2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)專題《導(dǎo)數(shù)解答題之指對(duì)函數(shù)五大題型》題型突破及解析

重難點(diǎn)專題12導(dǎo)數(shù)解答題之指對(duì)函數(shù)五大題型匯總

題型1指數(shù)找基友.....................................................1

題型2對(duì)數(shù)單身狗.....................................................2

題型3指對(duì)互化.......................................................3

題型4指對(duì)分離與不分離...............................................4

題型5凹凸翻轉(zhuǎn).......................................................5

在指數(shù)加減x整式或者對(duì)數(shù)乘除x整式或者在指數(shù)和對(duì)數(shù)同時(shí)出現(xiàn)的情形卜，我們處理時(shí)往

往本著對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)或基友的思想方法，本質(zhì)就是通過這樣的轉(zhuǎn)換可以讓求導(dǎo)變少，避

開長篇分類討論

題型1指數(shù)找基友

指數(shù)找基友：在處理不等式和零點(diǎn)問題時(shí)，如果指數(shù)部分+x整式有可能連續(xù)求導(dǎo)，甚至要

用到隱零點(diǎn)，比較復(fù)雜，此時(shí)，我們只需把所有x的式子和5變換到一起，一般可以同除

整式，或者同除ex部分，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，例如ex_ax>o我們可以化成ex>ax,進(jìn)一步化成a=e*/x,

構(gòu)造函數(shù)f(x)=e'/x;再例如當(dāng)x>0時(shí)求證：(2-x)e'4x+2,我們可以化作e*(2-x)/(x+2)?l,.然后

構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex(2-x)/(2+x),證明其41即可，通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)，心和所有含有x的式子變

換到一起了，我們形象地稱之為，指數(shù)找基友

【例題1】(2022秋?山東濱州?高三校聯(lián)考期中)已知f(x)=asinx(aeR),。(勸二日

(1)粒(￡在1二0處的切線方程；

(2)若0=1,證明G⑴=〃x)+lm在91上單調(diào)遞增;

(3)設(shè)卜。)=絲等("0)對(duì)任公40,共汽幻2匕成立求實(shí)數(shù)卜的取值范圍.

【變式1-111.(2023春?安徽?高三合肥市第八日學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)已知函數(shù)

/，(x)=ax2-exH.

(1)當(dāng)。二:時(shí)，證明："的在N上為減函數(shù).

(2)當(dāng)xw[0.；]時(shí)，/(x)^acosx,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式1-1]2.(2021?黑龍江哈爾濱?哈九中?？既?已知函數(shù)外幻=Tx3-5inX.

(1)證明：函數(shù)/*(X)有三個(gè)零點(diǎn)；

(2)若對(duì)不等式b+acosxzax：恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)｝?=是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)X=0

時(shí)，,⑴二丁，曲線)?二”X：在點(diǎn)("(D)的切線與天軸平行，f(幻是/(W的導(dǎo)函數(shù).

⑴求A的值及當(dāng)0時(shí)，函數(shù)“X：的單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)0(X)=(/+x)?r⑴對(duì)于任意x>0,證明0(x)<1+e-2.

【變式1-114.(2021秋?吉林四平?高三四平市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)

+】(其中a1為實(shí)數(shù))的圖象在點(diǎn)(0.汽0))處的切線方程為

y=x+l.

(1)求實(shí)數(shù)。上的值：

(2)求函數(shù)g(D=f(Y)-31的最小值：

(3)若對(duì)任意的red,不等式+工亙成立，求實(shí)人數(shù)的取值范圍、

題型2對(duì)數(shù)單身狗

對(duì)數(shù)單身狗：如果對(duì)數(shù)式乘以或者除以一個(gè)關(guān)于x的整式，把整式提出，然后分別對(duì)局部分

析即可,例如y=(2+x)ln(x+l)?2x,如果要證明x>0時(shí)y>0,我們便可把2+x提出來，使之變成

2K2K

y=(2+x)(ln(x+l)--分別分析2+x和ln(x+l)-不就可以了,這個(gè)過程使ln(x+l)系數(shù)不含x整

式，我們形象地稱之為對(duì)數(shù)單身狗，再求導(dǎo)就容易多了

【例題2】(2022秋?寧夏銀川?高三?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)f(X)=2e*T+g

(1)討論〃幻的單調(diào)性；

(2)對(duì)任意1>0,求證：f(x)>x(lnx+a]

【變式2-1]1.(2022秋?黑龍江哈爾濱?高三哈師大附中?？计谀?已知函數(shù)

rtx)=(x+l)tax-a(x-ll

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)“幻的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)X>1時(shí)，/(》)>%成立，求實(shí)數(shù)a的取值范用.

【變式2-1】2.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)八外二嚀.

(1)當(dāng)m=1時(shí),求〃幻的最大值：

(2)討論關(guān)于％的方程=m-hu的實(shí)根的個(gè)數(shù).

【變式2-113.(2022?四川瀘州?四川省敘永第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)

/(X)=Inx-ar+(2-a)x,a>0.

(1)討論的單調(diào)性；

(2)設(shè)a€N\若關(guān)于x的不等式〃幻4T在(0，+8止恒成立，求a的最小值.

【變式2-1]4.(2021秋浙江杭州?高三校聯(lián)考期中)1知f(X)=T,直線I為曲線F=〃幻

在(1/?))處的切線，直線I與曲線y=f⑶相交于點(diǎn)Sfls))且s<f.

⑴求珀勺取值范圍；

(2)⑴證明Jn=l+：?a-e)-苴?Or-e)、占(x-勇

(ii)證明：S>管-3HM.

