《自動控制原理 》課件第7章

第7章線性離散控制系統(tǒng)7.1離散控制系統(tǒng)概述7.2信號的采樣與保持

7.3z變換7.4離散系統(tǒng)的數(shù)學模型

7.5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析第7章線性離散控制系統(tǒng)7.6離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

7.7離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析

7.8離散系統(tǒng)的校正7.9MATLAB在離散系統(tǒng)中的應用本章小結習題

前幾章討論的連續(xù)控制系統(tǒng)，其系統(tǒng)中各處的信號都是時間的連續(xù)函數(shù)。這種在時間上連續(xù)、在幅值上也連續(xù)的信號，稱為連續(xù)信號，也稱為模擬信號。

若系統(tǒng)的一處或數(shù)處信號不是連續(xù)的模擬信號，而是脈沖序列，則稱這種信號為離散信號。它通常是按照一定的時間間隔對連續(xù)的模擬信號進行采樣而得到的，因此又稱為采樣信號。這樣的系統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)或采樣系統(tǒng)，如計算機控制的各種系統(tǒng)。

隨著數(shù)字計算機技術的迅速發(fā)展，離散控制系統(tǒng)得到了日益廣泛的應用。

離散控制系統(tǒng)是一種斷續(xù)控制方式，最早出現(xiàn)于某些慣性很大或具有較大延遲特性的控制系統(tǒng)中。

圖7-1是工業(yè)用爐溫自動控制系統(tǒng)的原理方框圖。爐子是一個具有延遲特性的慣性環(huán)節(jié)，時間常數(shù)較大。爐溫的誤差信號經(jīng)放大后驅(qū)動電動機去調(diào)整燃料閥門的開度以控制爐溫。7.1離散控制系統(tǒng)概述若系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)很大，系統(tǒng)對誤差信號將非常敏感，當爐溫較低時，電動機將迅速旋轉(zhuǎn)，開大閥門，給爐子供應更多的燃料。由于爐子本身的時間常數(shù)較大，爐溫上升很慢，當爐溫升高到給定值時，閥門早已超過規(guī)定的開度，因此爐溫繼續(xù)上升，造成超調(diào)，電動機將反方向旋轉(zhuǎn)。根據(jù)同樣的道理，又會造成爐溫的反方向超調(diào)，從而引起爐溫大幅度的振蕩，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。若系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)取得很小，系統(tǒng)則很遲鈍，只有當誤差較大時，產(chǎn)生的控制作用才能克服電動機的“死區(qū)”而推動閥門動作。這樣雖不引起振蕩，但控制作用不及時，調(diào)節(jié)時間很長且誤差較大。

圖7-1爐溫自動控制系統(tǒng)原理方框圖若采用離散控制系統(tǒng)，系統(tǒng)的原理方框圖如圖7-2所示，在誤差信號和電動機之間加一個采樣開關，它周期性地閉合和斷開。當爐溫出現(xiàn)誤差時，該信號只有在開關閉合時才能使電動機旋轉(zhuǎn)，進行爐溫調(diào)節(jié)。當開關斷開時，電動機立刻停下來，閥門位置固定，讓爐溫自動變化，直到下一次采樣開關閉合，再根據(jù)爐溫的誤差進行調(diào)節(jié)。由于電動機時轉(zhuǎn)時停，爐溫大幅度超調(diào)現(xiàn)象將受到抑制，即使采用較大的開環(huán)放大倍數(shù)，系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定。

圖7-2爐溫離散控制系統(tǒng)原理方框圖通過上例可以看出，在慣性很大或具有較大延遲特性的控制系統(tǒng)中，采用連續(xù)控制效果并不理想，而采用斷續(xù)的離散控制方式反而可取得較好的控制效果。

圖7-3所示為一個典型的離散控制系統(tǒng)原理方框圖。系統(tǒng)由采樣開關、脈沖控制器、保持器和被控對象等部分組成一個反饋控制系統(tǒng)。

隨著控制系統(tǒng)復雜性的增加，特別是隨著數(shù)字計算機技術的發(fā)展，離散控制系統(tǒng)在控制精度、控制速度以及性價比等方面都比模擬控制系統(tǒng)表現(xiàn)出明顯的優(yōu)越性。圖7-4所示為以數(shù)字計算機為核心組成的一個典型計算機控制系統(tǒng)原理方框圖。

圖7-3離散控制系統(tǒng)原理方框圖

圖7-4計算機控制系統(tǒng)原理方框圖由于計算機內(nèi)部參與運算的信號必須是二進制編碼的數(shù)字信號，因此計算機控制系統(tǒng)也稱做數(shù)字控制系統(tǒng)。通常需先將連續(xù)誤差信號e(t)經(jīng)模數(shù)轉(zhuǎn)換裝置A/D進行采樣編碼，轉(zhuǎn)換成計算機能夠識別的數(shù)字信號e*(t)，該信號經(jīng)數(shù)字控制器處理后形成離散控制信號u*k(t)，再經(jīng)過數(shù)模轉(zhuǎn)換裝置D/A恢復成連續(xù)控制信號uk(t)，作用于被控對象。

由以上分析可知，采樣就是通過采樣開關的作用將連續(xù)信號變成脈沖序列的過程，圖75所示為周期采樣方式。所謂周期采樣，就是采樣開關按一定的時間間隔開閉。該時間間隔稱為采樣周期，通常用T表示。

圖7-5周期采樣除了周期采樣以外，還有其他采樣形式：

(1)等周期同步采樣：多個采樣開關等周期同時開閉。

(2)等周期異步采樣：多個采樣開關等周期但不同時開閉。

(3)多階采樣：各采樣開關以不同的周期開閉。

(4)隨機采樣：開關動作隨機，沒有周期性。

本書只討論采樣開關周期采樣的情況。

將連續(xù)信號轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖信號需要使用采樣器，也稱采樣開關；而為了控制連續(xù)式元部件，又需要使用保持器將脈沖信號轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號。為了定量研究采樣系統(tǒng)，必須對信號的采樣過程和保持(復現(xiàn))過程用數(shù)學方法來加以描述。7.2信號的采樣與保持7.2.1采樣過程的數(shù)學描述

把連續(xù)信號變換成離散信號的過程，叫做采樣過程。

在理想的采樣過程中，連續(xù)信號經(jīng)采樣開關的周期性采樣后，得到的每個采樣脈沖的強度等于連續(xù)信號在采樣時刻的幅值。因此，理想采樣開關可以視作一個脈沖調(diào)制器，采樣過程可以看做一個單位脈沖序列δT(t)被輸入信號e(t)進行幅值調(diào)制的過程，如圖7-6所示。其中，單位脈沖

序列 為載波信號，e(t)為調(diào)制信號。圖7-6幅值調(diào)制過程當t≥0時，輸出信號可表示為

(7-1)

式(7-1)為理想采樣過程的數(shù)學表達式。

對于實際采樣過程，將連續(xù)信號e(t)加到采樣開關的輸入端，采樣開關每隔周期T秒閉合一次，每次閉合持續(xù)時間為τ，于是在采樣開關的輸出端得到寬度為τ的調(diào)幅脈沖序列e*(t)，如圖7-7所示。

