第30章 二次函數(shù) 綜合檢測(cè)

第30章二次函數(shù)綜合檢測(cè)(滿分100分，限時(shí)60分鐘)一、選擇題(每小題4分，共32分)1.(2023廣東云浮一模)關(guān)于x的函數(shù)y=(a-b)x2+1是二次函數(shù)的條件是（）A.a≠b B.a=b C.b=0 D.a=02.(2023河北青龍金聲木鐸學(xué)校一模)將二次函數(shù)y=x2-4x-4化為y=a(x-h)2+k的形式，正確的是()A.y=(x-2)2 B.y=(x+2)2-8 C.y=(x+2)2 D.y=(x-2)2-83.如圖，用80米長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻、中間用籬笆隔開的矩形養(yǎng)羊場(chǎng)，如果中間有4道籬笆，設(shè)矩形垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為x(米)，則矩形養(yǎng)羊場(chǎng)的面積y(平方米)與x(米)之間的函數(shù)關(guān)系式是()A.y=x×80?4x2 B.y=x×80?6x2 C.y=x×(80-4x) 4.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))的圖像如圖所示，則方程ax2+bx+c=m有實(shí)數(shù)根的條件是()A.m≥-4 B.m≥0 C.m≥5 D.m≥65.(2023河北石家莊橋西質(zhì)檢)已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列結(jié)論正確的是()A.B-A的最大值是0 B.B-A的最小值是-1C.當(dāng)B=2A時(shí)，x為正數(shù) D.當(dāng)B=2A時(shí)，x為負(fù)數(shù)6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=2，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，則下列說法中不正確的是()A.a<0，c<0 B.4a+b=0C.方程ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)根為x1=1，x2=3 D.不等式ax2+bx+c<0的解集為1<x<37.(2023河北石家莊長(zhǎng)安質(zhì)檢)如圖，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=2.動(dòng)點(diǎn)P沿AB從點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng)，過點(diǎn)P作AB的垂線，交折線ACB于點(diǎn)Q.記AP=x，△APQ的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖像大致是()A B C D(2023河北承德一模)如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C，則下列結(jié)論：①abc>0；②當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而增大；③方程ax2+bx+c=1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④4a+2b≤am2+bm(m為任意實(shí)數(shù))，其中正確的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題(每小題4分，共32分)9.(2023上海中考)一個(gè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像的頂點(diǎn)在y軸正半軸上，且其對(duì)稱軸左側(cè)的部分是上升的，那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是.

10.已知拋物線y=-x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=1，點(diǎn)M(-1，y1)，N(2，y2)都在該拋物線上，那么y1y2(填“>”“<”或“=”).

11.(2023福建福州一模)某足球運(yùn)動(dòng)員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，如果不考慮空氣阻力，足球飛行的高度h(單位：m)與足球飛行的時(shí)間t(單位：s)之間具有二次函數(shù)關(guān)系，其部分圖像如圖所示，則足球從踢出到落地所需的時(shí)間是s.

12.拋物線y=-x2+bx+3的對(duì)稱軸為直線x=-1，若關(guān)于x的一元二次方程-x2+bx+3-t=0(t為實(shí)數(shù))在-2<x<3的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則t的取值范圍是.

13.(2023江蘇連云港中考)若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3(x、y為實(shí)數(shù))，則W的最小值為.

14.(2023浙江溫州?？级?某游樂園要建造一個(gè)直徑為20m的圓形噴水池，計(jì)劃在噴水池的周邊安裝一圈噴水頭，使噴出的水柱距池中心4m處(水平距離)達(dá)到最高，高度為6m.以水平方向?yàn)閤軸，噴水池中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系如圖，在噴水池中心的正上方設(shè)計(jì)擋板(AB，AC)，使各方向噴出的水柱擦擋板后，匯合于噴水池中心裝飾物M處，擋板AB所在直線的表達(dá)式為y=12x+n，則拋物線l的表達(dá)式為，n的值為15.(2023山東臨沂中考)小明利用學(xué)習(xí)函數(shù)獲得的經(jīng)驗(yàn)研究函數(shù)y=x2+2x的性質(zhì)，得到如下結(jié)論①當(dāng)x<-1時(shí)，x越小，函數(shù)值越??；②當(dāng)-1<x<0時(shí)，x越大，函數(shù)值越?。虎郛?dāng)0<x<1時(shí)，x越小，函數(shù)值越大；④當(dāng)x>1時(shí)，x越大，函數(shù)值越大.其中正確的是(只填寫序號(hào)).

