河南省新鄉(xiāng)市重點中學2024年第二學期高三開學考數學試題

河南省新鄉(xiāng)市重點中學2024年第二學期高三開學考數學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在各項均為正數的等比數列中，若，則（）A． B．6 C．4 D．52．若函數滿足，且，則的最小值是（）A． B． C． D．3．為虛數單位,則的虛部為（）A． B． C． D．4．設i為虛數單位，若復數，則復數z等于()A． B． C． D．05．當時，函數的圖象大致是（）A． B．C． D．6．“是函數在區(qū)間內單調遞增”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知集合，，則集合子集的個數為（）A． B． C． D．8．若復數（為虛數單位），則的共軛復數的模為（）A． B．4 C．2 D．9．對于定義在上的函數，若下列說法中有且僅有一個是錯誤的，則錯誤的一個是（）A．在上是減函數 B．在上是增函數C．不是函數的最小值 D．對于，都有10．正三棱錐底面邊長為3，側棱與底面成角，則正三棱錐的外接球的體積為（）A． B． C． D．11．已知雙曲線的一條漸近線經過圓的圓心，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．212．將函數的圖象向右平移個周期后，所得圖象關于軸對稱，則的最小正值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，，則__________.14．已知函數（）在區(qū)間上的值小于0恒成立，則的取值范圍是________.15．假如某人有壹元、貳元、伍元、拾元、貳拾元、伍拾元、壹佰元的紙幣各兩張，要支付貳佰壹拾玖（219）元的貨款，則有________種不同的支付方式.16．設,滿足約束條件,若目標函數的最大值為,則的最小值為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數是減函數.（1）試確定a的值；（2）已知數列，求證：.18．（12分）已知函數，，若存在實數使成立，求實數的取值范圍.19．（12分）設函數.（Ⅰ）討論函數的單調性；（Ⅱ）若函數有兩個極值點，求證：.20．（12分）已知矩陣的一個特征值為4，求矩陣A的逆矩陣.21．（12分）已知函數．（1）若函數在上單調遞增，求實數的值；（2）定義：若直線與曲線都相切，我們稱直線為曲線、的公切線，證明：曲線與總存在公切線．22．（10分）在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數方程為（為參數）．以平面直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的極坐標方程；（2）設和交點的交點為，求的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由對數運算法則和等比數列的性質計算．【詳解】由題意．故選：D．【點睛】本題考查等比數列的性質，考查對數的運算法則．掌握等比數列的性質是解題關鍵．2、A【解析】

由推導出，且，將所求代數式變形為，利用基本不等式求得的取值范圍，再利用函數的單調性可得出其最小值.【詳解】函數滿足，，即，，，，即，，則，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立.，由于函數在區(qū)間上為增函數，所以，當時，取得最小值.故選：A.【點睛】本題考查代數式最值的計算，涉及對數運算性質、基本不等式以及函數單調性的應用，考查計算能力，屬于中等題.3、C【解析】

利用復數的運算法則計算即可.【詳解】，故虛部為.故選：C.【點睛】本題考查復數的運算以及復數的概念，注意復數的虛部為，不是，本題為基礎題，也是易錯題.4、B【解析】

根據復數除法的運算法則，即可求解.【詳解】.故選:B.【點睛】本題考查復數的代數運算，屬于基礎題.5、B【解析】由，解得，即或，函數有兩個零點，，不正確，設，則，由，解得或，由，解得：，即是函數的一個極大值點，不成立，排除，故選B.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數的解析式、定義域、值域、單調性，導數的應用以及數學化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及時函數圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.6、C【解析】，令解得當，的圖像如下圖當，的圖像如下圖由上兩圖可知，是充要條件【考點定位】考查充分條件和必要條件的概念，以及函數圖像的畫法.7、B【解析】

首先求出，再根據含有個元素的集合有個子集，計算可得.【詳解】解：，，，子集的個數為.故選：.【點睛】考查列舉法、描述法的定義，以及交集的運算，集合子集個數的計算公式，屬于基礎題．8、D【解析】

由復數的綜合運算求出，再寫出其共軛復數，然后由模的定義計算模．【詳解】，．故選：D．【點睛】本題考查復數的運算，考查共軛復數與模的定義，屬于基礎題．9、B【解析】

根據函數對稱性和單調性的關系，進行判斷即可．【詳解】由得關于對稱，若關于對稱，則函數在上不可能是單調的，故錯誤的可能是或者是，若錯誤，則在，上是減函數，在在上是增函數，則為函數的最小值，與矛盾，此時也錯誤，不滿足條件．故錯誤的是，故選：．【點睛】本題主要考查函數性質的綜合應用，結合對稱性和單調性的關系是解決本題的關鍵．10、D【解析】

由側棱與底面所成角及底面邊長求得正棱錐的高，再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積．【詳解】如圖，正三棱錐中，是底面的中心，則是正棱錐的高，是側棱與底面所成的角，即＝60°，由底面邊長為3得，∴．正三棱錐外接球球心必在上，設球半徑為，則由得，解得，∴．故選：D．【點睛】本題考查球體積，考查正三棱錐與外接球的關系．掌握正棱錐性質是解題關鍵．11、B【解析】

