高等數(shù)學課件：向量代數(shù)與空間解析幾何

向量代數(shù)與空間解析幾何

第一節(jié)空間直角坐標系 第二節(jié)向量的線性運算 第三節(jié)向量的數(shù)量積、向量積第四節(jié)曲面及其方程 第五節(jié)空間曲線及其方程 第六節(jié)平面和空間直線的方程向量代數(shù)與空間解析幾何

在中學中，我們曾學過平面解析幾何.通過建立一個平面直角坐標系，可將平面上的點與一個有序數(shù)組對應起來；將平面上的一條直線或曲線，與一個代數(shù)方程對立起來，這樣就可以用代數(shù)方法來研究平面幾何問題.而空間解析幾何是平面解析幾何的進一步發(fā)展，它是在三維空間里利用代數(shù)方法研究幾何問題.第一節(jié)空間直角坐標系、空間點的直角坐標。在研究空間解析幾何的開始，我們首先建立一個空間直角坐標系.如圖4-1，在空間中，任意固定一點O，以O為原點，做三條等長且相互垂直的直線，對于這三條直線，分別確定他們的正向，使他們成為坐標軸OX，OY，OZ.OX軸又稱為x軸或橫軸，OY軸又稱為y軸或縱軸，OZ稱為z軸或豎軸，三條坐標軸單位長度相同.習慣上，總把x軸，y軸放在水平面上，z軸放在垂直位置上。x軸，y軸，z軸方向的按右手法則確定，即以右手握住z軸，大拇指方向為z軸的正方向，其余四指從x軸正向旋轉(zhuǎn)90度，所指方向便為y軸正向.圖4-1這種坐標系又稱為空間直角右手坐標系。相應的還有一個左手坐標系，但不常用，在我們這本教材中，里面使用的全部都是右手坐標系.在上圖中，我們可以確定三個坐標平面，即三個坐標面，他們相互垂直，其中，垂直于OX軸的叫做YOZ平面或Oyz平面，其他類似.三個坐標平面把整個空間分成了八個部分，每個部分叫做卦限，八個卦限的排列順序如圖4-2IVVIVVII0xyVIIIIIIIIIz圖4-2：八個卦限分布空間直角坐標系建立以后，我們就可以建立空間的點與有序數(shù)組之間的對應關系，為此先介紹空間點的坐標.對于空間任意一點M，過M做三個平面，分別垂直于x軸，y軸和z軸，他們與之的交點分別記做P、Q、R（如圖4-3）.這三個點分別在x軸，y軸和z軸上的坐標依次為x，y，z.這樣點M就唯一的確定了一個有序數(shù)組（x，y，z），這組數(shù)（x，y，z）就叫做M點的坐標，并依次稱x，y和z為M點的橫坐標，縱坐標和豎坐標，通常記為M（x，y，z）.圖4-3：點M坐標倒過來，對任意一個有序數(shù)組（x，y，z），空間總有唯一的點M，其坐標就是（x，y，z）。事實上，在x軸上，取坐標為x的點P，在y軸上，取坐標為y的點Q，在z軸上，取坐標為z的點R。經(jīng)過P、Q、R分別作平行于坐標面YOZ，ZOX，XOY的平面，這三個平面相互垂直，且交于一點M。顯然，M點且僅有M點是以有序組（x，y，z）為坐標的點.從上面兩個方面，我們知道，在建立空間直角坐標系后，空間的點M和有序數(shù)組（x，y，z）之間建立一個一一對應的關系，（x，y，z）可以叫做M點的直角坐標，根據(jù)坐標畫點時，可按圖2的路線進行.坐標面和坐標軸上的點，其坐標各有一些特征，很簡單，這里就不詳寫了.下面我們講卦限劃分：各卦限內(nèi)的點（除去坐標面上的點外）的坐標符號如下：Ⅰ（+，+，+），Ⅱ（-，+，+），Ⅲ（-，-，+），Ⅳ（+，-，+，）Ⅴ（+，+，-），Ⅵ（-，+，-），Ⅶ（-，-，-），Ⅷ（+，-，-）不過，我們很少用到卦限的概念二、空間上兩點間的距離我們知道：在數(shù)軸上，M1（x1），M2（x2）兩點之間的距離為D=.在平面上，M1（x1，y1），M2（x2，y2）兩點之間的距離為：

