數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)案：平面向量基本定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析1。平面向量基本定理【例1】如右圖所示,在平行四邊形ABCD中，AH=HD，BF=MC=BC，設(shè)=a,=b，以a，b為基底表示、、、.思路分析：本題考查用兩已知向量表示未知向量。由于=b，這樣可表示，又=b，這樣又可表示，進(jìn)一步可表示MH，進(jìn)一步表示.解：由于BF=BC=AD.∴=b。在△ABF中,=+=a+b;又∵BF=MC=BC,∴FM=BC?！?b.則=+=a+b+b=a+b.又∵AH=HD，∴=b。∴=-=b—（a+b）=—a-b.又∵HD=b,∴=-a-b+b=—a+b。溫馨提示根據(jù)平面向量基本定理表示向量時,如果所給向量無法直接用基底進(jìn)行表示時,可先將目標(biāo)向量分解成可以用基底表示的向量,再進(jìn)一步用基底表示。2。平面向量基本定理再理解【例2】設(shè)兩非零向量e1和e2不共線.（1）如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3（e1,—e2）,求證：A、B、D三點(diǎn)共線；（2）試確定實(shí)數(shù)k，使ke1+e2和e1+ke2共線。思路分析：本題主要考查向量基本定理和向量共線的條件。（1）可以將e1,e2看作一組基底表示我們需要的向量，如，=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5e1+5e2然后利用向量共線條件進(jìn)行證明。（2）由于向量ke1+e2,e1+ke2都是用基底e1，e2表示出來的兩個向量，既然兩向量共線，就可以用共線條件得到（ke1+e2）=λ(e1+ke2）,解出k值即可.（1）證明：∵=e1+e2，+=2e1+8e2+3e1—3e2=5(e1+e2)=5，∴、BD共線。又有公共點(diǎn)B,∴A、B、D三點(diǎn)共線.(2）解：∵ke1+e2與e1+ke2共線，∴存在λ使ke1+e2=λ（e1+ke2）,則(k-λ）e1=(λk—1）e2.由于e1與e2不共線，∴只能有則k=±1.溫馨提示題目中已給出一組基底e1，e2，則該平面中任一向量都可以與之建立聯(lián)系，以該基底為紐帶,可以溝通不同向量之間的聯(lián)系。本題要證三點(diǎn)共線,由這三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)確定兩個向量.然后用基底e1,e2表示，并依據(jù)向量共線的條件來證明這兩個向量共線。又這兩個向量有公共點(diǎn)，于是證三點(diǎn)共線。3。平面向量基本定理的應(yīng)用【例3】如果e1、e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，那么，下列命題正確的是（)A.若實(shí)數(shù)λ1、λ2使λ1e1+λ2e2=0,則λ1=λ2=0B.空間任一向量a都可以表示為a=λ1e1+λ2e2，其中λ1、λ2∈RC.λ1e1+λ2e2不一定在平面α內(nèi)，λ1、λ2∈RD。對于平面α內(nèi)任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的實(shí)數(shù)λ1、λ2有無數(shù)對思路分析：要深刻理解平面向量基本定理。A正確；B錯，這樣的a只能與e1，e2在同一平面內(nèi),不能是空間任一向量。C錯，λ1e1+λ2e2在α內(nèi)。D錯，這樣的λ1,λ2是唯一的，而不是無數(shù)對，故選A.答案：A溫馨提示應(yīng)用平面向量基本定理要注意以下幾點(diǎn):(1）e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量；（2）基底的選取不唯一；(3）該平面內(nèi)的任意向量a都可用e1，e2線性表示，而且這種表示是唯一的.各個擊破類題演練1如右圖所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是AD、BC邊上的中點(diǎn),且BC=3AD,設(shè)=a，=b，以a、b為基底表示、、。解:∵AD∥BC且AD=BC，∴=b,==b.∵=，∴=b,∴+=—+（+）=--+=-b-a+b=b—a，=-—=—b—（b—a)=-b+a。變式提升1如右圖所示，平行四邊形ABCD中，M、N分別為DC、BC的中點(diǎn),已知=c，=d，試用c、d表示和。解:設(shè)=a，=b，則由M、N分別為DC、BC的中點(diǎn)可得：=b，=a。從△ABN和△ADM中可得：①×2—②，得a=（2d-c).②×2-①,得b=（2c-d).即：=（2d—c)，=(2c-d).類題演練2e1，e2是兩個不共線向量，且=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1—e2,若A、B、D三點(diǎn)共線,由k的值為.解析:=++=2e1+ke2—e1—3e2+2e1-e2=3e1+(k-4)e2?！逜、B、D三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ使=λ，即3e1+（k-4)e2=λ(2e1+ke2）.∴∴k=—8.答案：-8變式提升2（2005山東理,7)已知向量a、b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,則一定共線的三點(diǎn)是（）A.A、B、DB。A、B、CC.B、C、DD.A、C、D解析:=-5a+6b+7a=2a+4b=2.∴A、B、D共線。答案：A類題演練3下面三種說法：①一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底；②一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底；③零向量不可作為基底中的向量,其中正確的說法是（)A。①②B.②③C.①③D。①②③解析：平面內(nèi)向量的基底不唯一，只要在同一平面內(nèi)，任一組不共線的向量都可以作為基底；而零向量與任何向量共線，故不可作為基底中的向量.故選②③。答案：B變式提升3已