數(shù)學課堂導學案：弧度制

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導學三點剖析1。理解弧度的意義，角度與弧度的換算【例1】設(shè)角α1=-570°，=750°，β1=35π弧度，β2=弧度。(1）將α1，用弧度表示出來，并指出它們各自所在的象限;（2）將β1、β2用角度制表示出來，并在—720°—0°之間找出與它們有相同終邊的所有角.思路分析:涉及到角度與弧度的互化關(guān)系和終邊相同的角的概念,其基本公式360°=2π弧度在解題中起關(guān)鍵作用。解:(1)∵180°=π弧度，∴—570°=-?！唳?=-2×2π+π，同理=2×2π+，∴α1在第二象限，在第一象限.（2）∵×180°=108°，設(shè)θ=k·360°+β1(k∈Z),由—720°≤θ＜0°,∴-720°≤k·360°+108°＜0°，∴k=—2或k=-1，∴在-720°-0°之間與β1有相同終邊的角是-612°和—252°.同理β2=-360°—60°=-420°,且在-720°—0°間與β2有相同的終邊的角是—420°和-60°.溫馨提示迅速進行角度與弧度的互化,準確判明角所在的象限是學習三角函數(shù)知識的必備基本功.若需要在某一指定范圍內(nèi)求具有某種特性的角，通?？上笊侠粯踊癁榻獠坏仁饺デ髮?yīng)的k值.2?；《戎频母拍罴芭c角度的關(guān)系【例2】一條弦的長度等于半徑r,求：（1）這條弦所對的劣弧長；(2)這條弦和劣弧所組成的弓形的面積。思路分析：由已知可知圓心角的大小為,然后用公式求解.解：（1）如下圖所示，半徑為r的⊙O中弦AB=r，則△OAB為等邊三角形，所以∠AOB=,則弦AB所對的劣弧長為r.(2）∵S△AOB=×|AB|×｜OD|=×r×S扇形OAB=lr=××r=∴S弓形=S扇形OAB-S△AOB=r2-=（-)r2.3?；《戎票硎窘羌敖K邊相同的角【例3】集合M={x｜x=+,k∈Z｝，N={x|x=+，k∈Z},則有（）A。M=NB.MNC.MND。M∩N=思路分析：本題是考查用弧度制表示角的集合之間的關(guān)系.可以用取特殊值法分別找到集合M、N所表示的角的終邊的位置.解：對集合M中的整數(shù)k依次取0，1,2，3，得角,,，。于是集合M中的角與上面4個角的終邊相同，如圖（1)所示.同理，集合N中的角與0,,,，π，，,,2π角的終邊相同，如下圖（2）所示.故MN.∴選C.答案：C溫馨提示在今后表示角時,常常使用弧度制.但要注意，弧度制與角度制不能混用，例如α=2kπ+30°（k∈Z）,β=k·360°+（k∈Z）都不正確.各個擊破類題演練1(1）把112°30′化成弧度（精確到0.001）;（2）把112°30′化成弧度(用π表示）;（3）把—化成度。解：(1)①n=112°30′,π=3.1416;②n==112。5③α=≈0。0175④α=na=1.96875α≈1。969rad（2)112°30′=(2252)°=2252×=（3）-=—(×）°=—75°變式提升1判斷下列各角所在的象限：(1)9；(2）-4；(3).解：(1）因為9=2π+（9-2π)，而＜9—2π＜π，所以9為第二象限角。(2）因為—4=—2π+（2π-4）,而＜2π—4＜π，所以-4為第二象限角。（3)=-200×2π+π5,所以為第一象限角.溫馨提示(1)角度數(shù)的單位不能省略、弧度數(shù)的單位可以省略。（2)一般情況下沒有精確度要求，保留π即可,不必將π化成小數(shù)。（3）判斷α所在的象限時，一般是把α表示成α=2kπ+α′，k∈Z，α′∈[0,2π）的形式，根據(jù)α和α′角終邊相同作出判斷.類題演練2一個半徑為r的扇形，若它的周長等于弧所在的半圓的長，那么扇形的圓心角是多少弧度？扇形的面積是多少？解:設(shè)扇形的圓心角是θ弧度,則扇形的弧長是rθ，扇形的周長是2r+rθ。由題意可知2r+rθ=πr?！唳?π-2（弧度）.扇形的面積為S=r2θ=r2(π—2)。變式提升2一扇形周長為20cm，問扇形的半徑和圓心角各取什么值時，才能使扇形面積最大?解：設(shè)扇形中心角為θ，半徑為r，則2r+θr=20,θ=。S扇形=θr2=12··r2=（10-r)r=10r—r2.當r==5時，S扇形最大=25，此時θ=2.答：扇形的半徑為5cm，圓心角為2rad時，扇形面積最大，最大值為25cm2.類題演練3已知α角的終邊與的終邊相同，在[0,2π）內(nèi)哪些角的終邊與角的終邊相同？解：∵α角的終邊與的終邊相同，∴α=2kπ+（k∈Z).∴=2k+π9(k∈Z).又0≤＜2π,∴0≤+＜2π(k∈Z）.當k=0、1、2時，有=、、,它們滿足條件?！?、、為所求。變式提升3若α是第四象限角,則π—α是(）A。第一象限角B。第二象限角C.第三象限角D。第四象限角解法1：∵α為第四象限角.∴2kπ—＜α＜2kπ，k∈Z.∴—2kπ＜-α＜-2kπ+,k∈Z。∴—2