16.(2023廣東廣州一模)如圖，點(diǎn)D為等邊三角形ABC的邊BC上一動(dòng)點(diǎn)BD<12BC，AB=4，連接AD，以AD為邊作正方形ADEF，連接CE、CF，則當(dāng)BD=時(shí)，△CEF的面積最小，三、解答題(共36分)17.(2023上海奉賢一模)(6分)已知拋物線y=-x2+2x+3，將這條拋物線向左平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位.(1)求平移后新拋物線的表達(dá)式和它的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，并說明它的變化情況；(2)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出平移后的拋物線.18.(2023福建龍巖統(tǒng)考一模)(10分)紅燈籠，象征著闔家團(tuán)圓，紅紅火火.小明在春節(jié)前購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種紅燈籠，用3120元購(gòu)進(jìn)甲種紅燈籠與用4200元購(gòu)進(jìn)乙種紅燈籠的數(shù)量相同，已知乙種紅燈籠每對(duì)進(jìn)價(jià)比甲種紅燈籠每對(duì)進(jìn)價(jià)多9元.(1)求甲、乙兩種紅燈籠每對(duì)的進(jìn)價(jià).(2)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，乙種紅燈籠每對(duì)售價(jià)為50元時(shí)，每天可售出98對(duì)，售價(jià)(每對(duì))每提高1元，則每天少售出2對(duì).物價(jià)部門規(guī)定其售價(jià)不高于每對(duì)65元，設(shè)乙種紅燈籠每對(duì)漲價(jià)x元，小明一天通過售賣乙種紅燈籠獲得利潤(rùn)y元.①填空：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是.

②乙種紅燈籠的銷售為多少元/對(duì)時(shí)，一天獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元?19.(2023河北石家莊四十二中一模)(10分)如圖，拋物線y=-23x2+23x+4與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C三點(diǎn)(1)A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)為，，；

(2)連接AP，交線段BC于點(diǎn)D，①當(dāng)CP與x軸平行時(shí)，求PDDA的值②當(dāng)CP與x軸不平行時(shí)，求PDDA的最大值(3)連接CP，是否存在點(diǎn)P，使得∠BCO+2∠PCB=90°?若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.20.(2023河北石家莊四十四中模擬)(10分)甲、乙兩人打乒乓球，讓乒乓球沿著球臺(tái)的中軸線運(yùn)動(dòng)，如圖所示的是從側(cè)面看乒乓球臺(tái)得到的視圖，MN為球臺(tái)，EF為球網(wǎng)，點(diǎn)E為MN中點(diǎn)，MN=28dm，EF=1.5dm，甲從M正上方的A處擊中球完成發(fā)球，球沿直線撞擊球臺(tái)上的B處再?gòu)椘鸬搅硪粋?cè)的C處，從C處再次彈起到P，乙接球.以MN所在直線為x軸，M為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，x(dm)表示球與M的水平距離，y(dm)表示球到球臺(tái)的高度，將乒乓球看成點(diǎn)，兩次彈起的路徑均為拋物線的一部分，BC段拋物線的解析式為y1=-120(x-t)(x-t-12).設(shè)CP段拋物線的解析式為y2=-120(x-h)(1)點(diǎn)F的坐標(biāo)為；點(diǎn)C的坐標(biāo)為(用含t的式子表示)；

(2)若球在球網(wǎng)EF正上方時(shí)到達(dá)最高點(diǎn)，①求此時(shí)球與F的距離；②要使球從C彈起后落在N或N的右側(cè)，求k的最小值；(3)若球第二次的落點(diǎn)C在球網(wǎng)右側(cè)5dm處，球再次彈起時(shí)離桌面最高1.25dm，乙的球拍在N處正上方的線段GH上，GH=1.5dm，HN=0.8dm，將球拍向前(即x軸負(fù)方向)水平推出ndm接球，恰好接住了球，直接寫出n的取值范圍.

