

■一

22

4.（23-24高三上?河北張家口.開學(xué)考試）“>2”是“與--^―=1表示雙曲線”的（）.

k+1k—2

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

5.（2024?遼寧?二模）已知雙曲線C：/—娟=4僅#0）的焦點(diǎn)為（0,±2）,則。的方程為（）

A.a?2—y2=1B.y2—x2=lC.x2—y2=2D.y2—rr2=2

6.（2022高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知某雙曲線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點(diǎn)P（3,2/7）,Q（—60,7）,求該

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

考點(diǎn)三、雙曲線的幾何性質(zhì)

典例引領(lǐng)

1.（2024?福建福州?模擬預(yù)測(cè)）以“=±32為漸近線的雙曲線可以是（）

222

A.專一才=1B.x2—--=lC.~——x2=lD.y2-^-=l

2.（2024?廣西柳州?模擬預(yù)測(cè)）雙曲線［—3=1的一個(gè)頂點(diǎn)到漸近線的距離為（）.

416

A.V5B.4C.2宜D.2V3

5

3.（2024.河南新鄉(xiāng)?三模）雙曲線E：下支---/^=1的實(shí)軸長(zhǎng)為4,則&=

a^+a+22a+3---------

2222

4.（2024?湖南益陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線左—幺=1（巾＞0,"＞0）與橢圓。=1有相同的焦點(diǎn)，

mn43

則2+工的最小值為（）

mn

A.6B.7C.8D.9

2

5.（2022.福建三明.模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線G"+2=1（館￥0）與6〃—/=2共焦點(diǎn)，則Q的漸近線

m

方程為（）.

A.x±y=0B.V2x±y=0C.x±V3y=0D.V3x±y=0

6.（2024?貴州?模擬預(yù)測(cè)）我們把離心率為名丑的雙曲線稱為“黃金雙曲線”.已知“黃金雙曲線”C:

———4=1。＞0）,則。的虛軸長(zhǎng)為

2V5-2b---------

即時(shí)檢漱（

1.（24-25高三上?江蘇南通?開學(xué)考試）過點(diǎn)F（2,3）的等軸雙曲線的方程為.

2

2.（2024?安徽合肥?一模）雙曲線。:①2一（=1的焦距為4,則。的漸近線方程為（）

6

A.y=±V15xB.y=±V3xc-"士普D-片土*

3.（23—24高三上?河南漠河?期末）已知雙曲線C:mx2-y2=l（m>0）的一條漸近線方程為mx+V3y

=0,則C的焦距為.

4.（24-25高三上?山東泰安?開學(xué)考試）若雙曲線—4=l（a>0,b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)尸（5,0）,一條漸

ab~

近線方程為0=%則a+b=.

2222

5.（2024.河南新鄉(xiāng)?模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知a>0,b>0,則雙曲線G：號(hào)—號(hào)=1與G：告—9=4有相

abab

同的（）

A.焦點(diǎn)B.焦距C.離心率D.漸近線

考點(diǎn)四、雙曲線的離心率

典例引領(lǐng)

1.（2023?北京?高考真題）已知雙曲線。的焦點(diǎn)為（-2,0）和（2,0）,離心率為V2，則。的方程為.

2.（2024.上海.高考真題）三角形三邊長(zhǎng)為5,6,7,則以邊長(zhǎng)為6的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，過另外一個(gè)頂點(diǎn)的

雙曲線的離心率為.

3.（2024?全國(guó)?高考真題）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為（0,4）,（0,—4）,點(diǎn)（一6,4）在該雙曲線上，則該雙

曲線的離心率為（）

A.4B.3C.2D.V2

4.（2022.浙江.高考真題）已知雙曲線《一卷=l（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)為尸，過尸且斜率為￡的直線

交雙曲線于點(diǎn)4（%的），交雙曲線的漸近線于點(diǎn)B（x2,g）且傷<0V如若\FB\=3|E4|，則雙曲線

的離心率是.

