2024年高考數(shù)學終極押題密卷2（新高考Ⅱ）含答案

2024年高考數(shù)學終極押題密卷2（新高考H）

一,選擇題（共8小題）

1.已知集合A=｛小B=｛x|y=x『｝，貝1JAA8=（）

A.[0,41B.（0,1]C.（0,41D.[0,1]

2.已知復數(shù)z滿足z2=-1,則|J+2z|=（）

A.1B.V3C.V5D.3

3.已知a,0是兩個平面，/n,丁是兩條直線,且a_L0,mua,〃u0,則“相_L〃”是“加_L0”的（

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

4.2023年12月初，某校開展憲法宣傳FI活動，邀請了法制專家楊教授為廣大師生做《大力弘揚憲法精神,

建設社會主義法制文化》的法制報告，報告后楊教授與四名男生、兩名女生站成一排合影留念，要求楊

教授必須站中間，他的兩側均為兩男1女，則總的站排方法共有（）

A.300B.432C.600D.864

5.“-1W6V1”是“方程匹x+b有唯一實根”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

6.權方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設正

數(shù)a,b,x,y,滿足li』￡〉（a+b）2,當且僅當包上時，等號成立.則函數(shù)

xyx+yxy

皿）《一（0<,《）的最小值為（）

A.16B.25C.36D.49

7.設Zl,Z2為復數(shù)，則下列命題正確的是（）

A.若zi+z2>0,則zC,

z2L1

B.若Z1Z2=O,則zi=0且Z2=0

C.若0|=|z2|,則滔=z￡

k乙

D.若|Z-Z||=|Z-Z2|，且Zl關72，則Z在復平面對應的點在一條直線上

8.已知Q為圓A：(x-1)2+y2=l上動點，直線/1：nix-ny+3fn+2n=0和直線/2：nx+my-6in+n=0("i,

nGR,m2+n2^O)的交點為尸，則尸Q的最大值是()

A.6+^/5B.4—C.5+V^D.1+V^

二.多選題(共3小題)

(多選)9.已知函數(shù)f(x)=sin(a)x+(p)(co>(),0<(p<n),若)=】,且

66

VxC(—,—)?都有了(X)<1，貝I()

66

A.y=f(x)在(0,且二)單調遞減

X2

B.y=f(x)的圖像關于(W，0)對稱

X2

C.直線y二-Fx」■是一條切線

2

D.y=f(x)的圖像向右平移工個單位長度后得到函數(shù)g(x)是偶函數(shù)

3

(多選)10.已知函數(shù)/(4)是定義域為R的可導函數(shù)，若/(x+y)=/(x)+f(y)+3xy(工+.y),且/

(0)=?3,則()

A./(x)是奇函數(shù)

B./(x)是減函數(shù)

C.f(V3)=0

D..v=1是/(.x)的極小值點

(多選)11.已知，〃，〃為兩條不同的直線，a,0兩個不同的平面，且/〃JLa,〃〃仇則()

A.若/〃〃〃，則a_L0B.若〃?〃B，則〃?_L〃

C.若機_L0,則，〃_L〃D.若m〃〃,則〃?〃B

三.填空題(共3小題)

12,“函數(shù)/(幻=a?-sinx是奇函數(shù)”的充要條件是實數(shù)。=.

13,在邊長為4的正方形4/3c。中，如圖1所示，E,F,M分別為“C,C。，/3￡的中點，分別沿A￡,AF

及石尸所在直線把△AEB,△力F。和折起，使氏C,。三點重合于點P,得到三棱錐P-AEr，

如圖2所示，則三棱錐P-AE尸外接球的表面積是；過點M的平面截三棱錐尸-AE尸外接

球所得截面的面積的取值范圍是.

圖2

14.己知實數(shù)a>0,〃>0,且劭(a+8〃)=4,則”+4〃的最小值為.

四.解答題(共5小題)

15.已知函數(shù)/(x)=/-al-3x.

(1)若/(%)在尤［1,+8)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若％=3是/(x)的極值點，求/(x)在工日1,a］上的最小值和最大值.

16.一只螞蟻位于數(shù)軸％=0處，這只螞蚊每隔一秒鐘向左或向右移動一個單位長度，設它向右移動的概

率為2,向左移動的概率為2.

33

(1)己知螞蟻2秒后所在位置對應的實數(shù)為非負數(shù)，求2秒后這只螞蚊在x=0處的概率；

(2)記螞蟻4秒后所在位置對應的實數(shù)為X,求X的分布列與期望.

