《金版教程•高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案》提升版第三章第5講　指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

第5講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.通過(guò)對(duì)有理數(shù)指數(shù)冪aeq\f(m,n)(a>0，且a≠1，m，n為整數(shù)，且n>0)、實(shí)數(shù)指數(shù)冪ax(a>0，且a≠1，x∈R)含義的認(rèn)識(shí)，了解指數(shù)冪的拓展過(guò)程，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).2.了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念.3.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫(huà)出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．1．根式的概念根式的概念符號(hào)表示備注如果eq\x(\s\up1(01))xn＝a，那么x叫做a的n次方根—n>1且n∈N*當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)eq\x(\s\up1(02))正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)eq\x(\s\up1(03))負(fù)數(shù)eq\r(n,a)零的n次方根是零當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有eq\x(\s\up1(04))兩個(gè)，它們互為eq\x(\s\up1(05))相反數(shù)±eq\r(n,a)(a＞0)負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)aeq\s\up7(\f(m,n))＝eq\x(\s\up1(06))eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．(2)a－eq\s\up7(\f(m,n))＝eq\x(\s\up1(07))eq\f(1,a\s\up7(\f(m,n)))＝eq\x(\s\up1(08))eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．3．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)aras＝eq\x(\s\up1(09))ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝eq\x(\s\up1(10))ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝eq\x(\s\up1(11))arbr(a>0，b>0，r∈Q)．4．指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)eq\x(\s\up1(12))y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R，a是底數(shù)．說(shuō)明：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù)．5．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)底數(shù)a>10<a<1圖象性質(zhì)函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閑q\x(\s\up1(13))(0，＋∞)函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)eq\x(\s\up1(14))(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x>0時(shí)，恒有y>1;當(dāng)x<0時(shí)，恒有0<y<1當(dāng)x>0時(shí)，恒有0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，恒有y>1eq\x(\s\up1(15))增函數(shù)eq\x(\s\up1(16))減函數(shù)1．(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*且n>1)．2.eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數(shù)且n>1，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0，))n為偶數(shù)且n>1.))3．底數(shù)對(duì)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的函數(shù)值的影響如圖(a1>a2>a3>a4)，不論是a>1，還是0<a<1，在第一象限內(nèi)底數(shù)越大，函數(shù)圖象越高．4．當(dāng)a>0，且a≠1時(shí)，函數(shù)y＝ax與函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．1．(人教A必修第一冊(cè)習(xí)題4.1T1改編)化簡(jiǎn)eq\r(4,16x8y4)(x<0，y<0)得()A．2x2y B．2xyC．4x2y D．－2x2y答案D解析因?yàn)閤<0，y<0，所以eq\r(4,16x8y4)＝eq\r(4,24·（x2）4y4)＝|2x2y|＝－2x2y.2．(人教A必修第一冊(cè)習(xí)題4.1T7(1)改編)已知5m＝10，5n＝2，則5eq\s\up7(\f(3m-2n,2))＝()A．2eq\r(10) B．3eq\r(10)C．20 D．5eq\r(10)答案D解析5eq\s\up7(\f(3m-2n,2))＝eq\r(\f(53m,52n))＝eq\r(\f(（5m）3,（5n）2))＝eq\r(\f(103,22))＝eq\r(52×10)＝5eq\r(10).3．函數(shù)f(x)＝ax－2023＋2023(a＞0，且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_______．答案(2023，2024)解析令x－2023＝0，得x＝2023，又f(2023)＝2024，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2023，2024)．4．(人教A必修第一冊(cè)習(xí)題4.2T6改編)設(shè)a＝0.993.3，b＝0.994.5，c＝1.10.99，則a，b，c的大小關(guān)系為_(kāi)_______．答案b<a<c解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝0.99x在R上單調(diào)遞減，所以0.993.3>0.994.5，即a>b，又因?yàn)?.993.3<0.990＝1，1.10.99>1.10＝1，所以0.993.3<1.10.99，即a<c.綜上可知，b<a<c.5．已知函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大eq\f(a,2)，則a的值為_(kāi)_______．答案eq\f(1,2)或eq\f(3,2)解析當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a－a2＝eq\f(a,2)，∴a＝eq\f(1,2)；當(dāng)a＞1時(shí)，a2－a＝eq\f(a,2)，∴a＝eq\f(3,2).