數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：離散型隨機(jī)變量的均值

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、離散型隨機(jī)變量均值的求法【例1】從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù)。（1）求X的分布列；（2）求X的均值；(3)求“所選3人中女生人數(shù)X≤1”的概率.解析:(1）X可能取的值為0,1，2。P（X=k)=,k=0，1，2。所以,X的分布列為：X012P（2)由(1），X的均值為EX=0×+1×+2×=1。(3)由（1），“所選3人中女生人數(shù)X≤1"的概率為P（X≤1)=P(x=0）+P（X=1)=溫馨提示做這類的題目,首先要確定隨機(jī)變量的分布列,然后再去求它的均值。二、離散型隨機(jī)變量的均值的應(yīng)用【例2】A、B兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官?A隊(duì)隊(duì)員是A1，A2,A3，B隊(duì)隊(duì)員是B1,B2,B3，按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對(duì)陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下:對(duì)陣隊(duì)員A隊(duì)隊(duì)員的勝率B隊(duì)隊(duì)員的勝率A1對(duì)B1A2對(duì)B2A3對(duì)B3現(xiàn)按表中對(duì)陣方式出場(chǎng)，每場(chǎng)勝隊(duì)得1分，負(fù)隊(duì)得0分，設(shè)A,B兩隊(duì)最后所得總分分別為ξ，η.（1）求ξ,η的概率分布；（2）求兩隊(duì)各自獲勝的期望.解析：(1）ξ，η的可能取值分別為3，2，1，0,ξ=3表示三場(chǎng)A隊(duì)全勝,P（ξ=3)=··=,ξ=2表示三場(chǎng)中A隊(duì)勝兩場(chǎng)，有三種可能.∴P（ξ=2)=··（1—)+（1-）·+(1—)··=.ξ=1表示三場(chǎng)中A隊(duì)勝一場(chǎng)，也有三種可能：P(ξ=1）=··+··+··=，ξ=0表示三場(chǎng)A隊(duì)全負(fù).P（ξ=0）=··=.依題意可知：ξ+η=3，∴P（η=0)=P（ξ=3）=，P（η=1）=P（ξ=2）=,P（η=2）=P(ξ=1)=,P（η=3)=P（ξ=0）=；（2)Eξ=3×+2×+1×+0×=.∵ξ+η=3?！郋η=3-Eξ=。故甲隊(duì)獲勝的期望是，乙隊(duì)獲勝的期望是。三、與其他知識(shí)的交匯題【例3】某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4，0.5,0.6，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)ξ表示客人離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值。(Ⅰ）求ξ的分布及數(shù)學(xué)期望；(Ⅱ)記“函數(shù)f（x)=x2—3ξx+1在區(qū)間［2,+∞)上單調(diào)遞增”為事件A,求事件A的概率.解析：（Ⅰ）ξ的分布列為ξ13P0。760.24Eξ=1×0。76+3×0.24=1.48.(Ⅱ）因?yàn)閒（x）=（x-ξ)2+1—ξ2,所以函數(shù)f(x）=x2—3ξx+1在區(qū)間［ξ，+∞）上單調(diào)遞增，要使f（x）在[2,+∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)32ξ≤2，即ξ≤.從而P（A）=P(ξ≤)=P（ξ=1）=0.76.溫馨提示該題考查概率的分布列、期望、隨機(jī)變量ξ在某一范圍內(nèi)的概率，考查函數(shù)的單調(diào)性.但是它并沒有直接給出ξ的范圍，而是通過函數(shù)的單調(diào)性間接地給出ξ的范圍，把函數(shù)的單調(diào)性和概率結(jié)合起來了.各個(gè)擊破【類題演練1】若對(duì)于某個(gè)數(shù)學(xué)問題，甲、乙兩人都在研究,甲解出該題的概率為,乙解出該題的概率為，設(shè)解出該題的人數(shù)為ξ，求Eξ.解析：記“甲解出該題”為事件A,“乙解出該題”為事件B.ξ可能取值為0，1，2，P(ξ=0）=P（）P（）=（1—)（1—)=;P（ξ=1）=P（A）+P（B)=P（A)P（）+P（)P(B）=（1-)×+(1-)=；P（ξ=2）=P（A）P(B）=×=.所以ξ的分布列為：Ξ012P故Eξ=0×+1×+2×≈1。467.【變式提升1】已知隨機(jī)變量X的概率分布列為:P（X=k)=qk—1p（k=1，2,…,0＜p＜1,q=1-p)，求證：EX=。