5.（2022?全國(guó)?高考真題）雙曲線。的兩個(gè)焦點(diǎn)為風(fēng)月，以。的實(shí)軸為直徑的圓記為。，過E作。的切線

與。交于W兩點(diǎn)，且cos/Eg=1■，則。的離心率為（）

5

A中B.C.D.

2222

6.（2024?廣東江蘇?高考真題）設(shè)雙曲線。：冬—與=l（a>0,b>0）的左右焦點(diǎn)分別為E、司，過E作平

ab

行于y軸的直線交。于4口兩點(diǎn)，若㈤川=13,|=10,則。的離心率為

即時(shí)檢測(cè)

I______________________

1.（2024?河南周口?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線。:與—《=l（a>0,b>0）的焦距與其虛軸長(zhǎng)之比為3：2,則

滔b2

。的離心率為（）

A.V5B.C.D.乎

552

2.（2024.四川成都.模擬預(yù)測(cè)）雙曲線。比—峭=i（巾>0）的一條漸近線為四化+0,則其離心率

m

為（）.

3.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線用一/=19>0力>0）的一條漸近線的傾斜角為萼，則此

abo

雙曲線的離心率為（）

A.V2B.V3C.2D.V5

4.（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線E：三一%=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E，月，過月的直

ab

線與E的右支交于兩點(diǎn)，且|班|=2區(qū)網(wǎng)，若病-a§=0,則雙曲線E的離心率為（）

A.V3B.C.D.

5.（2024?福建泉州.一模）0為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線E:%—告=l（a>0,6>0）的左焦點(diǎn)為E，點(diǎn)P在右上，

ab

直線PR與直線bx+ay=O相交于點(diǎn)Af,若\PM\=\MF^=2\MO\，則E的離心率為.

考點(diǎn)五、雙曲線中的最值問題

典例引領(lǐng)

1.（22-23高三上?湖北黃岡?階段練習(xí)）P為雙曲線/—92=1左支上任意一點(diǎn)，即為圓C:（x-2）2+y2

=4的任意一條直徑，則近?屈的最小值為（）

A.3B.4C.5D.9

2.（22-23高三下?江蘇淮安?期中）已知風(fēng)月分別為雙曲線W—4=1的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支

94

T二耳現(xiàn)最小值為（

上任一點(diǎn)，則）

A.19B.23C.25D.85

22

3.（22-23高二上?浙江湖州?期末）雙曲線a-g?/=l（m>O,n>0）的離心率是2,左右焦點(diǎn)分別為后,

&P為雙曲線左支上一點(diǎn)，則半號(hào)的最大值是（）

\PF,\

A.yB.2C.3D.4

即時(shí)檢測(cè)

■一

1.（22—23高三下?福建泉州?階段練習(xí)）雙曲線。：/一靖=1的左、右頂點(diǎn)分別為4bp為。上一點(diǎn)，

直線24,與土=:分別交于河,N兩點(diǎn),KJ\MN\的最小值為.

2社2

2.（2022高三?全國(guó)?專題練習(xí)）長(zhǎng)為11的線段AB的兩端點(diǎn)都在雙曲線%—3=1的右支上，則AB中

916

點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的最小值為（）

A7R510333

A-yB-10C-IonD.萬

3.（23—24高二下?江蘇南京?期中）已知分別是雙曲線C:《一號(hào)=1的左、右頂點(diǎn)，P是雙曲線。

95

上的一動(dòng)點(diǎn)，直線24,直線與2=2分別交于跖N兩點(diǎn)，記△PMN,ARAB的外接圓面積分別為

S1,S2,則獸的最小值為（）

考點(diǎn)六、雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三上.江西.期末）阿波羅尼斯（約公元前262年?約公元前190年），古希臘著名數(shù)學(xué)家，主

要著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，代表了希臘幾何的最高水

平，此書集前人之大成，進(jìn)一步提出了許多新的性質(zhì).其中也包括圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，光線從雙曲線

