《線性代數(shù)（第六版）》 課件 趙樹嫄 第3、4章 線性方程組、特征值問(wèn)題和矩陣的對(duì)角化

線性方程組第三章1本章討論關(guān)于線性方程組的兩個(gè)問(wèn)題：

一、探討n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的線性方程組的解法（即下面介紹的高斯消元法）。

二、從理論上探討線性方程組解的情況：何時(shí)有解，何時(shí)無(wú)解。若有解，則有多少組解；若有無(wú)窮多解，如何表示。

運(yùn)用n維向量的理論可全面地解決第二個(gè)方面的問(wèn)題。2第一節(jié)線性方程組的消元解法例用高斯消元法解線性方程組解345用“回代”的方法求出解：，其中c

取任意常數(shù)。6小結(jié)：1．上述解方程組的方法稱為高斯消元法；

2．始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)k乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍．（與相互替換）（以替換）（以替換）73．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的，故這三種變換是同解變換。8因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過(guò)程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算。若記稱為方程組(1)的增廣矩陣。對(duì)線性方程組的消元過(guò)程完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)增廣矩陣的初等行變換過(guò)程。9用矩陣的初等行變換解方程組(1)：1011對(duì)應(yīng)的方程組為由下到上逐個(gè)解得，其中c取任意常數(shù)。12例1解線性方程組解解得唯一解13例解線性方程組解最后一個(gè)為矛盾方程組故方程組無(wú)解。14線性方程組系數(shù)矩陣增廣矩陣15方程組有解的充分必要條件是(如果有必要，可重新安排方程中未知量的次序)16線性方程組解的判定定理：在有解的情況下，17解例2解線性方程組181920解例3解線性方程組2122解例4232425例t為何值時(shí)線性方程組

解有解？方程組有無(wú)窮多解。26例下面的線性方程組當(dāng)a、b為何值時(shí)有解？在有解解的情況下，求出全部解。27方程組的通解為28例當(dāng)a、b為何值時(shí)，線性方程組解無(wú)解?有唯一解?有無(wú)窮多解?有無(wú)窮多解時(shí)求出全部解。無(wú)解;29其中

k為任意常數(shù)。

30稱下面形式的線性方程組為齊次線性方程組顯然零向量必為它的解，稱為零解。定理推論31例解線性方程組

解這是一個(gè)齊次線性方程組，且方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)，故必有非零解。只需對(duì)系數(shù)矩陣施以初等行變換。32方程組的通解為33例試確定

t的值，使齊次線性方程組解有非零解，并求出方程組的一般解。

34一般解為35一般解為36第二節(jié)向量與向量組的線性組合(一)向量及其線性運(yùn)算定義行向量列向量或37向量可視為特殊的矩陣,因此,向量的相等的概念與矩陣完全相同：分量全部為零的向量稱為零向量，記為

0或。38向量的加減法、數(shù)乘等概念與矩陣完全相同。則加法數(shù)乘向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算，統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。39向量的線性運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算律：

其中a,b,g

都是n維向量,θ是n維零向量,k,l

為實(shí)數(shù).(加法交換律)；(加法結(jié)合律)；(數(shù)乘分配律)；(數(shù)乘分配律)；(數(shù)乘結(jié)合律)；40除了上述八條運(yùn)算規(guī)則，顯然還有以下性質(zhì)：例解其中移項(xiàng)規(guī)則41(二)向量組的線性組合定義例如,b=(2,-1,1),a1=(1,0,0),a2=(0,1,0),a3=(0,0,1),因?yàn)閎=2a1-a2+a3

,或者說(shuō)b可由a1,a2,a3線性表示。即b是

a1,a2,a3的線性組合,42??稱為n維基本單位向量組。

?43對(duì)線性方程組將系數(shù)矩陣A分塊成列向量則方程組改寫為44例解45例解4647但表示法不唯一。

其中c為任意常數(shù)。48例5解49解例550(三)向量組的等價(jià)定義設(shè)有兩個(gè)向量組如果向量組(Ⅰ)中每個(gè)向量均可由向量組(Ⅱ)線性表出，則稱向量組(Ⅰ)可由向量組(Ⅱ)線性表出