17.如圖，在梯形ABC。中，AB//CD,NBAO=9()°,CD=2AD=2fAB=3,石為線段AB上靠近點A

的三等分點，將△AOE沿著。七折疊，得到四棱錐A-8CDE,使平面AQEJ■平面8CQE,P為線段CE

上的點.

(2)是否存在點P,使得直線AP與平面A3E所成角的正弦值為匹？若存在，求出線段EP的長；若

6

不存在，請說明理由.

18.在平面直角坐標系xO)，中，點。為坐標原點，已知兩點A(-1,2),8(-1,-2),點M滿足mA+而|

=0M-(0A+0E)+2,記點M的軌跡為G.

(I)求曲線G的方程：

(H)若P,C,D為曲線G上的三個動點，ZCPD的平分線交x軸于點Q(小0)(a<-1),點。

到直線PC的距離為1.

2024年菁優(yōu)高考數(shù)學終極押題密卷2(新高考II)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共8小題)

1.已知集合A={小2?3x-4W0},B={x|y=x4'則AG"()

A.[0,4]B.(0,i]C.(0,4]D.[0,1]

【考點】一元二次不等式及其應用；交集及其運算.

【專題】集合思想；綜合法；集合；數(shù)學運算.

【答案】A

【分析】先求出集合4,B,再利用集合的交集運算求解.

2

【解答】解：集合4={.#-3尸4五0)=3-々后4},B=(x|y=/]={Aiv^0},

???AnB=30WxW4}.

故選：A.

【點評】本題主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本運算，屬于基礎題.

2.已知復數(shù)z滿足2=-1,則|J+2z|=()

A.1B.V3C.V5D.3

【考點】復數(shù)的模.

【專?題】轉化思想；轉化法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件，結合復數(shù)模公式，即可求解.

【解答】解：復數(shù)z滿足z?=-1,

則z=±八

當z=i時，?+2z=-1+2/,

故|-l+2i|=V(-1)2+22=V5?

當2=?i時,z2-2z=-1-2i,

故22

I-I-2/1=7(-I)+(-2):聯(lián),

綜上所述，|z2+2z|=遙.

故選：C.

【點評】本題主要考查復數(shù)模公式，屬于基礎題.

3.已知a,0是兩個平面,/〃，八是兩條直線，且a_L0,mua,〃u0,則“加_L〃”是“機_L0’的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點】直線與平面垂直；平面與平面垂直；充分條件與必要條件.

【專題】轉化思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學運算.

【答案】B

【分析】由直線與平面垂直可得線面的垂直，判斷出“〃?_!_/'是的必要條件，再由兩個平面

的垂直不一定推出兩條直線的垂直，判斷出所給命題的真假.

【解答】解：因為/〃_LB，a_LB，〃?ua,〃uB，所以

此時“小J_〃”是的必要條件；

設aCB=a,〃?ua,ncf,若a,〃_La,所以加_L〃，顯然此時

此時“機_L〃”是“機_L（T的不充分條件；

綜上所述：“機是“小_L『的必要不充分條件.

故選：B.

【點評】本題考變平面垂直的性質的應用及充分條件必要條件的判斷方法，屬于基礎題.

4.2023年12月初，某校開展憲法宣傳日活動，邀請了法制專家楊教授為廣大師生做《大力弘揚憲法精神,

建設社會主義法制文化》的法制報告，報告后楊教授與四名男生、兩名女生站成一排合影留念，要求楊

教授必須站中間，他的兩側均為兩男1女，則總的站排方法共有（）

A.300B.432C.600D.864

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學運算.

【答案】B

【分析】根據(jù)特殊原元素先排列，4名男生、兩名女生平均分組再排序的原則得出結果.

【解答】解：楊教授站中間，只有1種方法；

C2c2

四名男生分成兩組放在兩邊方法數(shù)一^人余

A2

兩名女生放在兩邊方法數(shù)

2

每一邊兩名男生與一名女生再排序，得出總的方法數(shù)為NT2A，A^AmAm=432?

2

故選：B.

【點評】本題主要考查排列、組合及簡單的計數(shù)問題，考查運算求解能力，屬于基礎題.

5.“-1WX1”是“方程J-J=x+b有唯一實根”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

【考點】直線與圓的位置關系；充分條件與必要條件.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算.

