第一章 直角三角形的邊角關(guān)系（7類題型突破）

第1章直角三角形的邊角關(guān)系（題型突破）題型一銳角三角函數(shù)【例1】在中，，則下列各式中，正確的是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．在直角三角形中，各邊的長度都擴(kuò)大3倍，則銳角A的三角函數(shù)值A(chǔ)．也擴(kuò)大3倍 B．縮小為原來的C．都不變 D．有的擴(kuò)大，有的縮小2．已知在中，，，，那么的長等于（

）A． B． C． D．題型二特殊銳角三角函數(shù)值的計(jì)算【例2】計(jì)算：(1)(2)鞏固訓(xùn)練：1．計(jì)算：2．計(jì)算：．題型三解直角三角形【例3】在中，，是銳角，且，那么等于（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，在中，，，，則的長為（

）

A． B． C．4 D．52．如圖，沿AE折疊矩形紙片，使點(diǎn)D落在邊的點(diǎn)F處．已知，則的值為（）A．8 B．9 C．10 D．123．如圖，在中，，，，平分交于點(diǎn)，則線段的長為（

）A． B．12 C． D．64．已知△AOC，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）A．（acosα，asinα） B．（ccosα，csinα）C．（asinα，acosα） D．（csinα，ccosα）題型四網(wǎng)格問題【例4】．如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則的值為（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則的值是（）A． B． C． D．2．如圖，點(diǎn)A、B、C均在小正方形的頂點(diǎn)上，且每個(gè)小正方形的邊長均為1，則的值為（

）

A． B． C． D．題型五解直角三角形的應(yīng)用【例5】．如圖，在外力的作用下，一個(gè)滑塊沿坡度為i＝1：3的斜坡向上移動(dòng)了10米，此時(shí)滑塊上升的高度是（）（單位：米）

A． B． C． D．10鞏固訓(xùn)練：1．如圖，從點(diǎn)觀測點(diǎn)的仰角是（

）A． B． C． D．2．如圖，某貨船以24海里/時(shí)的速度從A處向正東方向的D處航行，在點(diǎn)A處測得某島C在北偏東60°的方向．該貨船航行30分鐘后到達(dá)B處，此時(shí)測得該島在北偏東30°的方向上．則貨船在航行中離小島C的最短距離是（）

A．12海里 B．6海里 C．12海里 D．24海里3．如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球處看一棟樓頂部處的仰角為，看這棟樓底部處的俯角為，熱氣球處與樓的水平距離為，則這棟樓的高度為（

）A． B． C． D．4．我國明代有一位杰出的數(shù)學(xué)家程大位在所著的《直指算法統(tǒng)宗》里有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉，良工高士素好奇，算出索長有幾？”詞寫得很優(yōu)美，其大意是：當(dāng)秋千靜止在地面上時(shí)，秋千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步(每一步為五尺)，秋千的踏板與人一樣高，這個(gè)人的身高為五尺，當(dāng)然這時(shí)秋千的繩索是呈直線狀態(tài)，問這個(gè)秋千的繩索有多長？（

）

A．14尺 B．尺 C．15尺 D．無法計(jì)算5．綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要利用測角儀測量塔的高度，如圖，塔AB前有一座高為DE的觀骨臺(tái)，已知，，點(diǎn)E，C，A在同一條水平直線上．某學(xué)習(xí)小組在觀景臺(tái)C處測得塔頂部B的仰角為45°，在觀景臺(tái)D處測得塔頂部B的仰角為27°．(1)求的長；(2)求塔的高度．（取0.5，取1.7，結(jié)果取整數(shù)）6．我國在人工智能技術(shù)研究領(lǐng)域處于世界領(lǐng)先地位，“中國制造”已向“中國智造”轉(zhuǎn)型，圖1是我國自行設(shè)計(jì)的一款智能手臂機(jī)器人，圖2是該型號手臂機(jī)器人處于工作狀態(tài)時(shí)的示意圖，是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座，，為機(jī)械臂，，，，，過點(diǎn)C作直線垂直工作臺(tái)于點(diǎn)D，點(diǎn)A，B，C，D，O在同一平面內(nèi)．(1)求的度數(shù)．(2)求機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺(tái)的距離CD的長．（結(jié)果保留根號）題型六解直角三角形在特殊三角形、相似三角形中的應(yīng)用【例6】．如圖，在中，，垂足為點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，，，．