；如果兩個(gè)向量組(Ⅰ)和(Ⅱ)可以互相線性表出，則稱向量組(Ⅰ)和(Ⅱ)等價(jià)，記作

(Ⅰ)(Ⅱ)或51根據(jù)定義，不難證明向量組等價(jià)的下述性質(zhì)：

(1)

反身性

任一向量組和它自身等價(jià)，即

(2)

對(duì)稱性

(3)

傳遞性

52第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性(一)線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)定義53包含零向量的向量組一定線性相關(guān)：?jiǎn)蝹€(gè)向量線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它為零向量：例設(shè)有??54定理(線性無(wú)關(guān))的充分必要條件是齊次線性方程組有(無(wú))非零解,55解例3判斷下列向量組的線性相關(guān)性：線性相關(guān)。56解例判斷下列向量組的線性相關(guān)性：線性相關(guān)。57解線性無(wú)關(guān)。58解線性無(wú)關(guān)。注意(1)向量按列拼成矩陣；(2)只作行變換。59推論線性相關(guān)的充分必要條件：有非零解，線性相關(guān)；只有零解，線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)的充分必要條件：60例

n維基本單位向量組61例5證62例證用矩陣形式，63例證必線性相關(guān)。所以上式有非零解，64線性相關(guān)性的其他性質(zhì)：(1)如果向量組有一個(gè)部分組線性相關(guān)，則該向量組線性相關(guān)。等價(jià)命題：如果一個(gè)向量組線性無(wú)關(guān),則其任一部分組線性無(wú)關(guān).部分相關(guān)整體相關(guān)整體無(wú)關(guān)部分無(wú)關(guān)線性相關(guān)的向量組添加若干向量仍線性相關(guān);線性無(wú)關(guān)的向量組去掉若干向量仍線性無(wú)關(guān).65可以推廣到添多個(gè)分量的情形.等價(jià)命題：線性相關(guān)的向量組各去掉一個(gè)(或幾個(gè))分量所得向量組仍線性相關(guān)。證66(3)向量組的個(gè)數(shù)如果多于維數(shù)，則必線性相關(guān)。齊次線性方程組必有非零解，67例設(shè)解(1)線性無(wú)關(guān)；線性相關(guān)。68解(2)由于有三個(gè)三維向量，直接求行列式

例設(shè)69解(3)因?yàn)橄蛄拷M的個(gè)數(shù)多于維數(shù)，則必線性相關(guān)，例設(shè)70(二)關(guān)于線性組合與線性相關(guān)的定理定理證使則71定理證72再證表法唯一。設(shè)有兩種表示法，即表法唯一。證定理73定理證設(shè)

均為同維列向量，且有寫成矩陣形式上式可寫為考察齊次線性方程組

因?yàn)樗员赜蟹橇憬?5推論1定理由上述推論知，推論2兩個(gè)線性無(wú)關(guān)且彼此等價(jià)的向量組，必含有相同個(gè)數(shù)的向量.證且彼此等價(jià)，76第四節(jié)向量組的秩(一)向量組的極大無(wú)關(guān)組一個(gè)向量組的一個(gè)部分組稱為一個(gè)極大(線性)無(wú)關(guān)組,如果它是線性無(wú)關(guān)的,但再任意添一個(gè)向量(如果還有的話)所得向量組線性相關(guān)。定義一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組,它的極大無(wú)關(guān)組就是它本身。任何一個(gè)向量組,只要它含有非零向量,就一定有極大無(wú)關(guān)組。??77例如，設(shè)有向量組78

一個(gè)向量組的任一極大無(wú)關(guān)組與該向量組本身等價(jià).定理證明首先,(Ⅱ)是(Ⅰ)的部分組,當(dāng)然可以被(Ⅰ)線性表出.其余的向量定理79