圖7-7實際采樣過程由于采樣開關閉合時間τ很小，遠遠小于采樣周期T，故e(t)在τ時間內(nèi)變化甚微，可以近似認為在該時間內(nèi)采樣值不變。所以e*(t)可近似視為一個寬度為τ，高度為e(nT)的矩形脈沖序列，即

(7-2)式中：［1(t－nT)－1(t－nT－τ)］為兩個單位階躍函數(shù)之差，表示在nT時刻，一個高度為1、寬度為τ的矩形脈沖。當τ→0時，該矩形窄脈沖可用nT時刻的一個沖量為τ的δ函數(shù)來近似表示：

(7-3)

將式(7-3)代入式(7-2)可得

(7-4)針對具體的離散控制系統(tǒng)，對上式可作如下說明：

如果采樣信號e*(t)未經(jīng)保持器直接加到后續(xù)系統(tǒng)中，則每個脈沖的強度，正比于閉合時間τ，故后面系統(tǒng)的放大倍數(shù)將擴大τ才符合實際情況。若使原系統(tǒng)的總增益在采樣前后保持不變，則需增加一個增益為(1/τ)的放大器。

如果采樣信號e*(t)經(jīng)保持器直接加到后續(xù)系統(tǒng)中，那就可以不考慮脈寬τ對系統(tǒng)增益的影響，則采樣信號可直接按理想采樣開關輸出的信號來處理。由于大多數(shù)的離散控制系統(tǒng)，特別是數(shù)字控制系統(tǒng)均屬于這種情況，因此，通常將采樣開關視作理想采樣開關，而采樣信號e*(t)用式(7-1)來描述。

考慮到δ函數(shù)的特點，式(7-1)也可寫作

(7-5)

7.2.2采樣定理

連續(xù)信號e(t)經(jīng)采樣后變?yōu)椴蓸有盘杄*(t)，采樣信號的信息不等于連續(xù)信號的全部信息。因此，采樣信號的頻譜與連續(xù)信號的頻譜相比，要發(fā)生變化。研究兩類信號之間的相互聯(lián)系，這需要用頻譜分析的方法。所謂頻譜，實質(zhì)是一個時間函數(shù)所含不同頻率諧波成分的分布情況。

因為單位脈沖序列δT(t)是一個周期函數(shù)，可以展開為傅立葉級數(shù)，并寫成其復數(shù)形式，即

(7-6)式中：ωs為采樣角頻率，ωs＝2π/T；T為采樣周期；Cn為傅立葉系數(shù)，即

(7-7)

由于在 區(qū)間中，只在t＝0時δT(t)才有值，且

則

(7-8)

故有

(7-9)

由式(7-1)可得，采樣信號為

(7-10)上式兩邊各進行拉氏變換，得

(7-11)

又因為E(s)＝L［e(t)］，令s＝jω，則E(jω)為e(t)的頻率特性，|E(jω)|為e(t)的幅頻特性或稱頻譜。一般說來，e(t)的頻譜|E(jω)|是一個單一的連續(xù)頻譜，其諧波分量中的最高頻率ωmax是無限大的，如圖7-8(a)所示。但因為當ω較大時，|E(jω)|將很小，故可認為ωmax是有限值，e(t)的頻譜|E(jω)|可近似如圖7-8(b)所示。

圖7-8連續(xù)信號e(t)的頻譜(a)實際頻譜；(b)近似頻譜

E*(jω)為e*(t)的頻率特性，|E*(jω)|為e*(t)的頻譜。由式(7-11)可得

(7-12)

可見，采樣后的信號頻譜由無數(shù)條頻譜疊加而成，每一條頻譜曲線是采樣前信號e(t)的頻譜|E(jω)|平移nωs，幅值下降為原幅值的的結果。而且

令ω＝ω＋ωs代入式(7-12)，展開得

更為一般地有

(7-13)

故E*(jω)是以ωs為周期的周期函數(shù)，其頻譜|E(jω)|也是以ωs為周期的周期函數(shù)，如圖7-9所示。

特別地，當n＝0時，|E*(jω)|的頻譜分量|E(jω)|/T稱為主頻譜，它就是連續(xù)信號e(t)頻譜|E(jω)|的1/T。

從圖7-9可以看出，當 時，各個頻譜分量不重疊，通過濾波可以濾除E*(jω)中高于ωmax的頻譜，剩下的頻譜與E(jω)形狀相同，即可從采樣信號e*(t)中復現(xiàn)出原來的連續(xù)信號e(t)；否則，E*(jω)中各個頻譜波形互相搭接，E*(jω)就無法通過濾波得到E(jω)，也就無法從e*(t)中復現(xiàn)出e(t)。

圖7-9采樣信號e*(t)的頻譜由以上分析可以得到如下結論：可以從采樣信號e*(t)中完全復現(xiàn)連續(xù)信號e(t)的條件是采樣頻率ωs必須大于或等于輸入采樣開關的連續(xù)信號e(t)頻譜中的最高頻率ωmax的2倍，即

(7-14)

這就是著名的香農(nóng)(Shannon)采樣定理。7.2.3零階保持器

由圖7-9可知，當采樣信號的頻譜中各波形互不重疊時，可以用一個具有圖7-10所示的幅頻特性的理想低通濾波器無畸變地復現(xiàn)連續(xù)信號的頻譜，只是各頻譜分量都是原來的1/T。然而，這樣的理想低通濾波器在實際中是無法實現(xiàn)的。工程中最常用、最簡單的低通濾波器是零階保持器。

零階保持器將采樣信號在每個采樣時刻的采樣值e(nT)一直保持到下一個采樣時刻，從而使采樣信號e*(t)變成階梯信號eh(t)，如圖7-11所示。因為這種保持器的輸出信號eh(t)在每一個采樣周期內(nèi)的值為常數(shù)，其導數(shù)為零，所以稱之為零階保持器。

圖7-10理想低通濾波器的幅頻特性

圖7-11零階保持器的輸入輸出信號當零階保持器輸入信號為單位脈沖δ(t)時，其輸出是幅值為1、持續(xù)時間為T的一個矩形脈沖δh(t)，即

(7-15)

對零階保持器的單位脈沖響應gh(t)進行拉氏變換，可得零階保持器的傳遞函數(shù)為

(7-16)令s＝jω，得到零階保持器的頻率特性為

(7-17)

式中：T為采樣周期；ωs為采樣角頻率，

零階保持器的幅頻特性為

(7-18)零階保持器的相頻特性為

(7-19)

可見，當ω＝0時，

當ω＝ωs時， 而jh(ωs)＝－π。

零階保持器的幅頻特性和相頻特性如圖7-12所示。

圖7-12零階保持器的幅頻特性和相頻特性從幅頻特性上看，零階保持器具有低通濾波特性，但不是理想的低通濾波器。零階保持器除了允許采樣信號的主頻分量通過外，還允許部分高頻分量通過。因此，零階保持器復現(xiàn)出的連續(xù)信號eh(t)與原信號e(t)是有差別的。同時，由于離散控制系統(tǒng)的連續(xù)部分也具有低通濾波特性，可將通過零階保持器的絕大部分高頻頻譜濾掉，而且零階保持器結構簡單，在實際中得到了廣泛的應用。但應注意到，從相頻特性上看，零階保持器產(chǎn)生正比于頻率的相位滯后。因此零階保持器的引入，將造成系統(tǒng)穩(wěn)定性下降。