第30章二次函數(shù)綜合檢測(cè)答案全解全析1.A∵y=(a-b)x2+1是二次函數(shù)，∴a-b≠0，解得a≠b，故選A.2.Dy=x2-4x-4=x2-4x+4-8=(x-2)2-8，故選D.3.D∵矩形一邊長(zhǎng)為x米，∴其鄰邊長(zhǎng)為(80-6x)米，∴矩形養(yǎng)羊場(chǎng)的面積y=x×(80-6x).故選D.4.A∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，-4)，開口向上，∴二次函數(shù)有最小值，為-4，∴當(dāng)m≥-4時(shí)，直線y=m與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像有公共點(diǎn)，∴方程ax2+bx+c=m有實(shí)數(shù)根的條件是m≥-4.故選A.5.B∵A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，∴B-A=2x2+4x+n2-(x2+6x+n2)=x2-2x=(x-1)2-1，∴當(dāng)x=1時(shí)，B-A取得最小值-1；當(dāng)B=2A時(shí)，2x2+4x+n2=2(x2+6x+n2)，∴-8x=n2≥0，∴x≤0，即x是非正數(shù).故選B.6.D觀察題中圖像，可知拋物線開口向下，與y軸交于負(fù)半軸，∴a<0，c<0，故A說法正確，不符合題意；∵拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=2，∴-b2a=2，∴4a+b=0，故B說法正確，設(shè)拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(m，0)，∵拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=2，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，∴2-1=m-2，解得m=3，∴拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，∴方程ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)根為x1=1，x2=3，故C說法正確，不符合題意；由題圖及C選項(xiàng)可知，當(dāng)x<1或x>3時(shí)，二次函數(shù)的圖像位于x軸的下方，∴不等式ax2+bx+c<0的解集為x<1或x>3，故D說法不正確，符合題意.故選D.7.B如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=∠B=45°，當(dāng)P在線段AD上時(shí)，由∠A=45°，∠APQ=90°知AP=QP=x，∴y=12PQ·AP=12x2，函數(shù)圖像是開口向上的拋物線，排除A當(dāng)P在線段DB上時(shí)，AP=x，BP=2-x，由∠B=45°，∠BPQ=90°可知PQ=BP=2-x，∴y=12AP·PQ=12x(2-x)=-12x2+x，函數(shù)圖像是開口向下的拋物線，8.B①∵拋物線開口向上，∴a>0，∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(3，0)，∴對(duì)稱軸為直線x=1+32=2，∴-b2a>0∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，∴c>0，∴abc<0，故①不正確；②∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=2，開口向上，∴x>2時(shí)，y隨x的增大而增大，故②不正確；③由題圖可知拋物線y=ax2+bx+c與直線y=1有2個(gè)交點(diǎn)，∴方程ax2+bx+c=1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故③正確；④∵對(duì)稱軸為直線x=2，開口向上，∴當(dāng)x=2時(shí)，y取得最小值，為4a+2b+c，∴4a+2b+c≤am2+bm+c，即4a+2b≤am2+bm(m為任意實(shí)數(shù))，故④正確.正確結(jié)論有2個(gè)，故選B.9.y=-x2+1(答案不唯一)解析∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像的對(duì)稱軸左側(cè)部分是上升的，∴拋物線開口向下，即a<0，∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像的頂點(diǎn)在y軸正半軸上，∴b=0，c>0，∴二次函數(shù)的解析式可以是y=-x2+1(答案不唯一).10.<解析拋物線y=-x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=1，∵-1<1<2，∴點(diǎn)M，N在拋物線對(duì)稱軸的兩側(cè)，∵-1<0，∴拋物線開口向下，又∵1-(-1)>2-1，∴點(diǎn)M離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，∴y1<y2.故答案為<.11.1.6解析根據(jù)函數(shù)的圖像可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=0.5+1.12=0.8因?yàn)閽佄锞€與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，所以拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0.8×2=1.6，所以足球從踢出到落地所需的時(shí)間是1.6s，故答案為1.6.12.-12<t≤4解析∵拋物線y=-x2+bx+3的對(duì)稱軸為直線x=-1，∴-b2×(?1)=-1，解得b=-2∴y=-x2-2x+3，一元二次方程-x2+bx+3-t=0的實(shí)數(shù)根是函數(shù)y=-x2-2x+3與y=t的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，且a=-1<0，∴當(dāng)x=-1時(shí)，y取得最大值，為4，又∵當(dāng)x=-2時(shí)，y=-x2-2x+3=3；當(dāng)x=3時(shí)，y=-x2-2x+3=-12，∴當(dāng)-2<x<3時(shí)，y的取值范圍為-12<y≤4，∵方程在-2<x<3的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，∴t的取值范圍是-12<t≤4.