求出圓心，代入漸近線方程，找到的關系，即可求解.【詳解】解：，一條漸近線，故選：B【點睛】利用的關系求雙曲線的離心率，是基礎題.12、D【解析】

由函數的圖象平移變換公式求出變換后的函數解析式，再利用誘導公式得到關于的方程，對賦值即可求解.【詳解】由題意知，函數的最小正周期為,即,由函數的圖象平移變換公式可得，將函數的圖象向右平移個周期后的解析式為，因為函數的圖象關于軸對稱，所以，即，所以當時，有最小正值為.故選：D【點睛】本題考查函數的圖象平移變換公式和三角函數誘導公式及正余弦函數的性質；熟練掌握誘導公式和正余弦函數的性質是求解本題的關鍵；屬于中檔題、常考題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】

由題意得，，再代入中，計算即可得答案.【詳解】由題意可得，，∴，解得，∴.故答案為：.【點睛】本題考查向量模的計算，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查運算求解能力，求解時注意向量數量積公式的運用.14、【解析】

首先根據的取值范圍，求得的取值范圍，由此求得函數的值域，結合區(qū)間上的值小于0恒成立列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】由于，所以，由于區(qū)間上的值小于0恒成立，所以（）.所以，由于，所以，由于，所以令得.所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】本小題主要考查三角函數值域的求法，考查三角函數值恒小于零的問題的求解，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.15、1【解析】

按照個位上的9元的支付情況分類，三個數位上的錢數分步計算，相加即可．【詳解】9元的支付有兩種情況，或者，①當9元采用方式支付時，200元的支付方式為，或者或者共3種方式，10元的支付只能用1張10元，此時共有種支付方式；②當9元采用方式支付時：200元的支付方式為，或者或者共3種方式，10元的支付只能用1張10元，此時共有種支付方式；所以總的支付方式共有種．故答案為：1．【點睛】本題考查了分類加法計數原理和分步乘法計數原理，屬于中檔題．做題時注意分類做到不重不漏，分步做到步驟完整．16、【解析】

先根據條件畫出可行域,設,再利用幾何意義求最值,將最大值轉化為軸上的截距,只需求出直線,過可行域內的點時取得最大值,從而得到一個關于,的等式,最后利用基本不等式求最小值即可．【詳解】解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當直線過直線與直線的交點時,目標函數取得最大,即,即,而．故答案為．【點睛】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用、簡單的線性規(guī)劃,以及利用幾何意義求最值,屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）見證明【解析】

（Ⅰ）求導得，由是減函數得，對任意的，都有恒成立，構造函數，通過求導判斷它的單調性，令其最大值小于等于0，即可求出；（Ⅱ）由是減函數，且可得，當時，，則，即，兩邊同除以得，，即，從而，兩邊取對數，然后再證明恒成立即可，構造函數，，通過求導證明即可．【詳解】解：（Ⅰ）的定義域為，.由是減函數得，對任意的，都有恒成立.設.∵，由知，∴當時，；當時，，∴在上單調遞增，在上單調遞減，∴在時取得最大值.又∵，∴對任意的，恒成立，即的最大值為.∴，解得.（Ⅱ）由是減函數，且可得，當時，，∴，即.兩邊同除以得，，即.從而，所以①.下面證；記，.∴，∵在上單調遞增，∴在上單調遞減，而，∴當時，恒成立，∴在上單調遞減，即時，，∴當時，.∵，∴當時，，即②.綜上①②可得，.【點睛】本題考查了導數與函數的單調性的關系，考查了函數的最值，考查了構造函數的能力，考查了邏輯推理能力與計算求解能力，屬于難題．，18、【解析】試題分析：先將問題“存在實數使成立”轉化為“求函數的最大值”,再借助柯西不等式求出的最大值即可獲解.試題解析：存在實數使成立，等價于的最大值大于，因為，由柯西不等式：，所以，當且僅當時取“”，故常數的取值范圍是．考點：柯西不等式即運用和轉化與化歸的數學思想的運用.19、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）求導得到，討論，，三種情況得到單調區(qū)間.（Ⅱ）設，要證，即證，，設，根據函數單調性得到證明.【詳解】（Ⅰ），令，，（1）當，即時，，，在上單調遞增；（2）當，即時，設的兩根為（），，①若，，時，，所以在和上單調遞增，時，，所以在上單調遞減，②若，，時，，所以在上單調遞減，時，，所以在上單調遞增.綜上，當時，在上單調遞增；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（Ⅱ）不妨設，要證，即證，即證，由（Ⅰ）可知，，，可得，，所以有，令，，所以在單調遞增，所以，因為，所以，所以.【點睛】本題考查了函數單調性，證明不等式，意在考查學生的分類討論能力和計算能力.20、.【解析】

根據特征多項式可得，可得，進而可得矩陣A的逆矩陣.【詳解】因為矩陣的特征多項式，所以，所以.因為，且，所以.【點睛】本題考查矩陣的特征多項式以及逆矩陣的求解，是基礎題.21、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）求出導數，問題轉化為在上恒成立，利用導數求出的最小值即可求解；（2）分別設切點橫坐標為，利用導數的幾何意義寫出切線方程，問題轉化為證明兩直線重合，只需滿足有解即可，利用函數的導數及零點存在性定理即可證明存在.【詳解】（1），函數在上單調遞增等價于在上恒成立．令，得，所以在單調遞減，在單調遞增，則．因為，則在上恒成立等價于在上恒成立；又，所以，即．（2）設的切點橫坐標為，則切線方程為……①設的切點橫坐標為，則，切線方程為……②若存在，使①②成為同一條直線，則曲線與存在公切線，由①②得消去得即令，則所以，函數在區(qū)間上單調遞增，，使得時總有又時，在上總有解綜上，函數與總存在公切線．【點睛】本題主要考查了利用導數研究函數的恒成立問題，導數的幾何意義