第三章 圓（壓軸20題專練）

第3章圓（壓軸題專練）題型1：圓與三角形、四邊形綜合1．是上的一條不經(jīng)過圓心的弦，，在劣弧和優(yōu)弧上分別有點(diǎn)A，B（不與M，N重合），且，連接，．(1)如圖1，是直徑，交于點(diǎn)C，，求的度數(shù)；(2)如圖2，連接，，過點(diǎn)O作交于點(diǎn)D，求證：；(3)如圖3，連接，，試猜想的值是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說明理由．2．【特例感知】

（1）如圖①，是的直徑，是的圓周角，平分交于點(diǎn)D，連接．已知，，則的度數(shù)為，點(diǎn)D到直線的距離為；【類比遷移】如圖②，是的圓周角，平分交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，垂足為M，探索線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題解決】圖③，四邊形為的內(nèi)接四邊形，，平分，，求線段的長(zhǎng)．3．如圖1，點(diǎn)是直徑上一點(diǎn)，，，過點(diǎn)作弦，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，連接．

(1)求的長(zhǎng)．(2)如圖，連接，作的角平分線交于點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，的長(zhǎng)度是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；若不會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值．(3)如圖，過點(diǎn)作于，連接，求的最小值．題型2：圓與相似三角形、解直角三角形4．已知的直徑與弦交于點(diǎn)．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)在上，連接，弦交直徑于點(diǎn)，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)在上，連接交直徑于點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．5．如圖1，內(nèi)接于，于點(diǎn)D．(1)連接，，求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)E為弧上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，若，，連接，求證：平分；(3)在（2）的條件下，如圖3，點(diǎn)G為上一點(diǎn)，連接，，若，，求線段的長(zhǎng)．6．【感知】如圖①，點(diǎn)A、B、P均在上，，則銳角的大小為___________度．

【探究】小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點(diǎn)P在上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），連結(jié)、、．求證：．小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過證明，可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證．下面是小明的部分證明過程：證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴．，∴．∵是等邊三角形．∴，∴請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程．【延申】如圖③，是的外接圓，，，點(diǎn)P在上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在的兩側(cè)，連結(jié)、、．則、、之間滿足什么關(guān)系？證明你的結(jié)論．【應(yīng)用】如圖④，是的外接圓，，，點(diǎn)P在上，且點(diǎn)P是上一點(diǎn)，連結(jié)、、．若，則的值為___________．題型3：圓與二次函數(shù)7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），交軸負(fù)半軸于點(diǎn)

(1)如圖1，①直接寫出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；②拋物線上存在點(diǎn)，使得，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖2，設(shè)經(jīng)過，，三點(diǎn)的交軸于另外一點(diǎn)，，經(jīng)過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若的長(zhǎng)等于的直徑長(zhǎng)，求的值．8．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，的三個(gè)頂點(diǎn)為，，，以及其內(nèi)部區(qū)域記為W．若點(diǎn)P落在圖形W上，則稱點(diǎn)P為“好點(diǎn)”．

(1)下列各點(diǎn)，，中是“好點(diǎn)”的有(2)如圖，點(diǎn)Q坐標(biāo)為，若以Q為圓心r為半徑的圓上存在唯一點(diǎn)P是“好點(diǎn)”，求r的值：(3)如圖，點(diǎn)M、N是拋物線（）的兩個(gè)端點(diǎn)，（點(diǎn)M在點(diǎn)N左邊），連接，由拋物線（）和線段圍城的封閉圖形及其內(nèi)部區(qū)域記為U．若圖形U上存在“好點(diǎn)”，求c的取值范圍．9．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)．

(1)求拋物線解析式和直線的解析式；(2)若點(diǎn)是第四象限拋物線上的一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），經(jīng)過三點(diǎn)的圓與過且垂直于的直線交于點(diǎn)，求當(dāng)最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)及最小值．題型4：圓在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，過點(diǎn)A、B的與y軸交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D上方），連接，點(diǎn)E為中點(diǎn)．

(1)連接，求證：；(2)若的半徑為2，的平方和等于24，求的長(zhǎng)度；(3)連接，若，點(diǎn)P在內(nèi)部，且，則B點(diǎn)坐標(biāo)為______．11．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上）給出如下定義：以為圓心，為半徑的與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，若在線段，上分別存在點(diǎn)，，使得為等腰直角三角形，其中，則稱點(diǎn)是完美點(diǎn)．如圖，若點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)，則在線段，上分別存在點(diǎn)，，使得為等腰直角三角形，其中，所以點(diǎn)是完美點(diǎn)．

(1)下列點(diǎn)中是完美點(diǎn)的有___________（填序號(hào)）；①；②(2)已知為拋物線上一點(diǎn)，若為完美點(diǎn)，求的取值范圍：(3)已知直線l：，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，若以為圓心，半徑為的上無完美點(diǎn)，求的取值范圍．12．在平面直角坐標(biāo)系中，線段，點(diǎn)M，N在線段上，且，P為的中點(diǎn)，如果任取一點(diǎn)Q，將點(diǎn)Q繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則稱點(diǎn)為點(diǎn)Q關(guān)于線段的“旋平點(diǎn)”

(1)如圖1，已知，，，如果為點(diǎn)Q關(guān)于線段的“旋平點(diǎn)”，①寫出一個(gè)點(diǎn)Q的“旋平點(diǎn)”的坐標(biāo)______；②畫出示意圖，寫出a的取值范圍：(3)如圖2，的半徑為3，點(diǎn)A，B在上，點(diǎn)，如果在直線上存在點(diǎn)Q關(guān)于線段的“旋平點(diǎn)”，求m的取值范圍．題型5：與圓有關(guān)的動(dòng)態(tài)問題13．（1）如圖1，已知點(diǎn)，是軸上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)是中點(diǎn)，求證．