一個(gè)向量組的任一極大無(wú)關(guān)組與該向量組本身等價(jià).定理證明首先,(Ⅱ)是(Ⅰ)的部分組,當(dāng)然可以被(Ⅰ)線性表出.其余的向量從而(Ⅰ)可由(Ⅱ)線性表出.因此(Ⅰ)與(Ⅱ)等價(jià).80由等價(jià)的傳遞性可知,一個(gè)向量組的任兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組彼此等價(jià),由前面推論2可知,兩個(gè)線性無(wú)關(guān)且彼此等價(jià)的向量組，必含有相同個(gè)數(shù)的向量.81由等價(jià)的傳遞性可知,一個(gè)向量組的任兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組彼此等價(jià),由前面推論2可知,向量組任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組所包含的向量個(gè)數(shù)相同。82(二)向量組的秩向量組的任一極大無(wú)關(guān)組所包含的向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩，記為

定義規(guī)定：只含零向量的向量組的秩為零.

自身,因此反之,若83定理由于向量組的極大無(wú)關(guān)組與該向量組本身等價(jià),證84定理證由于向量組的極大無(wú)關(guān)組與該向量組本身等價(jià),推論等價(jià)的向量組必有相同的秩。注意：上述推論的逆命題不成立，即秩相等的兩個(gè)向量組未必等價(jià)。85(三)矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系定義矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩;矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩。定理矩陣的行秩矩陣的列秩矩陣的秩。==證略由此，將向量組的秩的計(jì)算，轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的計(jì)算?；締?wèn)題：

給定一個(gè)向量組，求它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用這個(gè)極大無(wú)關(guān)組線性表示。86解例1設(shè)向量組求一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用這個(gè)極大無(wú)關(guān)組線性表示。秩為2。

87例求下面向量組的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用此極大線性無(wú)關(guān)組線性表示。解將向量按列拼成矩陣，只做行變換，化為階梯形88秩為2。

89解例設(shè)向量組求一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用這個(gè)極大無(wú)關(guān)組線性表示。90919293定理設(shè)矩陣A,B可以相乘,則有證即AB的每個(gè)列向量是A的列向量組的線性組合,若向量組(Ⅰ)能被向量組(Ⅱ)線性表出,則秩(Ⅰ)秩(Ⅱ).94另一方面，定理設(shè)矩陣A,B可以相乘,則有證即AB的每個(gè)列向量是A的列向量組的線性組合,95推論若P,Q為可逆矩陣,則有證或用“初等變換不改變矩陣的秩”來(lái)證明。96例證所以A可逆，有相同的秩。

97第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)在有解的情況下，第一節(jié)中給出結(jié)論：其中A為m

n矩陣，為增廣矩陣。

當(dāng)線性方程組有無(wú)窮多解的情況下，希望用有限個(gè)解表示出來(lái)。98(一)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)由解的判別定理知，(*)只有零解當(dāng)且僅當(dāng)(*)有非零解(即無(wú)窮多解)當(dāng)且僅當(dāng)99齊次線性方程組解的性質(zhì)：證明證明100定義如果滿足：若(*)只有零解，則基礎(chǔ)解系不存在。基礎(chǔ)解系即為全體解向量組的極大無(wú)關(guān)組。定理證略下面舉例說(shuō)明基礎(chǔ)解系的求法。101解例1求下面齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系：

102自由未知量取為

基礎(chǔ)解系：103例2求下面齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并用基礎(chǔ)解系表示出全部解。

解104基礎(chǔ)解系：105例求下面齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并用基礎(chǔ)解系表示出全部解。

解106自由未知量取為

107基礎(chǔ)解系:108解例求下面齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系：

109自由未知量取為

110自由未知量取為

基礎(chǔ)解系:111例求下面齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并用基礎(chǔ)解系表示出全部解。

解112自由未知量取為

基礎(chǔ)解系:113例3證將矩陣B按列分塊，設(shè)

則114(二)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)115非齊次線性方程組解的性質(zhì)：證明證明116定理(**)的全部解。

證明由上述性質(zhì)可知，為導(dǎo)出組(*)的解，記為則(**)的全部解。

117設(shè)非齊次線性方程組全部解的求法：滿足則有無(wú)窮多解,導(dǎo)出組(1)求出導(dǎo)出組(*)的基礎(chǔ)解系(2)求出原方程組(**)的一個(gè)特解則(**)的全部解為全部解。