的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過其另一個(gè)焦點(diǎn).已知雙曲線。：可

—*=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E，月，其離心率e=",從月發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線。的

b

右支上一點(diǎn)E的反射，反射光線為EP,若反射光線與入射光線垂直，則sin/^EE=（）

2.（22—23高二上?山東德州?期末）3。打印是快速成型技術(shù)的一種，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體.如

圖所示的筆筒為3。打印的雙曲線型筆筒，該筆筒是由離心率為3的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐

層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該筆筒的上底直徑為6cm，下底直徑為8cm，高為8cm（數(shù)據(jù)均以外壁即筆筒

外側(cè)表面計(jì)算），則筆筒最細(xì)處的直徑為（）

A.守山B.亨皿C.率海D.罕cm

8844

3.（2023?浙江杭州?二模）費(fèi)馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些

光學(xué)性質(zhì).例如，點(diǎn)P為雙曲線（E，月為焦點(diǎn)）上一點(diǎn)，點(diǎn)P處的切線平分NEFE.已知雙曲線C：

亨—=1,O為坐標(biāo)原點(diǎn),1是點(diǎn)尸（3,平）處的切線,過左焦點(diǎn)E作，的垂線,垂足為河，則|。河|

即時(shí)檢測(cè)

I__________________

4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)中，人們利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)

射出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上.如圖，已

知雙曲線的離心率為2,則當(dāng)入射光線F2P和反射光線PE互相垂直時(shí)（其中P為入射點(diǎn)）,cos/EE尸

的值為（）

CV7+1

D.嚀1

5.（2024?吉林延邊?一模）祖眶是我國(guó)南北朝時(shí)期偉大的科學(xué)家，他于5世紀(jì)末提出了“幕勢(shì)既同，則積不

容異”的體積計(jì)算原理，即“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所

截,如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”.某同學(xué)在暑期社會(huì)實(shí)踐中，

了解到火電廠的冷卻塔常用的外形可以看作是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面（如圖）.

現(xiàn)有某火電廠的冷卻塔設(shè)計(jì)圖紙，其外形的雙曲線方程為獷一,=1（-2W夕W1）,內(nèi)部虛線為該雙

曲線的漸近線，則該同學(xué)利用“祖晅原理”算得此冷卻塔的體積為.

6.（2023?廣東茂名?三模）我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：片，用

是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從后發(fā)出的光線山射在雙曲線右支上一點(diǎn)P,經(jīng)點(diǎn)P反射后，反射光線的反

向延長(zhǎng)線過E；當(dāng)P異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)尸處的切線平分乙KPE.若雙曲線。的方程為

卷一七=1，則下列結(jié)論正確的是（）

ylb

B.當(dāng)時(shí)，IPEITP匆=32

C.當(dāng)"過點(diǎn)Q（7,5）時(shí)，光線由月到尸再到Q所經(jīng)過的路程為13

D.若點(diǎn)T坐標(biāo)為（1,0）,直線PT與C相切，則爐匐=12

12.好題沖關(guān)?

.基礎(chǔ)過關(guān)

1________

一、單選題

1.（23—24高三下?重慶?期中）已知雙曲線4-4=l（b>0）的焦距為8,則該雙曲線的漸近線方程為

12b

（）

A.y=±^-xB.y=±3xC.y=±V^xD.y=±—^-x

oo

2.（2024.湖南邵陽(yáng).模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)（-3,4）在雙曲線—4=l（a>0,fe>0）的一條漸近線上，則C

ao

的離心率為（）

A25口25「55

A-VB-16c-ynD-J

3.（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線4一七=l（a>0/>0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（一方,0）,焦距為2底,

ab"

則雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=+V2xB.y=+2xC.y=+-^~xD.y=+^-x