故答案為-12<t≤4.13.-2解析W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3=4x2-4xy+y2+4x-2y+1+x2+4x+4-2=(2x-y)2+2(2x-y)+1+(x+2)2-2=(2x-y+1)2+(x+2)2-2，∵x、y為實(shí)數(shù)，∴(2x-y+1)2≥0，(x+2)2≥0，∴W的最小值為-2，故答案為-2.14.y=-16x2+43x+103解析設(shè)拋物線l的解析式為y=a(x-4)2+6，根據(jù)題意，得點(diǎn)(10，0)在拋物線上，∴a(10-4)2+6=0，解得a=-16∴拋物線l的解析式為y=-16(x-4)2+6=-16x2+43x+103，與直線y=12x+n聯(lián)立，得方程12x+n=-16x2+43x+103，整理，得-∵直線y=12x+n與拋物線l：y=-16x2+43x+103有唯一公共點(diǎn)，∴Δ=562-4×-16×103-n=0，解得n=35815.②③④解析選取部分x值，列表如下，x…-2.5-2-1-0.50.512…y…5.453-1-3.754.2535…描點(diǎn)、連線，函數(shù)圖像大致如下，根據(jù)圖像知：當(dāng)x<-1時(shí)，x越小，函數(shù)值越大，結(jié)論①錯(cuò)誤；當(dāng)-1<x<0時(shí)，x越大，函數(shù)值越小，結(jié)論②正確；當(dāng)0<x<1時(shí)，x越小，函數(shù)值越大，結(jié)論③正確；當(dāng)x>1時(shí)，x越大，函數(shù)值越大，結(jié)論④正確.故答案為②③④.16.2-3；92-2解析本題結(jié)合勾股定理、正方形的性質(zhì)和二次函數(shù)求三角形面積的最值.如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，∵△ABC是等邊三角形，AB=4，∴BH=HC=12BC=12AB=2，AH=AB·sin60°=4×32設(shè)BD=x，則DH=2-x，CD=4-x，S正方形ADEF=AD2=DH2+AH2=(2-x)2+(23)2=x2-4x+16，S△ACD=12CD·AH=12×(4-x)×23=43-3在正方形ADEF中，AD=DE=EF=AF，過點(diǎn)C作NM⊥AF于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)N，∵AF∥DE，MN⊥AF，∴MN⊥DE，∴四邊形ADNM為矩形，∴MN=AD=DE=EF=AF，∴S△ACF+S△DCE=12AF·MC+12DE·CN=12DE×(MC+CN)=12DE×MN=12DE2∴S△ADC+S△EFC=12S正方形ADEF∴S△CEF=12S正方形ADEF-S△ACD=12(x2-4x+16)-(43-3x)=12x2-(2-3當(dāng)x=2-3時(shí)，S△CEF最小，為12(2-3)2-(2-3)2+8-43=92-2故答案為2-3；92-2317.解析(1)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，將這條拋物線向左平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-(x+2)2+2，所以新拋物線的開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，2)，對(duì)稱軸為直線x=-2.當(dāng)x<-2時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>-2時(shí)，y隨x的增大而減小.(2)列表如下，x…-4-3-2-10…y…-2121-2…描點(diǎn)、連線，函數(shù)圖像如圖所示.18.解析(1)設(shè)甲種紅燈籠的進(jìn)價(jià)為x元/對(duì)，則乙種紅燈籠的進(jìn)價(jià)為(x+9)元/對(duì)，由題意得3120x=4200x+9經(jīng)檢驗(yàn)，x=26是原方程的解，且符合題意，∴x+9=26+9=35.答：甲種紅燈籠的進(jìn)價(jià)為26元/對(duì)，乙種紅燈籠的進(jìn)價(jià)為35元/對(duì).(2)①y=(50+x-35)(98-2x)=-2x2+68x+1470，故答案為y=-2x2+68x+1470.②∵a=-2<0，∴函數(shù)y有最大值，該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線x=-682×(?2)=17∵物價(jià)部門規(guī)定其售價(jià)不高于每對(duì)65元，∴x+50≤65，∴x≤15，∵x<17時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=15時(shí)，y取得最大值，為-2×152+68×15+1470=2040.x+50=15+50=65.答：乙種紅燈籠的售價(jià)為65元/對(duì)時(shí)，一天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是2040元.19.解析(1)令x=0，則y=4，∴C(0，4).令y=0，則-23x2+23∴x=-2或x=3，∴A(-2，0)，B(3，0).故答案為(-2，0)；(3，0)；(0，4).(2)①∵CP∥x軸，C(0，4)，點(diǎn)C，P在拋物線上，∴-23m2+23m+4=4，∴P(1，4)，∴CP=1.易知AB=3+2=5，∵CP∥x軸，∴△PCD∽△ABD，∴PDDA=CPAB=②如圖，過點(diǎn)P作PQ∥AB交BC于點(diǎn)Q，易得直線BC的解析式為y=-43∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴Pm，-23m2+23m+4，Q12m2-12m，-23m2+23∴PQ=m-12m2-12m=-∵PQ∥AB，∴△PQD∽△ABD，∴PDDA=PQAB=-12m∴當(dāng)m=32時(shí)，PDDA的值最大，為(3)假設(shè)存在點(diǎn)P，使得∠BCO+2∠PCB=90°，已知0<m<3.如圖，延長(zhǎng)CP交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CF∥x軸，交拋物線于點(diǎn)F，∵∠BCO+2∠PCB=90°，∠BCO+∠BCM+∠MCF=90°，∴∠MCF=∠BCP，∵CF∥x軸，∴∠PCF=∠BMC，∴∠BCP=∠BMC，∴△CBM為等腰三角形，BC=BM，∵BC=32+42=5，∴M(8，0)，易得直線CM的解析