（2）在（1）的條件下，可知在線段的垂直平分線上，若點(diǎn)，則是否有最小值？最小值為多少？（3）如圖2，在中，為中點(diǎn)，圓過，兩點(diǎn)且分別交于點(diǎn)，連接，當(dāng)圓從過點(diǎn)變化到過時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為多長(zhǎng)？

14．在矩形中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊向點(diǎn)B以每秒的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿邊向點(diǎn)A以每秒的速度移動(dòng)，P、Q其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．解答下列問題：(1)如圖①，t為何值時(shí)，的面積等于；(2)如圖②，若以點(diǎn)P為圓心，為半徑作．在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在t值，使得經(jīng)過點(diǎn)C？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖③，若以Q為圓心，為半徑作，當(dāng)與相切時(shí)．①求t的值．②如圖④，若點(diǎn)E是此時(shí)上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接，則線段的最大值為_____．15．在中，，，給出如下定義：作直線l分別交、邊于點(diǎn)M、N，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，則稱為等腰直角關(guān)于直線l的“直角對(duì)稱點(diǎn)”．（點(diǎn)M可與點(diǎn)B重合，點(diǎn)N可與點(diǎn)C重合）(1)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線，O'為等腰直角關(guān)于直線l的“直角對(duì)稱點(diǎn)”．①當(dāng)時(shí)，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)______；②連接，求長(zhǎng)度的取值范圍；(2)⊙O的半徑為8，點(diǎn)M是上一點(diǎn)，以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)作等腰直角，其中，直線l與、分別交于E、F兩點(diǎn)，同時(shí)為等腰直角關(guān)于直線l的“直角對(duì)稱點(diǎn)”，連接；當(dāng)點(diǎn)M在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出長(zhǎng)度的最大值與最小值．題型6：切線問題16．已知：四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線交于點(diǎn)平分．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，求線段的長(zhǎng)．17．已知平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心，5為半徑的交y軸的正半軸于點(diǎn)P，小剛同學(xué)用手中的三角板（）進(jìn)行了如下的實(shí)驗(yàn)操作：

(1)如圖1，將三角板的斜邊放置于x軸上，邊恰好與相切于點(diǎn)D，則切線長(zhǎng)；(2)如圖2，將三角板的頂點(diǎn)A在上滑動(dòng)，直角頂點(diǎn)B恰好落在x軸的正半軸上，若邊與相切于點(diǎn)M，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)請(qǐng)?jiān)趥溆脠D上繼續(xù)操作：將三角板的頂點(diǎn)A繼續(xù)在上滑動(dòng)，直角頂點(diǎn)B恰好落在上且在y軸右側(cè)，邊與y軸的正半軸交于點(diǎn)G，與的另一交點(diǎn)為H，若，求的長(zhǎng)．18．已知：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P和的半徑為4，交x軸于點(diǎn)A，B，對(duì)于點(diǎn)P給出如下定義：過點(diǎn)C的直線與交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，我們把這樣的點(diǎn)P叫做關(guān)于的“折弦點(diǎn)”．

(1)若．①點(diǎn)中是關(guān)于的“折弦點(diǎn)”的是；②若直線上只存在一個(gè)關(guān)于的“折弦點(diǎn)”，求k的值；(2)點(diǎn)C在線段上，直線上存在關(guān)于的“折弦點(diǎn)”，直接寫出b的取值范圍．題型7：正多邊形與圓、弧長(zhǎng)問題19．如圖1．扇形中，，，點(diǎn)P在半徑上，連接．(1)把沿翻折，點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q．①當(dāng)點(diǎn)Q剛好落在弧上，求弧的長(zhǎng)；②如圖2，點(diǎn)Q落在扇形外，與弧交于點(diǎn)C，過點(diǎn)Q作，垂足為H，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；如圖3，記扇形在直線上方的部分為圖形W，把圖形W沿著翻折，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，弧與交于點(diǎn)F，若，求的長(zhǎng)．20．【綜合與實(shí)踐】【問題情境】在學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)活動(dòng)《車輪做成圓形的數(shù)學(xué)道理》后，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們利用計(jì)算機(jī)軟件繼續(xù)模擬并探討各種不同類型的圖形的滾動(dòng)問題．【實(shí)踐探究】同學(xué)們首先選擇了以下四種正多邊形沿水平地面的滾動(dòng)，研究了以一個(gè)頂點(diǎn)為支點(diǎn)完成一次完整旋轉(zhuǎn)的過程．例如，在圖一中，等邊三角形圍繞頂點(diǎn)，中心從順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到再到的過程．我們定義這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程為正多邊形繞一個(gè)頂點(diǎn)的一次旋轉(zhuǎn)．（1）我們學(xué)習(xí)了圖二中正方形繞一個(gè)頂點(diǎn)的一次旋轉(zhuǎn)角度為，即是正方形的中心角度數(shù)，也是外角度數(shù)．那么等邊三角形繞一個(gè)頂點(diǎn)的一次旋轉(zhuǎn)角度為______；正五邊形繞一個(gè)頂點(diǎn)的一次旋轉(zhuǎn)角度為______；正邊形繞一個(gè)頂點(diǎn)的一次旋轉(zhuǎn)角度為______；【深入探究】同學(xué)們繼續(xù)模擬并探究，如果不是沿著水平地面滾動(dòng)又會(huì)是怎樣的情況？（2）如圖五，半徑為2的正五邊形在另一個(gè)相同半徑的正五邊形的邊上順時(shí)針滾動(dòng)，初始時(shí)正五邊形繞頂點(diǎn)的一次旋轉(zhuǎn)中，中心旋轉(zhuǎn)到，則這一次旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角度是多大？沿正五邊形滾動(dòng)一周后回到原來的位置，中心的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為多少？【問題解決】如果將正多邊形變化為其他圖形又會(huì)是怎樣的情況呢？（3）如圖六，點(diǎn)為上的點(diǎn)，，，由弦及弧組成的類似扇形的圖形沿著水平地面順時(shí)針滾動(dòng)一周，直接寫出圓心的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)．