D=.那么，在空間上任意兩點M1（x1，y1，z1），M2（x2，y2，z2）之間的距離是多少呢？我們可以證明：D=事實上，過M1，M2，各作分別垂直于三條坐標軸的平面，這六個平面圍成一個以M1，M2，為對角線的長方體（圖4-4）.圖4-4∴D2=

==∴D=這就是空間兩點的距離公式?！咎貏e的】：（1）點M（x，y，z）與坐標原點O（0，0，0）的距離為

d=（2）M1，M2兩點之間的距離等于0M1=M2，兩點重合，也即x1=x2，y1=y2，z1=z2。（3）=例1：已知三角形的頂點為A（1，2，3），B（7，10，3）和C（-1，3，1）。試證明A角為鈍角.證：===可見，>+由余弦定理，就可知A角為鈍角.例2：在z軸上，求與A(-4,1,7)和B(3,5,-2)兩點等距離的點.解：設M為所求的點，因為M在z軸上，故可設M的坐標為：（0，0，z）根據(jù)題意，及=去根號，整理得：z=14/9∴M（0，0，14/9）.例3：試在xoy平面上求一點，使它到A(1,-1,5)、B(3,4,4)和C(4,6,1)各點的距離相等.解：設M為所求。故依題意可設M的坐標為（x，y，0），又由題意知：

|MA|=|MB|=MC|，即：==

化簡可得∴所求的點為M（16，-5，0）.第二節(jié)向量的線性運算

、向量概念在物理學中，有許多量不僅有大小而且有方向，比如力、磁場強度等.我們將這些量稱為向量（矢量）.定義：向量是既有大小（由一個大于等于零的數(shù)表示）又有方向的量.在數(shù)學中，往往用一條有方向的線段，又稱有向線段來表示向量。有向線段的長度表示該向量的大小，有向線段的方向表示該向量的方向.以M1為起點，M2為終點的有向線段表示的向量，記為。有時也用一個粗體字母或者上面帶有尖頭的字母來表示向量，比如：或者a，j，k，v等等.向量大小叫做向量的模。向量的模即該有向線段的長度.向量，，a的模依次記做，，|a|.我們要注意，|·|不是絕對值.對于向量，我們也可以對其進行類似數(shù)字一樣的加、減、乘法運算.在數(shù)字中有0和1，相應的為了進行向量運算亦需要“0”和“1”，所以作如下定義：（1）模為1的向量稱為單位向量.（2）模為0的向量稱為零向量，記做0，.零向量的方向可以是任意，但規(guī)定一切零向量都相等.另外，在直角坐標系中，坐標原點O為始點，M為終點的向量，稱為點M對點O的向徑，由粗體字r表示.在實際問題中，有的向量與始點無關（比如指南針），而有的與始點有關（比如點的運動速度）.而我們現(xiàn)在只考慮前一種，即與始點無關的向量，并稱為自由向量，簡稱向量.由于我們不考慮始點的所在位置，因而規(guī)定，兩個方向相同，長度一樣的向量a或b稱為相等向量，或a和b相等，記為a=b。又說：如果兩個向量經(jīng)過平行移動后能夠完全重合，就稱為兩個向量相等。如圖4-5圖4-5：兩個相等的向量若向量a，b，長度相等，方向相反，就稱為它們互為負向量，如圖4-6，用a=-b或者b=-a表示；若a，b方向相同或者相反，則稱a，b為平行向量，記為a//b.圖4-6：負向量二、向量的加減法及向量與數(shù)的乘法在研究物體受力時，作用于一個質(zhì)點的兩個力可以看作兩個向量.而它的合力就是以這個力作為邊的平行四邊形的對角線上的向量.我們現(xiàn)在討論向量的加法就是對合力這個概念在數(shù)學上的抽象和概括.向量的加法(i)平行四邊形法則：設已知向量，，以任意點O為始點.一般講，任意二向量未必同始點，但是利用自由向量的特點可以做到同一始點，且分別以A，B為終點.=，=，再以OA，OB為邊作平行四邊形OACB，對角線的向量=，這就是，之和，記做+=（如圖4-7）圖4-7：向量加法四邊形法則由，求+的過程叫做向量的加法，上述利用平行四邊形的對角線上向量來規(guī)定兩向量之和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.若兩個向量，在同一直線上（或者平行），則它們的和規(guī)定為：（1）若，同向，其和向量的方向就是，的共同方向，其模為的模和的模之和.（2）若，反向，其和向量的方向為，中較長的向量的方向，其模為，中較大的模與較小的模之差.