題型3指對(duì)互化

指對(duì)互化與同構(gòu)：

1.所謂指對(duì)互化，如下：X二二力=二，=丁學(xué)2/6〃+7,

指對(duì)互化是指對(duì)同構(gòu)的基礎(chǔ)，

2.常見類型：

①乘積，如碇，<b/",構(gòu)造方法如卜?：

構(gòu)造方法構(gòu)造的函數(shù)

與左側(cè)一致：aea<lnb^

r（x）=4

與右側(cè)一致:e^lne6<blnt

f(x)=xlfU

對(duì)數(shù)化：Q+Inb-Inf/nfif(x)=x+liu

J?

②商，如丁<三構(gòu)造方法如下：

構(gòu)造方法構(gòu)造的函數(shù)

■門

與左側(cè)一致：丁、Kf（x）=7

與右側(cè)一致：三<之，制=3

對(duì)數(shù)化：a-lna<Inb-\n(lnb,

f(x)=x-lru

③和差，如d土a<b±l版

構(gòu)造方法構(gòu)造的函數(shù)

與左側(cè)一致：^±a<i^±lnl

c

與右側(cè)一致：e±lr^<b±lnlf

【例題3】（2022秋?黑龍江?高三升學(xué)考試）已知函數(shù)外外=E（l+”）-M（a>°）.

（1）若工二1是函財(cái)（幻的一個(gè)極值點(diǎn)，求U的值；

（2）若f（x）之I上恒成立，求U的取值范圍；

-2020]

S《；（W為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

【變式3-111.（2021秋,廣東深圳?高三深圳市龍崗區(qū)龍城高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函

數(shù)ra）=/n（ip-±,其中。門（，11.

（1）討論函數(shù)〃X）在區(qū)間1Q11±的單調(diào)性；

（2）求證：（黑產(chǎn)2"々＜（瑞產(chǎn)網(wǎng).

【變式3-1】2.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃勸=皿""）.提

⑴若函數(shù)在T=1處的切線與X軸平行，求。的值；

⑵若fC）＞0在[0+8）上恒成立，求。的取值范圍；

（3）證明：（黑◎是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)〉.

【變式3-1]3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=m（l+x）一言（《〉°）.（注

:pn（l+x）】=左）

⑴若X=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；

⑵若〃幻2眺2+8）上恒成立，求a的取值范圍；

⑶證明：（察嚴(yán)Y

【變式3-1】4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)。（勸=號(hào)（’是自然對(duì)

數(shù)的底），

⑴若函數(shù)0（燈是（1+8）上的增函數(shù)，求必勺取值范圍.

⑵若對(duì)任意的、＞0,都有求滿足條件的最大整數(shù)火的值.

題型4指對(duì)分離與不分離

既含有指數(shù)函數(shù)同時(shí)乂含有對(duì)數(shù)函數(shù)題目，也就是所謂的”指對(duì)混合型”。我們一般通過適當(dāng)

變形，?分為二，指對(duì)分離，以其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)可掌控的特殊函數(shù)進(jìn)處理。適當(dāng)變形，化歸轉(zhuǎn)

化，可以掌控，是解決問題的關(guān)鍵。

【例題4】（2022春?四川遂寧?高三射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)〃X）="

（1）討論函數(shù)。（T）=f"x）T-。的單調(diào)性；

（2）證明：+

【變式4-1]1.（2021秋?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知

f（X）="T-y+1

（1）a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和最值；

（2）①若時(shí)于任意的xw（0.+oo）,不等式外門之亭恒成立，求。的取值范圍；②求證:

廣,-2〃-Inx+,20

【變式4-1】2.(2022年高三壓軸解)已知函數(shù)〃力二=一(”為常數(shù)，e=2.71828“是自

然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線在點(diǎn)】處的切線與%軸平行.

⑴求女的值；

⑵求f(￡的單調(diào)區(qū)間；

(3)設(shè)。(x)=(/+其中為〃￡的導(dǎo)函數(shù).證明：對(duì)任意x>0,ufxXl+e_2.

【變式4-1]3.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)1,

0(")=。/+：+。*-2<1-1其中a€R

⑴若a=l,其函數(shù)0(工在口,31的值域；

⑵若對(duì)任意的*€(0,+8]，0(力2一丁恒成立，求正實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【變式4-1】4.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃幼=丫一/

⑴令g(x)=〃T)-aT+XN-吟若X20時(shí)，°(幻2(恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)*>0時(shí).證明：f(x)-exxlnx-x2-x+l

題型5凹凸翻轉(zhuǎn)

證明不等式問題中有一類不等式形式復(fù)雜，由即首先知道兩個(gè)函數(shù)(其中一個(gè)常常是對(duì)數(shù)函

數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)的組合，另?個(gè)則是指數(shù)函數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)的組合)組合而成，我們往往指

對(duì)分離，然后研究函數(shù)的圖像，兩個(gè)函數(shù)圖像凹凸性剛好相反，稱凹凸反轉(zhuǎn)，這個(gè)名詞非常

形象的闡述了這類題目的解題思想。

問題1：若F(x)>0對(duì)xWD恒成立(其中F(x)=f(x)-g(x))

情況①：轉(zhuǎn)化為f(x)>g(x),通過分別求出兩個(gè)函數(shù)的最值，若f(x)min>g(x)max,則問題得

證。

情況②:轉(zhuǎn)化為f(x)>g(x)，通過分別求出兩個(gè)函數(shù)的最直,??f(x)min=f(xi)>g(x)max=g(x2),

則問題得證。

問題2：若F(x)20對(duì):<GD恒成立(其中F(x)=f(x)-g(x))轉(zhuǎn)化為f(x)^g(x),通過分

別求出兩個(gè)函數(shù)的最值，Xiffx)min^g(x)max,且f(x)min=f(x0)=g(x)max=g(x°)則問題得證。

凹凸反轉(zhuǎn)的局限性：解法局限性一:不涉及“單調(diào)構(gòu)造”