第3章圓（壓軸題專練）題型1：圓與三角形、四邊形綜合1．是上的一條不經(jīng)過圓心的弦，，在劣弧和優(yōu)弧上分別有點(diǎn)A，B（不與M，N重合），且，連接，．(1)如圖1，是直徑，交于點(diǎn)C，，求的度數(shù)；(2)如圖2，連接，，過點(diǎn)O作交于點(diǎn)D，求證：；(3)如圖3，連接，，試猜想的值是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)證明見解析(3)存在，16【分析】（1）如圖1，根據(jù)圓周角定理得到；由圓周角、弧、弦的關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)推知，，易得的度數(shù)；（2）如圖2，連接，，，利用圓周角、弧、弦的關(guān)系和平行線的性質(zhì)推知：；根據(jù)等腰的性質(zhì)知：；結(jié)合的內(nèi)角和定理得到：，即；（3）設(shè)，．如圖3，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，作于點(diǎn)E．構(gòu)造全等三角形：，則該全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，，由勾股定理知，，代入化簡(jiǎn)即可得到該結(jié)論．【解析】（1）解：如圖1，∵是的直徑，∴．∵，∴．∵，∴，∴；（2）解：如圖2，連接，，．∵，∴．又∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴；（3）解：如圖3，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，作于點(diǎn)E．設(shè)，．∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，．∵于點(diǎn)E．∴．∵，∴．化簡(jiǎn)得，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，主要考查圓周角定理、圓周角、弧、弦間的關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要熟練以上各部分內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來．2．【特例感知】

（1）如圖①，是的直徑，是的圓周角，平分交于點(diǎn)D，連接．已知，，則的度數(shù)為，點(diǎn)D到直線的距離為；【類比遷移】（2）如圖②，是的圓周角，平分交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，垂足為M，探索線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題解決】（3）圖③，四邊形為的內(nèi)接四邊形，，平分，，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）；；（2），詳見解析；（3）．【分析】（1）利用角平分線的定義得出，再利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求得，利用直徑所對(duì)的圓周角是90°，繼而求出，，再證明，利用相等的圓周角所對(duì)的弦相等得出，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，利用含的直角三角形的性質(zhì)即可得解；（2）連接，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，證明得到，再證明得到，從而得到；（3）作于點(diǎn)G，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，證明得到，設(shè)，再證明四邊形是正方形，從而得到，從而得到，，，再利用建立方程，求出x，從而得解．【解析】（1）∵平分，∴，∴，∵為直徑，∴，∴，∴，∴，∴，∴，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，則，，則有，∴，即點(diǎn)D到直線的距離為，

故答案為：；；（2），理由如下：如圖②，連接，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

∵平分，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，（3）如圖③，作于點(diǎn)G，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

∵平分，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，設(shè)，∵，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，解得，(不符合題意，舍去)，∴，∴線段的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，一元二次方程的解法等知識(shí)，靈活運(yùn)用圓的性質(zhì)和利用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．如圖1，點(diǎn)是直徑上一點(diǎn)，，，過點(diǎn)作弦，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，連接．

(1)求的長(zhǎng)．(2)如圖，連接，作的角平分線交于點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，的長(zhǎng)度是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；若不會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值．(3)如圖，過點(diǎn)作于，連接，求的最小值．【答案】(1)8(2)的長(zhǎng)度不發(fā)生變化；(3)【分析】（1）連接，根據(jù)，，確定圓的半徑為5，結(jié)合，根據(jù)垂徑定理，得到，得．（2）連接，根據(jù)垂徑定理，得到，利用三角形外角性質(zhì)，圓周角定理，證明即可．（3）根據(jù)題意，點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為直徑的上的，當(dāng)D、H、N三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，計(jì)算即可．【解析】（1）如圖，連接，∵，，∴，∴圓的半徑為5，

∵，∴，∴．（2）的長(zhǎng)度不發(fā)生變化；．理由如下：如圖，連接，

∵直徑，，，弦，，∴，∴，∵的角平分線交于點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，∴，故的長(zhǎng)度不發(fā)生變化；．（3）如圖，連接，∵，

