河北省保定市示范高中2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題

高三年級期中考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容（不含圓錐曲線、統(tǒng)計(jì)、概率）．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．集合，，則（）A． B． C． D．2．設(shè)是無窮數(shù)列，記，則“是等比數(shù)列”是“是等比數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知平面向量，滿足，且在上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°4．在棱長為2的正四面體中，為棱AD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，三棱錐的體積為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A． B． C． D．6．若數(shù)列和滿足，，，則（）A． B． C． D．7．如圖，圓O與x軸的正半軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)C，B在圓O上，且點(diǎn)C位于第一象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，．若，則的值為（）A． B． C． D．8．設(shè)為定義在整數(shù)集上的函數(shù)，，，，對任意的整數(shù)x，y均有，則（）A．0 B．1012 C．2024 D．4048二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知，，關(guān)于的方程有一個(gè)根為，為虛數(shù)單位，另一個(gè)根為，則（）A．該方程存在實(shí)數(shù)根 B．，C．z對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限 D．10．設(shè)函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處的切線方程為B．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)C．若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則D．若，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為11．如圖，在棱長為2的正方體中，是的中點(diǎn)，（與點(diǎn)不重合）是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的是（）A．平面平面B．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分C．當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作該正方體的外接球的截面，其截面面積的最小值為D．線段AD繞旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，AD與所成角的正切值的取值范圍為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，．若的連續(xù)四項(xiàng)是集合，中的元素，則q的值為___________．13．已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸為直線，則函數(shù)的零點(diǎn)的最小正值為___________．14．過曲線C上一點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若，則曲線C的方程為___________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，交AC于點(diǎn)，且．（1）若，求的面積；（2）求的最小值．16．（15分）如圖，四邊形為梯形，，，四邊形為矩形，且平面，，為FB的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）在線段FD（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)M，使得直線BM與平面所成角的正弦值為？若存在，求出BM的長；若不存在，說明理由．17．（15分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若且在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的極大值與極小值之和的取值范圍．18．（17分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對任意恒成立，求的最小值．19．（17分）復(fù)數(shù)是由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在十六世紀(jì)首次引入的，經(jīng)過達(dá)朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸被數(shù)學(xué)家接受．形如的數(shù)稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，而任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式，即其中為復(fù)數(shù)的模，叫做復(fù)數(shù)的輻角，我們規(guī)定范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值，記作argz．復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)的三角形式．由復(fù)數(shù)的三角形式可得出，若，，則．其幾何意義是把向量繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角（如果，就要把繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋叮埜鶕?jù)所學(xué)知識，回答下列問題：（1）試將寫成三角形式（輻角取主值）．（2）類比高中函數(shù)的定義，引人虛數(shù)單位，自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)稱之為復(fù)變函數(shù)．已知復(fù)變函數(shù)，，．①當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的方程；②當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)部不為0，且虛部大于0的復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)，使得成立，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，點(diǎn)，以PA為邊作等邊，且在AP的上方，求線段OQ的最大值．高三年級期中考試數(shù)學(xué)參考答案1．【答案】C【解析】因?yàn)榧希裕蔬xC．2．