山東省青島市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期部分學(xué)生調(diào)研數(shù)學(xué)測(cè)試卷（解析版）

第1頁/共1頁青島市2024年高三年級(jí)部分學(xué)生調(diào)研檢測(cè)數(shù)學(xué)試題2024.11本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)對(duì)數(shù)不等式求出集合，再應(yīng)用補(bǔ)集及交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?所以,,所以.故選：C.2.已知都是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)必要不充分條件定義判斷可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，無意義，當(dāng)時(shí)，由不等式性質(zhì)可得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（）A.向右平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象平移變換法則判斷，注意化為同名函數(shù)．【詳解】，所以將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位即得函數(shù)的圖象，故選：D．4.已知平面向量，滿足，且，則在方向上的投影向量為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義求解判斷．【詳解】由已知，在方向上的投影向量為，故選：A．5.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析函數(shù)值的變化趨勢(shì)，可排除D，分析函數(shù)圖象的對(duì)稱性，可排除C，求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，可排除B.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以，故D錯(cuò)誤；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，所以函?shù)在上存在單調(diào)減區(qū)間，故B錯(cuò)誤；故選：A6.“克拉茨猜想”又稱“猜想”，是德國(guó)數(shù)學(xué)家洛薩·克拉茨在1950年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上公布的一個(gè)猜想：任給一個(gè)正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就將它減半；如果n是奇數(shù)，就將它乘3后加1.不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限步后，最終都能夠得到1.若n經(jīng)過5次運(yùn)算后首次得到1，則n的所有不同取值的和為（）A.16 B.32 C.37 D.5【答案】C【解析】【分析】從第5項(xiàng)為1出發(fā)，按照規(guī)則逐步進(jìn)行逆向分析，可求出的所有可能的取值可得答案．【詳解】如果正整數(shù)按照上述規(guī)則經(jīng)過5次運(yùn)算得到1，則經(jīng)過4次運(yùn)算后得到的一定是2；經(jīng)過3次運(yùn)算后得到的一定是4；經(jīng)過2次運(yùn)算后得到的為8或1（不合題意）；經(jīng)過1次運(yùn)算后得到的是16；所以開始時(shí)的數(shù)為5或32.可得5+32=37.故選：C.7.若正數(shù)a，b滿足，則（）A.128 B.108 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則變形，把對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式即可得．詳解】令，則，，，因?yàn)椋?，所以，故選：B．8.定義在上的函數(shù)對(duì)，，都有，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化成代數(shù)不等式求解.【詳解】不妨設(shè)，所以.設(shè)，則在上單調(diào)遞減.又，即，所以為偶函數(shù).又不等式可化：，即，所以.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：這種題型，一看就是需要構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的性質(zhì)（一般來說有定義域，單調(diào)性，奇偶性），利用函數(shù)性質(zhì)，把函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化成代數(shù)不等式求解.所以該問題的關(guān)鍵是怎樣構(gòu)造函數(shù).二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知三條直線l，m，n和三個(gè)平面，，，則（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)平行線的傳遞性即可判斷；對(duì)于BC：以正方體為載體，舉反例說明即可；對(duì)于D：根據(jù)面面垂直的判定定理即可判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，，則，故A正確；對(duì)于BC,在正方體中，選項(xiàng)B：取為平面，為平面，，符合題設(shè)，但平面，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：取為平面，為平面，，但平面與平面相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：若，，顯然，所以，故D正確；故選：AD.10.已知函數(shù)，則（）A.的定義域（）B.