∴點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為直徑的上的，當(dāng)D、H、N三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，連接，交于點(diǎn)M，故當(dāng)H與M重合時(shí)，取得最小值，∵，，，∴，∴，過點(diǎn)N作于點(diǎn)F，則，∴，∵，∴，，，∴，∴，故最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形外角性質(zhì)，直角所對(duì)的弦是直徑，點(diǎn)圓最值，中位線定理，熟練掌握垂徑定理，圓的最值性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型2：圓與相似三角形、解直角三角形4．已知的直徑與弦交于點(diǎn)．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)在上，連接，弦交直徑于點(diǎn)，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)在上，連接交直徑于點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見詳解；(2)見詳解；(3)．【分析】（1）利用弧、弦之間的關(guān)系及線段垂直平分線的判定定理即可證明；（2）利用已知條件證明，得圓心角相等即可證明；（3）根據(jù)角平分線、三角函數(shù)及已知條件作輔助線，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理及三角函數(shù)使問題得以解決．【解析】（1）證明：連接，，，，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，即．（2）證明：作的平分線，交于點(diǎn)G，連接，，是的直徑，，即，，，，，．（3）作于M，設(shè)，，即，，，，，，，，連接，，，同理，，，，，，設(shè)，，，中，，，中，，，，作于N，，平分，，，，即，，，，連接，，，，即，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，有難度，考查了線段垂直平分線的判定、圓周角、弧、弦及圓心角的關(guān)系、勾股定理、三角函數(shù)、角平分線的性質(zhì)及判定，熟練掌握角平分線性質(zhì)及判定是本題的關(guān)鍵．5．如圖1，內(nèi)接于，于點(diǎn)D．(1)連接，，求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)E為弧上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，若，，連接，求證：平分；(3)在（2）的條件下，如圖3，點(diǎn)G為上一點(diǎn)，連接，，若，，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，且結(jié)合，即可作答；（2）先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，得，等角對(duì)等邊，得，即可證明，結(jié)合全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，即可作答；（3）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是相等，得，由三角形的內(nèi)角和，得，等角對(duì)等邊，得，進(jìn)而證明，得，等角對(duì)等邊，得，故，因?yàn)?，，證明，得，解得，由勾股定理建立式子，即可作答．【解析】（1）證明：∵∴∴∵∴∴（2）證明：設(shè)∵，∴，∴∴∴∵，∴．∴∴OF平分．（3）解：連接，過點(diǎn)E作于點(diǎn)M交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N由（2）得，，∴∵∴，∵，且∴，∴，∴．∴∵，∴∴，，∵∴∴∴∵∴∵∵，∴∴∴∴∴∵∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了圓綜合，涉及圓周角定理，三角形外角性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等綜合內(nèi)容，難度較大，綜合性較強(qiáng)，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用等角對(duì)等邊以及作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．6．【感知】如圖①，點(diǎn)A、B、P均在上，，則銳角的大小為___________度．

【探究】小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點(diǎn)P在上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），連結(jié)、、．求證：．小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過證明，可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證．下面是小明的部分證明過程：證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴．，∴．∵是等邊三角形．∴，∴請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程．【延申】如圖③，是的外接圓，，，點(diǎn)P在上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在的兩側(cè)，連結(jié)、、．則、、之間滿足什么關(guān)系？證明你的結(jié)論．【應(yīng)用】如圖④，是的外接圓，，，點(diǎn)P在上，且點(diǎn)P是上一點(diǎn)，連結(jié)、、．若，則的值為___________．【答案】【感知】，【探究】見解析，【延申】，見解析，【應(yīng)用】【分析】感知：根據(jù)圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，即可得出答案；探究：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接，先通過“”證明，得出，，進(jìn)而得出是等邊三角形，即可得出結(jié)論；延申：延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接，先結(jié)合圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，則通過通過“”證明出，進(jìn)而判斷出，進(jìn)而得出是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；應(yīng)用：過點(diǎn)作，記與的交點(diǎn)為點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理得，結(jié)合，得是等腰直角三角形，通過兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等證明，得，同理證明，得，即，即可作答．【解析】解：感知∵，∴；探究：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴．，∴．∵是等邊三角形．∴，∴∴，，∵△ABC是等邊三角形，∴，∴，∴為等邊三角形，∴；延伸：如圖③，延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接．

∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，即；應(yīng)用：如圖：過點(diǎn)作，記與的交點(diǎn)為點(diǎn)，設(shè)，

因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以是等腰直角三角形，則即，因?yàn)?，，所以，則，即，故，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，則，即，故，所以，那么．【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理，勾股定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，難度較大，綜合性較強(qiáng)，正確作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．題型3：圓與二次函數(shù)7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），交軸負(fù)半軸于點(diǎn)

(1)如圖1，①直接寫出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；②拋物線上存在點(diǎn)，使得，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖2，設(shè)經(jīng)過，，三點(diǎn)的交軸于另外一點(diǎn)，，經(jīng)過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若的長(zhǎng)等于的直徑長(zhǎng)，求的值．【答案】(1)①，，②，(2)【分析】（1）①當(dāng)時(shí)，該拋物線表達(dá)式為，把和代入，求出對(duì)應(yīng)的x和y的值，即可得出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；②易得，則，連接，令交x軸于點(diǎn)F，設(shè)，直線的函數(shù)表達(dá)式為，用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)表達(dá)式為，則，根據(jù)，列出方程求解即可；（2）連接，易得，根據(jù)圓周角定理推出，則，得出，進(jìn)而得出該拋物線表達(dá)式為，求出．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式求出，則，推出直線表達(dá)式為，聯(lián)立得出，則，，，，進(jìn)而的胡扯，列出方程求解即可．【解析】（1）解：①當(dāng)時(shí)，該拋物線表達(dá)式為，把代入得：，解得：，∴，把代入得：，∴；②∵，，∴，∴，∴，連接，令交x軸于點(diǎn)F，設(shè)，直線的函數(shù)表達(dá)式為，把，代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，把代入得：，∴，∴，∴，∴或，當(dāng)時(shí)，，解得：或，∴或，當(dāng)時(shí)，整理得：，∵，∴該方程無解，綜上：，；

（2），解：連接，由可得，，，∴，，∴，∵點(diǎn)A、C、B、E四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴，∴，∴，∴該拋物線表達(dá)式為，∴，，，，∵點(diǎn)M為圓形，∴點(diǎn)M橫坐標(biāo)與中點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，點(diǎn)M縱坐標(biāo)與中點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，∴，即．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，

