2.3二次函數(shù)與一元二次方程不等式-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步課堂幫幫幫（人教A版2019必修第一冊）4a3ee04985e347f099bef0d88d9acceb

第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式2.3二次函數(shù)與一元二次方程不等式一、一元二次不等式1．一元二次不等式的概念只含有未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的不等式，稱為一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．3．一元二次不等式的解與解集使一元二次不等式成立的未知數(shù)的值，叫做這個一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個一元二次不等式的．二、二次函數(shù)圖象、方程及不等式的關(guān)系設(shè)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac判別式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式y(tǒng)＞0或y＜0的步驟求方程y＝0的解有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根畫函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象得等的集不式解y＞0y＜0三、常用數(shù)集及表示符號1.不等式x2－y2>0是一元二次不等式嗎？2.類比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一個元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含義是什么？3.若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集為R，則實數(shù)a應(yīng)滿足什么條件？四、不等式解法1．分式不等式的解法主導(dǎo)思想：化分式不等式為整式不等式類型同解不等式eq\f(ax＋b,cx＋d)＞0(＜0)(其中a，b，c，d為常數(shù))法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b＞0＜0,cx＋d＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b＜0＞0,cx＋d＜0))法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)eq\f(ax＋b,cx＋d)≥0(≤0)法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≥0≤0,ax＋d＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≤0≥0,cx＋d＜0))法二：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋bcx＋d≥0≤0,cx＋d≠0))eq\f(ax＋b,cx＋d)＞keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(<k,≥k,≤k))(其中k為非零實數(shù))先移項通分轉(zhuǎn)化為上述兩種形式2．(1)不等式的解集為R(或恒成立)的條件不等式ax2＋bx＋c>0ax2＋bx＋c<0a＝0b＝0，c>0b＝0，c<0a≠0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))(2)有關(guān)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的方法設(shè)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c若ax2＋bx＋c≤k恒成立?ymax≤k若ax2＋bx＋c≥k恒成立?ymin≥k一、1．一個23.解集二、{x|x＜x1_或x＞x2}eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))R{x|x1＜x＜x2}??三、1.此不等式含有兩個變量，根據(jù)一元二次不等式的定義，可知不是一元二次不等式．2.不等式x2>1的解集為{x|x<－1或x>1}，該集合中每一個元素都是不等式的解，即不等式的每一個解均使不等式成立．3.結(jié)合二次函數(shù)圖象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集為R，則解得，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集為R.幫—重點1．能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集2．借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系幫—難點1．能夠從實際生活和生產(chǎn)中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解決2．分式不等式的解法及不等式的恒成立問題幫—易錯1．忽略分式不等式的解法2.對于不等式恒成立問題忽略討論1．一元二次不等式的解法一元二次不等式的求解可以通過函數(shù)圖象，方程的解等結(jié)合求解.通過開口向上，大于零取兩邊，小于零取中間；開口向下，大于零取中間，小于零取兩邊例1例1(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2－4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.【名師指點】解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟（1）化標(biāo)準(zhǔn).通過對不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項系數(shù)為正.（2）判別式.對不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計算對應(yīng)方程的判別式.（3）求實根.求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根.（4）畫草圖.根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖.（5）寫解集.根據(jù)圖象寫出不等式的解集.【跟蹤訓(xùn)練】解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3>0；(2)－4x2＋18x－≥0；(3)－2x2＋3x－2<0.2．含有參數(shù)的一元二次不等式的解法含有參數(shù)的一元二次不等式解法，關(guān)鍵為題在于討論含有參數(shù)的解得大小問題.例2(1)設(shè)a∈R，解關(guān)于x的不等式2x2＋ax＋2>0；例2（2）設(shè)m∈R，解關(guān)于x的不等式m2x2＋2mx－3<0.【名師指點】解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟特別提醒：對應(yīng)方程的根優(yōu)先考慮用因式分解確定，分解不開時再求判別式Δ，用求根公式計算．【跟蹤訓(xùn)練】解關(guān)于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.3．三個“二次”之間的關(guān)系及應(yīng)用可以通過三個之間的關(guān)系簡化計算.例3若不等式的解集是，求不等式的解集．例3【名師指點】三個“二次”之間的關(guān)系(1)三個“二次”中，二次函數(shù)是主體，討論二次函數(shù)主要是將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來研究．(2)討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來解決問題，關(guān)系如下：特別提醒：由于忽視二次項系數(shù)的符號和不等號的開口易寫錯不等式的解集形式．【跟蹤訓(xùn)練】已知關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集為{x|1<x<2}，求關(guān)于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集.4．