通過下文介紹的方法步驟，一定可以排除整體單調(diào)的函數(shù)組合。但是單調(diào)函數(shù)的組合有時(shí)也

可以通過"最大值小「最小值〃的方式說明問題，而且單調(diào)函數(shù)的組合，如果真構(gòu)造成功了(如

下圖)，嚴(yán)格來說也屬于“凹凸反轉(zhuǎn)”，

解法局限性二:構(gòu)造后可能出現(xiàn)h(X)min<g(X)max

如下圖，導(dǎo)致問題得不到解決，

y

X

【例題5】(2021秋?河南南陽?高三期中)已知函數(shù)〃外=皿,0(x)=x+mtmeRl

⑴若〃外M0仁恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)求證：當(dāng)、＞0時(shí)，----；----2庇+1

【變式5-1】1.(2019?天津紅橋?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(x)=ln(e”+k)(k為常數(shù))是實(shí)數(shù)

集R上的奇函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)求k的值；

Ins2)

(2)討論關(guān)于x的方程如而="的根的個(gè)數(shù).

【變式5-1]2.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=xe'-hw,ln2與0.693,

v'e書1.6#均為不足近似值.

(1)當(dāng)X21時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性;

⑵證明：當(dāng)x＞0時(shí)，不等式八外)青亙成立.

【變式5-1]3.(2022?河北衡水?河北衡水中學(xué)校考一模)設(shè)函數(shù)fa)=lnx-e】T,

^(x)=a(x2-l)-；

⑴判斷函數(shù)f(x】零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；

⑵記入(幻=9(幻-〃%)+),討論h(勸的單調(diào)性；

⑶若八燈＜0(外在(1.+8)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【變式5-114.(2022春高三課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)〃X)=RL8-]n(x+a).

(1)當(dāng)°二羿T，求〃工的單調(diào)區(qū)間與極值;

⑵當(dāng)時(shí)，證明：

1.(2022?四川?四川師范大學(xué)附屬中學(xué)?？级?已知函數(shù)“外=￥一。黑其中€為自然對(duì)

數(shù)的底數(shù)，日為常數(shù).

⑴若對(duì)函數(shù)“X：存在極小值，且極小值為0,求。的值；

⑵若對(duì)任意"6〔吟】，不等式/（外之"1一輸小恒成立，求a的取值范圍.

2.（2021?廣東湛江?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)f（X）=/+。85x一Cx-2,/（幻為汽幻的導(dǎo)函

數(shù).

（1）討論/1（X）在區(qū)間（°g）內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）鼾HTd時(shí),〃X）士om成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

3.（2020?海南?校聯(lián)考一模）設(shè)函數(shù)f（D=e*8sx,g（x）-e：l-2a1

（1）當(dāng)唱時(shí)，求〃幻的值域;

（2）當(dāng)XWI6+8：時(shí)，不等式g（x）2拶恒成立（r（x）是〃刀）的導(dǎo)函數(shù)），求實(shí)數(shù)a的取值

范圍.

4.（2022?廣西桂林?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)"X）=a*-d（x>0,a>11

（1）證明：vxe+都有l(wèi)ru<力；

（2）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求〃幻的極值.

5.（2020?浙江寧波?鎮(zhèn)海中學(xué)?？既＃┮阎獙?shí)數(shù)awC,設(shè)函數(shù)r（%）=：-m4

（1）當(dāng)aw（o”XW9+8）時(shí)，證明：fW2a-

（2）若“外有兩個(gè)極值點(diǎn)<?！浚C明：'-e2（M+M）+2e>0

6.（2021?陜西?校聯(lián)考三模）已知函數(shù)八乃二會(huì).。""。）且/

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（2）證明：Ex〉3一；.

參考答案與試題解析

重難點(diǎn)專題12導(dǎo)數(shù)解答題之指對(duì)函數(shù)五大題型匯總

題型1指數(shù)找基友.....................................................9

題型2對(duì)數(shù)單身狗....................................................16

題型3指對(duì)互化......................................................24

題型4指對(duì)分離與不分離..............................................30

題型5凹凸翻轉(zhuǎn)......................................................36

在指數(shù)加減x整式或者對(duì)數(shù)乘除x整式或者在指數(shù)和對(duì)數(shù)同時(shí)出現(xiàn)的情形下，我們處理時(shí)往

往本著對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)我基友的思想方法，本質(zhì)就是通過這樣的轉(zhuǎn)換可以讓求導(dǎo)變少，避

開長篇分類討論

題型1指數(shù)找基友

數(shù)找基友：在處理不等式和零點(diǎn)問題時(shí)，如果指數(shù)部分+X整式有可能連續(xù)求導(dǎo)，甚至要用

到隱零點(diǎn)，比較復(fù)雜，此時(shí)，我們只需把所有X的式子和ex變換到一起，一般可以同除整

式，或者同除ex部分，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，例如ex-ax>0我們可以化成ex>ax,進(jìn)一步化成a=ex/x,

構(gòu)造函數(shù)f(X)=ex/x;再例如當(dāng)x>0時(shí)求證：(2-x)ex4x+2,我們可以化作e*(2-x)/(x+2)4L然后

構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex(2-x)/(2+x),證明其W1即可，通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)，ex和所有含有x的式子變

換到一起了，我們形象地稱之為，指數(shù)找基友

【例題1](2022秋?山東濱州?高三校聯(lián)考期中)已知〃外=asinx(a6即，Q(x)=

(1)求o(r在x=o處的切線方程；

(2)若0=1,證明G(r)=/(x)+Iru在(0.1上單調(diào)遞增；

(3)婷乃=出普(°工°)對(duì)任意*亡I咽，匕成立求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【答案】(1)x-y+l=o；(2)詳見解析；(3)kwl.

