“數(shù)學(xué)分析”第一次課的教學(xué)探討

“數(shù)學(xué)分析”第一次課的教學(xué)探討“數(shù)學(xué)分析”課程作為高等學(xué)校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計算科學(xué)及統(tǒng)計學(xué)等專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課程之一，是多年來教師教學(xué)非常辛苦，但學(xué)生學(xué)習(xí)效果卻較差的一門課程.教師如何教，學(xué)生怎么學(xué)，始終是擺在師生面前的一個難題.想要解決這一難題，需要從數(shù)學(xué)分析的第一堂課做起.柏拉圖說“良好的開端是成功的一半”.一出好戲，要有好的序幕；一部樂章，要演奏好序曲.本文，我們介紹關(guān)于如何上好“數(shù)學(xué)分析”第一次課的教學(xué)探討，為“數(shù)學(xué)分析”這門課程的教與學(xué)打下堅實(shí)的基礎(chǔ)，奠定良好的開端.一、幫助大學(xué)生樹立信心數(shù)學(xué)是一門較難的學(xué)科，同時也是學(xué)生學(xué)習(xí)效果較差的學(xué)科，究其原因，是因為數(shù)學(xué)是抽象的，很多知識在生活中沒有實(shí)例，尤其是到了大學(xué)，維度由高中的二維、三維拓展到了n維，更是超出了很多人的認(rèn)知范圍，也正是這個原因，東北師大的史寧中教授說過，數(shù)學(xué)是存在于現(xiàn)實(shí)和人的空間想象中的學(xué)科，那么想要學(xué)好數(shù)學(xué)，首先就需要建立起信心.從中學(xué)到大學(xué)，是人生的重大轉(zhuǎn)折.大學(xué)生活的重要特點(diǎn)表現(xiàn)在：生活上要自理，管理上要自治，思想上要自我教育，學(xué)習(xí)上要求高度自覺.尤其是學(xué)習(xí)的內(nèi)容、方法和要求上，比起中學(xué)的學(xué)習(xí)發(fā)生了很大的變化.要想真正學(xué)到知識和本領(lǐng)，除了繼續(xù)發(fā)揚(yáng)勤奮刻苦的學(xué)習(xí)精神外，還要適應(yīng)大學(xué)的教學(xué)規(guī)律，掌握大學(xué)的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，選擇適合自己的學(xué)習(xí)方法.大學(xué)的學(xué)習(xí)既要求我們掌握比較深厚的基礎(chǔ)理論和專業(yè)知識，還要求重視各種能力的培養(yǎng).除了扎扎實(shí)實(shí)掌握書本知識之外，還要培養(yǎng)研究和解決問題的能力.要特別注意自學(xué)能力的培養(yǎng)，學(xué)會獨(dú)立地支配學(xué)習(xí)時間，自覺主動地學(xué)習(xí)，還要注意思維能力、創(chuàng)造能力、組織能力、表達(dá)能力的培養(yǎng)，為將來適應(yīng)社會工作打下良好的基礎(chǔ).“數(shù)學(xué)分析”是大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程，是整個高等數(shù)學(xué)的開端，只有學(xué)好了數(shù)學(xué)分析才有課程在高等數(shù)學(xué)中逐步前行.而數(shù)學(xué)分析所用的有限和無限的數(shù)學(xué)思想，是高中數(shù)學(xué)很少接觸到的，雖然高中數(shù)學(xué)當(dāng)前也學(xué)習(xí)了微積分，但是高中數(shù)學(xué)中的微積分是以初等數(shù)學(xué)思想為基礎(chǔ)的，與高等數(shù)學(xué)思想截然不同，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)分析”時會越感吃力.很多學(xué)生認(rèn)為自己付出了很多辛苦，但是在數(shù)學(xué)分析上卻無法獲得較高的成就，這正是因為沒有擺正思想.如果付出沒有成就，那么學(xué)生就會逐步喪失信心，最終止步不前.因此，建立學(xué)生的自信心尤為重要.二、“數(shù)學(xué)分析”課程的地位、作用及知識脈絡(luò)“數(shù)學(xué)分析”是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)等專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)核心課程，是從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)過渡的橋梁，是大學(xué)數(shù)學(xué)理論的重要源泉，很多后續(xù)數(shù)學(xué)課程如概率論與數(shù)理統(tǒng)計、常微分方程、復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)及泛函分析等課程都是數(shù)學(xué)分析的延伸與深化.與此同時，數(shù)學(xué)分析又是許多非數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)和研究的重要工具，在經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)、物理學(xué)及生物學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用.在培養(yǎng)具有良好的理性思維素養(yǎng)和創(chuàng)新精神的數(shù)學(xué)及其應(yīng)用人才方面起著特別重要的作用.