(ii)三角形法則：設已知向量，，現(xiàn)在以任意點O為始點，做=，再以的終點A為始點，做=，連接OC，且令=，則+=，如圖4-8.對于任意向量，我們有：+（-）=；+=+=向量的加法滿足：（1）交換律：+=+（2）結(jié)合律：（+）+=+（+）圖4-8：向量加法三角形法則一般地，對于n個向量,,,…,,它們的和可記做+++…+。它們之間不須加括號，根據(jù)交換律，各向量次序可以任意顛倒。由三角形法則，依次將后一個向量的起點與前一個向量的中點連接，最后再將第一個向量的起點與最后一個向量的終點相連接，所得向量即這n個向量的和。例如，記=,=，…=得到一系列折線A1AA2…An-1An，連接OAn，

O得：=+++…+向量的減法

規(guī)定：

(1)平行四邊形法則.將、－之一平移,使起點重合,作以、為鄰邊的平行四邊形,對角線向量,為，如圖4-9

(2)三角形法則.將、之一平移,使起點重合,由的終點向的終點作一向量,即為，如圖4-10圖4-9：向量減法的平行四邊形法則圖4-10向量減法的平行三角形法則3、向量與數(shù)量的乘法設是一個數(shù)量，向量與的乘積規(guī)定為：（1）當>0時，表示一向量，其方向與方向相同，其模為的倍，即.（2）當=0時，為零向量，即（3）當<0時，表示一向量，其方向與方向相反，其模為的倍，即.特別的：當=-1時，（-1）與互為負向量，故有（-1）=.數(shù)和向量的乘積滿足下列運算規(guī)則：（1）結(jié)合律：（2）分配律：證明從略兩個非零向量平行，則它們方向相同或相反，所以有：//設ea是方向與a相同的單位向量，則根據(jù)向量與數(shù)量乘法的定義，可以將a寫成a＝｜a｜ea

