數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理（二）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、分步乘法計(jì)數(shù)原理的簡單應(yīng)用【例1】一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9這10個數(shù)字,4個撥號盤各取1個數(shù)字可以組成多少個不同的四位數(shù)字號碼？解析:要組成一個四位數(shù)字號碼可分為4步,每個撥號盤上的數(shù)字都有從0到9十種取法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，4個撥號盤上各取1個數(shù)字組成的四位數(shù)字號碼的個數(shù)是N=10×10×10×10=10000即可以組成10000個四位數(shù)字號碼.溫馨提示應(yīng)用分步原理的要點(diǎn)是，將完成一件事的過程分解為若干個步驟,而每個步驟的方法數(shù)應(yīng)易于計(jì)算。二、根據(jù)問題特點(diǎn)，合理地確定分步的標(biāo)準(zhǔn)是用好分步計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵【例2】(1)5名學(xué)生爭奪3項(xiàng)比賽冠軍，獲得冠軍的可能情況種數(shù)共有多少？(2）數(shù)、理、化三科教師都布置了作業(yè)，求在同一時刻5名學(xué)生都做作業(yè)的所有可能情況的種數(shù)？解析:（1）完成這件事情(決定三個冠軍)，需要分三步,每一項(xiàng)冠軍都可以由5個人中的一人得到，故共有5×5×5=125（種).(2）完成這件事情(5名學(xué)生同時做作業(yè)),需要分步，即每個學(xué)生做作業(yè)均有3種情況,所以5名學(xué)生同時做作業(yè)的情況共有3×3×3×3×3=243(種)。溫馨提示在分步時，必須有明確的標(biāo)準(zhǔn)，這樣才可做到使結(jié)果不重、不漏。如(1)題以三項(xiàng)冠軍為標(biāo)準(zhǔn)從而分3步，如果以人為標(biāo)準(zhǔn)分5步，每步有3種情況（顯然不對)漏掉不得冠軍的情況，并且重復(fù)現(xiàn)象也明顯。（2)題以學(xué)生為標(biāo)準(zhǔn)，分5步，同樣可知得53也不對。三、弄清問題的實(shí)質(zhì)和背景,把問題轉(zhuǎn)化為能運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理解決的問題【例3】2160的所有正因數(shù)的和是多少?解析：首先要搞清正因數(shù)的概念與正因數(shù)的形成過程.因?yàn)?160=24×33×5,所以2160的正因數(shù)為P=2a×3b×5其中a∈｛0，1,2,3,4｝，b∈｛0,1，2,3},c∈｛0，1｝.確定了一組a,b,c的值就確定了惟一的一個正因數(shù)，a,b,c中至少有一個不同則對應(yīng)不同的正因數(shù).如果將它們分別計(jì)算然后相加比較繁瑣,事實(shí)上（20+21+22+23+24）×(30+31+32+33）×(50+51)展開式的項(xiàng)也就是2160的所有正因數(shù)，所以2160的所有正因數(shù)的和為（20+21+22+23+24）×（30+31+32+33）×(50+51）=7440.溫馨提示只要我們把問題的實(shí)質(zhì)、背景、形成條件弄清楚了，就能準(zhǔn)確、恰當(dāng)?shù)恼业浇鉀Q問題的辦法.本題先分解質(zhì)因數(shù),由質(zhì)因數(shù)的種類，可知構(gòu)成一個因數(shù)可分三個步驟，由每種質(zhì)因數(shù)可取的個數(shù)得到每個步驟的辦法數(shù)。各個擊破【類題演練1】某學(xué)生填報(bào)高考志愿，有m個不同的學(xué)?？晒┻x擇，若只能填3個志愿，且按第一、二、三志愿依次填寫，求該生填寫志愿的方式的種數(shù)。解析：可分三步完成填寫志愿的任務(wù):第一步從m個學(xué)校中選1個填寫在第一志愿中；第二步從剩下的m-1個學(xué)校中選1個填在第二志愿中；第三步從剩下的m—2個學(xué)校中選1個填寫在第三志愿中.由分步計(jì)數(shù)原理共有N=m(m-1)(m-2)種填寫志愿的種數(shù)?！咀兪教嵘?】三種作物種植在如圖所示的五塊實(shí)驗(yàn)田里，每塊實(shí)驗(yàn)田種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一種作物，不同的種植方法共有多少種？解析：問題的實(shí)質(zhì)是三種作物不能有剩余且相鄰的實(shí)驗(yàn)田不能種植同一種作物，只考慮“相鄰的實(shí)驗(yàn)田不能種植同一作物”，有3×2×2×2×2=48(種)，再考慮“滿足相鄰的實(shí)驗(yàn)田不能種植同一作物最少要幾種作物”.僅用2種作物種植時有6種方式，所以共有48-6=42（種)種植方式。【類題演練2】從｛-3，—2,—1,0，1,2,3}中任取3個不同的數(shù)作為拋物線方程y=ax2+bx+c（a≠0）的系數(shù)，如果拋物線過原點(diǎn)且頂點(diǎn)在第一象限,則這樣的拋物線共有多少條？解析：拋物線y=ax2+bx+c過原點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第一象限，a、b、c應(yīng)滿足即∴分三步，a=—3，-2，—1;b=1，2,3,c=0，所以拋物線的條數(shù)N=3×3×1=9。【變式提升2】直線l上有7個點(diǎn)，直線m上有8個點(diǎn)，若這些點(diǎn)都不重合，則通過這些點(diǎn)中的兩點(diǎn)最多有______________條直線，若m與l上有兩點(diǎn)重合，最少有______________條直線。解析：如圖(1)，l上的點(diǎn)與m上的點(diǎn)互不重合，經(jīng)過這些點(diǎn)的直線包含：（ⅰ)經(jīng)過l上一點(diǎn)與m上一點(diǎn)的直線,共7×8=56條；（ⅱ)l與m，共2條，因此最多共有58條直線。如圖（2)，不妨設(shè)A1、B1重合(∵l與m不重合，∴l(xiāng)與m上的點(diǎn)至多有一對點(diǎn)重合），這時，經(jīng)過這些點(diǎn)的直線共有6×7+2=44條,這是最少的情形。（1)(2)答案：58，44【類題演練3】已知集合A=｛a，b，c,d｝，B=｛e，f,g}，那么從A到B的映射共有多少個？解析：首先應(yīng)將“映射”的概念弄清，映射是指集合A中的任一個元素在集合B中有惟一的元素與它相對應(yīng).從映射的概念中我們可以看到它的兩個特征:（1)集合A中的元素不能剩余,集合B中的元素可以剩余；（2)從集合A到集合B元素可以多對一，不能一對多。所以要“完成一個映射"可以分步完成：第一步a的象有三種可能，同理b，c,d的象也有三種可能,所以A到B的映射共有3×3×3×3=34(個）.【變式提升3】有n種不同顏色為廣告牌著色（如圖）,要求在①、②、③、④這4個區(qū)域中相鄰(有公共邊界）的區(qū)域不用同一種顏色。（1）當(dāng)n=6時，為圖1著色共有多少種不同的著色方法.（2)若為圖2著色時共有120種不同的著色方法，求n。解析:完成著色這件事，共分四個步驟進(jìn)行，可依次考慮區(qū)域①、②、③、④著色時各自的方法數(shù)，再由乘法原理確定總的著色方法數(shù)。（1)為①著色有6種方法，為②著色有5種方法，為③著色有4種方法，為④著色也有4種方法.所以共有著色方法6×5×4