證明：∵P(X=k)=qk—1p，∵EX=1×p+2×qp+3q2p+…+kqk—1p+…=p（1+2q+3q2+…+kqk-1+…)令S=1+2q+3q2+…+kqk—1+（k+1）qk+…①Sq=q+2q2+3q3+…+kqk+（k+1)qk+1+…②①-②得：S-Sq=1+q+q2+…+qk+…即S（1—q)=∵S=∴EX=pS=p×=【類題演練2】某兒童商品專賣商場(chǎng)統(tǒng)計(jì)資料表明，每年六一國(guó)際兒童節(jié)商場(chǎng)內(nèi)促銷活動(dòng)可獲得經(jīng)濟(jì)效益2.5萬(wàn)元，商場(chǎng)外的促銷活動(dòng)如不遇雨天可獲得經(jīng)濟(jì)效益12萬(wàn)元.若促銷活動(dòng)遇到雨天則帶來5萬(wàn)元的經(jīng)濟(jì)損失。5月30日氣象臺(tái)預(yù)報(bào)六一兒童節(jié)當(dāng)天有雨的概率是40％,問商場(chǎng)應(yīng)該采取哪種促銷方式？解析：設(shè)該商場(chǎng)六一兒童節(jié)在商場(chǎng)外的促銷活動(dòng)獲得的經(jīng)濟(jì)效益為ξ萬(wàn)元,則由天氣預(yù)報(bào)知P（ξ=12）=0.6，P（ξ=—5）=0.4,∴Eξ=12×0.6+(-5)×0。4=5.2（萬(wàn)元）.即在六一兒童節(jié)當(dāng)?shù)赜杏甑母怕适?0％的情況下，在商場(chǎng)外的促銷活動(dòng)的經(jīng)濟(jì)效益的期望是5.2萬(wàn)元,超過在商場(chǎng)內(nèi)促銷活動(dòng)可獲得的經(jīng)濟(jì)效益2。5萬(wàn)元.故商場(chǎng)應(yīng)選擇商場(chǎng)外的促銷活動(dòng).【變式提升2】某尋呼臺(tái)共有客戶3000人，若尋呼臺(tái)準(zhǔn)備了100份小禮品，邀請(qǐng)客戶在指定時(shí)間來領(lǐng)取，假設(shè)任一客戶去領(lǐng)獎(jiǎng)的概率為4%，問尋呼臺(tái)能否向每一位顧客都發(fā)出領(lǐng)獎(jiǎng)邀請(qǐng)？若能使每一位領(lǐng)獎(jiǎng)人都能得到禮品,尋呼臺(tái)至少應(yīng)準(zhǔn)備多少禮品？解析:設(shè)來領(lǐng)獎(jiǎng)的人數(shù)ξ=k（k=0，1,2，…，3000)，所以P(ξ=k)=(0。04）k(1-0。04）3000—k,可見ξ-B（3000，0。04）,所以Eξ=3000×0.04=120（人）＞100（人).答：不能都發(fā)出邀請(qǐng)，至少應(yīng)準(zhǔn)備120份禮品?！绢愵}演練3】某地最近出臺(tái)一項(xiàng)機(jī)動(dòng)車駕照考試規(guī)定;每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過，便可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止。如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0。6，0。7,0。8，0。9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率。解析：ξ的取值分別為1，2，3，4.ξ=1，表明李明第一次參加駕照考試就通過了,故P（ξ=1）=0。6.ξ=2,表明李明在第一次考試未通過,第二次通過了，故P(ξ=2）=（1-0。6）×0。7=0。28.ξ=3，表明李明在第一、二次考試未通過，第三次通過了，故P（ξ=3）=（1—0.6）×(1-0.7）×0。8=0.096。ξ=4，表明李明第一、二、三次考試都未通過，故P(ξ=4）=（1-0。6）×（1-0。7)×(1-0。8)=0.024.∴李明實(shí)際參加考試次數(shù)ξ的分布列為ξ1234P0。60.280。0960.024∴ξ的期望Eξ=1×0。6+2×0。28+3×0。096+4×0.024=1。544.李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率為1-（1—0.6)(1—0.7)(1—0.8）（1—0.9）=0。9976?！咀兪教嵘?】某電器商經(jīng)過多年經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)本店每個(gè)月售出的電冰箱的臺(tái)數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，它的分布列如下：ξ1234…P1/121/121/121/12…設(shè)每售出一臺(tái)電冰箱,電器商可以獲利300元,如果售不出而囤積于倉(cāng)庫(kù)，則每臺(tái)每月需花保養(yǎng)費(fèi)100元,問電器商月初購(gòu)進(jìn)多少臺(tái)電冰箱才能使自己月平均收益最大？解析：設(shè)x為月初電器商購(gòu)進(jìn)的電冰箱的臺(tái)數(shù)，只需考慮1≤x≤12的情況，設(shè)電器商每月的收益為η元，則η是隨機(jī)變量ξ的函數(shù)，且η=電器商平均每月獲益的平均數(shù)，即數(shù)學(xué)期望為