【答案】4

【分析】由題意可得直線），=.葉力與.上半圓有且僅有?個交點，數(shù)形結合可得方的取值范圍,

進而可得結論.

【解答】解：方程d=x+b有唯一解，即直線了=X+力與上半圓y巾］有且僅有一個交點，

當直線與半圓相切時，可得；_L^L=i,解得b=&（舍負）,

V2

所以人的取值范圍為［-1,DU{V2},

???-力V】是方程由二）=x+b有唯一解的允分不必要條件?

故選:A.

【點評】本題考查直線與圓的位置關系，考查運算求解能力，屬中檔題.

6.權方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設正

y,滿足式工〉（a+b）2,當且僅當

數(shù)a>b,x生上時，等號成立.則函數(shù)

yx+yy

」「316

f(x)--rr—（0<x<!）的最小值為（）

xl-3x3

A.16B.25C.36D.49

【考點】基本不等式及其應用.

【專題】整體思想；綜合法；不等式；數(shù)學運算.

【答案】D

【分析】根據(jù)權方和不等式，直接計算即可.

【解答】解：因為正數(shù)a,b,x,滿足或上l）（a+b）2,

xyx+y

又即I-3Q0,于是得f（x）不q->忐*=49，

33xl-3x3x+（l-3x）

當且僅當」-一^,即x△時取“=”，

xl-3x7

所以函數(shù)的f（式）%〈工）最小值為49.

xl-3x3

故選：。.

【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于中檔題.

7.設zi,Z2為復數(shù)，則下列命題正確的是（）

A.若Zl+Z2>0，則ZcG,

z2，1

B.若ziz2=（）,則zi=O且Z2=O

c.若|zi|=|Z2|，則z；=z：

D.若|z-zi|=|z-Z2|,且ZIKZ2,則z在復平面對應的點在一條直線上

【考點】復數(shù)的運算；復數(shù)的模.

【專題】對應思想；定義法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；邏輯推理；數(shù)學運算.

【答案】D

【分析】利用特殊值法可判斷選項A、C；

設zi=a+歷，Z2=c+di,根據(jù)模長運算和復數(shù)乘法運算可判斷選項3；

設z=〃+〃i,zi=m+〃ii,z2=G2+b2iCatb,m,h\,“2,歷WR）,根據(jù)模長運算和復數(shù)乘法運算可判斷

選項。.

【解答】解：對于A,令zi=l+i,Z2=?i,貝I]Z|+Z2=1>0，此時Zo#]，選項從錯誤：

4X

時于B,設zi=a+〃i,z2=c+di(a,b,c,t/GR),則ziz2=(ac-bd)+(ad+bc)i=0,

所以，卜c-bd=0,Bpfac=bd,則_￡d；

ad+bc=0Iad=-bc

若C=d=(),則42cd="*cd成立，此時Z2=O：

若c=0,4#0,由知b=0；由ad=7N知：a=0,此時zi=0；

同理可知：當c#0,d=0時,zi=0；

若cWO,dWO,由Jcd=-/?%(/得：cr=-Z?2,貝【Ja=》=O,此時zi=0；

綜上知，若ZIZ2=0，則Z1=O或Z2=0，選項6錯誤；

對于C,令zi=l,Z2=i,則m=憶2|=1,此時J卉z會選項C錯誤；

對于。，設z=a+Z?i,z\=a\+b\i,Z2=a2+b2i(a,b,a\.bi.。2,歷￡R),

則z-zi=(a-ai)+(b-bi)i,z-Z2=(a-。2)+(b-歷)i,

22

由|z-ziI=|z-z2|,可得J(a-ai)2+(b-b])2=-J(a-a2)+(b-b2)'

2222

bo

+一

所以2a(a122-a121一

又m?。2、b\-bi不全為零，

22

a

所以2(a1-a9)a+2(bi-bn)b+ao1+b2=0表示一條直線,

即z在復平面對應的點在一條直線上，選項。正確.

故選：。.

【點評】本題考查了復數(shù)的定義、模長運算、復數(shù)乘法運算法則等基礎知識，也考查數(shù)學運算核心素養(yǎng),

是基礎題.

8.已知Q為圓A：（x-1）?+y2=1上動點，直線A：-理+3m+2〃=0和直線/2：心+四，-6〃?+〃=0（〃?,

吒R,蘇+“2^0）的交點為尸，則PQ的最大值是（）

A.6+^/5B.4—VBC.5+^/5D.1+>/5

【考點】直線與圓的位置關系.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算.

