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文檔簡介
廣西欽州市靈山縣2025屆高考數(shù)學二模試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知甲、乙兩人獨立出行,各租用共享單車一次(假定費用只可能為、、元).甲、乙租車費用為元的概率分別是、,甲、乙租車費用為元的概率分別是、,則甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為()A. B. C. D.2.《九章算術》“少廣”算法中有這樣一個數(shù)的序列:列出“全步”(整數(shù)部分)及諸分子分母,以最下面的分母遍乘各分子和“全步”,各自以分母去約其分子,將所得能通分之分數(shù)進行通分約簡,又用最下面的分母去遍乘諸(未通者)分子和以通之數(shù),逐個照此同樣方法,直至全部為整數(shù),例如:及時,如圖:記為每個序列中最后一列數(shù)之和,則為()A.147 B.294 C.882 D.17643.若θ是第二象限角且sinθ=,則=A. B. C. D.4.已知集合,,若,則()A.或 B.或 C.或 D.或5.函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A. B.C. D.6.已知全集,集合,,則()A. B. C. D.7.已知全集,集合,,則陰影部分表示的集合是()A. B. C. D.8.過直線上一點作圓的兩條切線,,,為切點,當直線,關于直線對稱時,()A. B. C. D.9.已知為虛數(shù)單位,若復數(shù),,則A. B.C. D.10.等差數(shù)列的前項和為,若,,則數(shù)列的公差為()A.-2 B.2 C.4 D.711.已知奇函數(shù)是上的減函數(shù),若滿足不等式組,則的最小值為()A.-4 B.-2 C.0 D.412.在直角中,,,,若,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在三棱錐中,,三角形為等邊三角形,二面角的余弦值為,當三棱錐的體積最大值為時,三棱錐的外接球的表面積為______.14.已知復數(shù)z是純虛數(shù),則實數(shù)a=_____,|z|=_____.15.已知三棱錐中,,,,且二面角的大小為,則三棱錐外接球的表面積為__________.16.在一次醫(yī)療救助活動中,需要從A醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調(diào)3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生,且男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師必須參加,則不同的選派案共有________種.(用數(shù)字作答)三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知等腰梯形中(如圖1),,,為線段的中點,、為線段上的點,,現(xiàn)將四邊形沿折起(如圖2)(1)求證:平面;(2)在圖2中,若,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知,(其中).(1)求;(2)求證:當時,.19.(12分)己知,函數(shù).(1)若,解不等式;(2)若函數(shù),且存在使得成立,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù).(1)證明:當時,;(2)若函數(shù)只有一個零點,求正實數(shù)的值.21.(12分)如圖,在四棱錐中,平面平面,.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若銳二面角的余弦值為,求直線與平面所成的角.22.(10分)已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,且曲線的左焦點在直線上.(Ⅰ)求的極坐標方程和曲線的參數(shù)方程;(Ⅱ)求曲線的內(nèi)接矩形的周長的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
甲、乙兩人所扣租車費用相同即同為1元,或同為2元,或同為3元,由獨立事件的概率公式計算即得.【詳解】由題意甲、乙租車費用為3元的概率分別是,∴甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為.故選:B.【點睛】本題考查獨立性事件的概率.掌握獨立事件的概率乘法公式是解題基礎.2、A【解析】
根據(jù)題目所給的步驟進行計算,由此求得的值.【詳解】依題意列表如下:上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選:A【點睛】本小題主要考查合情推理,考查中國古代數(shù)學文化,屬于基礎題.3、B【解析】由θ是第二象限角且sinθ=知:,.所以.4、B【解析】
因為,所以,所以或.若,則,滿足.若,解得或.若,則,滿足.若,顯然不成立,綜上或,選B.5、B【解析】