【分析】(1)求出0(x1的導(dǎo)數(shù)，求得切線斜率及切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式即可得切線方程；

(2)求出G(x)=f(x)+hu的導(dǎo)數(shù)，將證明G(x)=f(x)+hu在(0,：上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為

G(x)>0在(0.1上恒成立即可；

(3)先化簡求出汽工)二^^!《,FCdNfafg成立即成立,對(duì)ME

求導(dǎo)，對(duì)“進(jìn)行討論，研究的最小值不小于零即可.

【詳解】解：(1)0(x)="，。(0)=1,0(0)=1,

所以。CE在x=0處的切線方程為K-l-x,即x-y+1=0

(2)G(v)=sinr>lnx,

則6(X)=：+8SI

由于xE(0,l：,故「1,

ycosre[-1,1],故851Si,

W+8SX>0,即。(外>。在(0,1：上恒成立，

故G”在91遞增；

(3)F(r)=eIsim,

由對(duì)任意”e—F(X)N匕恒成立，

設(shè)h(x)="sinr-kx,

則h(x)=e^sinx+dcosx-Jk,

再設(shè)m(x)=dsinx+e*cosx-k,

貝i」m(x)=dsiiu+^cosx+dcosx-bsin*=2e*cosx.

.”e［叫，.mCdwC

因此E在上.遞增，

故Ex)2用0)=1-k,

①當(dāng)kM1時(shí),”r)2C即h(x)CC,

Mx在1°，斗遞增，故Mx)之h(0)=0,

即k?1適合題意，

②當(dāng)k>l時(shí)，m(0)=l-k<0,m仔)=A-k,

若瑟?k<0,則取X。=sxe(OxoMhm(x)<0,

若A-k2Q則在(°胃二m(x)存在唯一零點(diǎn)，記為X,

當(dāng)xw(0xo)時(shí)，m(x)<€,

總之，存在1。E(叫伊€(0旬時(shí)”X)<0,

gphfxXO,故Mx遞減/⑴<h(0)=0,

故k>l時(shí)，存在(Oxo)使Mx)<0,不合題意，

綜上，kMl.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求切線的方程和函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單

調(diào)性及最值等知識(shí)，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力，是一道難度較大的

題目.

【變式1-111.(2023春?安徽?高三合肥市第八亡學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)已知函數(shù)

/,(x)=ax2-eJ-1.

(1)當(dāng)a=4時(shí),證明："x】在N上為減函數(shù).

(2)當(dāng)xw【°=)時(shí)，〃外vacosi求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

1

【答案】(1)證明見解析：(2)[~7—1.

【分析】(1)利用二階導(dǎo)數(shù)研究/(￡的單調(diào)性，結(jié)合其零點(diǎn)確定「(￡的區(qū)間符號(hào)，即可證

結(jié)論；

(2)原不等式等價(jià)于yT2a(?-cosx】對(duì)■于xe[°』】恒成立，構(gòu)造h(x)=/-cosi,利

用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，結(jié)合其零點(diǎn)判斷Mx的區(qū)間符號(hào)，當(dāng)h(x)<0時(shí)只需(二二二)2,

當(dāng)h(x)>0時(shí)只需《*(^ZZ7)?,構(gòu)造雙“)二不二根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究最值即可求。的范圍.

【詳解】⑴當(dāng)a=；時(shí)，〃k=標(biāo)一-'，則「⑶二刀一六、

令0(x)=X-尸】，則0(x)=1-尸】，

當(dāng)xe(-8.1)時(shí)，g(T)>0,g(x：單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(L+8)時(shí)，?！?<0,。(工單調(diào)遞減，

..0(x)M0(i)=o,當(dāng)x=i時(shí)r⑴=Q當(dāng)XHI時(shí)r(x)<o,

.??〃￡是人上以X=1為拐點(diǎn)的減函數(shù).?

(2)由題意，3a(x?-C8X)對(duì)/w[0』場(chǎng)成立.

設(shè)40=/-85即則ffx)=2x+dnx,易知h'(￡在【051上為增函數(shù)，

..h(x)2h(0)=0,故h(x在卜為增函數(shù)，又h(0)=-l<0,h(7)=T>0,

「?存在唯一的R6(吟)，使得h(*n)=0：當(dāng)x€IO及用，Mx)=/-cosx<0,此時(shí)，

由e"72a(?-COST)得0之

令可")=涓=，則@(幻-----令FW<0,

.?”(X〕在【Oxolh為減函數(shù)，則可1—=夕(°)=一：，故a“：.

當(dāng)x=打時(shí)，八(右)=以-cosxo=0,對(duì)于vaeR,ex-l2afx2-COST】恒成立.

(/T

1

當(dāng)xe(總弓]時(shí)，h(x)=(-00sx>o,由e-1之哦爐-cost囑°

由上知3(乃=-EL,

令-cosx-2x-siju,則m(x)=2x+sinr-2-cos兒易知m(x版(4，白上為

增函數(shù)，

---m(xn)=2Xn+sinxn-2-COSXn,而入(%)=京-85Xo=0,ME(0,2

m(xo)=2XQ+siiuo-2-x；=T+sinx。?(R-1)2O1+sinxo<0,又

m(y)=ir-1>0

/.存在唯一“Ie(“2使得m61)=0：當(dāng)x6(3。時(shí)，m(x)<0,m(x)遞減；當(dāng)

時(shí)，m(x)>0,m(x燧增；

.?R)=x；-oasxo-2xo-sinxo=-2XQ-sinx?<0,”彳)=:一病T<。，

/.m(x)<0,即9(x)<0,

.?.9(X)在(與1】為減函數(shù)，次Dan=9(3)=3",故04?-.