可以說，任何學(xué)科的進(jìn)步都離不開數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)的任何進(jìn)步，都是以數(shù)學(xué)分析為基礎(chǔ)的.只有學(xué)好了數(shù)學(xué)分析，才能夠在以后的科研中越走越遠(yuǎn).通過本課程的教學(xué)可使學(xué)生系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)理論和基礎(chǔ)知識，能熟練地進(jìn)行基本運(yùn)算，具備較強(qiáng)的分析論證能力，為深入理解和分析處理中學(xué)數(shù)學(xué)教材，為分析解決實(shí)際問題，為深造學(xué)好后續(xù)課程打下堅實(shí)的基礎(chǔ).本門課程的特點(diǎn)是：內(nèi)容多，跨度大（三學(xué)期），概念抽象，系統(tǒng)性與邏輯性強(qiáng)，思想方法典型，應(yīng)用廣泛.其研究對象與方法是用無窮小分析的方法研究實(shí)值函數(shù).本課程教師應(yīng)該在第一次課上介紹本門課程的知識脈絡(luò)及一些常用字母和符號的讀法及含義，如ε，δ，？坌？堝，α，β，γ等.讓學(xué)生了解第一學(xué)期數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)內(nèi)容、重點(diǎn)及難點(diǎn)，做到心里有數(shù).三、中學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析的異同1.數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)謹(jǐn)性中國的數(shù)學(xué)是一種經(jīng)驗的數(shù)學(xué)，例如《九章算術(shù)》其實(shí)是一個現(xiàn)實(shí)問題集，只是所有的問題都是用數(shù)學(xué)解決的，而歐洲的數(shù)學(xué)從《幾何原本》開始就是一種邏輯的數(shù)學(xué)，其發(fā)展是建立在邏輯推理之上的.中學(xué)的數(shù)學(xué)，雖然也涉及到了邏輯推理、幾何證明等內(nèi)容，但究其本質(zhì)，并不是一種純粹的數(shù)學(xué)，更多的是一種數(shù)學(xué)經(jīng)驗的總結(jié)，并沒有顯示出高等數(shù)學(xué)的本質(zhì).數(shù)學(xué)分析與中學(xué)數(shù)學(xué)明顯的一個差異就在于數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)謹(jǐn)性、系統(tǒng)性與邏輯性.數(shù)學(xué)分析強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密的基礎(chǔ)理論體系，具有概念抽象等特點(diǎn).而中學(xué)數(shù)學(xué)則主要注重計算與解題.針對這個特點(diǎn)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析就應(yīng)該注重建立自己的數(shù)學(xué)理論知識框架.在數(shù)學(xué)分析中，使用的是一種純粹的數(shù)學(xué)語言ε，δ語言，這種語言和以往的數(shù)學(xué)不同，是一種以符號推理為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)語言，整個語言體系環(huán)環(huán)相扣，邏輯性極強(qiáng).學(xué)習(xí)和掌握好這門語言是學(xué)好數(shù)學(xué)分析的關(guān)鍵，同時也只有認(rèn)識到這門語言和以往數(shù)學(xué)的不同，才算是邁開了高等數(shù)學(xué)的第一步.2.教學(xué)方法的區(qū)別中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)特點(diǎn)是講得細(xì)講得慢練得多，側(cè)重計算，講究的是題海戰(zhàn)術(shù).大學(xué)數(shù)學(xué)講得快，重復(fù)少，例題少，注重概念的講解及定理的證明.由于數(shù)學(xué)分析與中學(xué)數(shù)學(xué)比起來數(shù)學(xué)符號多、抽象內(nèi)容多且不好理解，學(xué)生一開始學(xué)起來很吃力，稍有放松可能就要掉隊.因此，學(xué)生一定要做好學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的心理準(zhǔn)備，不能用中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗來對付數(shù)學(xué)分析.數(shù)學(xué)分析學(xué)好的關(guān)鍵不在于做了多少題，重要的在于首先要理解好課本，和中學(xué)教學(xué)相比，習(xí)題并不是高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，定理定義的推導(dǎo)過程，以及推導(dǎo)過程中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想才是數(shù)學(xué)分析課程中的重點(diǎn)，學(xué)生如果能夠理解數(shù)學(xué)分析中定理定義的推導(dǎo)過程，那么他們自然也就學(xué)會了高等數(shù)學(xué)思想，如果單純的做題，而忽視了數(shù)學(xué)大廈的建立過程，那么自然會進(jìn)入“學(xué)而不思則罔”的境地.