【答案】4

【分析】先根據(jù)兩條直線的方程，判斷出直線人過定點M（-3,2）,直線/2過定點N（-l,6）,并

且兩條直線互相垂直，得出點P的軌跡是以MN為直徑的圓，然后根據(jù)點。在圓A上運動，利用點與

圓的位置關系求出IPQI的最大值.

【解答】解：直線/i：加+2〃=0,即加（x+3）+〃（?y+2）=0,可知直線/1過定點M（?3,

2),

直線/2：nx+my-6w+/z=0,&Jn(A+1)+m(y-6)=0,可知直線，2過定點N(-1,6).

因為直線/i的方向向量％=(n,m>直線，2的方向向量三=皿-n>且m?n=0，

所以11：，可知直線/i與直線/2互相垂直，

因此，直線/I與直線12的交點P的軌跡是以線段MN為宜徑的圓，

該圓的圓心為MN的中點C(-2,4),半徑r=|CM|=V(-2+3)2+(4-2)2=V5,

因為Q為圓人：(x-1)2+/=|上動點，圓人的圓心為人(1,()),半徑門=1,

所以CQ長度的最大值為IACI+門(1+2)2+(o+4)2+1=6,

因此，|PQ|的最大值等于八。|+川+/=6+返.

故選：A.

【點評】本題主要考查直線的方程及其性質、圓的方程、點與圓的位置關系等知識，屬于中檔題.

二.多選題(共3小題)

(多選)9.已知函數(shù)/(x)=sin(a)A+(p)(a)>0,OVcpVn),若f(_、)=f)二］,且

66

Vx6(―,—y都有/(x)VI，則()

66

A.y=f(x)在(0,且二)單調遞減

12

B.y=f(x)的圖像關于(上三，0)對稱

X2

C.直線y=-FX總是一條切線

D.y=f(x)的圖像向右平移工個單位長度后得到函數(shù)g(x)是偶函數(shù)

3

【考點】函數(shù)y=Asin(u)x+(p)的圖象變換.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質；數(shù)學運算.

【答案】BC

【分析】依題意，可求得了(冷的解析式，進而對四個選項逐一分析可得答案.

【解答】解：設函數(shù)/(x)=sin(3K+(p)(3>0)的周期為。由題意，得7=等=哈?(?毛)

=7T,

:?3=2；

A2X(--)+<p=2E+工(AWZ),

62

???(p=2E+^L(蛇Z),又OV(p<TT,

???m<p―--5--"--，

6

.*./(x)=sin(2x+5無)=cos(2A-+-2L).

63

當在且時，()在5兀

(o,L)2X+2L6(2L,22L),y=fx(o,)上不單調，A錯誤;

12336~12

=CS

,-V°口吟+學…等=。,

/.y=/(x)的圖像關于(3L,0)對稱，笈正確；

X2

\V(O)=co^2L=A,且，(0)=-2sin(2X0+—)=?孤，

323

(x)在點(0,1)處的切線方程為)=??x+l,C正確；

22

'(x)=f(x-=cosf2(x-2L)+?L]=cos(Zv-不是偶函數(shù)，D錯誤.

3333

故選：BC.

【點評】本題考查函數(shù)y=Asin(COA+(P)的解析式的求法，考查余弦函數(shù)的圖像與性質的應用，屬于中

檔題.

(多選)10.己知函數(shù)f(x)是定義域為R的可導函數(shù)，若f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y),且/

(0)=-3,則()

A./(.t)是奇函數(shù)

B.f(x)是減函數(shù)

C.f(V3)=0

D.x=l是f(x)的極小值點

【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性.

【專題】函數(shù)思想；轉化法；導數(shù)的綜合應用；邏輯推理.

【答案】ACD

【分析】對于A：令x=y=0,得/(0)=0,令y=-x,得0=/(x)+f(-x),由奇函數(shù)的定義，即

可判斷A是否正確；

對于B：f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y)=f(x)+f(y)+(x+y)3-x3-y3,則f(x+y)-(x+y)

3=f(x)-x^+f(y)-_y3,設/(k)，則，(x)=3/+A,由，(0)=-3,解得匕分析/

'(x)的符號，/(x)的單詭性，即可判斷8是否正確；

對于C：由上可知=1?3口計算函數(shù)值/(舊)，即可判斷C1是否正確：

對于。：由/(x)的單調性，可得極值點，即可判斷。是否正確.