根據(jù)定義域排除,求出的值,可以排除,考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域為,所以不合題意;選項,計算,不符合函數(shù)圖象;對于選項,與函數(shù)圖象不一致;選項符合函數(shù)圖象特征.故選:B【點睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式,主要利用函數(shù)性質(zhì)分析,常見方法為排除法.6、B【解析】
直接利用集合的基本運算求解即可.【詳解】解:全集,集合,,則,故選:.【點睛】本題考查集合的基本運算,屬于基礎題.7、D【解析】
先求出集合N的補集,再求出集合M與的交集,即為所求陰影部分表示的集合.【詳解】由,,可得或,又所以.故選:D.【點睛】本題考查了韋恩圖表示集合,集合的交集和補集的運算,屬于基礎題.8、C【解析】
判斷圓心與直線的關系,確定直線,關于直線對稱的充要條件是與直線垂直,從而等于到直線的距離,由切線性質(zhì)求出,得,從而得.【詳解】如圖,設圓的圓心為,半徑為,點不在直線上,要滿足直線,關于直線對稱,則必垂直于直線,∴,設,則,,∴,.故選:C.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系,考查直線的對稱性,解題關鍵是由圓的兩條切線關于直線對稱,得出與直線垂直,從而得就是圓心到直線的距離,這樣在直角三角形中可求得角.9、B【解析】
由可得,所以,故選B.10、B【解析】
在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標和的性質(zhì)求得,再由等差數(shù)列通項公式求得公差.【詳解】在等差數(shù)列的前項和為,則則故選:B【點睛】本題考查等差數(shù)列中求由已知關系求公差,屬于基礎題.11、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到可行域,畫出可行域和目標函數(shù),根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】奇函數(shù)是上的減函數(shù),則,且,畫出可行域和目標函數(shù),,即,表示直線與軸截距的相反數(shù),根據(jù)平移得到:當直線過點,即時,有最小值為.故選:.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,線性規(guī)劃問題,意在考查學生的綜合應用能力,畫出圖像是解題的關鍵.12、C【解析】
在直角三角形ABC中,求得,再由向量的加減運算,運用平面向量基本定理,結合向量數(shù)量積的定義和性質(zhì):向量的平方即為模的平方,化簡計算即可得到所求值.【詳解】在直角中,,,,,
,
若,則故選C.【點睛】本題考查向量的加減運算和數(shù)量積的定義和性質(zhì),主要是向量的平方即為模的平方,考查運算能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)題意作出圖象,利用三垂線定理找出二面角的平面角,再設出的長,即可求出三棱錐的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值,從而得出各棱的長度,最后根據(jù)球的幾何性質(zhì),利用球心距,半徑,底面半徑之間的關系即可求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】如圖所示:過點作面,垂足為,過點作交于點,連接.則為二面角的平面角的補角,即有.∵易證面,∴,而三角形為等邊三角形,∴為的中點.設,.∴.故三棱錐的體積為當且僅當時,,即.∴三點共線.設三棱錐的外接球的球心為,半徑為.過點作于,∴四邊形為矩形.則,,,在中,,解得.三棱錐的外接球的表面積為.故答案為:.【點睛】本題主要考查三棱錐的外接球的表面積的求法,涉及二面角的運用,基本不等式的應用,以及球的幾何性質(zhì)的應用,意在考查學生的直觀想象能力,數(shù)學運算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.14、11【解析】
根據(jù)復數(shù)運算法則計算復數(shù)z,根據(jù)復數(shù)的概念和模長公式計算得解.【詳解】復數(shù)z,∵復數(shù)z是純虛數(shù),∴,解得a=1,∴z=i,∴|z|=1,故答案為:1,1.【點睛】此題考查復數(shù)的概念和模長計算,根據(jù)復數(shù)是純虛數(shù)建立方程求解,計算模長,關鍵在于熟練掌握復數(shù)的運算法則.15、【解析】
設的中心為T,AB的中點為N,AC中點為M,分別過M,T做平面ABC,平面PAB的垂線,則垂線的交點為球心O,將的長度求出或用球半徑表示,再利用余弦定理即可建立方程解得半徑.【詳解】設的中心為T,AB的中點為N,AC中點為M,分別過M,T做平面ABC,平面PAB的垂線,則垂線的交點為球心O,如圖所示因為,,所以,,,又二面角的大小為,則,,所以,設外接球半徑為R,則,,在中,由余弦定理,得,即,解得,故三棱錐外接球的表面積.故答案為:.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積問題,解決此類問題一定要數(shù)形結合,建立關于球的半徑的方程,本題計算量較大,是一道難題.16、【解析】