若將零階保持器傳遞函數(shù)按冪級數(shù)展開，則有

若取級數(shù)的前兩項，得

實現(xiàn)它的方法很多，可采用放大器和RC網(wǎng)絡或有源網(wǎng)絡來實現(xiàn)，如圖7-13所示。

圖7-13零階保持器的實現(xiàn)(a)RC網(wǎng)絡方式；(b)運算放大器方式

線性連續(xù)控制系統(tǒng)可采用線性微分方程來描述，用拉普拉斯變換分析它的暫態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。而對于線性離散系統(tǒng)，則可以采用線性差分方程來描述，用z變換來分析它的暫態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。z變換是研究離散系統(tǒng)的主要數(shù)學工具，它是由拉普拉斯變換引導出來的，

實際上就是離散信號的拉普拉斯變換。

7.3z

變換7.3.1z變換的定義

連續(xù)信號f(t)的拉普拉斯變換為

連續(xù)信號f(t)經(jīng)過采樣后的離散信號f*(t)為

(7-20)

它的拉普拉斯變換為

(7-21)可見上式含有s的超越函數(shù)e－nTs，不便于計算，故引入一個新的復變量z。令

(7-22)

或

(7-23)

則有

(7-24)如果式(7-24)所示的級數(shù)收斂，則定義F(z)為f*(t)的z變換，記作Z［f*(t)］＝F(z)。T

需要指出的是，F(xiàn)(z)是f*(t)的z變換，它只考慮了采樣時刻的信號值f(nT)。同時，對一個連續(xù)信號f(t)而言，由于在采樣時刻f(t)的值就是f(nT)，所以也稱F(z)是f(t)的z變換，即

(7-25)

ZZ7.3.2z變換的求法

1.級數(shù)求和法

對于式(7-20)形式的離散信號f*(t)，將其展開得

對其進行拉氏變換得

令 可得f*(t)的z變換為

(7-26)

上式是離散信號f*(t)的z變換展開形式，只要知道f(t)在各個采樣時刻的數(shù)值，即可求得其z變換。這種級數(shù)展開式是開放形式，有無窮多項，應用少，通常寫成閉合形式。

【例7-1】

求單位階躍函數(shù)1(t)的z變換。

解由于1(t)在任何采樣點的值均為1，則1(nT)＝1。

上式可看做一個等比數(shù)列，公比為z－1。若滿足|z－1|＜1，則有

ZZ【例7-2】

求指數(shù)函數(shù)f(t)＝e－at(a＞0)的z變換。

解在各采樣時刻f(nT)＝e－anT，則由式(7-26)得

上式可看做一個等比數(shù)列，公比為(eaTz)－1；若滿足|eaTz|＞1，則有

2.部分分式法

一般地，連續(xù)函數(shù)的拉氏變化具有如下形式：

將其展開為部分分式和的形式為

(7-27)

對于上式中的每個分量 其拉氏反變換為

而對于 其z變換為 則F(s)的z變換為

(7-28)【例7-3】

已知

試求其z變換F(z)。

解對F(s)進行部分分式展開得

則L【例7-4】

求f(t)＝sinωt的z變換F(z)。

解

f(t)的拉氏變換為

則其z變換為

3.留數(shù)計算法

若已知f(t)的F(s)及其全部極點si，則f(t)的z變換

(7-29)

式中： 為 在s＝si時的留數(shù)。

當F(s)具有一階極點s＝si時，其留數(shù)Ri為

(7-30)L當F(s)具有q階重極點s＝si時，則

(7-31)【例7-5】

已知 試求其z變換F(z)。

解

F(s)具有兩個一階極點s1＝－1，s2＝－2，則

【例7-6】

求f(t)＝t的z變換F(z)。已知t＜0時，f(t)＝0。

解

f(t)的拉氏變換為

在s＝0處有兩重極點，所以F(s)在s＝0處的留數(shù)為

由式(7-29)可得

常用函數(shù)的z變換及相應拉普拉斯變換如附錄A和附錄C所示。7.3.3z變換的基本定理

1.線性定理

若Z［f1(t)］＝F1(z)，Z［f2(t)］＝F2(z)，且a1，a2均為常數(shù)，則

F(z)＝Z［a1f1(t)±a2f2(t)］＝a1F1(z)±a2F2(z)

(7-32)

2.延遲定理(負偏移定理)

設Z［f(t)］＝F(z)，且t＜0時，f(t)＝0，f(t)在時間上產(chǎn)生kT時間的延遲后得f(t－kT)，則有

Z［f(t－kT)］＝z－kF(z)

(7-33)

上式說明，原函數(shù)f(t)在時域中延遲k個周期T后，其z變換為原函數(shù)f(t)的z變換F(z)乘以算子z－k。因此，可將z－k算子視作一個延遲環(huán)節(jié)，它把采樣信號f(nT)延遲了k個周期T，如圖7-14所示。

圖7-14延遲定理示意圖

3.超前定理(正偏移定理)

若Z［f(t)］＝F(z)，則有

(7-34)

超前定理示意圖如圖7-15所示。

特別地，若滿足m＝0，1，…，k－1時，f(mT)＝0，則有

Z［f(t＋kT)］＝zkF(z)

(7-35)

L

圖7-15超前定理示意圖4.復位移定理

若Z［f(t)］＝F(z)，則

Z［f(t)eat］＝F(ze±aT) (7-36)

±5.初值定理

若Z［f(t)］＝F(z)，且 存在，則有

(7-37)

6.終值定理

若Z［f(t)］＝F(z)，且F(z)在以原點為圓心的單位圓上和圓外均無極點，則有

(7-38)

7.復微分定理

若Z［f(t)］＝F(z)，則

(7-39)

或

(7-40)

LL8.卷積定理

離散函數(shù)序列的卷積定義為卷積和的形式。設f(kT)和g(kT)為兩個離散函數(shù)序列，則它們的卷積為

(7-41)

其z變換為

(7-42)ZZZZ式中：

(7-43)

(7-44)

卷積定理指出，兩個離散函數(shù)序列卷積的z變換等于它們各自z變換的乘積。7.3.4z反變換

從z變換函數(shù)求出原來的采樣函數(shù)稱為z反變換，記作 Z－1［F(z)］＝f*(t) (7-45)

因為z變換只表征連續(xù)函數(shù)在采樣時刻的特性，并不反映采樣時刻之間的特性，所以z反變換只能求出采樣函數(shù)f*(t)或f(nT)，而不能求出連續(xù)函數(shù)f(t)。

例如，兩個不同的連續(xù)函數(shù)f1(t)，f2(t)，但每次采樣，兩個函數(shù)卻具有相同的數(shù)值，即f*1(t)＝f*2(t)，如圖7-16所示。因此，它們的z變換F1(z)＝F2(z)。這說明，F(xiàn)(z)對應的f*(t)是惟一的，而與F(z)對應的f(t)不是惟一的，可以有無窮多個。