【解答】解：對于A：令％=y=0,得/(0)=0,

令了=-x,得0=/(x)4/(-x),

所以/(x)是奇函數(shù)，故A正確；

對于B：f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y)=/(x)+f(y)+(x+y)3-x3-y3,

得/(x+y)-(x+)，)3=/(x)-A/(y)

設/(x)-/=履，則/(x)=3/+&,

因為/(0)=-3,

所以k=-3,

所以f(x)=/-3x,f(x)=3/-3,

令/(x)=0,得4=±1,

所以在(-8,-1)±,/Cr)>0,/(外單調遞增，

在(-1,1)上，/(%)<0,/(%)單調遞減，

在(1,+8)上，［(x)>0,/(x)單調遞增，故8錯誤：

對于C：由上可知/(x)=?-3x,

所以/(?)=(V3)3?3禽=3如-3?=0,故C正確；

對于6由/(冷的單調性，可得x=l是/(x)的極小值點，故。正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查抽象函數(shù)，解題中注意轉化思想的應用，屬于中檔題.

(多選)11.已知/〃，〃為兩條不同的直線，a,0兩個不同的平面，且〃?_La,〃〃印貝I()

A.若用〃〃，則a_L0B.若〃?〃僑則機_L〃

C.若機_1_0,則機_L〃D.若加〃〃，則陽〃0

【考點】空間中直線與平面之訶的位置關系；平面與平面之間的位置關系：空間中直線與直線之間的位

置關系.

【專題】對應思想；定義法；空間位置關系與距離；邏輯推理.

【答案】AC

【分析】A由面面垂直的判定定理即可判斷，BCD由線面之間的關系即可判斷.

【解答】解：對于A,由面面垂直的判定定理即可判斷a_L0,故A正確；

對于8,若〃?_La,〃〃由小〃0可得直線機與直線〃可能平行、相交、異面，故8錯誤：

對于c,若〃…0,又〃〃B則加_1_〃，故c正確；

對于。，若機〃〃，〃〃由則加〃0或機u0,故。錯誤.

故選：AC.

【點評】本題考查空間線面的位置關系的判斷，屬「中檔題.

三.填空題(共3小題)

12.“函數(shù)/(X)=一?siiu?是奇函數(shù)”的充要條件是實數(shù)〃=_&_.

【考點】函數(shù)奇偶性的性質與判斷；充分條件與必要條件.

【專題】整體思想：綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【答案】0.

【分析】由已知結合奇函數(shù)的定義即可求解.

【解答】解：若/(x)-sinx是奇函數(shù)，

則/(?x)=-f(x)恒成立，即ax1-sin(-A)=-al+sinx恒成立，

所以2公2=。恒成立，即〃=().

故答案為：0.

【點評】本題主要考查了奇函數(shù)定義的應用，屬于基礎題.

13.在邊長為4的正方形4BCD中，如圖1所示，E,F,M分別為8C,CD,8E的中點，分別沿AE,AF

及EF所在直線把△AE8,和△EFC折起，使B,C,。三點重合于點P,得到三棱錐P-AER

如圖2所示，則三極錐P-AEF外接球的表面積是球n；過點M的平面截三棱錐。外接球

所得截面的面積的取值范圍是Im6H一

圖I圖2

【考點】球的體積和表面枳.

【專題】轉化思想；分割補形法；立體幾何；直觀想象.

【答案】2411,m，6TT].

【分析】將三棱錐補形為邊長為2,2,4長方體，三棱錐P-AE尸外接球即為補形后長方體的外接球,

即可求解.

【解答】解：由題意，將三棱錐補形為邊長為2,2,4長方體，如圖所示：

三棱錐P-AEF外接球即為補形后長方體的外接球，

所以外接球的直徑（2R）2=22+22+42=24,

所以三棱錐P-AEF外接球的表面積為S=4TTR2=24TT,

過點M的平面截三棱錐P-AEF的外接球所得截面為圓，

其中最大截面為過球心0的大圓，

此時截面圓的面枳為冗R2=兀（，^）2=6幾，

最小截面為過點M垂直于球心。與M連線的圓，

此時截面圓半徑r=VR2_op2二正其=1，

截面圓的面積為口尸=冗，

所以過點M的平面截三棱錐P-AEF的外接球所得截面的面積的取值范圍為[IT,6n].

