學(xué)生學(xué)習(xí)試卷

第頁高二數(shù)學(xué)考試注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)第九、十章，選擇性必修第一冊(cè)第一章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.關(guān)于空間向量，，，下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律可知選項(xiàng)A，B，C正確；根據(jù)與表示的意義可知選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】由數(shù)量積運(yùn)算的交換律可得,選項(xiàng)A正確.由數(shù)量積運(yùn)算的分配率可得，選項(xiàng)B正確.由數(shù)量積運(yùn)算的數(shù)乘結(jié)合律可得，選項(xiàng)C正確.表示與共線的向量，表示與共線的向量，與不一定相等，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：D.2.某生物實(shí)驗(yàn)室有3種月季花種子，其中開紅色花的種子有200顆，開粉色花的種子有150顆，開橙色花的種子有180顆.從這些種子中任意選取1顆，則這顆種子對(duì)應(yīng)開花的顏色為橙色的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求得正確答案.【詳解】這顆種子對(duì)應(yīng)開花的顏色為橙色的概率為.故選：A3.在正方體中，下列向量與平行的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)正方體的性質(zhì)可解.【詳解】如圖，在正方體中，.故選：A.4.若數(shù)據(jù)的方差為0.2，則數(shù)據(jù)的方差為（）A.0.2 B.0.8 C.1.6 D.3.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)各數(shù)據(jù)同時(shí)乘同一數(shù)對(duì)方差的影響求解.【詳解】根據(jù)數(shù)據(jù)的方差為0.2可得數(shù)據(jù)的方差為.故選：D.5.如圖，在直三棱柱中，，分別為棱的中點(diǎn)．設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】，故選：D6.已知點(diǎn)，，，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)線距離的向量法公式即可求解.【詳解】,故點(diǎn)到直線的距離為,故選：B7.在正四面體中，為棱的中點(diǎn)，，則（）A. B.3 C. D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖形，由向量的加法和向量的數(shù)量積計(jì)算即可；【詳解】因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，所以.故選：B.8.金秋十月，某校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，甲、乙兩名同學(xué)均從跳高、跳遠(yuǎn)、100米跑和200米跑這四個(gè)項(xiàng)目中選擇兩個(gè)項(xiàng)目參加.設(shè)事件“甲、乙兩人所選項(xiàng)目恰有一個(gè)相同”，事件“甲、乙兩人所選項(xiàng)目完全不同”，事件“甲、乙兩人所選項(xiàng)目完全相同”，事件“甲、乙兩人均未選擇100米跑項(xiàng)目”，則（）A.A與C是對(duì)立事件 B.C與D相互獨(dú)立C.A與D相互獨(dú)立 D.B與D不互斥【答案】C【解析】【分析】列舉出甲、乙兩名同學(xué)選擇兩個(gè)項(xiàng)目參加的所有情況，計(jì)算每個(gè)事件的概率，可得選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由相互獨(dú)立的定義可知選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；由互斥事件的概念可知選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】設(shè)跳高、跳遠(yuǎn)、100米跑和200米跑分別為1，2，3，4，則甲、乙兩名同學(xué)均從跳高、跳遠(yuǎn)、100米跑和200米跑中選擇兩個(gè)項(xiàng)目參加的情況有：（1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213），（1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314），（2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224），（1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36種，其中A有24種情況，B有6種情況，C有6種情況，D有9種情況，則，，，.由可得A與C不是對(duì)立事件，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.，C與D不相互獨(dú)立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.，A與D相互獨(dú)立，選項(xiàng)C正確.由B與D不可能同時(shí)發(fā)生可知B與D互斥，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.已知空間向量，，，則（）A. B.C. D.在方向上的投影向量為【答案】AC【解析】【分析】由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可知選項(xiàng)A正確；求向量的模長可得選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由可知選項(xiàng)C正確；根據(jù)投影向量的公式可知選項(xiàng)D正確.【詳解】，A正確；，，，B錯(cuò)誤；由得，C正確；在方向上的投影向量為，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.降雨量是指從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲透、流失，而在水平面上積聚的水層深度，一般以毫米為單位．降雨量可以直觀地反映一個(gè)地區(qū)某一時(shí)間段內(nèi)降水的多少，它對(duì)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、水利工程、城市排水等有著重要的影響．如圖，這是兩地某年上半年每月降雨量的折線統(tǒng)計(jì)圖．下列結(jié)論正確的是（）A.這年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大B.這年上半年A地月降雨量的中位數(shù)比B地月降雨量的中位數(shù)大C.這年上半年A地月降雨量的極差比B地月降雨量的極差大D.這年上半年A地月降雨量的分位數(shù)比B地月平均降雨量的分位數(shù)大【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意將A、B地月降雨量按升序排列，結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、極差以及百分位數(shù)的定義逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可知：A地月降雨量按升序排列可得：，B地月降雨量按升序排列可得：，對(duì)于選項(xiàng)A：可知A地月平均降雨量為，B地月平均降雨量為，因?yàn)?，所以這年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：A地月降雨量的中位數(shù)為，B地月降雨量的中位數(shù)為，因?yàn)?，所以A地月降雨量的中位數(shù)比B地月降雨量的中位數(shù)小，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：A地月降雨量的極差為，B地月降雨量的極差為，因?yàn)椋珹地月降雨量的極差比B地月降雨量的極差大，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，可知A地月降雨量的分位數(shù)為42，B地月降雨量的分位數(shù)為40，且，所以A地月降雨量的分位數(shù)比B地月平均降雨量的分位數(shù)大，故D正確；故選：ACD.11.