圖7-16不同的連續(xù)信號具有相同的采樣信號以下介紹幾種常用的z反變換的方法。

1.長除法

用F(z)的分母去除分子，可以求出按z－n降冪排列的級數(shù)展開式，然后用z反變換求出相應的離散函數(shù)的脈沖序列f*(t)。

【例7-7】

設 求其z反變換f*(t)。

解

令f(0)＝0，f(T)＝10，f(2T)＝30，f(3T)＝70…，則

F(z)＝f(0)z0＋f(T)z－1＋f(2T)z－2＋f(3T)z－3＋…

對上式求z反變換有

f*(t)＝10δ(t－T)＋30δ(t－2T)＋70δ(t－3T)＋…

需指出的是，長除法可以以序列形式給出連續(xù)函數(shù)在各采樣時刻的值f(0)，f(T)，f(2T)，…，但不易得出f(nT)的一般項表達式。

2.部分分式法

部分分式法主要是將F(z)展開成若干個z變換表中具有的簡單分式的形式，然后通過查z變換表(見附錄C)得到相應的f*(t)或f(nT)。具體方法是，由已知的象函數(shù)F(z)求出其極點zi，再將F(z)/z展開成部分分式和的形式，即

(7-46)

由上式可得F(z)的表達式為

(7-47)

對上式逐項進行z反變換可得到F(z)對應的原函數(shù)f*(t)，即

(7-48)Z【例7-8】

題目同例7-7。

解對F(z)/z進行部分分式展開得

則

查z變換表(見附錄C)得 則ZZ

或者寫為

f(nT)＝10·［－1＋2n］(n＝0，1，2，…)

可見，f(0)＝0，f(T)＝10，f(2T)＝30，f(3T)＝70，f(4T)＝150，…，與例7-7結論相同，但求出了f(nT)的一般項表達式。

3.留數(shù)法

根據(jù)z變換定義，有

用zn－1乘以上式兩邊得由復變函數(shù)理論可知

(7-49)

式中：Ri＝Res［F(zi)zin－1］為F(z)zn－1在z＝zi處的留數(shù)。

若z＝zi為F(z)的一階極點，則有

(7-50)

若z＝zi為F(z)的q階極點，則有

(7-51)【例7-9】

題目同例7-7。

解F(z)具有兩個單極點z1＝1，z2＝2，則

其中

由式(7-49)，可得

f(nT)＝R1＋R2＝10(－1＋2n)

與上例結論相同。

【例7-10】求 的z反變換。

解F(z)在z＝1處有單極點，在z＝0.5處有二重極點，由式(7-50)可得

由式(7-51)可得

由式(7-49)可得

f(nT)＝2－(0.5)n－1·(n＋1)

為研究分析離散系統(tǒng)，需建立其數(shù)學模型。離散系統(tǒng)有差分方程、脈沖傳遞函數(shù)和離散狀態(tài)空間表達式三種數(shù)學模型，本章只介紹前兩種。7.4離散系統(tǒng)的數(shù)學模型7.4.1線性常系數(shù)差分方程

設離散控制系統(tǒng)的輸入脈沖序列為r(nT)，通常也可簡記為r(n)，輸出序列為c(n)，則系統(tǒng)的輸入輸出關系可寫為

c(n)＝f［r(n)］

(7-52)

若上式滿足疊加原理，則稱系統(tǒng)為線性離散系統(tǒng)，否則為非線性離散系統(tǒng)。

輸入與輸出關系不隨時間而改變的線性離散系統(tǒng)稱為線性定常離散系統(tǒng)，本章主要討論線性定常離散系統(tǒng)。線性定常離散系統(tǒng)輸入與輸出關系可以用線性定常差分方程來描述。

1.差分

設連續(xù)函數(shù)為y(t)，其采樣函數(shù)為y(k)，其一階前向差分為

Δy(k)＝y(tǒng)(k＋1)－y(k) (7-53)

其二階前向差分為

(7-54)其一階后向差分為

(7-55)

其二階后向差分為

(7-56)

2.差分方程

作為一個動力學系統(tǒng)，離散控制系統(tǒng)在n時刻的輸出c(n)不僅與n時刻的輸入r(n)有關，而且與n時刻以前的輸入r(n－1)，r(n－2)…及輸出c(n－1)，c(n－2)…有關。

為此，可用n階前向差分方程來描述離散控制系統(tǒng)的輸入輸出關系，即

(7-57)也可用n階后向差分方程描述，即

(7-58)

圖7-17控制系統(tǒng)結構圖【例7-11】

求如圖7-17所示系統(tǒng)的差分方程。

解

上式可整理為

在t＝kT時的值可用一階前向差分來近似，即

所以系統(tǒng)的一階差分方程為

c(k＋1)＋(KT－1)c(k)＝KTr(k)3.差分方程的求解

1)迭代法

若已知線性離散控制系統(tǒng)的差分方程為式(7-57)或式(7-58)所示的形式，則由式(7-57)可得輸出序列的遞推關系為

(7-59)由式(7-58)可得輸出序列的遞推關系為

(7-60)

當已知輸出序列的初值時，利用上述遞推關系，可以逐步求出系統(tǒng)在給定輸入序列作用下的輸出序列。

【例7-12】

已知差分方程為

c(k)＝r(k)＋5c(k－1)－6c(k－2)

輸入序列r(k)＝1，初始條件為c(0)＝0，c(1)＝1，試用迭代法求輸出序列c(k)(k＝0，1，…，10)。

解根據(jù)初始條件及遞推關系得2)z變換法

若已知線性定常離散控制系統(tǒng)的差分方程描述，可根據(jù)z變換的正、負偏移定理，對差分方程兩邊求z變換。再根據(jù)初始條件和給定輸入信號的z變換R(z)，求出系統(tǒng)輸出的z變換表達式C(z)。對C(z)進行z反變換可求得系統(tǒng)的輸出序列c(k)。

【例7-13】

已知描述某離散控制系統(tǒng)的差分方程為

c(t＋2T)＋3c(t＋T)＋2c(t)＝0

且c(0)＝0 c(1)＝1，求差分方程的解。

解利用z變換的超前定理對差分方程兩邊求z變換，得

由于c(0)＝0，c(1)＝1，上式可整理為

z2C(z)＋3zC(z)＋2C(z)＝z

輸出的z變換表達式為

對上式進行z反變換，可得輸出序列為

7.4.2脈沖傳遞函數(shù)

線性連續(xù)系統(tǒng)中，將初始條件為零時，系統(tǒng)輸出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換之比定義為傳遞函數(shù)。對于線性離散系統(tǒng)，可類似定義一種脈沖傳遞函數(shù)。

1.定義

設開環(huán)離散控制系統(tǒng)如圖7-18所示，初始條件為零時，系統(tǒng)輸出信號的z變換與輸入信號的z變換之比，定義為離散控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，或稱為z傳遞函數(shù)，并用G(z)表示，即

(7-61)

圖7-18開環(huán)離散系統(tǒng)方框圖所謂零初始條件，是指在t＜0時，輸入脈沖序列的各采樣值r(－T)，r(－2T)…，以及輸出脈沖序列的各采樣值c(－T)，c(－2T)…均為零。

