數(shù)字邏輯課件-邏輯代數(shù)

11.3邏輯代數(shù)

1.3.1邏輯變量和基本的邏輯運(yùn)算1.邏輯變量在邏輯代數(shù)中，變量具有二值性。即只有兩種可能的取值：“真”(true)，常把“真”記作1，“假”(false)，常把“假”記作0，這里1和0并不表示數(shù)值的大小，而是表示完全對(duì)立的兩個(gè)方面；

1表示條件具備或事情發(fā)生；0表示條件不具備或事情不發(fā)生。2

例如，對(duì)于“燈亮”這個(gè)命題，如果我們定義邏輯變量A代表“燈是否亮”，則可假設(shè)A=1表示“燈亮”，

A=0表示“燈不亮”。在現(xiàn)實(shí)生活中，事物的某種性質(zhì)表現(xiàn)為兩種互不相容的狀態(tài)，它的發(fā)生與否只有完全對(duì)立的兩種可能性，要么是“真”，要么是“假”，非此即彼。32.基本的邏輯運(yùn)算

邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算只有三種：“與”運(yùn)算、“或”運(yùn)算、“非”運(yùn)算。

(1)“與”運(yùn)算“與”邏輯（邏輯乘）關(guān)系：當(dāng)決定一事件的所有條件都具備之后，這事件才會(huì)而且一定會(huì)發(fā)生。設(shè)A和B兩個(gè)邏輯變量，若對(duì)A，B進(jìn)行邏輯乘，則其邏輯表達(dá)式為Z=A·B或Z=A∧B，一般簡(jiǎn)寫為Z=AB

4假定：燈亮為“1”，不亮為“0”；開關(guān)在合上位置為“1”，在斷開位置為“0”。把燈的狀態(tài)和兩個(gè)開關(guān)所處位置之間的關(guān)系列表。如下表所示，把這種表稱為真值表（或稱為功能表）ABZ000100010111在下圖所示電路中，用兩個(gè)串聯(lián)的開關(guān)A、B控制一盞燈，燈亮的條件是開關(guān)A“與”開關(guān)B“同時(shí)”處在“合上”位置。“與”運(yùn)算真值表ZABV5真值表：把所有的條件（變量）的全部組合以表格形式列出來(lái)，再把在每一種組合下對(duì)應(yīng)的事件（函數(shù)）的值求出來(lái)。若有n個(gè)條件，就有2n個(gè)組合。(2)“或”運(yùn)算“或”邏輯（邏輯加）關(guān)系：當(dāng)決定一個(gè)事件的各條件中，只要具備一個(gè)條件，事件就會(huì)發(fā)生。

用并聯(lián)的兩個(gè)開關(guān)A和B控制一盞燈如右圖所示，只要開關(guān)A或B處于合上位置，燈亮這個(gè)事件就會(huì)發(fā)生，Z與A，B的關(guān)系就是“或”邏輯關(guān)系。ZVAB6按照前面的假定來(lái)賦值“0”，“1”，其邏輯表達(dá)式為Z=A+B或Z=A∨B，列出真值表如下表：ZVAB“或”運(yùn)算真值表ABZ000010111117(3)“非”運(yùn)算非運(yùn)算：就是否定，或者稱為求反。例如，用一個(gè)開關(guān)和燈并聯(lián)，仍采用前面的假定來(lái)賦值“0”，“1”，則可列出真值表，Z是A的否定，其邏輯表達(dá)式為“非”運(yùn)算真值表

AZ0110

ZVAR81.3.2邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算和基本定理

邏輯代數(shù)也稱布爾代數(shù)，其基本思想是英國(guó)數(shù)學(xué)家布爾于1854年提出的。

1938年，香農(nóng)把邏輯代數(shù)用于開關(guān)和繼電器網(wǎng)絡(luò)的分析、化簡(jiǎn)，率先將邏輯代數(shù)用于解決實(shí)際問(wèn)題。經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展，邏輯代數(shù)已成為分析和設(shè)計(jì)邏輯電路不可缺少的數(shù)學(xué)工具。9