故答案為：24n,[TT,6n].

【點評】本題考查空間幾何體的外接球問題，屬于中檔題.

14.已知實數(shù)q>0,。>0,且曲（?+8/?）=4,則出4。的最小值為

四.解答題（共5小題）

15.已知函數(shù)f（X）=/-67X2-3x.

（1）若/（外在人日1,+8）上是增函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍；

（2）若x=3是的極值點，求f（x）在戈日1,上的最小值和最大值.

【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性.

【專題】計算題.

【答案】見試題解答內容

【分析】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的極值、最值和對函數(shù)單調性的判定.

【解答】解：（1）/'（x）=3』?23?320在[1,+8）恒成立.

2x

當時，令g(x)=3(A-1)是增函數(shù)，g(x)加”=旦(1-1)=0.

2x2

(2)??"=3是/(x)的極值點

/./(3)=0,即27?6。?3=0,???。=4.

(x)=9-4x2-3x有極大值點x=-―,極小值點x=3.

3

此時,(x)在工日?1,3］上時減函數(shù)，在入日3,+8)上是增函數(shù).

3

/./(x)在.隹［1,上的最小值是：/(3)=-18,最大值是：/(1)=-6,(因/(〃)=/(4)=-12).

【點評】利用導數(shù)求函數(shù)的單調性和最值問題，先根據(jù)極值確定參數(shù)。的值，再求閉區(qū)間上的最值.

16.一只螞蟻位于數(shù)軸x=0處，這只螞蟻每隔一秒鐘向左或向右移動一個單位長度，設它向右移動的概

率為2,向左移動的概率為工■.

33

(I)已知螞蟻2秒后所在位置對應的實數(shù)為北負數(shù)，求2杪后這只螞蟻在x=0處的概率；

(2)記螞蟻4秒后所在位置對應的實數(shù)為X,求X的分布列與期望.

【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列.

【專題】對應思想；定義法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算.

【答案】見試題解答內容

【分析】(1)記螞蟻2秒后所在位置對應的實數(shù)為非負數(shù)為事件A,記2秒后這只螞蟻在x=0處的概

率為事件從則由題意可知事件A包括2秒內一直向可移動和一次向右移動與一次向左移動，事件B

為2秒內一次向右移動與一次向左移動，然后利用獨立事件的概率公式求出。(A),P(AB),再利用

條件概率公式可求得結果；

(2)由題意知X可能的取值為-4,-2,0,2,4,然后求出相應的概率，從而可求出X的分布列與

期望.

【解答】解：(1)記螞蟻2秒后所在位置對應的實數(shù)為非負數(shù)為事件4,記2秒后這只螞嘆在x=0處

的概率為事件B,

則p(A)=4x4+ciX、X4於

、/332339

P(AB)=P(B)=1cix1-79Xf4^

_4

故所求的概率為P(B|A)￥鑿)W

V

（2）由題意知X可能的取值為-4,-2,0,2,4,

則P的-4)4XiXiP(X=-2)?x|xfx|X段哈,

P(x=o)=c2x|x|x|x|=^,P(x=2)=c^x|x|x|x|=-||.

P(X=4)=4X,X,X,小,

333381

則X的分布列為：

X-4-2024

P1883216

"81"81~27~81"81

E(X)=-4X奈2X《+0X-+2X落4X需

ol01ZIo1o1o

【點評】本題考查條件概率，考查離散型隨機變量的分布列和期望，是中檔題.

17.如圖，在梯形48C。中，AB//CD,NBAQ=90°,CD=2AD=2,AB=3,E為線段48上靠近點4

的三等分點，將AAOE沿著Qf折疊，得到四棱錐4-8CDE,使平面平面8CDE,。為線段CE

上的點.

（2）是否存在點P,使得直線八夕與平面A8上所成角的正弦值為漁？若存在，求出線段EP的長；若

6

不存在，請說明理由.

【考點】直線與平面所成的角；直線與平面垂直.

【專題】轉化思想；綜合法；空間角；數(shù)學運算.

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，EP=\.

【分析】（1）計算CE=?，根據(jù)勾股定理得到。E_LCE,確定CEJ?平面AOE,證明AO_L平面ACE,

得到答案.

（2）建立空間直角坐標系，確定各點坐標，計算平面ABE的法向量為（1,1,-1）,設

薪=（平，t,-喙），根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案.