由式(7-61)可以求得線性離散控制系統(tǒng)的輸出采樣信號為

(7-62)LL實際上，多數(shù)離散控制系統(tǒng)的輸出都是連續(xù)信號c(t)，而不是離散的采樣信號c*(t)。在此情況下，可以在系統(tǒng)的輸出端虛設一個理想采樣開關，如圖7-18所示，它與輸入采樣開關同步動作，而且采樣周期相同。必須指出，在這種情況下，虛設的采樣開關是不存在的，它只表明脈沖傳遞函數(shù)所能描述的只是輸出連續(xù)信號c(t)的采樣信號c*(t)。

對于線性連續(xù)系統(tǒng)，當其輸入為單位脈沖函數(shù)時，即r(t)＝δ(t)，其輸出為單位脈沖響應g(t)。對于如圖7-17所示的離散控制系統(tǒng)，設其輸入的采樣信號為

根據(jù)疊加原理，系統(tǒng)的輸出響應為

當t＝kT時，可得

(7-63)

由單位脈沖函數(shù)的特點可知，當t＜0時，g(t)＝0。所以，當n＞k時，上式中的g［(k－n)T］＝0，即kT時刻以后的輸入脈沖r［(k＋1)T］，r［(k＋2)T］…不會對kT時刻的輸出信號產(chǎn)生影響。所以有

(7-64)上式說明，c(kT)是兩個離散函數(shù)序列r(kT)和g(kT)的卷積。根據(jù)z變換的卷積定理，即

C(z)＝G(z)R(z)＝R(z)G(z)

式中： 即為單位脈沖響應的采樣信號g*(t)的z變換。又由于在各采樣時刻g(t)＝g*(t)，對應式(7-61)，可以得到脈沖傳遞函數(shù)的求法為

(7-65)ZZ由第3章內(nèi)容可知，g(t)＝L－1［G(s)］，所以式(7-65)可進一步寫為

G(z)＝Z{L－1［G(s)］} (7-66)

上式通?？梢院営涀?/p>

G(z)＝Z［G(s)］

(7-67)

需要強調(diào)的是，G(s)表示某一線性系統(tǒng)本身的傳遞函數(shù)，而G(z)表示線性系統(tǒng)與采樣開關兩者組合體的脈沖傳遞函數(shù)，即描述了兩者組合體的動態(tài)特性。同時，還應特別注意G(z)≠G(s)|s＝z。

【例7-14】

對于如圖7-18所示的離散控制系統(tǒng)， 求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。

解對G(s)展開得

(7-68)

(7-69)L系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

(7-70)

由于拉氏變換和z變換均為線性變換，所以G(s)、g(t)與G(z)之間存在一一對應關系，故也可以由G(s)直接查表求得G(z)。Z

2.開環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

當開環(huán)離散系統(tǒng)由多個環(huán)節(jié)串聯(lián)組成時，其脈沖傳遞函數(shù)可根據(jù)采樣開關的數(shù)目和位置的不同而得到不同的結果。

1)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關

兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關分隔，結構如圖7-19所示。由脈沖傳遞函數(shù)的定義可知

D(z)＝G1(z)R(z)，C(z)＝G2(z)D(z)

圖7-19串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關其中，G1(z)、G2(z)分別是環(huán)節(jié)G1(s)、G2(s)的脈沖傳遞函數(shù)。于是有

C(z)＝G1(z)G2(z)R(z)

所以該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

G(z)＝G1(z)G2(z) (7-71)

式(7-71)說明，有采樣開關分隔的兩個線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時，其脈沖傳遞函數(shù)等于兩個環(huán)節(jié)各自的脈沖傳遞函數(shù)之積。這一結論可推廣到有采樣開關分隔的n個線性環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。

2)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關

兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關分隔，結構如圖7-20所示。當G(s)＝G1(s)G2(s)時，對應圖7-20，可得系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

G(z)＝Z［G2(s)G1(s)］＝G1G2(z) (7-72)

式(7-72)說明，沒有采樣開關分隔的兩個線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時，其脈沖傳遞函數(shù)等于兩個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積所對應的z變換，這一結論可推廣到?jīng)]有采樣開關分隔的n個線性環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。

比較式(7-71)和式(7-72)可知，G1G2(z)≠G1(z)G2(z)。從這個意義上說，z變換無串聯(lián)性。

圖7-20串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關

【例7-15】

對于如圖7-19和圖7-20所示結構的兩個離散控制系統(tǒng)，設 分別求解系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。

解若系統(tǒng)結構如圖7-19所示，由式(7-71)可知，系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

若系統(tǒng)結構如圖7-20所示，由式(7-72)可知，系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

LL3)有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)

有零階保持器的開環(huán)離散控制系統(tǒng)如圖7-21(a)所示。為便于分析，可將圖721(a)改畫為圖7-21(b)所示的形式。設G1(s)＝1－e－Ts， 則

圖7-21有零階保持器的開環(huán)離散控制系統(tǒng)由式(7-72)可得系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

所以，有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為

(7-73)ZZZZZ【例7-16】

對于如圖7-21(a)所示的離散控制系統(tǒng)，設 T＝1s，求解系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。

解

則

Z系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

(7-74)

當T＝1s時，有

對該例作進一步分析，當系統(tǒng)中沒用零階保持器時，可求得系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

(7-75)

比較式(7-74)和式(7-75)，兩式的分母相同，分子不相同。可見，加入零階保持器不影響離散控制系統(tǒng)的極點，只影響其零點。

3.離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

在離散控制系統(tǒng)中，由于采樣器在閉環(huán)系統(tǒng)中可以有多種配置的可能性，因而對于離散控制系統(tǒng)而言，會有多種閉環(huán)結構形式，這就使得閉環(huán)離散控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)沒有一般的計算公式，只能根據(jù)系統(tǒng)的實際結構具體分析。

圖7-22所示為最常見的一類閉環(huán)離散控制系統(tǒng)結構圖。在給定輸入r(t)作用下，系統(tǒng)的誤差為e(t)＝r(t)－b(t)，對其進行z變換得E(z)＝R(z)－B(z)。輸出信號C(z)＝G(z)E(z),反饋信號B(z)＝E(z)GH(z)，且GH(z)＝Z［G(s)H(s)］。因此，有

E(z)＝R(z)－B(z)＝R(z)－E(z)GH(z)

C(z)＝G(z)R(z)－GH(z)C(z)

圖7-22閉環(huán)離散控制系統(tǒng)的典型結構圖整理得，給定輸入作用下系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

(7-76)

給定輸入作用下系統(tǒng)的閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)為

(7-77)

比較式(7-76)和式(7-77)，兩式分母均為1＋GH(z)，稱為閉環(huán)離散控制系統(tǒng)的特征多項式。方程1＋GH(z)＝0，稱為閉環(huán)離散控制系統(tǒng)的特征方程。

【例7-17】

對如圖7-22所示的閉環(huán)離散控制系統(tǒng)，若 T＝1(s)，求其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)和閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)Φe(z)。

解

系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)為

對上例作進一步分析，若不包含采樣器，則系統(tǒng)就是一個連續(xù)控制系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