這樣就把一個向量的大小和方向都明顯地表示出來.由此也有ea＝

(2)就是說把一個非零向量除以它的模就得到與它同方向的單位向量.例1.已知平行四邊形兩鄰邊向量，，其對角線交點為M，求

解：

如圖4-11所示，顯然，又∴又∵

即

∴

又A

B

C

D

M圖4-11三、向量的坐標表示利用平行四邊形法則或三角形法只能計算向量的和差，且只能用幾何的方法研究向量，很難利用先進的計算工具--如計算機程序--進行處理。在空間直角坐標系下，我們可以將向量用坐標表示，用分析的方法研究向量，解決上述難題1.向量在軸上的投影為了用分析方法來研究向量，需要引進向量在軸上的投影的概念.（1）兩向量的夾角.設有兩個非零向量a，b，任取空間一點O，作＝a，＝b，則稱這兩向量正向間的夾角θ為兩向量a與b的夾角（圖4-12），記作圖4-12θ＝（）或θ=（），0≤θ≤π.(1)當a與b同向時，θ＝0；當a與b反向時，θ＝π.（2）點A在軸u上的投影過點A作與軸u垂直的平面，交軸u于點A′，則點A′稱為點A在軸u上的投影（圖4-13）.圖4-13圖4-14（3）向量在軸u上的投影首先我們引進軸上的有向線段的值的概念設有一軸u,是軸u上的有向線段.如果數(shù)λ滿足|λ|=||,且當與u軸同向時λ是正的，當與u軸反向時λ是負的，那么數(shù)λ叫做軸u上有向線段的值，記作AB，即λ=AB.設A、B兩點在軸u上的投影分別為A′，B′（圖4-14），則有向線段的值A′B′稱為向量在軸u上的投影，記作Prju＝A′B′,它是一個數(shù)量.軸u叫做投影軸.這里應特別指出的是：投影不是向量，也不是長度，而是數(shù)量，它可正，可負，也可以是零.關于向量的投影有下面兩個定理：定理1向量在軸u上的投影等于向量的模乘以u與向量的夾角的余弦，即Prju＝｜｜cos.(2)證過A作與軸u平行且有相同正向的軸u′，則軸u與向量間的夾角α等于軸u′與向量間的夾角（圖4-15）.從而有圖4-15Prju＝Prju′＝AB″＝｜｜cos.顯然，當是銳角時，投影為正值；當是鈍角時，投影為負值；當是直角時，投影為0.定理2兩個向量的和在某軸上的投影等于這兩個向量在該軸上投影的和，即Prju（a1＋a2）＝Prjua1＋Prjua2.(3)證設有兩個向量a1，a2及某軸u,由圖4-16可以看到圖4-16Prju（a1＋a2）＝Prju（+）＝Prju＝A′C′,而Prjua1+Prjua2＝Prju+Prju＝A′B′＋B′C′＝A′C′，所以Prju（a1＋a2）＝Prjua1＋Prjua2.顯然，定理2可推廣到有限個向量的情形，即Prju（a1＋a2＋…+an）＝Prjua1＋Prjua2＋…＋Prjuan.(4)2.向量的坐標表示利用向量在坐標軸上的投影，我們可以給出向量的坐標表示形式.（1）向量的分解設空間直角坐標系Oxyz，以i，j，k分別表示沿x軸、y軸、z軸正向的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標系的基本單位向量.始點固定在原點O、終點為M的向量r＝稱為點M的向徑.設向徑的終點M的坐標為（x,y,z）.過點M分別作與三個坐標軸垂直的平面，依次交坐標軸于P，Q，R（圖4-17），根據(jù)向量的加法，有圖4-17r＝＝＋＋，但＝，＝，所以r＝＋＋.向量，，分別稱為向量r＝在x，y，z軸上的分向量，根據(jù)數(shù)與向量的乘法得＝xi,＝y(tǒng)j，＝zk.因此有＝r＝xi＋yj＋zk.(5)這就是向量r在坐標系中的分解式.其中x,y,z三個數(shù)是向量r＝在三個坐標軸上的投影.一般地，設向量a＝,M1、M2的坐標分別為M1（x1,y1,z1）及M2（x2,y2,z2），如圖4-18所示，由于圖4-18＝－＝－,而＝x2i＋y2j＋z2k,＝x1i＋y1j＋z1k,所以a＝＝（x2i＋y2j＋z2k）－（x1i＋y1j＋z1k）＝（x2－x1）i＋（y2－y1）j＋（z2－z1）k.(6)這個式子稱為向量按基本單位向量的分解式.其中三個數(shù)量ax＝x2－x1,ay＝y(tǒng)2－y1,az＝z2－z1是向量a＝在三個坐標軸上的投影.我們也可以將向量a的分解式寫成a＝axi＋ayj＋azk.(7)（2）向量的坐標表示.定義:向量a在三個坐標軸上的投影ax，ay，az叫做向量a的坐標，并將a表示為a＝（ax,ay,az），上式叫做向量a的坐標表示式.從而基本單位向量的坐標表示式是i＝（1,0,0）,j＝（0,1,0）,k＝（0,0,1）.零向量的坐標表示式為0=（0,0,0）.起點為M1（x1,y1,z1）、終點為M2（x2,y2,z2）的向量的坐標表示式為＝（x2－x1,y2－y1,z2－z1），(8)特別地，向徑的坐標就是終點的坐標，即＝（x,y,z）

（3）向量的模與方向余弦的坐標表示式.向量可以用它的模和方向來表示，也可以用它的坐標來表示，為了找出向量的坐標與向量的模、方向之間的聯(lián)系，我們先介紹一種表達空間方向的方法.與平面解析幾何里用傾角表示直線對坐標軸的傾斜程度相類似，我們可以用向量a＝與三條坐標軸（正向）的夾角α，β，γ來表示此向量的方向，并規(guī)定0≤α≤π、0≤β≤π、0≤γ≤π（圖4-19），α，β，γ叫做向量a的方向角.過點M1，M2各作垂直于三條坐標軸的平面，如圖4-19所示，可以看出由于∠PM1M2＝α,又M2P⊥M1P，所以圖4-19同理ax＝M1P＝｜｜cosα＝｜a｜cosα，

ay＝M1Q＝｜｜cosβ＝｜a｜cosβ，az＝M1R＝｜｜cosγ＝｜a｜cosγ.（7）公式（7）中出現(xiàn)的不是方向角α，β，γ本身而是它們的余弦，因而，通常也用數(shù)組cosα、cosβ、cosγ來表示向量a的方向，叫做向量a的方向余弦.