邏輯代數(shù)提供了一種方法，即使用二值函數(shù)進(jìn)行邏輯運(yùn)算，這樣，一些用語(yǔ)言描述顯得十分復(fù)雜的邏輯命題，使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言后，就變成了簡(jiǎn)單的代數(shù)式。邏輯電路中的一個(gè)邏輯命題，不僅包含肯定和否定兩重含義，而且包含條件與結(jié)果許多種可能的組合。比如，一個(gè)3輸入端的與非門存在著輸入與輸出狀態(tài)的八種可能的組合。用語(yǔ)言描述既羅嗦又不清晰，用真值表則一目了然，而用代數(shù)式表達(dá)就更為簡(jiǎn)明。10邏輯代數(shù)的一個(gè)重要規(guī)則—對(duì)偶規(guī)則。對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Z，假如把式中所有的邏輯“或”換成邏輯“與”，邏輯“與”換成邏輯“或”，“1”換成“0”，“0”換成“1”，但保持原表達(dá)式的運(yùn)算優(yōu)先順序（即先“與”后“或”，括號(hào)優(yōu)先），那么便可得到一個(gè)新的表達(dá)式，我們稱為Z的對(duì)偶式，記作Z’。

例如：Z1=A·(B+C)Z’1=A+B·C對(duì)偶規(guī)則：如果兩個(gè)邏輯表達(dá)式相等，那么，它們各自的對(duì)偶式也必相等。111.邏輯代數(shù)的基本定律

(1)基本定律①

0-1律0+A=A1·

A=A1+A=10·

A=0②重疊律A+A=AA

·

A=A③互補(bǔ)律

④交換律A+B=B+AA·B=B·A

⑤結(jié)合律

A+(B+C)=(A+B)+C

A·(B·C)=(A·B)·C

⑥分配律

A·(B+C)=A·B+A·C

A+B·C=(A+B)·(A+C)

⑦反演律

⑧否定律

普通代數(shù)不適用!12對(duì)于上述前七個(gè)定律，右邊公式都可以根據(jù)對(duì)偶規(guī)則從左邊公式得到，其中，反演律也稱德·摩根(DeMorgan)定理，十分有用，還可以推廣到兩個(gè)以上變量的情況，即(2)證明方法上述各定律的證明的基本方法是真值表法，即分別列出等式兩邊邏輯表達(dá)式的真值表，若兩個(gè)真值表完全一致，則表明兩個(gè)邏輯表達(dá)式相等，定律便得到證明，對(duì)偶規(guī)則的存在，使得需要證明的公式數(shù)減少了一半。13例如，證明反演律，AB001111100011010011110000第二列和第三列在變量A，B的所有四種取值組合下結(jié)果完全一致，因而得證。類似地，第四列和第五列在變量A，B的所有四種取值組合下結(jié)果完全一致，因而得證。14普通代數(shù)的一些定律和定理不能錯(cuò)誤地“移植”到邏輯代數(shù)中。例如，在普通代數(shù)中，把等式兩邊相同的項(xiàng)消去，等式仍成立，但在邏輯代數(shù)中則不然，請(qǐng)看下例：可以證明但是

也就是說(shuō)，不能從等式兩邊同時(shí)消去AB，以得到一個(gè)新的等式。這是因?yàn)檫壿嫶鷶?shù)中只有與、或、非三種運(yùn)算，而不存在什么“減”運(yùn)算。

152.邏輯代數(shù)的基本定理

(1)基本定理除基本定律外，邏輯代數(shù)中還有一些定理，其中很常用的有以下3對(duì)（6條）：定理1A+AB=A

A(A+B)=A定理2定理316(2)證明方法定理的證明除可用真值表法外，還可根據(jù)基本定律和已證明的定理進(jìn)行推演。定理1（左）的證明：A+AB=A（1+B）(由分配律)=A·1(由0－1律)=A(由0－1律)定理1（右）的證明：A(A+B)=AA+AB(由分配律)=A+AB(由重疊律)=A

（由定理1（左））

17定理2（左）的證明：

（由定理1）

(由分配律)

=A+1·B(由互補(bǔ)律)=A+B(由0－1律)定理2（右）的證明：(由分配律)

=0+AB(由互補(bǔ)律)=AB(由0－1律)18定理3（左）的證明：

(由互補(bǔ)律)

(由分配律)

（由交換律）

(由分配律)(由0－1律)