【解答】解：（1）4O=AE=1,/84。=90°,故為等腰直角三角形，

DE=V2,ZADE=45°,故/COE=45°.

在△COE中，CE2=DE2+DC2-2DE*DCCOS^-=2+4-4=2*CE=&，

故€：片+口爐=（：小,DEICE,

平面AQE_L平面4。?！?ADEC\BCDE=DE,CEc^fflBCDE,

故CE_L平面AOE,AOu平面AO￡,

故CE.LAD,

XAD14E,CEQAE=E,CE,4Eu平面ACE,

故ADJ_平面ACE,

又APu平面ACE,

故AO_LAP.

（2）存在，EP=1,理由如下：

如圖，以點E為坐標原點，以ED，所在的直線分別為x軸、y軸，

以過點石垂直于平面8CQE的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

（W2，后，o>

則EA=（^~，0,^~），EB=（-V2?亞，0）-

設EP=r,0<t<V2?則P（0,f,0）,AP=t,-喙）

設平面A8E的法向晟為y,z）,

m*EB=-V2xW2y=0

令x=i,則,，=i,z=?l,彘（1,i,一i）,

設直線AP與平面ABE所成的角為。,

|瓦?\].娓

則sin8=|cosAP?m|11I

IAP|?|m|V1+t2-V3

解得，=1,，=?1(舍),

故存在點夕使得直線4P與平面/WE所成角的正弦值為則EP=\.

6

【點評】本題考查空間線線垂直的判定，線面角的求法，屬于中檔題.

18.在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，已知兩點A(-I,2),8(-1,-2),點M滿足|證+而|

=0M?(OA+0B)+2,記點M的軌跡為G.

(I)求曲線G的方程；

(II)若P,C,D為曲線G上的三個動點，ZCPD的平分線交x軸于點Q(小0)(a<?1),點Q

到直線PC的距離為1.

(i)若點。為△PCO重心，用a表示點P的坐標；

(ii)若PQLCD,求。的取值范圍.

【考點】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程.

【專?題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學運算.

【答案】(I)『=-4*

(H)(i)p土(打)a<-

44

【分析】(I)對|MA+MB|=就?(贏+而)+2向量坐標化，整理得曲線軌跡方程；

(II)(i)由條件得PQ1.CD,結合斜率和重心坐標公式得P坐標，由角平分線意義得

Ia-x■hnYnI?6

—,°n°-=b平方化簡得〃,，〃是方程(l-yQt2+2(XL)yot-(Xo-a)2=O的兩根，直線

V1+m

2(xn-a)yn

與曲線聯(lián)立，結合韋達定理求出P坐標，即可求解;(ii)由(，)知m+n=——--------乙結合kpQ?kcD=T，

y0-1

2

可得#=16a+4a-82(),再解不等式即可.

y0-4a-9

【解答】解；(I)設點/W(A,y),VA(I,2),B(L2),

,*?MA=(-1-X,2-y)?=-2-y>

0I=(x,y>0A=(-l,2)，0B=(-l,-2>

upMA+MB=(-2-2x,-2y)?0A+0B=(-2,0>

AIMA+MB|H(-2-2x)2+(-2y)2H4x2+4y2+8x+4.

OM-(OA+OB)+2=(x,y)?(-2,0)+2=-2x+2?

V|MA+MB|=OM*(OA+OB)+2,

?*,v4x2+4y2+8x+4=-2x+2，

化簡得曲線G的方程：)2=-4x；

(II)(/)設C(xi,y\),D(r,/)，P(xo,>'O),

??,點。到直線P。、PC的距離相等，???PQ為△PC。的角平分線.

又YQ為△K:￡)重心，

???PQ為△PC。的中線，可得PQ_LCQ,

..丫2一丫1-4及-70

?krn=-----------=------;-----，2，

CDx2-X1yi+y2y0

■T-a

???Q為△尸C。重心，

，yo+yi+y2=O,

7kMQ-kCD=-r

/.P(a-4,±2^4^)@,

設直線PC方程為：x-xi)=rn(y-yo),

直線PD方程為：x-.vo=〃()：-yo),

,:PQ是NCPD的平分線，點Q到直線PC的距離為1,

???點Q到直線PD的距離為1.