143*1

綜上可知，實(shí)數(shù)。的取值范圍為[-：?=】.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，？72。(爐-851)對(duì)于、€[0，勺恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究

<*■*<

h(x)=x2-cos*的M間符號(hào)，當(dāng)h(x)<0時(shí)有。之(/_…)—,當(dāng)h(x)>0時(shí)有

r1-i

0-(7Z^7)nun,求參數(shù)范圍

【變式1-1】2.(2021?黑龍江哈爾濱?哈九中校考三模)已知函數(shù)外幻二：/-5^].

(1)證明：函數(shù)f(X)有三個(gè)零點(diǎn)；

(2)若對(duì)不等式^+。85刀2小恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析；(2)0*闈

【分析】(1)由“X：為奇函數(shù)，得0是一個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為證明f(x)在(0,+8)上有且只有一個(gè)

零點(diǎn),求出r(￡,再對(duì)f'(r兩次求導(dǎo)，確定「(豹的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即

可證明結(jié)論；

(2)不等式r+acosxwax，化為一之”12—cosx),再由(。中的結(jié)論討論N-cosx零、

正、負(fù)，分離參數(shù)Q,構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為a與新函數(shù)的最值關(guān)系，通過求導(dǎo)求出新函數(shù)的

最值,即可求出結(jié)論.

【詳解】解：(1)證明：

因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，且〃0)=0,

只需證f(幻在(0?+8止有旦只有一個(gè)零點(diǎn)即可.

當(dāng)x€(0,+oo),記g(x)=/(x)=x2-cosx,

MI(X)=0(X)=2X+siru,0;(X)=2+cosx>0,

???。(外在(0，+8]上遞增，

又???，(幻>。(0)=0,”(加(0+8：上遞增,

x7/}(o)=-i<o,g(9=5>°,

所以存在唯一實(shí)數(shù)即?°埒，使得。(小)=0,

當(dāng)xe(Ox/時(shí)，g(x)<0,當(dāng)xw(xo,+8)時(shí)，?(x)>0,

所以函數(shù)fci在(OxJ上單調(diào)遞減，在(w，+81上單調(diào)遞增.

V7(0)=0,AAzo)<0,Xf(1T)>0,

所以函數(shù)〃劃在（而用）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

所以函數(shù)〃為有三個(gè)零點(diǎn).

（2）由d+acosxzax：,可彳曠2。（十一。05匕

由（1）知：

①當(dāng)x=R時(shí)，”>0,9"。）=￥一《?/=0,

此時(shí)，對(duì)于任意aW凡72a（f-cos*）恒成立.

②當(dāng)'《（與1時(shí)，oM>0,

由e"2aix2-cost）,得°<7^；,

令Mx)=n=,下面研究必幻的最小值，

令?x)=x2-cost-2x-sinx,

t(x)=2x4-sinx-2-cosx,令h(x)=t[x),

tttx)=2+cosr+sinx>Ox^xe1°曰成立，

二函數(shù)t(x)在(％』上為增函數(shù)，

rfat(Xft)=2xn4-sinx0-2-cos%

=-x?+2xo+siiUb-2<-l+sinxo<0(0<x0<D,

又r◎=一1)0

:存在唯一實(shí)數(shù)mW(。,3，使得f(m)=0,

當(dāng)xw(、ni)時(shí)，f(m)<0；當(dāng)xt(m)>0.

二函數(shù)r(幻在(xam)上遞減，在(6才遞增，

???t(x0)=xj-cosx0-2xo-sinz0=-2x0"sinx0<0,

，G)=：-"-1<0,??函?數(shù)h(x)在(xo「l上遞減，

?-Mx)a=hG)=-'asg

③當(dāng)x€[0%>)時(shí)，u(x)=x2-cosx<0,

由kN。(必一cosx),得。之三工，

入(幻=女力衛(wèi)『嗎!<0

由②可知(*jmx),

所以函數(shù)*x)==在10』力上為減函數(shù)，

當(dāng)xw[0詞時(shí)，h(x)i=h(O)=-l,

?QW|-1,

???。2-1,綜上，3廣.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、零點(diǎn)，以及不等

式恒成立問題，分離參數(shù)是解題的關(guān)鍵，構(gòu)造函數(shù)多次求導(dǎo)是解這種類型題的重要手段，考

查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.

【變式1-1】3.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)力=〃父是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)X>0

時(shí)ja)=h,曲線y=f(x：在點(diǎn)(L/U))的切線與瑜平行，耐⑶時(shí)㈤的導(dǎo)函數(shù).

⑴求人的值及當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)〃的單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)。⑴=(/+X)?f⑴對(duì)于任意x>0,證明0(x)<1+「

【答案】⑴k=1,f(x)的增區(qū)間為(0.1,減區(qū)間為(1，+8)

⑵證明見解析

【分析】小問1：由r⑴=。求出入的值，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性即可分析單調(diào)性；

小問2：記h(x)=l-xlnx-x(x>0),通過導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性求出最大值，同樣求出

0=字<1,。>0),即可證明結(jié)論.

(1)

解：由/a)=r-,得八幻=-ns—=r-,

.?.ra)=?=o,即k=i.

..1

〃X)二—,

???g(x)==TuT為減函數(shù),即⑴=0,

???當(dāng)x€(o.i)時(shí)，。(x”o,ra)>o.

當(dāng)xW(L+8)時(shí)，j?(x)<0,f(x)<0.

???的增區(qū)間為(o.i;減區(qū)間為a，+8)；

(2)

證明：g(X)=(x2+X)f(X)=3(lT3T).

iEh(r)=l-xlnx-x(x>0),

h(x)=-lnx-2,令h[x)=O,得x=e-,

當(dāng)xw(0￡-2)時(shí)，\(x)>0,h(x：單調(diào)遞增；

當(dāng)xw(e-2,+8)時(shí)，hCc)<0,h(x單調(diào)遞減.