(1)求的值；(2)求線段的長．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，在ABC中，是上的點(diǎn)，，，分別是，的中點(diǎn)，，，求，的長．2．如圖，在梯形中，，，且，．

(1)求證：；(2)E是梯形內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)是梯形外一點(diǎn)，且，當(dāng)，時(shí)，求的值．3．如圖所示，和均為等腰直角三角形，，＝，，、、三點(diǎn)共線，線段、交于點(diǎn)．(1)求線段、之間的數(shù)量關(guān)系；(2)求的度數(shù)．題型七解直角三角形難點(diǎn)突破【例7】．已知是直角三角形，．

(1)如圖1，若，取的中點(diǎn)，連接，則的值是；(2)在（1）的條件下，在的延長線上截取，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)點(diǎn)，，在同一直線上時(shí)，如圖2，求的長；(3)如圖，在中，，，，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接．①當(dāng)時(shí)，求的長；②當(dāng)，設(shè)長的最大值為，最小值為，直接寫出的值．鞏固訓(xùn)練：1．如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、BF，交點(diǎn)為G．(1)求證：AE⊥BF；(2)將△BCF沿BF對折，得到△BPF（如圖2），延長FP到BA的延長線于點(diǎn)Q，求sin∠BQP的值；(3)將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM（如圖3），若AM和BF相交于點(diǎn)N，當(dāng)正方形ABCD的面積為4時(shí)，求四邊形GHMN的面積．2．黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值．我們知道：如圖1，如果，那么稱點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)．(1)如圖1，請直接寫出與的比值是；如圖2，在中，，，，則，在上截取，則，在上截取，則的值為；(2)如圖3，用邊長為的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對折正方形得折痕，連接，把邊折到線段上，即使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在上，得折痕，請證明：是的黃金分割點(diǎn)；(3)如圖4，在邊長為2的正方形中，為對角線上一點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，當(dāng)為的黃金分割點(diǎn)時(shí)，，連，延長交于，則的長為．

第1章直角三角形的邊角關(guān)系（題型突破）題型一銳角三角函數(shù)【例1】在中，，則下列各式中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答即可．【解析】解：∵在中，，∴，，，，∴四個(gè)選項(xiàng)中，只有A選項(xiàng)符合題意，故選A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確記憶邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．在直角三角形中，各邊的長度都擴(kuò)大3倍，則銳角A的三角函數(shù)值A(chǔ)．也擴(kuò)大3倍 B．縮小為原來的C．都不變 D．有的擴(kuò)大，有的縮小【答案】C【解析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，可知在直角三角形中，各邊的長度都擴(kuò)大3倍，銳角A的三角函數(shù)值不變．故選C．2．已知在中，，，，那么的長等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的定義即可作答．【解析】∵在中，，，∴，∴，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦函數(shù)的定義，掌握余弦函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．題型二特殊銳角三角函數(shù)值的計(jì)算【例2】計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行求解即可．【解析】（1）解：；（2）解：【點(diǎn)睛】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，二次根式的混合運(yùn)算，解此題的關(guān)鍵在于熟記各個(gè)特殊角的三角函數(shù)值．鞏固訓(xùn)練：1．計(jì)算：【答案】【分析】將特殊銳角的三角函數(shù)值代入，再根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算可得．【解析】解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，以及特殊銳角的三角函數(shù)值，正確掌握特殊銳角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．2．計(jì)算：．【答案】【分析】把特殊角的三角函數(shù)值直接代入計(jì)算即可．【解析】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．題型三解直角三角形【例3】在中，，是銳角，且，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系和勾股定理得出的值．【解析】解：因?yàn)?，是銳角，且，設(shè)，則，那么在中，，所以，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系和勾股定理，正確把握銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，在中，，，，則的長為（