4.（2024高三上.全國(guó).專題練習(xí)）已知雙曲線。的左、右焦點(diǎn)分別是E,E,P是雙曲線。上的一點(diǎn)，且

|。后|=5,上8|=3,/號(hào)至=120°,則雙曲線。的離心率是（）

A.77C.7|7

5.（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）若雙曲線《一%=l（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)F（c,0）到其漸近線的距離為

ab

則該雙曲線的離心率為（）

A.yB.乎C.V2D.2

6.（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）已知回，月分別為雙曲線。的左、右焦點(diǎn)，過E的直線與雙曲線。的左支交于

兩點(diǎn),若以囿=2|及B|,|48|=|班|,則cos/EBE=（）

A-i11B-l2c-fD-f2

7.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓三+耳=l（a>b>0）和雙曲線《一￡=1的離心率分別為生?,若

abab

5?（3,1）,則62的取值范圍是（）

A.（1,個(gè)）B.（1,甲）C（學(xué)，+8）D.（甲,+8）

二、填空題

8.（2024.湖南岳陽(yáng).三模）已知雙曲線。過點(diǎn)（1.V6）,且漸近線方程為u=±2t,則。的離心率為.

9.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)E（—67,0）、￡（”17,0）,|A1園一|A花|

=2,點(diǎn)河的軌跡為。，則C的方程為.

10.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）過點(diǎn)43⑵和點(diǎn)B（2V3,1）的橢圓；

（2）焦點(diǎn)在t軸上，離心率為V2,且過點(diǎn)（-2,72）的雙曲線.

能力提升

一、單選題

22

1.（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）已知E，鳥分別是雙曲線。：今—%=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)，過E的直

一a2b2

線交雙曲線左支于兩點(diǎn)，人口，人月，1211乙4E呂=弓,則雙曲線。的漸近線方程為（）

O

A.y=+^-xB.y^±V3xC.y=+^-xD.y=+^-x

2.（2024?山西太原?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為（0,-6），若動(dòng)點(diǎn)P位于y軸右側(cè),

且到兩定點(diǎn)E（—3,0）,用（3,0）的距離之差為定值4,則△APE周長(zhǎng)的最小值為（）

A.3+4V5B.3+6V5C.4+475D.4+6V5

3.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：4g=l（a>0,6>0）的右焦點(diǎn)為一條漸近線的方

ab

程為g=2以直線g=岫與。在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P.若\PF\=\PO\,則k的值為（）

13

4.（2024.湖南長(zhǎng)沙.二模）已知4、B分別為雙曲線C-.x2-^~=l的左、右頂點(diǎn)，過雙曲線。的左焦點(diǎn)F

作直線PQ交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P、Q異于4B）,則直線的斜率之比七P：RBQ=

（）

A.—\B.—C.-3D.—

OO/

5.（2024.河北.三模）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，M■是雙曲線!%=l（a>0,6>0）右支上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M

ab

作雙曲線的切線，與其漸近線交于A,B兩點(diǎn)，若△AOB的面積為十代則雙曲線的離心率為（）

A.V2B.V3C.V5D.2

6.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線。:4一斗=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E,吊，過百

ab

作直線與雙曲線。的左、右兩支分別交于4口兩點(diǎn).若的劇=日|力用，且cos/E3^=；，則雙曲線

O4

。的離心率為（）

44

A.2B.為C.看D.3

OO

7.（2024?寧夏銀川.二模）已知雙曲線C:寫一斗=13>0,6>0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,b）,若。上存在點(diǎn)P

a2b2

使得|P8|<b成立，則。的離心率取值范圍是（）

A?[髻1，+8）B.[91,+8）C.（V2,+oo）D.（髻1,+句

二、填空題

8.（2024.浙江.模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：4―當(dāng)=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E，&河為雙曲

ab

線漸近線上的點(diǎn)，且加?圓狂=0,若園=211因I,則該雙曲線的離心率e=.

22

9.（2024.遼寧?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，片，鳥為雙曲線C條—察=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在。上，

96

cos/RP?=當(dāng)則\OP\=

5---------

10.（2024.廣西來賓.模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線。:毛—%=l（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為月、月,若雙曲

ab

線的左支上一點(diǎn)P滿足叱器g=3,以用為圓心的圓與FiP的延長(zhǎng)線相切于點(diǎn)雙，且加=

S1Y1/P耳R-

3演,則雙曲線的離心率為.