【答案】D【解析】非充分性：若的項(xiàng)為1，1，1，1，…，則的項(xiàng)為0，0，0，0，…．此時(shí)是等比數(shù)列，但不是等比數(shù)列．非必要性：若的項(xiàng)為1，1，1，1，…，則．此時(shí)是等比數(shù)列，但是公差為1的等差數(shù)列，不是等比數(shù)列．所以“是等比數(shù)列”是“是等比數(shù)列”的既不充分也不必要條件．故選D．3．【答案】B【解析】因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛椋?，所以，又，，所以，且，則．故選B．4．【答案】A【解析】將側(cè)面展開（圖略），由平面幾何性質(zhì)可得，當(dāng)為AD的中點(diǎn)時(shí)，滿足題意，所以．故選A．5．【答案】B【解析】由題意知函數(shù)是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，由，得，則，即，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值是．故選B．6．【答案】A【解析】，，，即，是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，又，，，．故選A．7．【答案】A【解析】，，圓的半徑為1．根據(jù)三角函數(shù)的定義，易得，，又，為等邊三角形，則，且為銳角，．故選A．8．【答案】B【解析】令，則，．令，則，又，．令，則，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．令，則，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱．，是周期的函數(shù)．又，，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，也為偶數(shù)，此時(shí)；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，令，，則．．故選B．9．【答案】BCD【解析】由是方程的根，得，整理得，因此解得，，方程為，可知B正確；對于A，根據(jù)方程，可得，所以方程無實(shí)數(shù)根，A錯(cuò)誤；對于C，D，方程，由韋達(dá)定理可知，得，對應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，且，故C，D正確．故選BCD．10．【答案】ABD【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，，，，，，A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，，令，得，，，B正確；對于C，，，令，設(shè)，是的兩個(gè)極值點(diǎn)，則，，，得，C不正確；對于D，，即，可化為，令，單調(diào)遞增，即，，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，則，即，D正確．故選ABD．11．【答案】ACD【解析】對于A，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面平面，故A正確；對于B，滿足條件的點(diǎn)應(yīng)在以AM為旋轉(zhuǎn)軸，繞其旋轉(zhuǎn)所得的圓錐的側(cè)面上，旋轉(zhuǎn)軸AM與平面平行，又是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支的一部分，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，如圖1，易知正方體的外接球的球心為正方體的中心O，過點(diǎn)O作于點(diǎn)，連接OP，則，若要截面面積最小，需球心到截面的距離最大，最大為OP，此時(shí)，故C正確；對于D，線段AD繞旋轉(zhuǎn)一周后得到一個(gè)母線與旋轉(zhuǎn)軸所成的角為的圓錐，設(shè)，，，在旋轉(zhuǎn)過程中，AD與所成的角在如圖2所示的軸截面內(nèi)分別取得最值，，，所以在旋轉(zhuǎn)過程中，AD與所成角的正切值的取值范圍為，故D正確．故選ACD．12．【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列是公比為的等比數(shù)列，，所以數(shù)列的連續(xù)四項(xiàng)要么同號，要么兩正兩負(fù)．因?yàn)樗捻?xiàng)屬于集合，所以數(shù)列的連續(xù)四項(xiàng)一定兩正兩負(fù)，故，且數(shù)列的連續(xù)四項(xiàng)必包含，．公比，則．故答案為．13．【答案】【解析】，，由條件得，則，得，所以，所以，，得，由可得．故答案為．14．【答案】（且）或（或且）【解析】設(shè)，則過點(diǎn)的切線方程為，即，所以，得，則，是此方程的兩根，，，即，所以，得，又，所以，即曲線的方程為（且）．故答案為（且）或（或且）．15．【解析】（1）由，，可得．在中，由余弦定理得，即，可得．故．（2），，，，．，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立．故的最小值為．16．【解析】（1）方法一：設(shè)FD交AE于點(diǎn)，如圖1，連接GH．四邊形為矩形，為FD的中點(diǎn)，又為FB的中點(diǎn)，為的中位線，，又平面，平面，平面．方法二：由題意可知，以為原點(diǎn)建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，平面，平面．（2）假設(shè)在線段FD上存在一點(diǎn)M，使得直線BM與平面所成角的正弦值為．設(shè)，，則．由（1）可知，．設(shè)平面的法向量為，則令，則．設(shè)直線BM與平面所成的角為，則，整理得，，．故存在滿足題意的點(diǎn)，此時(shí)．17．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，．單調(diào)遞增，恒成立，即恒成立．令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．，．（2），的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱．，令，則，，單調(diào)遞增，又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．．要使有兩個(gè)極值點(diǎn)，必有，即，得．令，，，．令，，，．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，即的極大值與極小值之和的取值范圍為．18．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由題意得，又，．由①，可知②，兩式相減可得，即．又，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故．（2）由（1）知．①，兩邊同乘以，得②，①—②得．從而．于是．當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，為遞減數(shù)列，．當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，，，因此．對任意恒成立，，即的最小值為．19．【解析】（1）由于，因此，所以，所以，，因?yàn)椋?，所以．?/p>