）

A． B． C．4 D．5【答案】D【分析】作于，根據(jù)，，算出和，再根據(jù)，算出，最后根據(jù)計(jì)算即可．【解析】如下圖，作于，

在中，，，，，在中，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了用銳角三角函數(shù)解非直角三角形，作垂直構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．如圖，沿AE折疊矩形紙片，使點(diǎn)D落在邊的點(diǎn)F處．已知，則的值為（）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】C【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得，然后在中，解直角三角形即可．【解析】解：四邊形是矩形，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，設(shè)，則，，，，解得，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊問題、解直角三角形等知識點(diǎn)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．如圖，在中，，，，平分交于點(diǎn)，則線段的長為（

）A． B．12 C． D．6【答案】B【分析】過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，在，中，求得的長，進(jìn)而證明是等腰三角形，即可求解．【解析】解：如圖，過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，在中，，在中，，∵中，，，∴，∵是的角平分線，∴，∴，∴，∴．故選:B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)與判定，解決問題的關(guān)鍵是將作輔助線，將斜三角形劃分為直角三角形．4．已知△AOC，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）A．（acosα，asinα） B．（ccosα，csinα）C．（asinα，acosα） D．（csinα，ccosα）【答案】B【分析】過A作AD⊥x軸，交x軸于點(diǎn)D，在直角三角形AOD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AD與OD，表示出A的坐標(biāo)即可．【解析】解：過A作AD⊥x軸，交x軸于點(diǎn)D，在Rt△AOD中，OA=c，∠AOD=α，∴AD=csinα，OD=ccosα，則A的坐標(biāo)為（ccosα，csinα），故選B．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵．題型四網(wǎng)格問題【例4】．如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理經(jīng)理求出，再根據(jù)正弦的定義，即可進(jìn)行解答．【解析】解：如圖：，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求已知角的正弦值，解題的關(guān)鍵是掌握正弦的定義，構(gòu)造直角三角形求解．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用格點(diǎn)構(gòu)造，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．【解析】解：如圖，利用格點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)D，則，,故選擇：D【點(diǎn)睛】本題考查求銳角三角函數(shù)的值，利用格點(diǎn)構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．如圖，點(diǎn)A、B、C均在小正方形的頂點(diǎn)上，且每個(gè)小正方形的邊長均為1，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，利用勾股定理得到，進(jìn)而得到是直角三角形，從而求解.【解析】解：連接，如圖所示，

由勾股定理可得：，∴∴是直角三角形，即∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求角的余弦值，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟練掌握在方格中利用勾股定理求邊長，同時(shí)判斷三角形形狀是解題的關(guān)鍵．題型五解直角三角形的應(yīng)用【例5】．如圖，在外力的作用下，一個(gè)滑塊沿坡度為i＝1：3的斜坡向上移動(dòng)了10米，此時(shí)滑塊上升的高度是（）（單位：米）

A． B． C． D．10【答案】A【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，明確坡度的概念是解題的關(guān)鍵．利用坡度關(guān)系知道鉛直高度于水平寬度之比，再利用勾股定理列方程求出鉛直高度h的值即可．【解析】解：如圖，設(shè)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

由，得，，在中，，，解得，滑塊上升的高度為：．故選：A．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，從點(diǎn)觀測點(diǎn)的仰角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了仰角的識別，仰角是向上看的視線與水平線的夾角，根據(jù)仰角的定義進(jìn)行解答便可．熟記仰角的定義是解題的關(guān)鍵．【解析】解：從點(diǎn)觀測點(diǎn)的視線是，水平線是，從點(diǎn)觀測點(diǎn)的仰角是．故選：B．2．如圖，某貨船以24海里/時(shí)的速度從A處向正東方向的D處航行，在點(diǎn)A處測得某島C在北偏東60°的方向．該貨船航行30分鐘后到達(dá)B處，此時(shí)測得該島在北偏東30°的方向上．則貨船在航行中離小島C的最短距離是（）

A．12海里 B．6海里 C．12海里 D．24海里【答案】B【分析】過點(diǎn)作，利用，結(jié)合銳角三角函數(shù)，列式計(jì)算即可．【解析】解：如圖，過點(diǎn)作，

由題意，得：，在中，，在中，，∴，∴；故選B【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．3．如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球處看一棟樓頂部處的仰角為，看這棟樓底部處的俯角為，熱氣球處與樓的水平距離為，則這棟樓的高度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意得，，，再解直角三角形即可解答．【解析】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