118解例4用基礎(chǔ)解系表示如下線性方程組的全部解：119導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：特解：所以全部解為任意。120解例求方程組的全部解。所以方程組有無(wú)窮多解。121導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：特解：所以全部解為任意。122例方程組的增廣矩陣為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：123特解：所以全部解為任意。124解例方程組(1)

為何值時(shí)，無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮多解？(2)

無(wú)窮多解時(shí)，求出全部解(用向量表示)。無(wú)解;125有無(wú)窮多解,全部解為k為任意常數(shù).126ENDEND127習(xí)題選解12816、設(shè)解(1)線性無(wú)關(guān)；線性相關(guān)。129解(2)由于有三個(gè)三維向量，直接求行列式

16、設(shè)130解(3)因?yàn)橄蛄拷M的個(gè)數(shù)多于維數(shù)，則必線性相關(guān)，16、設(shè)13125、對(duì)下列線性方程組,討論入取何值時(shí),方程組無(wú)解、有唯一解和有無(wú)窮多解；在方程組有無(wú)窮多解時(shí),用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示全部解。

解系數(shù)行列式132無(wú)解;無(wú)窮多解,133無(wú)窮多解,導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為特解全部解為134解法127、設(shè)線性方程組

與方程有公共解，求a的值及所有公共解．將(1)與(2)聯(lián)立得非齊次線性方程組(3)的解即為所求全部公共解.

135136137即為(1)與(2)的唯一公共解.138解法2與方程有公共解，求a的值及所有公共解．方程組(1)的系數(shù)行列式

27、設(shè)線性方程組

139140141矩陣的特征值第四章142本章介紹矩陣的特征值、特征向量以及矩陣對(duì)角化的問(wèn)題。

143第一節(jié)矩陣的特征值與特征向量(一)矩陣的特征值定義說(shuō)明：1、特征值問(wèn)題是針對(duì)方陣而言的；2、特征向量必須是非零向量；3、特征向量既依賴于矩陣A，又依賴于特征值λ。

144特征值與特征向量的計(jì)算方法：即要求齊次線性方程組有非零解，即方程的根就是矩陣A的特征值，相應(yīng)非零解即為特征向量。記稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式，

145稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式，

為矩陣A的特征方程。特征方程的根，即為矩陣A的特征值。記146計(jì)算矩陣特征值和特征向量的一般步驟如下：147例1設(shè)求A的特征值與特征向量。解所以A的特征值為

相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為148相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為149練習(xí)設(shè)求A的特征值與特征向量。解所以A的特征值為

相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為150相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為151例2解152相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為153相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為154例3解155相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為156相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為157練習(xí)設(shè)求A的特征值與特征向量。解所以A的特征值為

158相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為159相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為160相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為161練習(xí)解所以A的特征值為

設(shè)求A的特征值與特征向量。162相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為163相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為164對(duì)角陣、上三角陣、下三角陣，它們的特征值即為主對(duì)角元。

165(二)特征值與特征向量的基本性質(zhì)性質(zhì)1證(2)可推廣到多個(gè)特征向量。166性質(zhì)2證(1)167(2)重復(fù)這個(gè)過(guò)程,可得性質(zhì)2證168(3)設(shè)A可逆,

矛盾；性質(zhì)2證169性質(zhì)3證從而有相同的特征值。注意：170屬于各個(gè)特征值的線性無(wú)關(guān)的向量合在一起仍線性無(wú)關(guān)。

性質(zhì)4屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)。只證兩個(gè)特征向量的情況。證(1)(2)推廣171例4多項(xiàng)式證略例如,矩陣A的有一個(gè)特征值為2,則

有一個(gè)特征值7.例5證冪等矩陣172練習(xí)：例4多項(xiàng)式證略例如,矩陣A的有一個(gè)特征值為2,則

有一個(gè)特征值7.例5冪等矩陣173例6解由性質(zhì)2,

注：因?yàn)榉疥嘇可逆，所以其所有特征值不等于零。174矩陣的特征多項(xiàng)式的性質(zhì)：中出現(xiàn),故有而常數(shù)項(xiàng)等于所以175比較系數(shù)得性質(zhì)5推論方陣A可逆的充分必要條件是A的特征值全不為零。trace176例7解177練習(xí)解178矩陣的跡的性質(zhì)證略。179第二節(jié)相似矩陣與矩陣對(duì)角化(一)相似矩陣及其性質(zhì)定義對(duì)于n階方陣A和B，若存在n階可逆方陣P，使得