真題感赳—

1.（2024?天津?高考真題）雙曲線考■—"=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E、￡.P是雙曲線右支上

ab

一點(diǎn),且直線PE的斜率為2.APE月是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（）

A，—8——2=T1及B_8—y4―T=1C0，28—T1D，48T―1

2社2

2.（2023?全國(guó)?高考真題）已知雙曲線—與=1（。>0,6>0）的離心率為V5,。的一條漸近線與圓

ab

Q—2）2+3—3）2=1交于A,8兩點(diǎn)，則|AB|=（）

3V5D.崢

5

3.（2023?全國(guó)?高考真題）設(shè)A,B為雙曲線/—<=1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段中點(diǎn)的是

（）

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(―1,—4)

4.（2023?天津?高考真題）已知雙曲線三—斗=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片、月.過月向一條

ab

漸近線作垂線，垂足為尸.若上回=2,直線P用的斜率為彳，則雙曲線的方程為（）

5.（2023?北京?高考真題）已知雙曲線。的焦點(diǎn)為（-2,0）和（2,0）,離心率為方,則。的方程為.

6.（2023?全國(guó)?高考真題）已知雙曲線。的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為（—2西,0）,離心率為0.

（1）求。的方程；

（2）記。的左、右頂點(diǎn)分別為4,4,過點(diǎn)（—4,0）的直線與。的左支交于兩點(diǎn)，河在第二象限,

直線M4與NA2交于點(diǎn)P.證明:點(diǎn)P在定直線上.

7.（2022?天津?高考真題）已知雙曲線名—冬=1（。＞0,6＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為用月,拋物線娟=

ab

4V5?的準(zhǔn)線/經(jīng)過同，且Z與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)A,若NFiF2A=j,則雙曲線的方程為

（）

A.4=1B.4-￡=1C.^--y2=lD.d—4=1

8.（2022.北京.高考真題）已知雙曲線才+《=1的漸近線方程為y=士亭妨則m=.

9.（2022.全國(guó).高考真題）若雙曲線”—名=1（?。緊）的漸近線與圓田2+靖—49+3=0相切，則山=

m

2社2

10.（2022.全國(guó).高考真題）記雙曲線。:馬—彳=1（。＞0,匕＞0）的離心率為‘,寫出滿足條件“直線'=

ab

2x與。無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值.

11.（2021?全國(guó)?高考真題）雙曲線與—2=1的右焦點(diǎn)到直線x+2y-8=0的距離為

45----------

12.（2021.全國(guó).高考真題）若雙曲線4g=1的離心率為2,則此雙曲線的漸近線方程

ab

13.（2021?北京?高考真題）若雙曲線—4=1離心率為2,過點(diǎn)（2,g），則該雙曲線的方程為

ab

（）

22°2

A.2x2-y2=lB.a;2-y=1C.5x2-3y2=l—=l

14.（2021?全國(guó)?高考真題）已知雙曲線C:—-y2=l（m＞0）的一條漸近線為&+小沙=0,則C的焦距

m

為.

15.（2021.全國(guó).高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)^（-717,0）＞^（717,0）,\MF^-\MF^=2,

點(diǎn)M的軌跡為C.

（1）求。的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)T在直線2=］上，過T的兩條直線分別交。于4B兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn)，且|Z4|?\TB\=

llPHTQl，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

?M

雙曲線方程陵其性質(zhì)

R.考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2024年新，卷，第12題,5分求雙曲線的離心率無

由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列

2024年新H卷，第19題,17分求直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)

向量夾角的坐標(biāo)表示

利用定義解決雙曲線中集點(diǎn)三角形問題

2023年新I卷，第16題,5分無

求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍

直線的點(diǎn)斜式方程及辨析

2023年新II卷，第21題,12分根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

雙曲線中的定直線問題

求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題

2022年新I卷，第21題,12分求雙