由題意得，，，在中，，在中，，，即這棟樓的高度為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了仰角俯角問題，用輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．我國明代有一位杰出的數(shù)學(xué)家程大位在所著的《直指算法統(tǒng)宗》里有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉，良工高士素好奇，算出索長有幾？”詞寫得很優(yōu)美，其大意是：當(dāng)秋千靜止在地面上時(shí)，秋千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步(每一步為五尺)，秋千的踏板與人一樣高，這個(gè)人的身高為五尺，當(dāng)然這時(shí)秋千的繩索是呈直線狀態(tài)，問這個(gè)秋千的繩索有多長？（

）

A．14尺 B．尺 C．15尺 D．無法計(jì)算【答案】B【分析】設(shè)這個(gè)秋千的繩索，得到，求出的值即可．【解析】解：設(shè)這個(gè)秋千的繩索，則，，，，，，這個(gè)秋千的繩索有尺．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要利用測角儀測量塔的高度，如圖，塔AB前有一座高為DE的觀骨臺(tái)，已知，，點(diǎn)E，C，A在同一條水平直線上．某學(xué)習(xí)小組在觀景臺(tái)C處測得塔頂部B的仰角為45°，在觀景臺(tái)D處測得塔頂部B的仰角為27°．(1)求的長；(2)求塔的高度．（取0.5，取1.7，結(jié)果取整數(shù)）【答案】(1)3m(2)塔的高度約為【分析】（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；（2）設(shè)，分別在和中，利用銳角三角函數(shù)定義求得，，過點(diǎn)作，垂足為．可證明四邊形是矩形，得到，．在中，利用銳角三角函數(shù)定義得到，然后求解即可．【解析】（1）解：在中，，∴．即的長為．（2）設(shè)，在中，，∴．在中，由，，，則.∴．即的長為．如圖，過點(diǎn)作，垂足為．根據(jù)題意，，∴四邊形是矩形．∴，．可得．在中，，，∴．即．∴．答：塔的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，涉及含30度角的直角三角形的性質(zhì)、矩形判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，理解題意，掌握作輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題是解答的關(guān)鍵．6．我國在人工智能技術(shù)研究領(lǐng)域處于世界領(lǐng)先地位，“中國制造”已向“中國智造”轉(zhuǎn)型，圖1是我國自行設(shè)計(jì)的一款智能手臂機(jī)器人，圖2是該型號手臂機(jī)器人處于工作狀態(tài)時(shí)的示意圖，是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座，，為機(jī)械臂，，，，，過點(diǎn)C作直線垂直工作臺(tái)于點(diǎn)D，點(diǎn)A，B，C，D，O在同一平面內(nèi)．(1)求的度數(shù)．(2)求機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺(tái)的距離CD的長．（結(jié)果保留根號）【答案】(1)(2)機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺(tái)的距離的長為【分析】（1）分別延長，交于點(diǎn)P，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)平行線的判定得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，求出結(jié)果即可；（2）過點(diǎn)B作直線，分別交直線，于點(diǎn)E，F(xiàn)，證明四邊形為矩形，根據(jù)三角形函數(shù)求出，，最后根據(jù)線段之間的關(guān)系求出結(jié)果即可．【解析】（1）解：如圖、分別延長，交于點(diǎn)P．∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．（2）解：如圖，過點(diǎn)B作直線，分別交直線，于點(diǎn)E，F(xiàn)，∴，∴四邊形為矩形，∴，∵，，，，，∴，，∴，∴．答：機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺(tái)的距離的長為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，三角函數(shù)的定義，平行線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，數(shù)形結(jié)合，熟練掌握三角形函數(shù)的定義．題型六解直角三角形在特殊三角形、相似三角形中的應(yīng)用【例6】．如圖，在中，，垂足為點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，，，．