首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師,由題意利用排列組合公式即可確定不同的選派案方法種數(shù).【詳解】首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師,然后從名男醫(yī)生、名女醫(yī)生中分別抽調(diào)2名男醫(yī)生、名女醫(yī)生,故選派的方法為:.故答案為.【點睛】解排列組合問題要遵循兩個原則:一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類;二是按事情發(fā)生的過程進行分步.具體地說,解排列組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置).三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】
(1)先連接,根據(jù)線面平行的判定定理,即可證明結論成立;(2)在圖2中,過點作,垂足為,連接,,證明平面平面,得到點在底面上的投影必落在直線上,記為點在底面上的投影,連接,,得出即是直線與平面所成角,再由題中數(shù)據(jù)求解,即可得出結果.【詳解】(1)連接,因為等腰梯形中(如圖1),,,所以與平行且相等,即四邊形為平行四邊形;所以;又為線段的中點,為中點,易得:四邊形也為平行四邊形,所以;將四邊形沿折起后,平行關系沒有變化,仍有:,且,所以翻折后四邊形也為平行四邊形;故;因為平面,平面,所以平面;(2)在圖2中,過點作,垂足為,連接,,因為,,翻折前梯形的高為,所以,則,;所以;又,,所以,即,所以;又,且平面,平面,所以平面;因此,平面平面;所以點在底面上的投影必落在直線上;記為點在底面上的投影,連接,,則平面;所以即是直線與平面所成角,因為,所以,因此,,故;因為,所以,因此,故,所以.即直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題主要考查證明線面平行,以及求直線與平面所成的角,熟記線面平行的判定定理,以及線面角的求法即可,屬于??碱}型.18、(1)(2)見解析【解析】
(1)取,則;取,則,∴;(2)要證,只需證,當時,;假設當時,結論成立,即,兩邊同乘以3得:而∴,即時結論也成立,∴當時,成立.綜上原不等式獲證.19、(1);(2)【解析】
(1)零點分段解不等式即可(2)等價于,由,得不等式即可求解【詳解】(1)當時,,當時,由,解得;當時,由,解得;當時,由,解得.綜上可知,原不等式的解集為.(2).存在使得成立,等價于.又因為,所以,即.解得,結合,所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法,考查不等式恒成立及最值,考查轉化思想,是中檔題20、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)把轉化成,令,由題意得,即證明恒成立,通過導數(shù)求證即可(2)直接求導可得,,令,得或,故根據(jù)0與的大小關系來進行分類討論即可【詳解】證明:(1)令,則.分析知,函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為.所以當時,.所以,即,所以.所以當時,.解:(2)因為,所以.討論:①當時,,此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又,故此時函數(shù)僅有一個零點為0;②當時,令,得,故函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,.又極大值,所以極小值.當時,有.又,此時,故當時,函數(shù)還有一個零點,不符合題意;③當時,令得,故函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,.又極小值,所以極大值.若,則,得,所以,所以當且時,,故此時函數(shù)還有一個零點,不符合題意.綜上,所求實數(shù)的值為.【點睛】本題考查不等式的恒成立問題和函數(shù)的零點問題,本題的難點在于把導數(shù)化成因式分解的形式,如,進而分類討論,本題屬于難題21、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由余弦定理解得,即可得到,由面面垂直的性質(zhì)可得平面,即可得到,從而得證;(Ⅱ)在平面中,過點作于點,則平面,如圖所示建立空間直角坐標系,設,其中,利用空間向量法得到二面角的余弦,即可得到的關系,從而得解;【詳解】解:(Ⅰ)證明:在中,,解得,則,從而因為平面平面,平面平面所以平面,又因為平面,所以,因為,,平面,平面,所以平面;(Ⅱ)解:在平面中,過點作于點,則平面,如圖所示建立空間直角坐標系,設,其中,則設平面的法向量為,則,即,令,則又平面的一個法向量,則從而,故則直線與平面所成的角為,大小為.【點睛】本題考查線面垂直的判定,面面垂直的性質(zhì)定理的應用,利用空間向量法解決立體幾何問題,屬于中檔題.22、(Ⅰ)曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù));的極坐標方程為;(Ⅱ)16.【解析】
(
I
)直接利用轉換關系,把參數(shù)方程、極
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