22>

可得(l-yo)m+2(xo-a)yom-(xo-a)=O

同理(1一《)小+2(x°-a)y°n-(x°-a)2=S

即〃?，〃是方程(1川江2+2(、-)丫心-(乂戶)2=0的兩根，

2(x0-a)y0

,消去.V整理/+4/”，+4必-癡烈=0,

y=-4x

，y)+yi=-4"i,

Ayi=-4m-yo,同理y2=-4n-ju,

yi+)2=-4(m+n)-2yo,

,?,點Q為△PC。重心,

2(x0-a)y。

???yo+yi+y2=。，BP-4(m+n)-y0=-4(------?--------)-yo=O?

y。-1

義?:二-4x/

8a+l

xo=^n

故點P的坐標為(*a+L,±V-8a-l)②，

4

聯(lián)立①②可得a二工，即P(旦，±733

44

(ii)由⑺知m+n=2(x,a)y。,

.」2~1-4-4________22__________2(冷1)

丫丫

??CDx2-x11+2-4(m+n)-2yo2(x0-a)yQ(-4a-l)yQ

-2-------2--------兀

丫0二

y。??

k

PQ"x0-a'.kpQ，kcD=-l'

2_16aJ+4a-8

Y0=-4a-9一，

；16a2^4a-8

-4a-9

*：a<-1,

；16a24-4a-8

>0等價于-4a-9>0,

-4a-9

???a時滿足題意.

4

【點評】本題考查了直線與拋物線的位置關系、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、向量坐標運算性質,

考查了推理能力與計算能力，屬于難題.

19.對于數(shù)列A：m,42,43(4WN,i=l,2,3),定義“T變換”：r將數(shù)列A變換成數(shù)列B：bi,歷，

歷，其中bi=\ai+\-ai\(f=l,2),且加=3-a\\.這種"7變換”記作B=T(A),繼續(xù)對數(shù)列8進行

“7變換”，得到數(shù)列CCl,C2,C3,依此類推，當?shù)玫降臄?shù)列各項均為0時變換結束.

（I）寫出數(shù)列A：3,6,5經(jīng)過5次“7變換”后得到的數(shù)列；

（II）若n，S，43不全相等，判斷數(shù)列A：碓，43經(jīng)過不斷的“丁變換”是否會結束.并說明理

由；

（III）設數(shù)列A：2020,2,2024經(jīng)過8次“7變換”得到的數(shù)列各項之和最小，求2的最小值.

【考點】數(shù)列的應用.

【專題】整體思想；綜合法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；數(shù)學運算.

【答案】（I）0,1,1；

（II）不會結束，理由見解析二

（III）%的最小值為507.

【分析】（I）根據(jù)數(shù)列的新定義寫出經(jīng)過5次“7*變換”后得到的數(shù)列即可；

（2）先假設數(shù)列A經(jīng)過不斷的“7變換”結束，不妨設最后的數(shù)列。：由，d2,小，E：e\,?2,63,F：

0,0,0,由尸數(shù)列往前推，則非零數(shù)量可能通過“7變換”結束，或者數(shù)列E為常數(shù)列，進而得到。

可能出現(xiàn)的情況，推出矛盾，故假設不成立，即可證明；

（3）先往后推幾項，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，假設1次“7變換”后得到的通項，多寫幾項推出規(guī)律，往后繼續(xù)進

行，推到使數(shù)字接近1時，再繼續(xù)推，往后會發(fā)現(xiàn)A次“丁變換”得到的數(shù)列是循環(huán)的，得到最小值，

進而推出次數(shù)即可.

【解答】解：（I）由題知，5次變換得到的數(shù)列依次為3,1,2：2,I,1：I,0,I：1,1,0：0,1,

1;

所以數(shù)列43,6,5經(jīng)過5次“7變換”后得到的數(shù)列為0,1,1；

（II）數(shù)列A經(jīng)過不斷的“7變換”不會結束，

設數(shù)列。：di,di,d3,Etei,ei,e3,F：0,0,0,

且E=T（￡?,F=T（E）,

由題可知：|e2-ei|=O,|<?3-e2|=0|e3-ei|=O,

*.e\=ei=e3,

即非零常數(shù)列才能經(jīng)過“T變渙”結束；

設ei=e2=e3=e（e為非零常數(shù)列），

則為變換得到數(shù)列E的前兩項，數(shù)列。只有四種可能：

D：d\,d]+e,di+2e；D：di,d\+e,dwD：d,d-e,d\-2e；D：d