是y=fx圖象的一條對(duì)稱軸C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】由可得定義域判斷A，證明判斷B，平方后化簡(jiǎn)函數(shù)式，再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷C，根據(jù)單調(diào)性求得最大值判斷D．【詳解】由得，A正確；，所以是是y=fx圖象的一條對(duì)稱軸，B正確；，，時(shí)，，遞減，，遞減，從而遞減，所以遞減，所以遞減，C錯(cuò)；時(shí)，，，同理選項(xiàng)C可得在上遞增，的最小正周期是，所以，D正確．故選：ABD．11.已知實(shí)數(shù)，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】依題意可得，則，令，，，即可得到，，再根據(jù)三角恒等變換公式及三角函數(shù)有界性求出，的范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，即，則，令，，，則，，所以，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤，B正確；，因?yàn)椋?，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.已知等差數(shù)列（）中，，成等比數(shù)列，，則__________.【答案】25或13；【解析】【分析】設(shè)公差為，由已知條件求得后，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)論．【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，所以或，若，則，，則，，，，故答案為：13或25.13.已知曲線在處的切線與曲線相切，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得曲線在處的切線，對(duì)于，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，可得切線斜率為，求切線方程列式求解即可.【詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，則切線方程為，即；又因?yàn)?，則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，所以切線方程為，即，可得，解得.故答案為：.14.已知集合（，），若集合，且M中的所有元素之和為奇數(shù)，稱M為A的奇子集，則A的所有“奇子集元素之和”的總和為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)為的奇子集，中的所有元素之和為偶數(shù)，可稱為偶子集，分析得的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等；計(jì)算奇子集元素之和時(shí)，含元素的和是，即可求得奇子集的元素之和.【詳解】設(shè)為的奇子集，則若，令，若，令為把中的去掉后剩下的元素形成的集合，則中的所有元素之和為偶數(shù)，可稱為偶子集，顯然每個(gè)奇子集，均恰有一個(gè)偶子集與之對(duì)應(yīng)，每個(gè)偶子集，均恰有一個(gè)奇子集與之對(duì)應(yīng)，故的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等；對(duì)任一，含的子集共有個(gè)，用上面的對(duì)應(yīng)方法可知，在時(shí)，這個(gè)子集中有一半為奇子集，在時(shí)，由于，將上邊的3換成5，同樣可得其中有一半為奇子集，于是在計(jì)算奇子集元素之和時(shí)，含元素的和是，奇子集容量之和是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)為的奇子集，中的所有元素之和為偶數(shù)，可稱為偶子集，分析得的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等；計(jì)算奇子集元素之和時(shí)，元素的貢獻(xiàn)是，即可求得奇子集的元素之和.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（1）求A；（2）若，內(nèi)切圓半徑，求a.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）先由正弦定理得，再應(yīng)用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得出結(jié)合角的范圍得解；（2）先應(yīng)用內(nèi)切圓半徑表示面積，化簡(jiǎn)得，再由正弦定理結(jié)合余弦定理得解.【小問1詳解】由正弦定理得因?yàn)?，所以所以即，且，所以【小?詳解】又因?yàn)樗裕?，所以①，由余弦定理得②，所以，所以，解?6.已知數(shù)列滿足：，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記表示不超過x的最大整數(shù)，，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意得到，再利用等比數(shù)列的定義求解；（2）由，利用錯(cuò)位相減法求得，然后由化簡(jiǎn)求解.【小問1詳解】解：由題知：，因?yàn)椋詳?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列所以，所以；【小問2詳解】因?yàn)?，，兩式作差得，所以，易求得，，，因?yàn)?，所以是遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上，.17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面PAD與平面PBD夾角為45°.（1）點(diǎn)P，A，B，C，D均在同一球面上，求該球的體積；（2）點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在棱AB，BC，PB上，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求直線AD與平面EFG所成角的正弦值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得出線面垂直，進(jìn)而證明平面ABCD，得出即可求解；（2）先證明面面平行再轉(zhuǎn)化得出直線AD與平面EFG所成角等于AD與平面PAC所成角，最后應(yīng)用空間向量法求出線面角正弦值.