在中學(xué)教學(xué)當(dāng)中，發(fā)現(xiàn)法、探究式教學(xué)、小組討論法等都是常用的教學(xué)方法，但是在大學(xué)，課堂內(nèi)容多，課堂容量大，教學(xué)難度大，教學(xué)時間緊，小組討論法等方法使用性小，而對于一些較難的定理公式等，學(xué)生也很難去發(fā)現(xiàn)，因此有意義的接受式教學(xué)法比中學(xué)使用的更多，而這是不利于學(xué)生主動性發(fā)揮的，所以，在第一節(jié)課知識點(diǎn)較少，難度較低時，應(yīng)該盡量使用探究式教學(xué)等能夠讓學(xué)生參與到教學(xué)環(huán)節(jié)中的教學(xué)方法，提高學(xué)生的主動性.3.數(shù)學(xué)分析內(nèi)容的豐富性在中學(xué)數(shù)學(xué)中，教師利用三年時間講解了集合、實(shí)數(shù)、自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、虛數(shù)、函數(shù)、基本初等函數(shù)、分段函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、概率等知識點(diǎn).但是，在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，這些內(nèi)容只是幾節(jié)課的內(nèi)容.數(shù)學(xué)分析的巨大的知識含量、極大的知識跨度、抽象的思維和相對較少的教學(xué)時數(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)的最大障礙.在教學(xué)中常常遇到一種情況，學(xué)生第一節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容與中學(xué)相似，所以會認(rèn)為數(shù)學(xué)分析較為簡單，產(chǎn)生了輕視的心理，而到無窮小這一定義一出現(xiàn)，就忽然發(fā)現(xiàn)自己不會了.曾經(jīng)有學(xué)生說過，“數(shù)學(xué)分析這門課，第一天講了20頁，我全會，第二天講了2頁，我什么也不會”反應(yīng)的就是這種情況.因此，在第一節(jié)課的教學(xué)中，我們一定要告訴學(xué)生，不能因為中學(xué)有相關(guān)內(nèi)容而分心，更不能用中學(xué)的思想來看待這些問題，否則以后的課程就會舉步維艱.四、“數(shù)學(xué)分析”課程的學(xué)習(xí)方法在“數(shù)學(xué)分析”課程的學(xué)習(xí)中，除了注意預(yù)習(xí)、聽課、復(fù)習(xí)、總結(jié)、課后練習(xí)等環(huán)節(jié)外，更為重要的是：1.有興趣地學(xué)習(xí)兩千多年前的孔子說過：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者.”愛因斯坦也說過：“在學(xué)校里和生活中，工作的最重要動機(jī)是工作中的樂趣.”要培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣首先要認(rèn)識學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的重要性.數(shù)學(xué)被稱為科學(xué)的皇后，它是學(xué)習(xí)科學(xué)知識和應(yīng)用科學(xué)知識必需的工具.而數(shù)學(xué)分析是大學(xué)數(shù)學(xué)理論的基石，可以說，學(xué)不好數(shù)學(xué)分析，也就不可能學(xué)好數(shù)學(xué).如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的興趣，一直是數(shù)學(xué)分析教育研究的重要課題之一.所有的研究都表明，想要引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，第一節(jié)課非常重要，只有第一節(jié)課講的好，才能吸引住學(xué)生的目光，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，反之則不然.所以，第一節(jié)課一定要用高等數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)中學(xué)出現(xiàn)過的這些知識點(diǎn)，讓學(xué)生認(rèn)識到高等數(shù)學(xué)思想的美感，讓學(xué)生體會到用高等數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)初等數(shù)學(xué)的成就感，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)思想在解決初等數(shù)學(xué)問題時的重要性，只有學(xué)生領(lǐng)悟了這些，學(xué)生才能夠認(rèn)識到數(shù)學(xué)分析這門課的實(shí)質(zhì)，才能夠引起他們學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功體驗.興趣是最好的老師，任何學(xué)科都需要培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，數(shù)學(xué)是一個枯燥的學(xué)科，這更對興趣的培養(yǎng)提出了較高的要求.如果第一節(jié)課學(xué)生就產(chǎn)生了厭學(xué)的心理，那么他在高等數(shù)學(xué)上的道路就很難走通了.2.