19定理3（右）的證明：左邊：(由分配律)

(由互補(bǔ)律)

（由定理3（左）)

(由分配律)

（由定理1）

右邊：

(由分配律)

（由互補(bǔ)律）

（由定理3（左））

本定理得證。

掌握上述基本定律和基本定理，有益于熟練地進(jìn)行邏輯表達(dá)式的變換和化簡(jiǎn)。

203.異或運(yùn)算及有關(guān)公式

異或運(yùn)算，其符號(hào)為“⊕”，定義如下：

當(dāng)變量A，B取值相異時(shí)其值為1，相同時(shí)其值為0，因而得名，異或運(yùn)算的反稱為同或運(yùn)算（其符號(hào)為⊙）：

A⊙B=

當(dāng)變量A，B取值相同時(shí)其值為1，相異時(shí)其值為0。21異或運(yùn)算和同或運(yùn)算的真值表如下表所示。

ABA⊕BA⊙B0001011010101101異或運(yùn)算的主要公式如下：(1)交換律(2)結(jié)合律

(3)分配律

22(4)常量和變量的異或運(yùn)算(5)奇偶律

23反演定理內(nèi)容：將函數(shù)式F中所有的?++?變量與常數(shù)均取反

（求反運(yùn)算）互補(bǔ)運(yùn)算1.運(yùn)算順序：先括號(hào)再乘法后加法。2.不是一個(gè)變量上的反號(hào)不動(dòng)。注意:用處：實(shí)現(xiàn)互補(bǔ)運(yùn)算（求反運(yùn)算）。得到新表達(dá)式：(變換時(shí)，原函數(shù)運(yùn)算的先后順序不變)24例1：

與或式注意括號(hào)注意括號(hào)

求：25例2：

與或式反號(hào)不動(dòng)

求：261.3.3邏輯函數(shù)的表示方法1.邏輯函數(shù)如果輸入邏輯變量的取值確定以后，輸出邏輯變量的值也必然被唯一地確定了，則輸出是輸入變量的邏輯函數(shù)。邏輯函數(shù)也只能取“0”或“1”兩個(gè)值，它隨輸入變量取值的變化而變化。27一個(gè)樓梯電燈開關(guān)的控制電路作用：它可在樓上和樓下分別打開或關(guān)掉樓梯上的這盞燈。如規(guī)定開關(guān)向上為“1”，向下為“0”；如燈亮用Y=1表示，燈滅用Y=0表示。那么282.邏輯函數(shù)的表示方法4種表示方法：邏輯真值表邏輯函數(shù)式邏輯圖卡諾圖(1)邏輯真值表

把輸入變量所有的取值組合和對(duì)應(yīng)的輸出值列成的表格。如樓梯電燈開關(guān)控制電路的邏輯真值表為ABY00101010011129(2)邏輯函數(shù)式把輸出與輸入之間的邏輯關(guān)系寫成與、或、非等運(yùn)算的組合式，即邏輯代數(shù)式。如樓梯電燈開關(guān)控制電路中，在開關(guān)A和B都向上（可表示為A·B）或者開關(guān)A和B都向下（可表示為）時(shí)，燈Y才亮（Y=1），因此輸出的邏輯函數(shù)式為30(3)邏輯圖把邏輯函數(shù)中各變量之間的與、或、非等邏輯關(guān)系用圖形符號(hào)表示出來(lái)后所得到的圖。為了得到樓梯電燈開關(guān)控制電路的邏輯圖，只要用邏輯運(yùn)算的圖形符號(hào)替換邏輯函數(shù)式中的運(yùn)算符號(hào)，就可得到邏輯圖。31(4)各種表示方法之間的互相轉(zhuǎn)換經(jīng)常用的轉(zhuǎn)換方式有：①?gòu)恼嬷当韺懗鲞壿嫼瘮?shù)式i.找出真值表中使邏輯函數(shù)Y=1的那些輸入變量取值組合；ii.每組輸入變量取值組合對(duì)應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，其中取值為1的寫入原變量，取值為0的寫入反變量；iii.將這些乘積項(xiàng)相加，即得Y的邏輯函數(shù)式。32

如樓梯電燈開關(guān)控制電路的真值表為ABY0010