???Mx—=h(e-2)=l+e-2,

A1-xlru-xs1+e-2.

令?》)=?(刀>。)，〃外=-/<°,

???Mx：在(0,+8：上單調(diào)遞減，

???g(x)=9,(1-xlnx-l)<l+e-：【變式I；]4⑵21秋.吉林四平.高三四平市第一

高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))己知函數(shù)fa)=ae*+bBST+：/+l(其中①七為實(shí)數(shù))的圖象

在點(diǎn)(0/0))處的切線方程為廠x+1.

(1)求實(shí)數(shù)a匕的值；

(2)求函數(shù)。(外=f(x)-31的最小值；

(3)若對(duì)任意的XEA,不等式寸(幻之J/+2M2+苞亙成立，求實(shí)為數(shù)的取值范|韋|、

【答案】⑴]=-1；(2)最小值為】；(3)(-004).

【分析】(1)求導(dǎo)得到「(Dna/-bsinx+x,根據(jù)題意得到If'(O)=a=l,解得

答案。

(2)計(jì)算得到0(幻=，+寸!吠一21，求導(dǎo)得至叩?(幼="+85%-2,令h(x)=0'a),則

/!("="-sim,討論★<0和x*C的情況，得至3(外在(一立0〕上單調(diào)遞減和在10.+W上

單調(diào)遞增，得到函數(shù)的最小值。

(3)當(dāng)x=0時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)x>0時(shí)，等價(jià)于Y-XZ-ZXX-COSXN0,令

GM=e*-x2-2Xx-cosx,G'(x)=^(x)-2),考慮“和入結(jié)合(2)結(jié)論根據(jù)函

數(shù)的單調(diào)性得到最值，同理x<0時(shí)類似，計(jì)算得到答案。

【詳解】解：(1)因?yàn)?fx+卜'+1,所"(x)="-b5inx+x,

|/(0)=a+b+l=1,a=i

由題意得Ino)=a=l解得鼠=_1.

(2)由(i)知f(x)=/一。。"+：/+1?6幼=d+siBx-2x,

所以0'a)=d+cosx-2,令則ha)=y-sim

①當(dāng)x<0時(shí)，由^-2<-l.-lScosxSi,^'(x)=e*fcosx-2<0,

所以0(幻在(-8,0止單調(diào)遞減，無最小值.

②當(dāng)x*C時(shí)，由721,-14-sinx?l,得人a)二d一曲《>0,所以。'(乃在10,+8)上

單調(diào)遞增，

故"(X)2。'(0)=0,所以。(為在［0,+8)上單調(diào)遞增，所以03)曰=。(0)=1.

綜上，。(編的最小值為1.

(3)對(duì)x分情況討論如下:

①當(dāng)X=O時(shí)，對(duì)任意的入E凡不等式“八幻之3^+2乂二+X恒成立.

②當(dāng)x>0時(shí),不等式N")2#+23+售價(jià)于d-cosx+*+1N/+2衣+1,

即e1c-x2-2Xx-cosr20

令G(x)=e*-x2-2Ax-cosi,則G〈x)=e1-2x+sinx-2A=j7(x)-2\

當(dāng)入時(shí)，由(2)知G(x)=o(x)-2)>0(0)-2入=1-2入2Q,

所以G(勸單調(diào)遞增,從而G(x)>G(0)=0,滿足題意.

當(dāng)人>:時(shí).由(2)知G(x)=?(x)-2入=小-2x+sinx-2入=0。)-22在(0.+8)上單調(diào)遞

增，

易證e1Wei,ifcG(x)=e*-2x+sinx-2A>(e-2)x-l-2),

從而，(詈)>(e-2)x?-l-2X=0.

又G(0)=1-2入<0,所以存在唯一實(shí)數(shù)RE(。片),使得G’(。)=0,

.”(3)時(shí),G'(x)gO.GU)單調(diào)遞減，所以當(dāng)xw(0x11時(shí)，G(x)<G(0)=0不滿足

題意.

③當(dāng)x<0時(shí)，不等式xf(x)N'/+23+*等價(jià)于-2M-cost￡0,

同上，令G(x)=產(chǎn)-生2-2乂-85即則G(x)nd-Zx+sinx-Z入-cosx50.

當(dāng)入時(shí)，由(2)可知Ga)>0,所以G(x)單調(diào)遞增，故G(x)<G(0)=0,滿足題意

綜上，可得入的取值范圍是(?8』1

題型2對(duì)數(shù)單身狗

對(duì)數(shù)單身狗：如果對(duì)數(shù)式乘以或者除以一個(gè)關(guān)于x的整式，把整式提出，然后分別對(duì)局部分

析即可,例如y=(2+x)ln(x+l)-2x,如果要證明x>0時(shí)y>0,我們便可把2+x提出來,使之變成

2K2*

y=(2+x)(ln(x+l)-277分別分析2+x和ln(x+l)-4就可以了，這個(gè)過程使ln(x+l)系數(shù)不含x整

式，我們形象地稱之為對(duì)數(shù)單身狗，再求導(dǎo)就容易多了

【例題2】(2022秋?寧夏銀川?高三?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)八幻=2"々+也

(1)討論f(X)的單調(diào)性；

(2)對(duì)任意X>0,求證：xen+a)

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【分析】(1)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，&)=2^-2+凡再討論0之。和時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性;

(2)首先將不等式變形，轉(zhuǎn)化為證明；r=構(gòu)造函數(shù)g(x)=5.二-hu,然后利用

二次導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值大于0,即可證明.