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則（）A.為質(zhì)數(shù)B.為直角三角形C.與所成角的正弦值為D.幾何體的體積為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于ABC：根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算分析求解即可；對(duì)于D：分析可知幾何體為三棱臺(tái)，且與該三棱臺(tái)的底面垂直，結(jié)合臺(tái)體的體積公式運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以不是質(zhì)數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，所以為直角三角形，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以與所成角的正弦值為，C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：根據(jù)已知6個(gè)點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)可得幾何體為三棱臺(tái)，且與該三棱臺(tái)底面垂直，，所以幾何體的體積為，D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若一組數(shù)據(jù)為1，1，2，3，2，3，5，4，3，6，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為_________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】這組數(shù)據(jù)中，3出現(xiàn)的頻數(shù)最大，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3.故答案為：13.若平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，則與的夾角為_________.【答案】##30°【解析】【分析】平面與平面夾角的余弦值即兩個(gè)平面法向量夾角余弦值的絕對(duì)值.【詳解】因?yàn)?，所以與的夾角為.故答案為：或14.在如圖所示的方格表中選個(gè)方格，若要求每行和每列都恰有個(gè)方格被選中，則被選方格的個(gè)數(shù)之和的最大值為_________.10【答案】【解析】【分析】由題意對(duì)每一列分別減去十位，便于比較大小，可得答案.【詳解】將方格表中的第列、第列、第列、第列、第列的各數(shù)分別減去10，，，40，50，得到表格如下：由表格可知第行、第行應(yīng)選的數(shù)字為，則第行應(yīng)選的數(shù)字為第列的，第行應(yīng)選的數(shù)字為，第行應(yīng)選的數(shù)字為，從而可得被選方格的個(gè)數(shù)之和的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，.（1）若，求m的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題目中點(diǎn)的坐標(biāo)可得向量坐標(biāo)，利用向量垂直建立數(shù)量積為零方程，可得答案；（2）由題目中點(diǎn)的坐標(biāo)可得向量坐標(biāo)，利用向量線性運(yùn)算建立方程組，可得答案.【小問1詳解】，，因?yàn)?，所以，即，解?【小問2詳解】，，因?yàn)椋?，解得，則.16.某中學(xué)高二年級(jí)的所有學(xué)生學(xué)習(xí)完人教A版選擇性必修第一冊(cè)的《直線和圓的方程》章節(jié)后，統(tǒng)一進(jìn)行了一次測(cè)試，并將所有的測(cè)試成績（滿分150分）按照，，，，，分成6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）試估計(jì)該中學(xué)高二年級(jí)的所有學(xué)生該次測(cè)試成績的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中間值作代表）；（2）按照人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法，從測(cè)試成績?cè)诤蛢?nèi)的學(xué)生中抽取6人的試卷進(jìn)行試卷分析，再從這6人的試卷中任選2人的試卷進(jìn)行優(yōu)秀答卷展示，求被選中進(jìn)行優(yōu)秀答卷展示的這2人的測(cè)試成績都在內(nèi)的概率.【答案】（1）87分.（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的概念結(jié)合頻率分布直方圖求解即可；（2）由分層抽樣可知，內(nèi)抽取4人，內(nèi)抽取2人，列出所有可能情況，利用古典概型求解即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知該中學(xué)高二年級(jí)的所有學(xué)生該次測(cè)試成績的平均數(shù)約為分.【小問2詳解】因?yàn)闇y(cè)試成績?cè)诤蛢?nèi)的頻率之比為2：1，所以抽取的6人中測(cè)試成績?cè)趦?nèi)的有4人，記為a，b，c，d，測(cè)試成績?cè)趦?nèi)的有2人，記為A，B.從這6人中任選2人的所有可能情況為，，，，，，，，，，，，，，共15種，其中這2人的測(cè)試成績均在內(nèi)的情況有6種，故所求概率為.17.如圖，在四棱錐中，底面，底面是正方形，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，.（1）證明：平面.（2）求點(diǎn)B到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，表示各點(diǎn)坐標(biāo)，求與平面的法向量，利用可得結(jié)論.（2）利用點(diǎn)到平面的距離公式可求結(jié)果.【小問1詳解】證法一:以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0，，，，，，，，.設(shè)是平面的法向量，則令，得.因?yàn)?，所以，所以平?證法二：設(shè)，的中點(diǎn)為，連接，，.在和中，有，.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理可證平面.因?yàn)槠矫?，，所以平?【小問2詳解】由題意得，，點(diǎn)B到平面的距離.18.三人參加知識(shí)闖關(guān)比賽，三人闖關(guān)成功與否相互獨(dú)立.已知闖關(guān)成功的概率是，三人闖關(guān)都成功的概率是，三人闖關(guān)都不成功的概率是.（1）求兩人各自闖關(guān)成功的概率；（2）求三人中恰有兩人闖關(guān)成功的概率.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求解，（2）分三種情況，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求解.【小問1詳解】設(shè)兩人各自闖關(guān)成功的概率分別是.由題意得解得所以兩人各自闖關(guān)成功的概率分別是，.【小問2詳解】三人中只有闖關(guān)成功的概率；三人中只有闖關(guān)成功概率；三人中只有闖關(guān)成功的概率.故三人中恰有兩人闖關(guān)成功的概率為19.如圖，在四棱臺(tái)中，底面ABCD是正方形，，平面（1）證明：平面（2）求直線與平面所成角正弦值.（3）棱BC上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角的余弦值為若存在，求線段BP的長;若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）由線面垂直得到，結(jié)合證明出結(jié)論；（2）證明出AB，AD，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面角的空間向量公式進(jìn)行求解即可.（3）設(shè)點(diǎn)，其中，求出兩平面的法向量，列出方程，求出，得到答案.小問1詳解】因?yàn)榈酌鍭BCD是正