分式不等式的解法（1）對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．（2）對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．例4解下列不等式：(1)<0；(2)≤2.例45．一元二次不等式的實際應(yīng)用一元二次不等式通常與利潤收益等最大值最小值問題結(jié)合，需要通過建立模型，進行求解.例5例5(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？(2)為了抓住申奧契機，擴大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定立即對該商品進行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到x元．公司擬投入(x2－600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用．試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少應(yīng)達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？此時該商品每件定價多少元？【名師指點】解不等式應(yīng)用題的步驟【跟蹤訓(xùn)練】某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為12萬元/輛，年銷售量為10000輛.本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1)，則出廠價相應(yīng)地提高比例為0.75x，同時預(yù)計年銷售量增加的比例為0.6x，已知年利潤＝(出廠價－投入成本)×年銷售量.(1)寫出本年度預(yù)計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？6．不等式恒成立問題1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當(dāng)a＝0時，b＝0，c>0；當(dāng)a≠0時，2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當(dāng)a＝0時，b＝0，c<0；當(dāng)a≠0時，3．解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)．一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．例6已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a例6【跟蹤訓(xùn)練】（變條件）將例題中的條件“y＝x2＋ax＋3－a，－2≤x≤2，y≥0恒成立”變?yōu)椤安坏仁絰2＋2x＋a2－3>0的解集為R”，求a的取值范圍。1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．一元二次不等式的解集是，則的值是（）A．10 B．-10 C．14 D．-143．若不等式對于一切實數(shù)x都恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．4．在R上定義運算?：x?y＝x(1﹣y）.若不等式(x﹣a)?(x+1)＜1對任意實數(shù)x成立，則（）A．﹣1＜a＜1 B．﹣2＜a＜0 C．0＜a＜2 D．﹣2＜a＜25．要使關(guān)于的方程的一根比1大且另一根比1小，則的取值范圍是A． B．或 C．或 D．6．關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集為{x|－1<x<2}，則關(guān)于x的不等式bx2－ax－2>0的解集為()A．{x|－2<x<1} B．{x|x>1或x<－2}C．{x|x>2或x<－1} D．{x|x<－1或x>1}7．若函數(shù)y＝的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，] B．（0，） C．[0，] D．[0，）8．不等式的解集為（）A． B．C． D．9．設(shè)全集，集合，，則（）A．或 B．C． D．10．設(shè)一元二次不等式的解集為則的值為（）A．1 B． C．4 D．11．若不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是_____.12．已知命題“，”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是_________.13．已知全集，集合，若，則等于________.14．解關(guān)于x的不等式ax2-（2a+3）x+6＞0（a∈R）.15．已知，，若是的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.16．解下列關(guān)于x的不等式：（1）；（2）.10．集合A中含有三個元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a為()A．2B．2或4C．4D．011．已知x，y為非零實數(shù)，代數(shù)式的值所組成的集合是M，則下列判斷正確的是()A．－1∈MB．1∈MC．2∈MD．3?M12．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，則B＝________.13．若一數(shù)集的任一元素的倒數(shù)仍在該集合中，則稱該數(shù)集為可倒數(shù)集，則集合A＝{－1,1,2}________(填“是”或“不是”)可倒數(shù)集．試寫出一個含三個元素的可倒數(shù)集________．(答案不唯一)14．設(shè)集合B＝.(1)試判斷元素1和2與集合B的關(guān)系；(2)用列舉法表示集合B.15．設(shè)集合A中的元素均為實數(shù)，且滿足條件：若a∈A，則∈A(a≠1)．求證：(1)若2∈A，則A中必還有另外兩個元素；(2)集合A不可能是單元素集．1．【答案】C【解析】,,則,故選：C2．【答案】D【解析】根據(jù)題意，一元二次不等式的解集是，則方程的兩根為和，則有，解可得，，則，故選：．3．【答案】C【解析】當(dāng)時，不等式化為恒成立；當(dāng)時，一元二次不等式對于一切實數(shù)x都恒成立，等價于，解得，綜上可得實數(shù)a的取值范圍是.故選：C.4．【答案】D【解析】不等式(x﹣a)?(x+1)＜1對任意實數(shù)x成立，即對任意實數(shù)恒成立，即可，恒成立，故，解得.故選：.5．【答案】D【解析】方程對應(yīng)的二次函數(shù)為，其圖象是開口向上的拋物線，要使方程的一根比1大且另一根比1小，則拋物線與軸的兩個交點在的兩邊，，即，解得．故選：．6．【答案】B【解析】∵關(guān)于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集為（﹣1，2），∴﹣1，2是ax2+bx+2=0（a＜0）的兩根∴∴a=﹣1，b=1∴不等式bx2﹣ax﹣2＞0為x2+x﹣2＞0，∴x＜﹣2或x＞1故選B．7．【答案】D【解析】要滿足題意，只需在上恒成立即可.當(dāng)時，顯然滿足題意.當(dāng)時，只需，解得.綜上所述，.故選：.8．【答案】C【解析】一元二次方程的根為，據(jù)此可得：不等式的解集為.本題選擇C選項.9．【答案】D【解析】，所以或，因為，所以.故選：D10．【答案】B【解析】由題意可知方程的根為，所以有11．【答案】；【解析】（1）當(dāng)時，得到，顯然不等式的解集為；（2）當(dāng)時，二次函數(shù)開口向上，函數(shù)值不恒小于0，故解集為不可能．（3）當(dāng)時，二次函數(shù)開口向下，由不等式的解集為，得到二次函數(shù)與軸沒有交點，即△，即，解得；綜上，的取值范圍為．故答案為：．12．【答案】【解析】若命題“，”是假命題，則“，”為真命題，則只需滿足，解得.故答案為：.13．【答案】或【解析】由，解得，由，得，，且，所以或，故答案為：或.14．【解析】原不等式可化為：（ax﹣3）（x﹣2）＞0；當(dāng)a＝0時，化為：x＜2；當(dāng)a＞0時，化為：（x）（x﹣2）＞0，①當(dāng)2，即0＜a時，解為：x或x＜2；②當(dāng)2，即a時，解為：x≠2；③當(dāng)2，即a時，解為：x＞2或x，當(dāng)a＜0時，