∴，∴，∵把代入得：，整理得：，∴直線表達(dá)式為∴聯(lián)立，，∴，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達(dá)式的方法步驟，圓周角定理，垂徑定理，兩點(diǎn)之間的距離公式啊，一元二次方程根于系數(shù)的關(guān)系．8．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，的三個(gè)頂點(diǎn)為，，，以及其內(nèi)部區(qū)域記為W．若點(diǎn)P落在圖形W上，則稱點(diǎn)P為“好點(diǎn)”．

(1)下列各點(diǎn)，，中是“好點(diǎn)”的有(2)如圖，點(diǎn)Q坐標(biāo)為，若以Q為圓心r為半徑的圓上存在唯一點(diǎn)P是“好點(diǎn)”，求r的值：(3)如圖，點(diǎn)M、N是拋物線（）的兩個(gè)端點(diǎn)，（點(diǎn)M在點(diǎn)N左邊），連接，由拋物線（）和線段圍城的封閉圖形及其內(nèi)部區(qū)域記為U．若圖形U上存在“好點(diǎn)”，求c的取值范圍．【答案】(1)E、F(2)或；(3)【分析】（1）在平面直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn)D、E、F，根據(jù)題意，結(jié)合圖象可得答案；（2）根據(jù)題意得到以Q為圓心r為半徑的圓與相切或經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，圓上存在唯一點(diǎn)P是“好點(diǎn)”，利用切線性質(zhì)和兩點(diǎn)間坐標(biāo)距離公式、結(jié)合坐標(biāo)與圖形性質(zhì)求解即可；（3）先得到拋物線的對(duì)稱軸為直線，進(jìn)而得到線段關(guān)于直線對(duì)稱，分別求得拋物線與直線相切時(shí)；拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)；線段經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)的c值，結(jié)合圖象可求解．【解析】（1）解：在平面直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn)D、E、F，如圖，

由圖可知，是“好點(diǎn)”的有點(diǎn)E、F，故答案為：E、F；（2）解：如圖，以Q為圓心r為半徑的圓與相切或經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，圓上存在唯一點(diǎn)P是“好點(diǎn)”，設(shè)切點(diǎn)為P，則，

∵，，，，∴，，，∴，解得，綜上，r的值為或；（3）解：由拋物線（）得對(duì)稱軸為直線，∴線段關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)直線的表達(dá)式為，則，解得，∴直線的表達(dá)式為，當(dāng)拋物線（）與直線相切時(shí)，聯(lián)立方程組得，∴，則，此時(shí)由解得，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，在線段上；當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，由得；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，∴，，設(shè)直線的表達(dá)式為，則，解得，∴直線的表達(dá)式為，則，當(dāng)線段經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，由得，根據(jù)圖象，當(dāng)時(shí)，圖形U上存在“好點(diǎn)”．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、圓的切線性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、一元二次方程根的判別式等知識(shí)，理解題中定義，利用數(shù)形結(jié)合思想求解臨界值是解答的關(guān)鍵．9．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)．

(1)求拋物線解析式和直線的解析式；(2)若點(diǎn)是第四象限拋物線上的一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），經(jīng)過三點(diǎn)的圓與過且垂直于的直線交于點(diǎn)，求當(dāng)最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)及最小值．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）將、、的坐標(biāo)代入即可求出拋物線的解析式，將，兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式即可求出直線的解析式．（2）可設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，用含的代數(shù)式表示出點(diǎn)的縱坐標(biāo)．過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作軸平行線，分別交、于點(diǎn)、，構(gòu)造梯形，得到面積等于梯形減去和的面積和，列方程即可求出值，從而確定點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）由即可得為圓的直徑，進(jìn)而得到圓周角，所以等于與的乘積．設(shè)的橫坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)可用表示，再設(shè)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)圓的性質(zhì)可求得的值．分別過、作軸的垂線，構(gòu)造三垂直模型，即得到、的關(guān)系式，進(jìn)而得到與的長(zhǎng)度比值，故能用的二次函數(shù)關(guān)系式表示，即求得最小值．【解析】（1）解：拋物線與軸交于點(diǎn)、，，把點(diǎn)代入得：，，拋物線解析式為：，設(shè)直線的解析式為：，解得：，直線的解析式為：；（2）過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作軸平行線，分別交、于點(diǎn)、，，，，設(shè)點(diǎn)，，，，，，，解得：（舍去），，點(diǎn)的橫坐標(biāo)坐標(biāo)為．

（3）連接、、，取中點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，設(shè)，，的橫坐標(biāo)為，，，，，，為過、、三點(diǎn)的圓的直徑，為圓心，，，，，，圓心在的垂直平分線上，，為中點(diǎn)，，，，，，當(dāng)時(shí)，最小值，，點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，最小值為．

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解一元二次方程，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)求最值．題型4：圓在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，過點(diǎn)A、B的與y軸交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D上方），連接，點(diǎn)E為中點(diǎn)．

(1)連接，求證：；(2)若的半徑為2，的平方和等于24，求的長(zhǎng)度；(3)連接，若，點(diǎn)P在內(nèi)部，且，則B點(diǎn)坐標(biāo)為______．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，利用直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，圓周角定理和直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）連接，過點(diǎn)P作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，利用垂徑定理，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理解答即可得出結(jié)論；（3）連接，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，利用垂徑定理，等腰直角三角形的性質(zhì)得到的延長(zhǎng)線經(jīng)過點(diǎn)O，利用（1）的結(jié)論，圓周角定理，對(duì)頂角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理得到為等腰直角三角形，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)求得，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到的長(zhǎng)度，則結(jié)論可得．【解析】（1）連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，如圖，