則稱A與B相似,記為例如180矩陣的“相似”關(guān)系具有以下特性：(1)反身性：(2)對(duì)稱性：證(3)傳遞性：證181相似矩陣的性質(zhì)：定理相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式,從而特征值相同。證推論1相似矩陣的行列式相等；推論2相似矩陣的跡相等；推論3若矩陣A與一個(gè)對(duì)角陣相似,(對(duì)角陣的特征值即為主對(duì)角元)。182注意：特征值相同的矩陣不一定相似。但它們不相似，因?yàn)榕c

E相似的矩陣只有它自己，因?yàn)閷?duì)任意可逆陣P，183相似矩陣的其他性質(zhì)：

相似矩陣的秩相等；若P,Q為可逆矩陣,則有184A,B同為可逆或不可逆,可逆時(shí)它們的逆矩陣及伴隨矩陣也分別相似。只證(3)，其余證明留作練習(xí)。(1)(2)(3)(4)(5)(6)185例1解186(二)矩陣與對(duì)角矩陣相似的條件

n階矩陣A與一個(gè)對(duì)角陣相似的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。定理如果一個(gè)矩陣能與一個(gè)對(duì)角陣相似,稱該矩陣可以(相似)對(duì)角化。

證必要性：設(shè)A與一個(gè)對(duì)角陣相似,即存在一個(gè)可逆陣P,使187必要性得證。上述步驟倒過(guò)來(lái)寫,即得充分性證明。

188推論1如果矩陣A的特征值互不相同，則A必可對(duì)角化。因?yàn)閷儆诓煌卣髦档奶卣飨蛄渴蔷€性無(wú)關(guān)的。注意：這個(gè)條件是充分的而不是必要的。如果A的特征方程有重根，此時(shí)不一定有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而矩陣A不一定能對(duì)角化；但如果能找到n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，A還是能對(duì)角化。189解例2190特征向量特征向量191特征向量特征向量特征向量192193例3解特征向量可對(duì)角化,194特征向量195例4解只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,所以不能對(duì)角化。196一般來(lái)說(shuō)，求矩陣的高次冪比較困難，但若矩陣A能對(duì)角化，即存在可逆陣P，使得則于是轉(zhuǎn)化為對(duì)角陣求冪，而對(duì)角陣求冪是容易的。197例1解198相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為199相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為200201202練習(xí)解設(shè)

203204第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量(一)向量?jī)?nèi)積定義

給定

Rn

中向量實(shí)數(shù)

205向量的內(nèi)積具有如下基本特性：206向量的長(zhǎng)度：定義例1207向量的長(zhǎng)度具有如下性質(zhì)：

證略208長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量。例2證209(二)正交向量組

定義顯然零向量與任何向量都正交，即

210例3解將其單位化，得

211定義212定理證與上式兩端作內(nèi)積，得

213上述定理說(shuō)明：一個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)是該向量組為正交向量組的必要條件。但定理顯然不是可逆的。214施密特正交化方法215例3將向量組正交化。解216解正交化。例3將向量組217練習(xí)解將向量組標(biāo)準(zhǔn)正交化。218再單位化,219(三)正交矩陣

定義

若

n階實(shí)矩陣

Q

滿足

則稱

Q為正交矩陣。例1

單位矩陣

E是正交矩陣。例2所以Q是一個(gè)正交矩陣。220例3

在平面解析幾何中，兩個(gè)直角坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換公式為

寫成矩陣形式為

221正交矩陣的基本性質(zhì)：

(3)若

P

與

Q

都是

n

階正交矩陣,則

PQ

也是

n

階正交矩陣.逆命題也對(duì)；證所以

P

Q是正交矩陣。222例4

證