高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類-下冊(cè)第2版）課件：隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

多元函數(shù)微分學(xué)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式一、一個(gè)方程的情形二、方程組時(shí)的情形三、小結(jié)在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們討論了如果一個(gè)二元方程程具備什么條件時(shí)能夠確定一個(gè)隱函數(shù)，并給出可以確定一個(gè)隱函數(shù)，不對(duì)這個(gè)隱函數(shù)顯化而求其導(dǎo)數(shù)的問題。本節(jié)我們將研究二元方程

及三元方一元隱函數(shù)和二元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式.在實(shí)際中，對(duì)于一個(gè)二元方程函數(shù)，未必能唯一確定一個(gè)隱函數(shù).意的x,y都有兩個(gè)值，在點(diǎn)(1,0)附近對(duì)任與之對(duì)應(yīng).因此，在點(diǎn)(1,0)附近該方程不能確定一個(gè)隱函數(shù).比如方程隱函數(shù)存在定理1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，（2）及連續(xù)，且則在的某一鄰域內(nèi)由方程能唯一的確定一個(gè)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，且滿足并有為此有隱函數(shù)存在的條件：（1）并且滿足一、一個(gè)方程的情形關(guān)于隱函數(shù)存在性的證明省略，我們僅對(duì)公式作如下推導(dǎo).

將由方程所確定的隱函數(shù)代入該方程中，得將方程的兩端分別對(duì)x求導(dǎo)，左端利用鏈?zhǔn)椒▌t得由于及連續(xù)，因此存在的一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi)，于是得例1已知方程確定y是關(guān)于x的函數(shù)，求解法2令則應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)公式，有解法1將方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，注意y是x的函數(shù)，得解法1為直接法；解法2為公式法；公式法是由直接法推導(dǎo)出來的！解

令則應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)公式，有再求導(dǎo)，有例2設(shè)方程在(0,1)點(diǎn)附近確定y是關(guān)于x的函數(shù)，求與在點(diǎn)(0,1)的導(dǎo)數(shù).也可以用直接法計(jì)算；公式法只適用于一階導(dǎo)數(shù)！

以上的結(jié)論我們可以推廣到三元方程F(x,y,z)=0的情形，

即三元方程F(x,y,z)=0在一定條件下，可以確定一個(gè)二元函數(shù).隱函數(shù)存在定理2設(shè)函數(shù)F(x,y,z)=0在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)，且滿足（1）（2）及連續(xù)，且則在的某一鄰域內(nèi)由方程能唯一的確定一個(gè)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，且滿足并有與定理1相同，我們僅對(duì)公式作如下推導(dǎo).

將由方程所確定的隱函數(shù)代入該方程中，得將方程的兩端分別對(duì)x和y求導(dǎo)，左端利用鏈?zhǔn)椒▌t，得由于及連續(xù)，因此存在的一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi)，于是得例3設(shè)函數(shù)是由方程確定的二元函數(shù)，求解

令則于是，有應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)公式，有也可以用直接法計(jì)算；公式法只適用于一階導(dǎo)數(shù)！例4設(shè)函數(shù)是由方程確定的二元函數(shù)，求解

令則應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)公式，有也可以用直接法計(jì)算！二、方程組的情形

在一個(gè)方程情形的基礎(chǔ)上，增加方程中的變量和方程的個(gè)數(shù)，研究一個(gè)方程組所確定隱函數(shù)時(shí)的情形。

假設(shè)方程組

如果上述方程組確定了兩個(gè)單值且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二元函數(shù)

一般地，方程組的四個(gè)變量中只能有兩個(gè)變量獨(dú)立變化，因此方程組就有可能確定兩個(gè)二元函數(shù)。

為了求出偏導(dǎo)數(shù)，與一個(gè)方程時(shí)的情形類似，對(duì)方程組中的每個(gè)方程兩邊分別對(duì)自變量x和y求導(dǎo)，即可求出偏導(dǎo)數(shù).

對(duì)于方程組

將方程組確定的隱函數(shù)

代入有各方程的兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，有，利用克萊姆法則，可求解方程組中的.雅可比行列式同理，可求出直接法！例5求由方程組所確定的隱函數(shù)

的偏導(dǎo)數(shù)解將方程組的各方程的兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，注意到這里x