數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：向量的概念及表示

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點剖析1.向量、相等向量、共線向量的概念【例1】判斷下列各命題的真假.(1）向量的長度與向量的長度相等;（2）向量a與向量b平行，且a與b方向相同或相反；（3）兩個有共同起點而且相等的向量,終點相同；（4）兩個有共同終點的向量，一定是共線向量；（5）與共線，則點A、B、C、D必在同一條直線上；（6）有向線段就是向量，向量就是有向線段.思路分析：考查向量的基本概念及表示.解：（1）真命題。與互為相反向量。（2）假命題。若a、b中有一個為零向量時，其方向是不確定的.(3）真命題。（4）假命題.終點相同并不能說明這兩個向量的方向相同或相反。（5）假命題。共線向量所在的直線可以重合也可以平行.（6）假命題。向量是用有向線段來表示的，但并不是有向線段.溫馨提示對于零向量它比較特殊,它與任一向量平行。解題時加以注意。2．共線向量（平行向量）的概念理解【例2】如右圖D、E、F分別是等腰Rt△ABC各邊中點,∠BAC=90°.(1)寫出圖中與、長度相等的向量；(2）分別寫出圖中與向量、共線的向量.思路分析：長度相等的向量包括相等向量、相反向量以及模相等的所有向量.共線與否只看方向不看大小。解：（1)與長度相等的向量有、、、、。與長度相等的向量有、。(2）與共線的向量有、、。與共線的向量有，，.溫馨提示共線向量有以下四種情況：方向相同且模相等;方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.這樣，也就找到了共線向量與相等向量的關(guān)系，即共線向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共線向量.3.向量的模與零向量【例3】下列四個命題，其中正確命題的個數(shù)是（)①若|a|=0，則a=0②若｜a|=｜b|，則a=b或a=—b③若a∥b，則|a|=|b｜④若a=0，則—a=0A。1B.2C。3思路分析：考查零向量與向量的模的概念。解：分清0與0的區(qū)別，知①錯誤；兩個向量模相等，它們有無數(shù)種位置關(guān)系,故②不正確；兩向量平行模不一定相等，故③錯誤。④正確。答案：A溫馨提示①容易忽略0與0的區(qū)別；②誤認為模相等時向量相等,把向量的模同實數(shù)的絕對值等同起來?！纠?】給出下列命題,其中正確命題的個數(shù)是（)①零向量是唯一沒有方向的向量②平面內(nèi)的單位向量有且僅有一個③a與b共線,b與c是平行向量，則a與c是方向相同的向量④相等的向量必是共線向量A。1個B.2個C。3個D。4個解析：①零向量方向任意.②平面內(nèi)的單位向量有無數(shù)個.③a與c方向可能相反.答案:A各個擊破類題演練1如圖B、C是線段AD的三等分點，分別以圖中各點為起點和終點最多可以寫出多少個互不相等的非零向量？思路分析：大小相等、方向相同的向量是相等的.只需從大小和方向兩方面思考即可.解:可設(shè)AD的長度為3,那么長度為1的向量有6個，其中==，==；長度為2的向量有4個，其中=，；長度為3的向量有2個，所以最多可以寫出6個互不相等的向量.變式提升1（1）如圖，D、E、F分別是正△ABC的各邊中點，則在以A、B、C、D、E、F六個點中任意兩點為起點與終點的向量中，找出與向量平行的向量。解：與向量平行的向量有7個,分別是、、、、、、。(2）判斷下列命題的真假，并注意體會它們之間的聯(lián)系與不同.①若a∥b，則a=b.()②若|a|=｜b|,則a=b.（）③若｜a|=｜b｜,則a∥b。（)④若a=b，則｜a|=｜b｜。（)答案:（1）假命題;（2）假命題；(3）假命題;（4）真命題.類題演練2不相等的兩個向量a和b，有可能是平行向量嗎?若不可能,請說明理由；若有可能，請把各種可能的情形一一列出.解：不相等的兩個向量有可能平行.有如下三種情況：情況1：兩個向量a和b中有一個是零向量而另一個是非零向量；情況2：兩個向量a和b都為非零向量，且方向相同；情況3：兩個向量a和b都為非零向量，且方向相反。變式提升2判斷下列命題是否正確.（1)若a∥b，則a與b的方向相同或相反；(2）共線的向量。若起點不同,則終點一定不同。解：（1)錯。若a、b中有一零向量，其方向不定。（2）錯。如圖，與共線，雖起點不同，但終點卻相同。類題演練3下列命題中，正確的是（）A.｜a|=｜b｜a=bB.|a|〉|b|a〉bC.a=ba∥bD。|a｜=0a=0解法1:(直接法）∵如果兩個向量相等，則這兩個向量必定平行。∴應(yīng)選C。解法2：（排除法)由向量的定義知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A、B，零向量，數(shù)字0是兩個不同的概念,零向量是不等于數(shù)字0的?！鄳?yīng)排除D，∴應(yīng)選C。答案：C變式提升3根據(jù)圖形回答下列問題。（1）寫出與共線的向量;(2）寫出與的模大小相等的向量；（3）寫出與相等的向量.思路分析：利用三角形中位線定理解決線段的平行和相等問題，再將線段的平行、相等轉(zhuǎn)化為共線的向量、相等的向量.解：(1）∵E、F分別是AC、AB的中點，∴EFBC.又∵D是BC的中點，∴與向量共線的向量有：，，，，，，。(2）與模相等的向量有：,，，，.（3)與相等的向量有:,。溫馨提示零向量在共線