而向量a的模為｜a｜＝｜｜＝由此得向量a的模的坐標表示式｜a｜＝(8)再把上式代入（8）式，可得向量a的方向余弦的坐標表示式cosα＝，

cosβ＝cosγ＝

(9)把公式（9）的三個等式兩邊分別平方后相加，便得到cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，即任一向量的方向余弦的平方和等于1.由此可見，由任一向量a的方向余弦所組成的向量（cosα,cosβ,cosγ）是單位向量，即ea＝cosαi＋cosβj＋cosγk.（4）用坐標進行向量的線性運算利用向量的分解式，向量的線性運算可以化為代數(shù)運算.設λ是一數(shù)量，a＝axi＋ayj＋azk,b＝bxi＋byj＋bzk;則a±b＝（axi＋ayj＋azk）±（bxi＋byj＋bzk）＝（ax±bx）i＋（ay±by）j＋（az±bz）k;λa＝λ（axi＋ayj＋azk）＝λaxi＋λayj＋λazk或（ax,ay,az）±（bx,by,bz）＝（ax±bx,ay±by,az±bz）,λ（ax,ay,az）＝（λax,λay,λaz）.這就是說，兩向量之和（差）的坐標等于兩向量同名坐標之和（差）；數(shù)與向量之積，等于此數(shù)乘上向量的每一個坐標.

利用向量的坐標，向量b//a

b

a

即b//a

(bx

by

bz)

(ax

ay

az)

于是b//a

例3設已知兩點)和B(1,3,0)

計算向量的模、方向余弦和方向角

解

第三節(jié)向量的數(shù)量積、向量積一.兩向量的數(shù)量積在物理學中，我們知道當物體在力F的作用下（圖4-20），產(chǎn)生位移s時，力F所作的功圖4-20W＝｜F｜cos（）·｜s｜

=｜F｜｜s｜cos（）.這樣，由兩個向量F和s決定了一個數(shù)量｜F｜｜s｜cos（）.根據(jù)這一實際背景，我們把由兩個向量F和s所確定的數(shù)量｜F｜｜s｜cos（）定義為兩向量F與s的數(shù)量積.定義1兩向量a與b的模與它們的夾角余弦的乘積，叫做a與b的數(shù)量積或點積，記為a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cos（）.(1)因其中的｜b｜cos（）是向量b在向量a的方向上的投影，故數(shù)量積又可表示a·b＝｜a｜Prjab，同樣a·b＝｜b｜Prjba.數(shù)量積滿足下列運算性質(zhì)：（1）a·b＝b·a；（交換律）（2）

a·（b＋c）＝a·b＋a·c；（分配律）（3）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）.（結(jié)合律）由數(shù)量積的定義，容易得出下面的結(jié)論：（1）a·a＝｜a｜2；（2）兩個非零向量a與b互相垂直的充要條件是a·b＝0.數(shù)量積的坐標表示式設a＝axi＋ayj＋azk,b＝bxi＋byj＋bzk,根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)可得a·b＝（axi＋ayj＋azk）·（bxi＋byj＋bzk）=axbxi·i＋axbyi·j＋axbzi·k＋aybxj·i+aybyj·j＋aybzj·k+azbxk·i＋azbyk·j＋azbzk·k.由于基本單位向量i,j,k兩兩互相垂直，從而，i·j＝j·k＝k·i=j·i＝k·j＝i·k＝0.又因為i,j,k的模都是1，所以i·i＝j·j＝k·k＝1，因此a·b＝axbx＋ayby＋azbz.（2）即兩向量的數(shù)量積等于它們同名坐標的乘積之和.由于a·b＝｜a｜｜b｜cos（），當a，b都是非零向量時有

cos（）＝＝.(3)這就是兩向量夾角余弦的坐標表示式.從這個公式可以看出，兩非零向量互相垂直的充要條件為axbx＋ayby＋azbz＝0.(4)例1已知三點M(1

1

1)、A(2

2

1)和B(2

1

2)

求

AMB

解從M到A的向量記為a

從M到B的向量記為b

則

AMB

就是向量a與b的夾角

a

{1

1

0}

b

{1

0

1}

因為

a

b

1

1

1

0

0

1

1

所以

從而二.兩向量的向量積在研究物體轉(zhuǎn)動問題時，不但要考慮此物體所受的力，還要分析這些力所產(chǎn)生的力矩.下面舉例說明表示力矩的方法.設O為杠桿L的支點，有一個力F作用于這杠桿上P點處，F(xiàn)與的夾角為θ.由物理學知道，力F對支點O的力矩是一向量M，它的模圖4-20｜M｜＝｜OQ｜｜F｜＝｜｜｜F｜sinθ.