【詳解】(1)函數(shù)的定義域是人

f(x)=2e*7+a當(dāng)aNC時(shí)，f〃)>0恒成立，故函數(shù)〃%))在R上單調(diào)遞增

當(dāng)a<0時(shí)，令f'(x)>0,得\>2+.(—?令、我)<0,得x<2+ln(T)

故函數(shù)”外在+m—切上遞減，在(2+m-4+84增

(2)要證f(x)>x(lnx+a),即證Ze^+aCxOnx+a)

印證2寸-2>刀加凡又x>0,所以二丁>1世，即證：r：-Mx>°

”(X)=；;Tnx則9(x)="L'T,

令rCOuZCr-ne1-/1，Mr1(x)=2xez-e2

容易得“x]在(0.+8燧增，且r(l)=2e-e2<0/(2]=3e:>0

所以存在唯一的實(shí)數(shù)次€(1.2),使得r'(4)=0

所以廣(入粒(0右朧減，在(。「8)遞增

因?yàn)閞(0)=-2<0,r(2)=0

所以當(dāng)3)>。時(shí)1>2,當(dāng)r(x)<0^0<r<2

所以在(0.2)上遞減，在(2,+8)上遞增

所以0(x)20(2)=1-ln2>0

2rl

綜上k丁一底>°,即f⑶>x(lnx+a).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如卜：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式〃G>Q(0(或〃6<。(R)轉(zhuǎn)化為證明"x)-a(x)>0

(或〃x)-。(x)<0),法而構(gòu)造輔助函數(shù)h(丫)=f(n(理

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造"形似"函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函

數(shù).

【變式2-1]1.(2022秋?黑龍江哈爾濱?高三哈師大附中?？计谀?己知函數(shù)

fM=(x+l)lnx-G(r-l).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)fCr)的單調(diào)區(qū)間：

(2)當(dāng)x>l時(shí)，〃外>廂成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)在區(qū)間(0，+8)上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間；(2)(-8,21

【分析】(1)把2代入，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

(2)由不等式的恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及函數(shù)的性質(zhì)對(duì)。進(jìn)行分類討論，進(jìn)行求解即

可.

【詳解】解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=(x+l)kix-2(x-l),+

裂(x)=lnx+：-】，則，⑴審,

當(dāng)X6(0.l)時(shí),。(外單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，Q(x)>0,0(x1單調(diào)遞增,

所以0(x)E”=0(1)=0,所以f'(x)N0.

故f(x)在區(qū)間(0,+81上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間.

⑵r(x)=lnx+：+l-a

設(shè)h(x)=k)T+；+l-a,x>l,則hU)=；-3=m>°,

所以族區(qū)間ll.+8讓單調(diào)遞增，即r(x)在區(qū)間(L+8)上單調(diào)遞增，且r⑴=2-a,

(^)當(dāng)。￡2時(shí)，廠(乃>0,/。)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，所以f(x)>/(1)=瞬足條件;

②當(dāng)a>2時(shí)，r⑴=2-a<0,八產(chǎn))=1+尸>0,

所以弘n€(l，L使得f'(Xo)=0,所以當(dāng)X6(1X1)時(shí)，/(X)<0,“X)單調(diào)遞減，

即當(dāng)時(shí)，fa)</a)=o,不滿足題意.

綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,21.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)a恒成立(aMflkn

即可)或成立82"XJ即可)；②數(shù)形結(jié)合“二〃制圖象在y=0(幻上方

即可)；③討論最值f*焉I2。或“立34。恒成立；④討論參數(shù).

【變式2-1】2.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/a)=嚀.

(1)當(dāng)m=l時(shí)，求f(x)的最大值；

(2)討論關(guān)于X的方程八。二m-hn的丈根的個(gè)數(shù).

【答案】(1)1(2)答案見解析.

【解析】(1)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分析函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的最值；(2)方程的實(shí)數(shù)

E(XJ)

根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(”)=1政-在(0.+8)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，且0(1)=Q再討論E的取

值范圍討論函數(shù)在(L+s：的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再根據(jù)關(guān)系式得到函數(shù)的零點(diǎn)互為倒數(shù)，從而確定

(x^ljhu、(jr'l)hu

函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；方法二，當(dāng)二上】時(shí)，方程等價(jià)于m二一二一，構(gòu)造函數(shù)八(")二-73-

(X>O,XXl),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的圖象，從而討論m,得到圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

、taur+l、2iiur+l

【詳解】(])當(dāng)m=1時(shí)，/3)=丁，???ra)=-r-,

令「⑴=0,得x=eT,,?.0<x<二時(shí),f(x)>0,〃幻單調(diào)遞增，x>eV時(shí)，/⑴<0,

“X憚?wù){(diào)遞減，A/Wmax=/(e-I)={

(2)由〃x)二m-lu得蕓==0,令g(x)=lnx一普，

所以方程八D二m-1m的實(shí)根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)0(外在(0,+8)上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

??,61)=。?"=1是函數(shù)0(幻的一個(gè)零點(diǎn),

7g(2)=InL-=-Inx?=-g(x)

又I""，?,?0(外在(0」)〃1.+8)上的零點(diǎn)互為

倒數(shù)，下面先研究。(X)在(1,+8)上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)：

??O(x)=1-『二

?S⑴一，廿川--M；r)?(X>1),

J)

(i)若mvQ則x>l時(shí)，。(乃=1政一=大一;>°,???0(劃在(1.+8)上的沒有零點(diǎn)；

_(『41尸Two2_“Kx2--“J

(ii)若m>0,則g"-"T"T(x>1),

令h(x)=r-2vmx+l(x>1),

?A=4m-40,即0<mW1時(shí)，h(x)2d,.??a'(x)20,0(*)在(L+8)上遞增，

。([)>0(1)=0,1獻(xiàn)外在(1.+8]上的沒有零點(diǎn);

@A=4m-4>0,即m>1時(shí)，八(幻=0有兩個(gè)不等實(shí)根石，x2,且

二大根M+\'m-1>1,小根0<ri<1,

???xe3擊hkM<0,oM<0,0(x)單調(diào)遞減，re(4+8)時(shí)，h(x)>0,aM>0,

M單調(diào)遞增，??。(0)<0⑴=0,

又g(L)=m-=KG>0(x)在(In力上恒小于o,在(x九+8)上存在唯一

xoe(不唐力使得QC%)=0,???。(幻在(L+8)上僅有一個(gè)零點(diǎn)區(qū),

因?yàn)?(幻在(0.1)U(L+8)上的零點(diǎn)互為倒數(shù)，且0⑴=0,所以FW41時(shí),0(x)僅有一個(gè)

零點(diǎn)；m>l時(shí)，g(x)有三個(gè)零點(diǎn).