主動地鉆研學(xué)生在深入鉆研的過程中，可以領(lǐng)略到數(shù)學(xué)分析的奧妙，體會到獲取成功的喜悅.長久下去，自然會激發(fā)出學(xué)好數(shù)學(xué)分析的高度自覺性和積極性.用興趣推動學(xué)習(xí)，而不是用任務(wù)觀點(diǎn)強(qiáng)迫自己被動地學(xué)習(xí).高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在于堅持和鉆研，他的樂趣在此，他的成功也在這里.同時高等數(shù)學(xué)教學(xué)難度大，教學(xué)內(nèi)容多，教學(xué)深度、廣度都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過中學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)生如果沒有一種鉆研的精神，是不可能學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)分析的.同時如果沒有在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中養(yǎng)成一種刻苦鉆研的態(tài)度，那么在今后的學(xué)習(xí)過程中也是無法獲得成功的.培養(yǎng)學(xué)生的鉆研態(tài)度，需要從第一節(jié)課做起.因此，在第一節(jié)課的教學(xué)過程中，要讓學(xué)生參與到教學(xué)內(nèi)容之中，參與到定理、公式的推導(dǎo)過程中，參與到解題過程中.只有在第一節(jié)課開始養(yǎng)成刻苦鉆研的習(xí)慣，學(xué)生才能夠在今后的日子里越走越遠(yuǎn)，越學(xué)越深.曾經(jīng)有學(xué)生問過我“為什么咱們的黑板這么大，是四面的”，當(dāng)他們看到數(shù)學(xué)分析中推導(dǎo)證明時就明白了，因為四面黑板有時也不夠一個定理的推導(dǎo)，需要更多的版面.如果學(xué)生沒有刻苦鉆研的精神，當(dāng)他們看到這么多的定理推導(dǎo)時，就已經(jīng)開始放棄數(shù)學(xué)了，而如果他們能夠刻苦鉆研，能夠跟上老師的教學(xué)思路，那么再多的證明步驟也是簡單的，也是可以接受的.3.發(fā)揮學(xué)習(xí)的主動性大學(xué)和中學(xué)的最大不同之處就是在于，中學(xué)學(xué)習(xí)中，教師起引領(lǐng)作用，雖然有作業(yè)，但是基本上很少需要學(xué)生自主學(xué)習(xí)，學(xué)生每天都有學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生不需要太多想自己需要學(xué)習(xí)什么.但是大學(xué)則不同，教師上課后學(xué)生很難找到教師，學(xué)習(xí)什么內(nèi)容需要學(xué)生自己決定.如果學(xué)生不會主動學(xué)習(xí)，不知道學(xué)習(xí)方法，那么很難取得成就.因此，學(xué)生必須建立主動性，只有主動學(xué)習(xí)，才能夠在數(shù)學(xué)分析的道路上越走越遠(yuǎn).五、具體教學(xué)內(nèi)容的講解數(shù)學(xué)分析第一次課的知識點(diǎn)有實(shí)數(shù)及其性質(zhì)、絕對值與不等式等.由于學(xué)生是第一次接觸數(shù)學(xué)分析，本節(jié)課的講解速度不宜快.其中，實(shí)數(shù)的概念學(xué)生在中學(xué)已經(jīng)學(xué)過，教師應(yīng)重點(diǎn)講解實(shí)數(shù)集的性質(zhì)，特別是實(shí)數(shù)的稠密性.實(shí)數(shù)的稠密性和高等數(shù)學(xué)中有限和無限的思想密不可分，同時也是整個高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在中學(xué)數(shù)學(xué)里，學(xué)生對有理數(shù)認(rèn)識較多，對無理數(shù)認(rèn)識較低，對數(shù)的稠密性幾乎沒有應(yīng)用，因此且不可認(rèn)為學(xué)生對數(shù)的理解已經(jīng)達(dá)到了高等數(shù)學(xué)所需要的高度，應(yīng)該放慢速度，讓學(xué)生參與到教學(xué)當(dāng)中，發(fā)揮其主動性，理解和認(rèn)識實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)，具體內(nèi)容也可以參照《初等數(shù)學(xué)研究》中相關(guān)的內(nèi)容，這對數(shù)學(xué)分析后面課程的學(xué)習(xí)是有幫助的.“例2設(shè)a，b∈R.證明：若對任何正數(shù)ε有a<b+ε，則a≤b.”的講解是本次課教學(xué)的另一個重點(diǎn).由于學(xué)生是第一次接觸ε，教師應(yīng)利用大量時間解釋說明ε的含義及其應(yīng)用.對于絕對值與不等式部分，教材在實(shí)數(shù)a的絕對值定義后說明了“數(shù)a的絕對值|a|就是點(diǎn)a到原點(diǎn)的距離”，并給出了實(shí)數(shù)的絕對值的一些性質(zhì).教師應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)絕對值|a-b|描述的就是實(shí)數(shù)a與b間的距離，并對三角形不等式：||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|，？坌a，b∈R進(jìn)行詳細(xì)證