顯然，經(jīng)采樣后的離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)不等于不經(jīng)過采樣的連續(xù)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的z變換，即Φ(z)≠Z［Φ(s)］。L

通過以上分析，我們可以總結出求解離散控制系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的一般方法如下：

(1)確定系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量。

(2)根據(jù)結構圖，將通道在各采樣開關處斷開，寫出采樣之前系統(tǒng)各連續(xù)信號的拉氏變換表達式。

(3)對各表達式采樣后進行z變換。

(4)消去中間變量，按定義寫出閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。

【例7-18】

圖7-23所示為數(shù)字控制系統(tǒng)的典型結構圖，求系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。

解

(1)系統(tǒng)的輸入、輸出為r(t)、c(t)。

(2)根據(jù)系統(tǒng)結構圖，有

圖7-23數(shù)字控制系統(tǒng)的典型結構圖(3)對上式采樣后進行z變換有

(4)消去中間變量X(z)，E(z)得

整理得系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

(7-78)

需要指出的是，對于一個離散控制系統(tǒng)，若對其誤差信號e(t)不進行采樣，將得不到閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z),而只能寫出輸出信號的z變換表達式C(z)。

采樣開關在閉環(huán)系統(tǒng)中具有各種配置形式的閉環(huán)采樣系統(tǒng)典型結構圖及其輸出C(z)見表7-1。

表7-1典型離散控制系統(tǒng)的結構圖及輸出信號C(z)續(xù)表對于有擾動信號作用的離散控制系統(tǒng)，如圖7-24所示，可分析擾動與系統(tǒng)輸出之間的關系。

令r(t)＝0，由系統(tǒng)結構圖得

對上述兩式進行z變換可得

消去中間變量E(z)，整理得

(7-79)

圖7-24擾動作用下的離散控制系統(tǒng)由于系統(tǒng)對擾動輸入沒有進行采樣，因此寫不出擾動輸入下的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φn(z)的表達式。

以上討論了離散系統(tǒng)的兩種數(shù)學模型：差分方程和脈沖傳遞函數(shù)。通過z變換的方法，可以從差分方程得出脈沖傳遞函數(shù)，也可以從脈沖傳遞函數(shù)得出差分方程。可以看出，兩者之間的關系和連續(xù)系統(tǒng)中微分方程和傳遞函數(shù)之間的關系是類似的。

7.5.1離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是特征方程的根全部位于左半s平面上。而線性離散系統(tǒng)中，

穩(wěn)定性是由閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點在z平面上的分布確定的，應該用z平面來判斷其穩(wěn)定性。因此，需要分析s平面和z平面之間存在的映射關系，以便用連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)來分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。7.5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

設復變量s在s平面上沿虛軸取值，即s＝jω，對應的z＝ejωT，它是z平面上幅值為1的單位向量，其幅角為ωT，隨ω而改變。當ω從 連續(xù)變化時，z＝ejωT的相角由－π變化到π。因此，s平面上的虛軸在z平面上的映射是以原點為圓心的單位圓。

設復變量s＝σ＋jω，則z＝eTs＝eσTejωT，其幅值|z|＝eσT。當s位于s平面虛軸左側(cè)時，σ＜0，這時|z|＜1，此時s在z平面上的映射點位于以原點為圓心的單位圓外；若s位于s平面虛軸右側(cè)時，σ＞0，這時|z|＞1，此時s在z平面上的映射點位于以原點為圓心的單位圓外?？梢?，s平面左半部分在z平面上的映射為以原點為圓心的單位圓的內(nèi)部區(qū)域，如圖7-25所示。

圖7-25s平面與z平面的映射關系由此，可以得到離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)特征方程1＋GH(z)＝0的根，即閉環(huán)極點，必須都分布在z平面上以原點為圓心的單位圓內(nèi)。

只要有一個特征根在以原點為圓心的單位圓外，離散控制系統(tǒng)就不穩(wěn)定，當有特征根在以原點為圓心的單位圓上，而其他根在單位圓內(nèi)時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。7.5.2勞斯穩(wěn)定判據(jù)

由第3章的內(nèi)容可知，勞斯穩(wěn)定判據(jù)是判斷線性連續(xù)系統(tǒng)的一種簡便的代數(shù)判據(jù)。然而，對于離散控制系統(tǒng)，其穩(wěn)定邊界是z平面上以原點為圓心的單位圓，而不是虛軸，因而不能直接應用勞斯判據(jù)。為此，需要采用一種新的變換方法，將z平面上的單位圓映射為新坐標系的虛軸，而圓內(nèi)部分映射為新坐標系的左半平面，圓外部分映射為新坐標系的右半平面。這種坐標變換稱為雙線性變換，亦稱為w變換。

設

(7-80)

則有

(7-81)

若z＝x＋jy是定義在z平面上的復數(shù)，w＝u＋jv是定義在w平面上的復數(shù)，則

(7-82)

當u＝0，即w在w平面虛軸上取值時，則x2＋y2－1＝0，即x2＋y2＝1，可映射為z平面上以原點為圓心的單位圓。

當u＜0，即w在w平面虛軸左側(cè)取值時，則x2＋y2－1＜0，即x2＋y2＜1，可映射為z平面上以原點為圓心的單位圓內(nèi)部分。

當u＞0，即w在w平面虛軸右側(cè)取值時，則x2＋y2－1＞0，即x2＋y2＞1，可映射為z平面上以原點為圓心的單位圓外部分。

z平面和w平面的映射關系如圖7-26所示。

圖7-26z平面和w平面的映射關系由此可知，離散控制系統(tǒng)在z平面上的穩(wěn)定條件可轉(zhuǎn)化為：經(jīng)過w變換后的特征方程，即

(7-83)

的所有特征根，均位于w平面的左半平面。

這種情況正好與在s平面上應用勞斯判據(jù)的情況一樣。因此，可根據(jù)w域中的特征方程的系數(shù)，直接應用勞斯判據(jù)分析離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

【例7-19】

設離散控制系統(tǒng)的特征方程為

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解令 代入D(z)＝0中，整理得

列勞斯表為

由勞斯判據(jù)可知，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個特征根位于z平面的單位圓外。

【例7-20】

設有零階保持器的離散系統(tǒng)如圖7-27所示，若采樣周期分別為：①T＝1s，②T＝0.5s，試在兩種情況下確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K取值范圍。

解由結構圖不難求出，系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為Z

圖7-27離散控制系統(tǒng)相應的閉環(huán)特征方程為

D(z)＝1＋G(z)＝0

①當T＝1s時，有

令z＝(w＋1)/(w－1)，得w域特征方程為

根據(jù)勞斯判據(jù)易得

0＜K＜2.4②當T＝0.5s時，w域特征方程為

根據(jù)勞斯判據(jù)易得0＜K＜4.37從

該例題可以看出：

(1)二階連續(xù)系統(tǒng)中，只要K＞0，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。但加采樣開關后，系統(tǒng)變?yōu)槎A離散系統(tǒng)，隨著K的不斷增加，系統(tǒng)會變得不穩(wěn)定。這說明采樣開關的引入，會使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變壞。