而M的方向垂直于與F所確定的平面（即M既垂直于，又垂直F），M的指向按右手規(guī)則，即當右手的四個手指從以不超過π的角轉(zhuǎn)向F握拳時，大拇指的指向就是M的指向.由兩個已知向量按上述規(guī)則來確定另一向量，在其他物理問題中也會遇到，比如洛倫磁力的計算.把這一計算形式抽象出來，就是兩個向量的向量積的概念.定義5兩向量a與b的向量積是一個向量c，記為c＝a×b，它的大小與方向規(guī)定如下：（1）｜a×b｜＝｜a｜｜b｜sin（），即等于以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積；（2）a×b垂直于a,b所確定的平面，并且按順序a，b，a×b符合右手法則（見圖4-21）.圖4-21向量積滿足下列規(guī)律：（1）a×b＝－b×a（向量積不滿足交換律）.（2）（a＋b）×c＝a×c＋b×c.（3）（λa）×b＝a×（λb）＝λ（a×b）由向量積的定義，容易得出下面的結(jié)論：（1）a×a＝0.（2）兩個非零向量a與b互相平行的充要條件是a×b＝0.3.向量積的坐標表示式設a＝axi＋ayj＋azk,

b＝bxi＋byj＋bzk.則a×b＝（axi＋ayj＋azk）×（bxi＋byj＋bzk）＝axbx（i×i）＋axby（i×j）＋axbz（i×k）＋aybx（j×i）＋ayby（j×j）＋aybz（j×k）＋azbx（k×i）＋azby（k×j）＋azbz（k×k）.由于i×i＝j×j＝k×k＝0，

i×j＝k,j×k＝i,k×i＝j，j×i＝－k，k×j＝－i,i×k＝－j.所以a×b＝（aybz－azby）i＋（azbx－axbz）j＋（axby－aybx）k.(5)這就是向量積的坐標表示式.這個公式可以用行列式（行列式的定義及簡單運算見本書后附錄）寫成下列便于記憶的形式：a×b＝

(6)從這個公式可以看出，兩非零向量a和b互相平行的條件為aybz－azby＝0,azbx－axbz＝0,axby－aybx＝0,或(7)第四節(jié)曲面及其方程一、曲面方程在空間解析幾何中

任何曲面都可以看作點的幾何軌跡

在這樣的意義下

如果曲面S與三元方程F(x

y

z)0(1)有下述關系

(1)曲面S上任一點的坐標都滿足方程F(x

y

z)0

(2)不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程F(x

y

z)0

那么

方程F(x

y

z)

0就叫做曲面S的方程

而曲面S就叫做方程F(x

y

z)

0的圖形

例1建立球心在點M0(x0

y0

z0)、半徑為R的球面的方程

解設M(x

y

z)是球面上的任一點

那么|M0M|

R

即或(x

x0)2(y

y0)2(z

z0)2R

這就是球面上的點的坐標所滿足的方程

而不在球面上的點的坐標都不滿足這個方程

所以(x

x0)2(y

y0)2(z

z0)2R2

就是球心在點M0(x0

y0

z0)、半徑為R的球面的方程

特殊地

球心在原點O(00

0)、半徑為R的球面的方程為

x2

y2z2R2

例2設有點A(1

2

3)和B(2

1

4)

求線段AB的垂直平分面的方程

解由題意知道

所求的平面就是與A和B等距離的點的幾何軌跡

設M(x

y

z)為所求平面上的任一點

則有|AM|

|BM|

即等式兩邊平方

然后化簡得2x

6y

2z

7

0

這就是所求平面上的點的坐標所滿足的方程

而不在此平面上的點的坐標都不滿足這個方程

所以這個方程就是所求平面的方程

二、旋轉(zhuǎn)曲面設在yOz面上有一已知曲線C，它的方程為f（y,z）＝0，將這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，就得到一個以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面.現(xiàn)在來求這個旋轉(zhuǎn)曲面的方程（見圖4-22）.圖4-22在旋轉(zhuǎn)曲面上任取一點M（x,y,z），設這點是母線C上的點M1（0,y1,z1）繞z軸旋轉(zhuǎn)而得到的.點M與M1的z坐標相同，且它們到z軸的距離相等，所以因為點M1在曲線C上，所以f（y1,z1）＝0.將上述關系代入這個方程中，得f（±,z）＝0.（2）因此，旋轉(zhuǎn)曲面上任何點M的坐標x,y,z都滿足方程（2）.如果點M（x,y,z）不在旋轉(zhuǎn)曲面上，它的坐標就不滿足方程.所以方程（2）就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程.在上述推導過程中可以發(fā)現(xiàn)：只要在曲線C的方程f（y，z）=0中，將變量y換成±，便可得曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程