(1)求的值；(2)求線段的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)可以得到的長，然后根據(jù)勾股定理可以得到的長，再根據(jù)的長，從而可以得到的長，再利用勾股定理可以得到的長，然后即可求得的值；（2）根據(jù)題意和等腰三角形的性質(zhì)，可以得到然后即可計(jì)算出的長．【解析】（1），，解得在中,，，，在中,，；（2），平分，，又，，即解得【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，在ABC中，是上的點(diǎn)，，，分別是，的中點(diǎn)，，，求，的長．【答案】【分析】連接，根據(jù)題意及等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，在中，，可得，從而，即可求解．【解析】解：連接，如圖，，是的中點(diǎn)，，是的中點(diǎn)，，又，，在中，，即，解得，．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，勾股定理和直角三角形斜邊上的中線等，掌握勾股定理和直角三角形斜邊上的中線等性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在梯形中，，，且，．

(1)求證：；(2)E是梯形內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)是梯形外一點(diǎn)，且，當(dāng)，時(shí)，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）過A作的垂線交于M，則，再利用，求出，即可求出，問題得證；（2）先證明，得到，，進(jìn)而是等腰直角三角形，設(shè)，則，求得，由得，求得，即可求解．【解析】（1）解：證明：作于M，

∴，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，，又，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，即是等腰直角三角形；設(shè)，則，∴，∵，∴，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)、全等三角形的應(yīng)用、勾股定理等知識，（1）能合理添加輔助線，根據(jù)三角函數(shù)定義求得線段長是解題關(guān)鍵，（2）能根據(jù)，證明是等腰直角三角形，進(jìn)而得出是解題關(guān)鍵．3．如圖所示，和均為等腰直角三角形，，＝，，、、三點(diǎn)共線，線段、交于點(diǎn)．(1)求線段、之間的數(shù)量關(guān)系；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）兩個(gè)等腰直角三角形永遠(yuǎn)是相似的，由于和的特殊位置關(guān)系，可推導(dǎo)出，進(jìn)一步可以得出與的比值等于相似比．（2）在第一問基礎(chǔ)上，，要想求出，就必須知道，由于，所以度數(shù)可求．【解析】（1）∵和均為等腰直角三角形，∴＝＝，∵，∴，和中，，，，，，∴，∵，∴，∴，∴．（2）∵、、三點(diǎn)共線，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的性質(zhì)等知識，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．題型七解直角三角形難點(diǎn)突破【例7】．已知是直角三角形，．

(1)如圖1，若，取的中點(diǎn)，連接，則的值是；(2)在（1）的條件下，在的延長線上截取，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)點(diǎn)，，在同一直線上時(shí)，如圖2，求的長；(3)如圖，在中，，，，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接．①當(dāng)時(shí)，求的長；②當(dāng)，設(shè)長的最大值為，最小值為，直接寫出的值．【答案】(1)(2)(3)①；②3【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求，的長，即可求解；（2）由勾股定理可求的長，由勾股定理可求的長，即可求解；（3）①由勾股定理可求的長，由可證，可得；②由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求的長，由點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，長為半徑的圓上，則當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，有最大值，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，有最小值，即可求，的長，即可求解．【解析】（1）解：過點(diǎn)作于，

，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴，，，∴，故答案為：；（2）解：如圖2，過點(diǎn)作于，

，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，∴，∴；（3）解：①如圖3，在的右側(cè)以為直角頂點(diǎn)作等腰直角，連接，

，，，∴，，，∴，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，，，，，；②如圖4，過點(diǎn)作于，

，，，，∴，∴，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角至，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，長為半徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，有最大值，的最大值為，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，有最小值，的最小值為，∴．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、BF，交點(diǎn)為G．(1)求證：AE⊥BF；(2)將△BCF沿BF對折，得到△BPF（如圖2），延長FP到BA的延長線于點(diǎn)Q，求sin∠BQP的值；(3)將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM（如圖3），若AM和BF相交于點(diǎn)N，當(dāng)正方形ABCD的面積為4時(shí)，求四邊形GHMN的面積．【答案】(1)見解析(2)sin∠BQP＝(3)四邊形的面積是【分析】（1）由E，F(xiàn)分別是正方形邊的中點(diǎn)知，證明得，根據(jù)即可得，據(jù)此即可得證．（2）由折疊的性質(zhì)得，利用角的關(guān)系證明，令，則，在中，設(shè)，利用勾股定理求出x與k的關(guān)系即可解決問題．（3）先求出正方形的邊長，利用勾股定理求出的長，由求出的長，再由求出，然后利用求解即可．【解析】（1）如