(2)采樣周期越長，丟失的信息越多，對離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)性能均不利，甚至可使系統(tǒng)失去穩(wěn)定。如果提高采樣頻率，丟失的信息就少，離散系統(tǒng)更接近于相應的連續(xù)系統(tǒng)，從而可改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但過高的采樣頻率會增加計算機負擔。7.5.3朱利穩(wěn)定判據(jù)

朱利穩(wěn)定判據(jù)是直接在z域內(nèi)應用的穩(wěn)定性判據(jù)。設離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可寫為

根據(jù)特征方程的系數(shù)，利用表7-2的方法構造2n－2行，n＋1列的朱利陣列。

表7-2朱利陣列在朱利陣列中，第2k＋2行各元素是第2k＋1行各元素的反序排列。從第三行起，陣列中各元素的定義如下：

那么，離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：

(7-84)【例7-21】

已知離散控制系統(tǒng)的特征方程為

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

n＝4，D(1)＝0.114＞0

列出朱利陣列為由朱利陣列可得

|a0|＝0.002＞a4＝1

|b0|＝1＞|b3|＝0.083

|c0|＝0.993＞|c2|＝0.512

系統(tǒng)滿足朱利判據(jù)的所有約束條件，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

穩(wěn)態(tài)誤差是離散系統(tǒng)分析和設計的一個重要指標，用離散系統(tǒng)理論分析的穩(wěn)態(tài)誤差，仍然是指采樣時刻的值。由于離散控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)與采樣開關的配置有關，沒有統(tǒng)一的公式可用，故通常采用終值定理計算穩(wěn)態(tài)誤差。只要系統(tǒng)的特征根全部嚴格位于z平面的單位圓內(nèi)，即若離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則可用z變換的終值定理求出采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差。7.6離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

設離散系統(tǒng)如圖7-28所示，由式(7-77)可知，系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為

則系統(tǒng)在給定輸入作用下誤差e*(t)的z變換表達式為

根據(jù)z變換的終值定理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

(7-85)

圖7-28典型的閉環(huán)離散控制系統(tǒng)對于離散控制系統(tǒng)，也可以通過分析其型別與靜態(tài)誤差系數(shù)來求解其穩(wěn)態(tài)誤差。首先定義系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。對于一個閉環(huán)離散控制系統(tǒng)，其反饋信號的z變換B(z)與誤差信號的z變換E(z)之比，稱做閉環(huán)離散控制系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Gk(z)，即

(7-86)

對于如圖7-28所示的典型結構的離散控制系統(tǒng)，其開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

(7-87)若系統(tǒng)為單位反饋，即H(s)＝1，則

(7-88)

設離散控制系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

(7-89)式中：Kg為系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益；zj為系統(tǒng)的開環(huán)零點，j＝1，2，…，m；pi為系統(tǒng)非z＝1處的開環(huán)極點，i＝1，2，…，n－υ；υ為系統(tǒng)在z＝1處的開環(huán)極點數(shù)，也稱做離散控制系統(tǒng)的型別。υ＝0，1，2時，分別稱離散控制系統(tǒng)為0型，1型，2型系統(tǒng)。

由式(7-85)知，系統(tǒng)在給定輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為

(7-90)7.6.1單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

當系統(tǒng)輸入為階躍信號時， 則

定義離散控制系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)為

(7-91)

則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可表示為

(7-92)

對于0型系統(tǒng)，

為一

常數(shù)。

對于1型及1型以上的系統(tǒng)，Kp＝∞，e(∞)＝0。7.6.2單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

當系統(tǒng)輸入為單位斜坡信號時， 則

定義離散控制系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)為Kv＝1T

(7-93)則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可表示為

(7-94)

對于0型系統(tǒng)，Kv＝0，e(∞)＝∞。

對于1型系統(tǒng)，Kv為一常數(shù)，

對于2型及2型以上系統(tǒng)，Kv＝∞，e(∞)＝0。7.6.3單位拋物線輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

當系統(tǒng)輸入為單位拋物線信號時， 則

定義離散控制系統(tǒng)的靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為

(7-95)則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可表示為

(7-96)

對于0型及1型系統(tǒng)，Ka＝0，e(∞)＝∞。

對于2型系統(tǒng)，Ka為一常數(shù)，

對于3型及3型以上的系統(tǒng)，Ka＝∞，e(∞)＝0。

不同型別離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差見表7-3。

通過以上分析可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差除了與輸入信號的形式有關外，還直接取決于系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Gk(z)中在z＝1處的極點個數(shù)，即取決于系統(tǒng)的型別υ。υ反映了離散控制系統(tǒng)的無差度。通常稱υ＝0的系統(tǒng)為有差系統(tǒng)，υ＝1的系統(tǒng)為一階無差系統(tǒng)，υ＝2的系統(tǒng)為二階無差系統(tǒng)。

表7-3不同類型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差此外，采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差還與采樣周期T有關。穩(wěn)態(tài)誤差e(∞)與Kv、Ka成反比，由式(7-93)和式(7-95)可知，T越大，Kv和Ka越小，所以e(∞)越大。

【例7-22】

離散控制系統(tǒng)如圖7-29所示，已知系統(tǒng)的輸入為r(t)＝t，試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解系統(tǒng)連續(xù)部分前向通道的傳遞函數(shù)為

圖7-29離散控制系統(tǒng)由于系統(tǒng)為單位反饋，所以系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

可見，系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，速度誤差系數(shù)為

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

【例7-23】

離散控制系統(tǒng)如圖7-30所示，試求系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。

解令 則

圖7-30離散控制系統(tǒng)系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，Kp＝∞，在單位階躍信號作用下，e(∞)＝0。

對于上例，也可先求出系統(tǒng)誤差信號的z變換表達式E(z)，利用終值定理，求出相應的穩(wěn)態(tài)誤差。

系統(tǒng)的閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)為

在單位階躍信號作用下，誤差信號的z變換為

由z變換的終值定理可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，可以通過求解單位階躍響應，獲得系統(tǒng)的性能指標來進行分析；也可以不求時間解，直接在z平面上，通過分析零、極點的位置而獲得。7.7離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析7.7.1離散控制系統(tǒng)的時間響應及性能指標

用z變換法分析離散控制系統(tǒng)的時間響應與用拉氏變換法分析連續(xù)系統(tǒng)的時間響應相似。根據(jù)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和單位階躍輸入信號，求出系統(tǒng)的單位階躍響應c*(t)。根據(jù)c*(t)，可按照定義求出超調(diào)量σ%、調(diào)節(jié)時間ts等性能指標。關于這些性能指標的定義，與連續(xù)系統(tǒng)是完全一樣的。但應當指出的是，由于離散控制系統(tǒng)的時域性能指標只能按采樣周期的整數(shù)倍的采樣值來計算，因此是近似的。

【例7-24】

離散控制系統(tǒng)如圖7-31所示，已知k＝1，采樣周期T＝1s，求單位階躍響應c*(t)及其超調(diào)量σ%、調(diào)節(jié)時間ts、上升時間tr和峰值時間tp。

解當k＝1，T＝1s時，由例7-22結論可知：

系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

圖7-31離散控制系統(tǒng)單位階躍輸入時， 則

進行z反變換得

根據(jù)各采樣時刻的輸出采樣值，可以繪出系統(tǒng)的單位階躍響應c*(t)，如圖7-32所示，并求得系統(tǒng)近似的性能指標分別為超調(diào)量σ%＝40%，上升時間tr＝2s，峰值時間tp＝4s，調(diào)節(jié)時間ts＝12(s)(Δ＝±5%)。