【小問1詳解】因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，且平面平面，平面ABCD，所以平面PCD，所以，同理：，又因?yàn)?，平面ABCD，所以平面ABCD，由題知，由平面ABCD為矩形知：，所以，所以，ABCD為正方形，記PB中點(diǎn)為，可求得：，所以O(shè)為該球的球心，其半徑因此，該球的體積【小問2詳解】若平面EFG與平面PAC不平行，依平行性，不妨將點(diǎn)G放在點(diǎn)P的位置，不妨設(shè)E不在A的位置，則，，不合題意若平面平面PAC，則，所以，所以為等邊三角形，又因?yàn)槠矫嫫矫鍼AC，兩平面的法向量共線，所以直線AD與平面EFG所成角等于AD與平面PAC所成角以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則P0,0,1，，A1,0,0，，設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，則，所以，令，得顯然，設(shè)AD與平面PAC所成角為，則18.已知函數(shù)（且），當(dāng)時(shí)，.（1）求；（2）若為的極小值，求的取值范圍；（3）證明：【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由確定為最小值，從而由求得；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，然后分類討論時(shí)，對(duì)再求導(dǎo)確定單調(diào)性，從而確定的正負(fù)得的單調(diào)性，判斷極小值，對(duì)，同樣利用的導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)性質(zhì)，得出結(jié)論；（3）在（2）中，令，得證明不等式的右邊成立，對(duì)左邊，令，求得，然后利用給出證明．【小問1詳解】由知，的最小值為所以解得，即【小問2詳解】函數(shù)fx的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故只需研究的情況，若，則，令，則，所以?x0,+∞所以，在0,+∞上單調(diào)遞增，依對(duì)稱性，在上單調(diào)遞減，故為極小值若，，令gx=f令，即，解得（舍），所以因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，f′x在上單調(diào)遞減，所以f′x在上均小于，所以在上單調(diào)遞減，而，故不合題意，綜上，的取值范圍為；【小問3詳解】結(jié)合（2）：令，則，解得令，即，得，則，解得，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，證明不等式問題，屬于困難題，這類問題在求出導(dǎo)函數(shù)后，一般不能直接確定的正負(fù)、零點(diǎn)，還需要對(duì)（或其中一部分）再一次求導(dǎo)（甚至多次求導(dǎo)），確定單調(diào)性，極值，從而確定的正負(fù)，得出結(jié)論．19.如果一個(gè)實(shí)數(shù)是有理數(shù)，或是對(duì)有理數(shù)進(jìn)行有限次加、乘和開二次方根運(yùn)算的結(jié)果，或是對(duì)這些結(jié)果繼續(xù)進(jìn)行有限次加、乘和開二次方根運(yùn)算的結(jié)果，則稱這個(gè)實(shí)數(shù)為可解數(shù).如果一個(gè)角的正弦值和余弦值都是可解數(shù)，則稱這個(gè)角為可解角.如：角都是可解角.（1）判斷，，是否為可解數(shù)（無需說明理由）；（2）證明：角是可解角；（3）已知每個(gè)可解數(shù)a都是某些整系數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)（）的零點(diǎn)，這些多項(xiàng)式中，x的最高次數(shù)n最小，且系數(shù)，，，…，的最大公約數(shù)為1的多項(xiàng)式函數(shù)稱為a的最小多項(xiàng)式函數(shù).任一可解數(shù)a的最小多項(xiàng)式函數(shù)中x的最高次數(shù)n必為（）.例如：的最小多項(xiàng)式函數(shù)不是，而是.證明：角不是可解角，并求整數(shù)度數(shù)的銳角中最小的可解角.【答案】（1）是可解數(shù)，是可解數(shù)，不是可解數(shù)（2）證明見解析（3）證明見解析；是整數(shù)度數(shù)的銳角中的最小可解角【解析】【分析】（1）根據(jù)可解數(shù)的定義直接判斷即可；（2）設(shè)，整理可得，分析可得，即可判斷；（3）分析可知是的零點(diǎn)，法1、法2：利用反證法，假設(shè)有整系數(shù)一次或二次因式，結(jié)合題意推出矛盾即可；根據(jù)三角恒等變換可知可解角的和、差、半角還是可解角，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)分析判斷即可.【小問1詳解】根據(jù)題意可知：是可解數(shù)，是可解數(shù)，不是可解數(shù)【小問2詳解】設(shè)，則又因?yàn)椋?，解方程，得是可解?shù)，又顯然是可解數(shù)，所以72°角是可解角.【小問3詳解】先證明角不是可解角.因?yàn)?，所以，即是的零點(diǎn)根據(jù)已知結(jié)論，若是可解數(shù)，那么它的最小多項(xiàng)式函數(shù)最高次項(xiàng)次數(shù)只能是1或2，即有整系數(shù)一次或二次因式，法1：假設(shè)，整數(shù)a，b，c的最大公約數(shù)為1，整數(shù)p，q互質(zhì)，不妨令，，（，完全同理）則若，，當(dāng)時(shí)，，則且，無解；若，，當(dāng)時(shí)，，則且，無解；若，，當(dāng)時(shí)，，則且，無解；若，，當(dāng)時(shí)，，則且，無解；同理，若，，也均無解說明不可能是可解數(shù)，20°角不是可解角法2：有整系數(shù)一次或二次因式，說明存在有理零點(diǎn)設(shè)它的有