f（±,z）＝0.（3）同理，如果曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為

f（y,±）＝0.（4）對于其他坐標面上的曲線，繞該坐標面內(nèi)任一坐標軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的方程可用類似的方法求得.例3將zOx坐標面上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周

求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程

解繞x軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為這兩種曲面分別叫做雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面和單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面

三、柱面柱面：平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面

定曲線C叫做柱面的準線

動直線L叫做柱面的母線

我們只研究母線平行于坐標軸的柱面方程。如圖4-23,若柱面的母線平行于z軸，準線c是xOy面上的一條曲線，其方程為F(x,y)=0，則該柱面的方程為F(x,y)=0;因為母線平行于坐標軸的柱面的特點為：平行于某軸，則在其方程中無此坐標項。其幾何意義為：無論z取何值，只要滿足F(x,y)=0，則總在柱面上.同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空間中分別表示母線平行于y軸和x軸的柱面.

圖4-23：母線平行z軸的柱面

例如，方程x2＋y2＝a2,,，x2＝2py分別表示母線平行于z軸的圓柱面、橢圓柱面、雙曲柱面和拋物柱面（見圖4-24）,因為它們的方程都是二次的，所以統(tǒng)稱為二次柱面.圖4-24第五節(jié)空間曲線及其方程

一、空間曲線的一般方程空間曲線可以看作兩個曲面的交線

設

F(x

y

z)0和G(x

y

z)0

是兩個曲面方程

它們的交線為C

因為曲線C上的任何點的坐標應同時滿足這兩個方程

所以應滿足方程組（1）反過來

如果點M不在曲線C上

那么它不可能同時在兩個曲面上

所以它的坐標不滿足方程組

因此

曲線C可以用上述方程組來表示

上述方程組叫做空間曲線C的一般方程

例1方程組表示怎樣的曲線解方程組中第一個方程表示球心在坐標原點O

半行為a的上半球面

第二個方程表示母線平行于z軸的圓柱面

它的準線是xOy

面上的圓

這圓的圓心在點

半行為

方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線

二、空間曲線的參數(shù)方程空間曲線C的方程除了一般方程之外

也可以用參數(shù)形式表示

只要將C上動點的坐標x、y、z表示為參數(shù)t的函數(shù)

（2）

當給定t

t1時

就得到C上的一個點(x1

y1

z1)

隨著t的變動便得曲線C上的全部點

方程組(2)叫做空間曲線的參數(shù)方程

例2如果空間一點M

在圓柱面x2

y2

a2上以角速度

繞z軸旋轉(zhuǎn)

同時又以線速度v

沿平行于z軸的正方向上升(其中

、v都是常數(shù))

那么點M構成的圖形叫做螺旋線

試建立其參數(shù)方程

解取時間t為參數(shù)

設當t

0時

動點位于x軸上的一點A(a,0

0)處

經(jīng)過時間t

動點由A運動到M(x

y

z)(圖4-25)

記M在xOy

面上的投影為B

B的坐標為(x

y,0

)由于動點在圓柱面上以角速度

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)

所以經(jīng)過時間t,∠AOB

t

從而

x

|OB|cos∠AOMB

acos

t

y

|OB|sin∠AOB

asin

t,由于動點同時以線速度v

沿平行于

z

軸的正方向上升

所以

z

BM

vt.因此螺旋線的參數(shù)方程為

也可以用其他變量作參數(shù)

例如令

t

則螺旋線的參數(shù)方程可寫為其中

而參數(shù)為

圖4-25

三、空間曲線在坐標面上的投影以曲線C為準線、母線平行于z軸的柱面叫做曲線C關于xOy面的投影柱面

投影柱面與xOy面的交線叫做空間曲線C在xOy

面上的投影曲線

或簡稱投影(類似地可以定義曲線C在其它坐標面上的投影)