∵點(diǎn)E為中點(diǎn)，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）連接，過點(diǎn)P作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，如圖，

則，∵，∴，∵，∴四邊形為矩形，∴．∵，∴，，∴，∵的平方和等于24，∴，∴；（3）連接，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，如圖，

∵點(diǎn)E為中點(diǎn)，∴，∵，∴的延長(zhǎng)線經(jīng)過點(diǎn)O，，∴，∴為等腰直角三角形，由（1）知：，∴為等腰直角三角形，∴．∵，∴，∵，∴．在和中，，∴，∴，∴．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．11．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上）給出如下定義：以為圓心，為半徑的與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，若在線段，上分別存在點(diǎn)，，使得為等腰直角三角形，其中，則稱點(diǎn)是完美點(diǎn)．如圖，若點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)，則在線段，上分別存在點(diǎn)，，使得為等腰直角三角形，其中，所以點(diǎn)是完美點(diǎn)．

(1)下列點(diǎn)中是完美點(diǎn)的有___________（填序號(hào)）；①；②(2)已知為拋物線上一點(diǎn)，若為完美點(diǎn)，求的取值范圍：(3)已知直線l：，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，若以為圓心，半徑為的上無完美點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)②(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)新定義分析，設(shè)，則，得出當(dāng)時(shí)，是完美點(diǎn)，進(jìn)而分別判斷①，②；（2）依題意，，根據(jù)為完美點(diǎn)，得出，解不等式，即可求解．（3）依題意，當(dāng)時(shí)，半徑為的上有完美點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，半徑為的上無完美點(diǎn)，依題意，解不等式，即可求解．【解析】（1）解：依題意，是等腰直角三角形，∴，則在半徑為的上，設(shè)，則，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，可得，當(dāng)時(shí)，是完美點(diǎn)，∵①；②∴，而，則不是完美點(diǎn)∵,∴點(diǎn)是完美點(diǎn)；故答案為：②（2）解：∵為拋物線上一點(diǎn)∴∵為完美點(diǎn)，∴即即解得:∴或；（3）解：如圖所示，當(dāng)為圓心，半徑為的上有唯一完美點(diǎn)，

依題意，當(dāng)時(shí)，半徑為的上有完美點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，半徑為的上無完美點(diǎn)∵在，∴，∴，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何新定義，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，解不等式,直線與圓的位置關(guān)系，理解新定義是解題的關(guān)鍵．12．在平面直角坐標(biāo)系中，線段，點(diǎn)M，N在線段上，且，P為的中點(diǎn)，如果任取一點(diǎn)Q，將點(diǎn)Q繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則稱點(diǎn)為點(diǎn)Q關(guān)于線段的“旋平點(diǎn)”

(1)如圖1，已知，，，如果為點(diǎn)Q關(guān)于線段的“旋平點(diǎn)”，①寫出一個(gè)點(diǎn)Q的“旋平點(diǎn)”的坐標(biāo)______；②畫出示意圖，寫出a的取值范圍：(2)如圖2，的半徑為3，點(diǎn)A，B在上，點(diǎn)，如果在直線上存在點(diǎn)Q關(guān)于線段的“旋平點(diǎn)”，求m的取值范圍．【答案】(1)①（不唯一），②圖形見詳解，(2)【分析】（1）①根據(jù)旋平點(diǎn)的定義，作答即可；②根據(jù)旋平點(diǎn)的定義，找到點(diǎn)，即可；（2）由點(diǎn)Q在x軸上，當(dāng)點(diǎn)P也在x軸上時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)有最值，由長(zhǎng)求出弦心距長(zhǎng)，在求出長(zhǎng)，分兩種情況求出點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解析】（1）①點(diǎn)M，N在線段上，且，P為的中點(diǎn)，則設(shè)：，，即，如圖，點(diǎn)Q繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，，

∴此時(shí)點(diǎn)Q的“旋平點(diǎn)”的坐標(biāo)為，故答案為：（答案不唯一）；②設(shè)，，且，∵點(diǎn)、在線段上，且，，，∴，，，∴，∴，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，∴，，∴，∴的取值范圍為：；示意圖如下：

（2）解：∵點(diǎn)Q在x軸上，∴當(dāng)點(diǎn)P也在x軸上時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)有最值，如圖，作弦心距，

，半徑3，，，，當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸時(shí)，，，，；當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸時(shí)，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查新定義圓和對(duì)稱的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解旋平點(diǎn)的定義，根據(jù)定義，進(jìn)行解題．題型5：與圓有關(guān)的動(dòng)態(tài)問題13．（1）如圖1，已知點(diǎn)，是軸上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)是中點(diǎn)，求證．

（2）在（1）的條件下，可知在線段的垂直平分線上，若點(diǎn)，則是否有最小值？最小值為多少？（3）如圖2，在中，為中點(diǎn)，圓過，兩點(diǎn)且分別交于點(diǎn)，連接，當(dāng)圓從過點(diǎn)變化到過時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為多長(zhǎng)？