綜上：mw1時(shí)，方程〃x)=m-Im僅有一個(gè)實(shí)根；

m>1時(shí)，方程f(x)=m-Inx有三個(gè)實(shí)根.

參考解法二：由f(x)=m-hu得由一些口=°,x=l顯然是該方程的一個(gè)根;

=-帚（4小小+可

4>M)

令儀幻=41nx-X2+4則。(x)=*-2x-^=-%"<0

??.T>0時(shí)，s(x)單調(diào)遞減，

.,.o<x<lirf,w(x)>ai)=O,h(x)<o,h(x)單調(diào)遞減，x>l時(shí)，帆幻〈次1)=0,

h(x)>0,M0單調(diào)遞增,

由XT+OC時(shí)，h(x)-H-oo,XT*,h(x)-H-a,x-1時(shí)，h(x)1,

可畫出h(x)的大致圖像如圖所示：

（注：此處用到了高中教材中沒有涉及到的函數(shù)極限知設(shè)，可酌情扣2—3分）

結(jié)合圖像得：m>l時(shí)，方程m二八（燈有兩個(gè)實(shí)根；mg1時(shí)，方程m=h（燈沒有實(shí)根；

綜合得：mw1時(shí)，方程f（x）=m-hu僅有一個(gè)實(shí)根；

m>1時(shí)，方程f（x）=m-hu有三個(gè)實(shí)根.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，一般可采用1.直接

法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參

數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合：先對(duì)解析式變形，在同一平面直

角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解，此時(shí)需要根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)合理尋找“臨界”情況,

特別注意邊界值的取舍.

【變式2-1]3.（2022?四川瀘州?四川省敘永第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）己知函數(shù)

/（X）=lnx-ar+（2-a）x.a>0.

（1）討論〃￡的單調(diào)性；

（2）設(shè)aWN',若關(guān)于X的不等式〃X）4-1在（0,+8]上恒成立，求a的最小值.

【答案】（1）“X：在（02）上單調(diào)遞增，在G48）上單調(diào)遞減；（2）2.

【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)f（X）二>°）,利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即

可求解.

（2）由（1）可知“』+只需=V-1，令t=；,

構(gòu)造函數(shù)。（t）=lm+t,利用導(dǎo)數(shù)得出存在唯一的“w（$?】），使得g（to）=0,根據(jù)函數(shù)的

單調(diào)性可得°<;從而可求解.

【詳解】（1）由題意得，r（x）=7-2ax-a+2=M^（x>0]

va>0,由得。??,函財(cái)（外在（°，J上單調(diào)遞增；

由ra）<o,得

???函數(shù)”X）在（I+8）上單調(diào)遞減，

???函數(shù)/IX）在（S3上單調(diào)遞增，在（3+8）上單調(diào)遞減

（2）由⑴可知，函數(shù)f（￡在（°力上單調(diào)遞增，U+8）上單調(diào)遞減，

???fOOnux=fG）=ln"

又在（0.+8）上恒成立.???/（工）3=14+；-1M-1,

即）

令，=；,則t>0.

械⑴=lnt+t,則。⑴§0.

?；g（t）=；+l=F>0,故函數(shù)?（C在（0,+8讓單調(diào)遞增，

且。（？=ln1?+0,p（l）=1>0

???存在唯一的“e（：」），使得0心）=0.

1當(dāng)t￡（0川時(shí)，0⑴<0；當(dāng)te（tn.+8）時(shí)，0⑴>0,

???0<，也解得aNqE（iZ.

???aE.V'ia的最小值為2.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成

立問題，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為八'%皿=歷:+；-1S-1,并且構(gòu)造函數(shù)

a（t）=lnt+t,考杳了數(shù)學(xué)運(yùn)算以及轉(zhuǎn)化為能力.

【變式2-1】4.（2021秋,浙江杭州?高三校聯(lián)考期中）己知外口=三直線1為曲線y=f3

在處的切線，直線1與曲線F=〃工相交于點(diǎn)（5出5））且5<上

⑴求珀勺取值范圍；

（2）⑴證明：lnxM】+：?a-e）-9（x-e）2+3,（Le）:

(ii)證明:N?

【答案】⑴(四+8)

(2)(i)證明見解析：(ii)證明見解析

1,2tai

【分析】(1)先求得y二〃x)在處的切線方程丫=二二"一；+，，再令

lari-iw12tnt

5W=+用導(dǎo)數(shù)法由0W有零點(diǎn)求解；

(2)(i)令人(幻=1政一|1+：,("-?)一9《-?)2+廿。-例，用導(dǎo)數(shù)法證明

h(x)u=O即可；(ii)先證加―27)-9(57)2+點(diǎn)?(1)3令

r(x)=Int+；?(r-1)-(x-02+(x-1)3-liu,用導(dǎo)數(shù)法證明；再根據(jù)是

huITic-la

I上的點(diǎn)，得到丁=h(s?t)+：兩者結(jié)