圖7-32系統(tǒng)有保持器時的輸出脈沖序列

【例7-25】

對于例7-24中的離散控制系統(tǒng)，

若系統(tǒng)中沒有保持器，求系統(tǒng)的單位階躍響應c*(t)及其超調(diào)量σ%、調(diào)節(jié)時間ts、上升時間tr和峰值時間tp。

解當k＝1，T＝1s時，有

系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

L單位階躍輸入時， 則

進行z反變換得

根據(jù)各采樣時刻的輸出采樣值，可以繪出系統(tǒng)的單位階躍響應c*(t)，如圖7-33所示。并求得系統(tǒng)近似的性能指標分別為超調(diào)量σ%＝20.7%，上升時間tr＝2s，峰值時間tp＝3s，調(diào)節(jié)時間ts＝5s(Δ＝±5%)。

圖7-33系統(tǒng)沒有保持器時的輸出脈沖序列上例對應的二階連續(xù)系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

有ζ＝0.5，ωn＝1，可求得連續(xù)系統(tǒng)的性能指標分別為超調(diào)量σ%＝16.3%，上升時間tr＝2.42s，峰值時間tp＝3.6s，調(diào)節(jié)時間ts＝5.3s(Δ＝±5%)。

以上兩例說明，采樣器和保持器的引入，雖然不改變開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點，但影響開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的零點，勢必引起閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)極點的改變，從而影響離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能。關于引入采樣器和保持器對離散控制系統(tǒng)動態(tài)性能的影響，可定性地描述如下：采樣器可使系統(tǒng)的上升時間tr、峰值時間tp、調(diào)節(jié)時間ts略有減小，但超調(diào)量σ%增大，故在一般情況下采樣造成的信息損失會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。然而，在某些情況下，例如7.1節(jié)中的具有大延遲的系統(tǒng)中，誤差采樣反而會提高系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。

零階保持器會使系統(tǒng)的峰值時間tp、調(diào)節(jié)時間ts都加長，超調(diào)量σ%也增加，這是由于零階保持器的相角滯后作用，降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。7.7.2閉環(huán)極點的分布與動態(tài)性能的關系

與連續(xù)系統(tǒng)相似，離散系統(tǒng)的結構和參數(shù)，決定了系統(tǒng)閉環(huán)零、極點的分布，而閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點在z平面上單位圓內(nèi)的分布，對系統(tǒng)的動態(tài)性能具有重要影響。

設離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

(7-97)

式中：zj為系統(tǒng)的閉環(huán)零點，j＝1，2，…，m；λi為系統(tǒng)的閉環(huán)極點，i＝1，2，…，n。如果離散系統(tǒng)穩(wěn)定，則所有的閉環(huán)極點λi就都位于z平面上的單位圓內(nèi)，即有|λi|＜1。

當輸入r(t)＝1(t)時，系統(tǒng)輸出的z變換為

(7-98)令

其中：則系統(tǒng)單位階躍響應中的穩(wěn)態(tài)分量為

暫態(tài)分量為

c*2(t)＝Z－1［C2(z)］

因此，閉環(huán)極點λi在單位圓內(nèi)分布的位置不同，它所對應的暫態(tài)分量的形式也將表現(xiàn)為不同的形式。下面分幾種情況加以討論。Z

(1)λi為正實軸上的單極點時，λi對應的暫態(tài)分量為

求z反變換得

(7-99)

令 則

(7-100)

此時，λi對應的暫態(tài)分量將按指數(shù)規(guī)律變化。

若0＜λi＜1，閉環(huán)極點位于z平面上單位圓內(nèi)的正實軸上，有a＜0，故暫態(tài)響應ci(nT)是按指數(shù)規(guī)律收斂的脈沖序列，且λi離原點越近，對應的暫態(tài)分量衰減越快。

若λi＝1，閉環(huán)極點位于右半平面上的單位圓上，有a＝0，故暫態(tài)響應ci(nT)＝Ai為等幅脈沖序列。

若λi＞1，閉環(huán)極點位于z平面上單位圓外的正實軸上，有a＞0，故暫態(tài)響應ci(nT)是按指數(shù)規(guī)律發(fā)散的脈沖序列。

(2)λi為負實軸上的單極點時，由式(7-99)可知，n為奇數(shù)時， 為負值；n為偶數(shù)時， 為正值。故暫態(tài)響應ci(nT)是交替變號的雙向脈沖序列。

若－1＜λi＜0，閉環(huán)極點位于z平面上單位圓內(nèi)的負實軸上，故暫態(tài)響應ci(nT)是交替變號的衰減脈沖序列，且λi離原點越近，對應的暫態(tài)分量衰減越快。

若λi＝－1，閉環(huán)極點位于左半z平面的單位圓上，故暫態(tài)響應ci(nT)是交替變號的等幅脈沖序列。

若λi＜－1，閉環(huán)極點位于z平面上單位圓外的負實軸上，故暫態(tài)響應ci(nT)是交替變號的發(fā)散脈沖序列。

(3)閉環(huán)極點為一對共軛復數(shù)。設λi和 為一對共軛復數(shù)極點，記作

(7-101)

此時，λi和 對應的暫態(tài)分量為

(7-102)L其中，Ai和 也為一對共軛復數(shù)，記作

(7-103)

將式(7-100)和式(7-103)代入式(7-102)可得一對共軛復數(shù)極點λi和 ，其對應的暫態(tài)分量為

(7-104)若|λi|＞1，閉環(huán)復數(shù)極點位于z平面的單位圓外，故暫態(tài)分量ci(nT)是振蕩發(fā)散的脈沖序列。

若|λi|＝1，閉環(huán)復數(shù)極點位于z平面的單位圓上，故暫態(tài)分量ci(nT)是等幅振蕩的脈沖序列。

若|λi＜1|，閉環(huán)復數(shù)極點位于z平面的單位圓內(nèi)，故暫態(tài)分量ci(nT)是振蕩收斂的脈沖序列，且λi離原點越近，對應的暫態(tài)分量衰減越快。

以余弦規(guī)律振蕩的暫態(tài)分量，其振蕩角頻率ω與一對共軛復數(shù)極點的幅角θi有關，θi越大，振蕩頻率越高。因此，位于z平面左半平面的單位圓內(nèi)的復數(shù)極點對應的暫態(tài)分量的振蕩頻率，要高于z平面右半平面單位圓內(nèi)的復數(shù)極點所對應的暫態(tài)分量的振蕩頻率。

一個振蕩周期內(nèi)包含的采樣周期的個數(shù)為

(7-105)

可見，共軛復數(shù)極點的幅角θi反映了對應暫態(tài)分量振蕩的激烈程度。θi越大，k越小，振蕩越激烈。作為極端情況，當θi＝0時(極點在正實軸上，k＝∞)，暫態(tài)分量是非周期衰減的。當θi＝π時，k＝2，1個振蕩周期包含了2個采樣周期，暫態(tài)分量是正、負交