【答案】（1）見解析；（2）有最小值，最小值為；（3）當(dāng)圓從過點(diǎn)變化到過時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為．【分析】（1）連接，，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得：；（2）點(diǎn)在線段的垂直平分線上，作線段的垂直平分線交軸，軸于點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，最??；（3）利用圓和三角形的相關(guān)知識(shí)綜合分析即可求解．【解析】（1）證明：如圖，連接、,∵，∴為直角三角形，∵是中點(diǎn)，∴是斜邊上的中線，∴,同理，是斜邊上的中線，∴,∴．（2）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接,，∵,為中點(diǎn)，∴,∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上，作線段的垂直平分線交軸，軸于點(diǎn)，，當(dāng),最小，連接，則,∵，∴，，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，∵,，∴，∵，∴,∴，即,∴，∵，∴，∵在中，當(dāng)時(shí)，最小，∴，，∴，∴，∴，∴有最小值，最小值為．（3）解：如圖1,連接,,延長(zhǎng)至點(diǎn),使,連接,，∵,，∴,∴,，∴AG//BF，∵,∴,∴，又∵是直徑,∴,∴,∴,設(shè)的半徑為,連接,,則，∵,,∴,∴，∵,∴,∴,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合,點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),如圖2所示,連接交于點(diǎn)，由可知,∴,∴是的中點(diǎn)，∵是的中點(diǎn),∴，設(shè),則，在中，由勾股定理，得,即,解得,易得點(diǎn)在線段的垂直平分線上運(yùn)動(dòng),由圖易得,點(diǎn)到的距離為，同理可得,當(dāng)過點(diǎn)時(shí),點(diǎn)與點(diǎn)重合,點(diǎn)與點(diǎn)重合,此時(shí)易求得的半徑為,點(diǎn)到的距離為，∴點(diǎn)經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理、全等三角形、圓的性質(zhì)、等腰三角形、三角形三邊關(guān)系、極端原理、最值求法、相似三角形等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，綜合性很強(qiáng)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．14．在矩形中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊向點(diǎn)B以每秒的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿邊向點(diǎn)A以每秒的速度移動(dòng)，P、Q其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．解答下列問題：(1)如圖①，t為何值時(shí)，的面積等于；(2)如圖②，若以點(diǎn)P為圓心，為半徑作．在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在t值，使得經(jīng)過點(diǎn)C？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖③，若以Q為圓心，為半徑作，當(dāng)與相切時(shí)．①求t的值．②如圖④，若點(diǎn)E是此時(shí)上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接，則線段的最大值為．【答案】(1)4或5秒(2)存在，(3)①4；②【分析】（1）利用三角形的面積公式構(gòu)建方程即可解決問題．（2）連接，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．（3）①設(shè)與相切于點(diǎn)，連接，則，在中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．②由①得：，，連接，取的中點(diǎn)M，連接，作于N，則，，根據(jù)，可得，，再求出，根據(jù)，即可解決問題．【解析】（1）解：根據(jù)題意得：，∵的面積等于，∴，整理得：，解得，即或5秒時(shí)，的面積為20．（2）解：如圖，連接，經(jīng)過點(diǎn)，，∵，，，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，⊙P經(jīng)過點(diǎn)．（3）解：①如圖，設(shè)與相切于點(diǎn)，連接，則，，∵為半徑，且，∴，，，，，，，時(shí)，與相切．

②由①得：，，如圖，連接，取的中點(diǎn)M，連接，作于N，則，，∵F是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，，∴，，∴,，,∴,∴，∴,∴，即線段的最大值為。故答案為：【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，切線的判定與性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，三角形中位線定理，以及三角形三條邊的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題，屬于中考?jí)狠S題．15．在中，，，給出如下定義：作直線l分別交、邊于點(diǎn)M、N，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，則稱為等腰直角關(guān)于直線l的“直角對(duì)稱點(diǎn)”．（點(diǎn)M可與點(diǎn)B重合，點(diǎn)N可與點(diǎn)C重合）(1)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線，O'為等腰直角關(guān)于直線l的“直角對(duì)稱點(diǎn)”．①當(dāng)時(shí)，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)______；②連接，求長(zhǎng)度的取值范圍；(2)⊙O的半徑為8，點(diǎn)M是上一點(diǎn)，以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)作等腰直角，其中，直線l與、分別交于E、F兩點(diǎn)，同時(shí)為等腰直角關(guān)于直線l的“直角對(duì)稱點(diǎn)”，連接；當(dāng)點(diǎn)M在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出長(zhǎng)度的最大值與最小值．【答案】(1)①；②(2)的最大值為，的最小值為【分析】（1）①根據(jù)直角對(duì)稱點(diǎn)的定義求解即可；②如圖中，設(shè)直線交y軸于E，則，連接，如圖，由題意知，，點(diǎn)在以點(diǎn)E為圓心，以為半徑的一段圓弧上；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，最長(zhǎng)，即，當(dāng)點(diǎn)為與的交點(diǎn)時(shí)，最短，；（2）如圖，由對(duì)稱知，,可求，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線，且在圓外時(shí)，最長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線，且在圓內(nèi)時(shí)，最短，的最大值為，OM′的最小值為．【解析】（1）解：（1）①如圖2中，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線交y軸于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．則，，是的中位線，，都是等腰直角三角形，點(diǎn)O關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)O′在線段上，，．故答案為：；②如圖中，設(shè)直線交y軸于E，則，連接，

在中，，，，如圖，由題意知，，點(diǎn)在以點(diǎn)E為圓心，以為半徑的一段圓弧上；設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)O關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，由對(duì)稱知，，此時(shí)，最長(zhǎng)，即當(dāng)點(diǎn)為與的交點(diǎn)時(shí)，最短，此時(shí)，；∴，（2）如圖，連接，作點(diǎn)M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，．