設空間曲線C的一般方程為設方程組消去變量z后所得的方程H(x

y)0(3)這就是曲線C關于xOy面的投影柱面

這是因為:一方面,方程H(x

y)

0表示一個母線平行于z軸的柱面

另一方面方程H(x

y)

0是由方程組消去變量z后所得的方程

因此當x、y、z滿足方程組時

前兩個數(shù)x、y必定滿足方程H(x

y)

0

這就說明曲線C上的所有點都在方程H(x

y)

0所表示的曲面上

即曲線C在方程H(x

y)

0表示的柱面上

所以方程H(x

y)

0表示的柱面就是曲線C關于xOy面的投影柱面

曲線C在xOy

面上的投影曲線的方程為

(4)討論:曲線C關于yOz面和zOx

面的投影柱面的方程是什么?曲線C在yOz面和zOx

面上的投影曲線的方程是什么?例3已知兩球面的方程為x2

y2z21

(5)和x2

(y

1)2(z

1)21

(6)求它們的交線C在xOy面上的投影方程

解先將方程x2

(y

1)2(z

1)21化為x2

y2z22y

2z

1

然后與方程x2

y2z21相減得

y

z

1

這就是交線C關于xOy面的投影柱面方程將

z

1

y代入x2y2z21得x22y22y

0

兩球面的交線C在xOy面上的投影方程為第六節(jié)、平面和空間直線的方程平面和空間直線可以看做是曲面和空間曲線的特殊情況，在空間直角坐標系下，可以給出平面和空間直線的解析形式.一、平面的方程定義1：垂直于平面的非零向量叫做該平面的法向量.容易看出，平面上的任一向量都與該平面的法向量垂直.1平面的點法式方程圖4-26我們知道，過空間一點可以作而且只能作一平面垂直于一已知直線，所以當平面Π上的一點M0（x0,y0,z0）和它的法向量n＝（A,B,C）為已知時，平面Π的位置就完全確定了.設M0（x0,y0,z0）是平面Π上一已知點，n＝（A,B,C）是它的法向量（1），M（x,y,z）是平面Π上的任一點，那么向量必與平面Π的法向量n垂直，即它們的數(shù)量積等于零：n·＝0.由于n＝（A,B,C）,＝（x－x0,y－y0,z－z0）,所以有

A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0.（1）平面Π上任一點的坐標都滿足方程（1），不在平面Π上的點的坐標都不滿足方程（1）.所以方程（1）就是所求平面的方程.因為所給的條件是已知一定點M0（x0,y0,z0）和一個法向量n＝（A,B,C），方程（1）叫做平面的點法式方程.例1求過點(2

3

0)且以n

(1

2

3)為法線向量的平面的方程

解根據(jù)平面的點法式方程

得所求平面的方程為

(x

2)

2(y

3)

3z

0

即x

2y

3z

8

0

2平面的一般式方程將方程（1）化簡，得

Ax＋By＋Cz＋D＝0,(2)其中D＝－Ax0－By0－Cz0，由于方程（2）是x，y，z的一次方程，所以任何平面都可以用三元一次方程來表示.將方程（1）化簡，得

Ax＋By＋Cz＋D＝0,(2)其中D＝－Ax0－By0－Cz0，由于方程（2）是x，y，z的一次方程，所以任何平面都可以用三元一次方程來表示.反過來，對于任給的一個三元一次方程

Ax＋By＋Cz＋D＝0,(3)我們?nèi)M足該方程的一組解x0,y0,z0，則

Ax0＋By0＋Cz0＋D＝0.（4）由方程（3）減去方程（4），得A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0.（5）把它與方程（1）相比較，便知方程（5）是通過點M0（x0,y0,z0）且以n＝（A，B，C）為法向量的平面方程.因為方程（1）與（5）同解，所以任意一個三元一次方程(2)的圖形是一個平面.方程（2）稱為平面的一般式方程.其中x,y,z的系數(shù)就是該平面的法向量n的坐標，即n＝（A，B，C）.例2求過三點M1(2

1

4)、M2(1

3

2)和M3(02

3)的平面的方程

解我們可以用作為平面的法線向量n

因為

所以根據(jù)平面的點法式方程

得所求平面的方程為14(x

2)

9(y

1)

(z

4)

0

即14x

9y

z

15

0

例3已知平面Π在三坐標軸上的截距分別