如圖，是等腰直角三角形，，由對(duì)稱知，,,，由圖，，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線，且在圓外時(shí)，最長(zhǎng)，此時(shí);當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線，且在圓內(nèi)時(shí)，最短，此時(shí);，的最大值為，OM′的最小值為【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，軸對(duì)稱，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是對(duì)于動(dòng)態(tài)問題確定臨界狀態(tài)，從而確定極值．題型6：切線問題16．已知：四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線交于點(diǎn)平分．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)證明過程見詳解(2)證明過程見詳解(3)線段的長(zhǎng)為【分析】（1）利用圓周角定理證明即可；（2）如圖所示，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用圓周角定理、平行線的判定和性質(zhì)可得，再運(yùn)用等腰梯形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)題意可證，可求出，運(yùn)用勾股定理可求出的長(zhǎng)，由（2）可得，運(yùn)用圓周角定理可得，設(shè)，根據(jù)勾股定理可求出的值，由此即可求解．【解析】（1）證明：∵平分，∴，∴，∴．（2）證明：如圖所示，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為等腰梯形，∴，∵，∴，∵，∴，且，∴，∴，即．（3）解：如圖所示，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵是的切線，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)在上，即四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，則，，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，設(shè)，則，，∴，在中，，∴，解得，或（不符合題意），∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合知識(shí)，包括圓周角定理，垂徑定理，切線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰梯形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是連接圓的半徑，利用圓的相關(guān)知識(shí)，圖形結(jié)合分析．17．已知平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心，5為半徑的交y軸的正半軸于點(diǎn)P，小剛同學(xué)用手中的三角板（）進(jìn)行了如下的實(shí)驗(yàn)操作：

(1)如圖1，將三角板的斜邊放置于x軸上，邊恰好與相切于點(diǎn)D，則切線長(zhǎng)；(2)如圖2，將三角板的頂點(diǎn)A在上滑動(dòng)，直角頂點(diǎn)B恰好落在x軸的正半軸上，若邊與相切于點(diǎn)M，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)請(qǐng)?jiān)趥溆脠D上繼續(xù)操作：將三角板的頂點(diǎn)A繼續(xù)在上滑動(dòng)，直角頂點(diǎn)B恰好落在上且在y軸右側(cè)，邊與y軸的正半軸交于點(diǎn)G，與的另一交點(diǎn)為H，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）連接，得出，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理即可求得的長(zhǎng)；（2）連接，設(shè)線段交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，得出四邊形是矩形，根據(jù)垂徑定理以及矩形的性質(zhì)得出，在中，勾股定理求得，中，勾股定理求得，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）分類討論，①當(dāng)在點(diǎn)上方時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，根據(jù)90度角所對(duì)的弦是直徑，得出是的直徑，進(jìn)而勾股定理求得，垂徑定理求得，在中，得出，在中求得，繼而根據(jù)即可求解；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，過點(diǎn)作，同一法證明點(diǎn)重合，進(jìn)而垂徑定理即可求解．【解析】（1）如圖，連接，

∵邊恰好與相切于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴中，,，∴，∴,故答案為：；（2）如圖，連接，設(shè)線段交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，

∵邊與相切于點(diǎn)，∴，又，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴,∵，∴，∴，在中，，∴,∴，∴中，,∴，（3）解：①如圖，當(dāng)在點(diǎn)上方時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

∵，∴是的直徑，∴，∵，在中，，∵，∴,在中，，∵，∴，在中，，，∴；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，如圖，∵，∴是的直徑，∴，∵，在中，，過點(diǎn)作，∴，在中，，∵，∴，∴，即點(diǎn)重合，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．已知：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P和的半徑為4，交x軸于點(diǎn)A，B，對(duì)于點(diǎn)P給出如下定義：過點(diǎn)C的直線與交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，我們把這樣的點(diǎn)P叫做關(guān)于的“折弦點(diǎn)”．

(1)若．①點(diǎn)中是關(guān)于的“折弦點(diǎn)”的是；②若直線上只存在一個(gè)關(guān)于的“折弦點(diǎn)”，求k的值；(2)點(diǎn)C在線段上，直線上存在關(guān)于的“折弦點(diǎn)”，直接寫出b的取值范圍．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①根據(jù)題意得到P為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在以為圓心，1為半徑的圓上，再根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離進(jìn)行判斷即可；②由①可知，點(diǎn)P在以為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)圓心為，過點(diǎn)D作垂直直線于點(diǎn)F，求得，，，證明，根據(jù)相似性質(zhì)列式計(jì)算即可得到答案；（2）由（1）可知點(diǎn)P在以為直徑的圓上，直線上存在關(guān)于的“折弦點(diǎn)”，則直線與相交或相切，分兩種情況利用勾股定理求出b的最大值和最小值即可．【解析】（1）解：①如圖，∵P為的中點(diǎn)，∴，∴，

∴點(diǎn)P在以為直徑的圓上，∵，∴點(diǎn)P在以為圓心，1為半徑的圓上，∵，，，∴點(diǎn)，在該圓上，不在該圓上，∴點(diǎn)，是關(guān)于的“折弦點(diǎn)”故答案為：；②由①可知，點(diǎn)P（的折弦點(diǎn)）在以為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)圓心為，∵直線上只存在一個(gè)關(guān)于的“折弦點(diǎn)”，∴直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，∴直線與相切，即，過點(diǎn)D作垂直直線于點(diǎn)F，當(dāng)，，解得，當(dāng)，，∴直線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，∴，，，∵，∴，∴，∴，解得；（2）解：由（1）可知點(diǎn)P（的折弦點(diǎn)）在以為直徑的圓上，∵直線上存在關(guān)于的“折弦點(diǎn)”，∴直線與相交或相切，

當(dāng)直線與恰好相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為F（在x軸上方），∵直線與y軸交于點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)，∴，∴，由切線的性質(zhì)可得，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)最