綜上所述，a＝eq\f(1,2)或eq\f(3,2).考向一指數(shù)冪的運(yùn)算例1求值與化簡(jiǎn)：(1)8eq\s\up7(\f(2,3))×100－eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,81)))－eq\s\up7(\f(3,4))；(2)eq\f((a\s\up7(\f(2,3))b－1)－\s\up7(\f(1,2))a－\s\up7(\f(1,2))b\s\up7(\f(1,3)),\r(6,ab5))(a>0，b>0)；(3)eq\r(3,a\s\up7(\f(9,2))\r(a－3))÷eq\r(\r(3,a－7)\r(3,a13))(a>0)；(4)已知a>0，aeq\s\up7(\f(1,2))＋a－eq\s\up7(\f(1,2))＝3，求eq\f(a2＋a－2＋1,a＋a－1＋1)的值．解(1)原式＝(23)eq\s\up7(\f(2,3))×(102)-eq\s\up7(\f(1,2))×(2－2)－3×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(4)))-eq\s\up7(\f(3,4))＝22×10－1×26×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－3)＝eq\f(432,5).(2)原式＝eq\f(a－\s\up7(\f(1,3))b\s\up7(\f(1,2))a－\s\up7(\f(1,2))b\s\up7(\f(1,3)),a\s\up7(\f(1,6))b\s\up7(\f(5,6)))＝a－eq\s\up7(\f(1,3))－eq\s\up7(\f(1,2))－eq\s\up7(\f(1,6))beq\s\up7(\f(1,2))＋eq\s\up7(\f(1,3))－eq\s\up7(\f(5,6))＝eq\f(1,a).(3)原式＝(aeq\s\up7(\f(9,2))a－eq\s\up7(\f(3,2)))eq\s\up7(\f(1,3))÷(a－eq\s\up7(\f(7,3))aeq\s\up7(\f(13,3)))eq\s\up7(\f(1,2))＝(a3)eq\s\up7(\f(1,3))÷(a2)eq\s\up7(\f(1,2))＝a÷a＝1.(4)將aeq\s\up7(\f(1,2))＋a－eq\s\up7(\f(1,2))＝3兩邊平方，得a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7.將a＋a－1＝7兩邊平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47，所以eq\f(a2＋a－2＋1,a＋a－1＋1)＝eq\f(47＋1,7＋1)＝6.指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算．(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先化成假分?jǐn)?shù)．(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答．(5)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)，形式力求統(tǒng)一．1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,\r(6,a9))))eq\s\up12(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6,\r(3,a9))))eq\s\up12(4)＝________．答案a4解析原式＝[(aeq\s\up7(\f(9,6)))eq\s\up7(\f(1,3))]4[(aeq\s\up7(\f(9,3)))eq\s\up7(\f(1,6))]4＝a2·a2＝a4.2．已知3a＋2b＝1，則eq\f(9a·3b,\r(3a))＝________．答案eq\r(3)解析因?yàn)?a＋2b＝1，所以eq\f(3,2)a＋b＝eq\f(1,2)，所以原式＝eq\f(（32）a·3b,（3a）\s\up7(\f(1,2)))＝32a＋b－eq\s\up7(\f(1,2))a＝3eq\s\up7(\f(2,3))a＋b＝3eq\s\up7(\f(1,2))＝eq\r(3).3．化簡(jiǎn)：eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\s\up7(\f(1,4))b\s\up7(\f(1,2))）4a－\s\up7(\f(1,3))b\s\up7(\f(1,3)))(a>0，b>0)．解原式＝eq\f(（a3b2a\s\up7(\f(1,3))b\s\up7(\f(2,3))）\s\up7(\f(1,2)),ab2a－\s\up7(\f(1,3))b\s\up7(\f(1,3)))＝aeq\s\up7(\f(3,2))＋eq\s\up7(\f(1,6))－1＋eq\s\up7(\f(1,3))·b1＋eq\s\up7(\f(1,3))－2－eq\s\up7(\f(1,3))＝ab－1＝eq\f(a,b).4．計(jì)算：0.027－eq\f(1,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))eq\s\up7(\f(1,2))－(eq\r(2)－1)0.解原式＝(0.33)－eq\s\up7(\f(1,3))－72＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)))eq\s\up7(\f(1,2))－1＝eq\f(10,3)－49＋eq\f(5,3)－1＝－45.考向二指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用例2(1)(多選)已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式2023a＝2024b，則下列關(guān)系式有可能成立的是()A．0<b<a B．a(chǎn)<b<0C．0<a<b D．a(chǎn)＝b答案ABD解析在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出y＝2023x與y＝2024x的圖象，結(jié)合圖象可知A，B，D可能成立．故選ABD.(2)若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析①當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝|ax－1|的圖象如圖1.因?yàn)閥＝2a與y＝|ax－1|的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以0<2a<1，所以0<a<eq\f(1,2)；②當(dāng)a>1時(shí)，y＝|ax－1|的圖象如圖2，而此時(shí)直線y＝2a不可能與y＝|ax－1|的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．綜上，a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).處理指數(shù)圖象問(wèn)題的策略(1)抓住特殊點(diǎn)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(0，1)，與直線x＝1的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，a)．(2)巧用圖象變換常見(jiàn)的變換有：①函數(shù)y＝ax＋b(a>0，且a≠1)的圖象可由指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到；②函數(shù)y＝ax＋b的圖象可由指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到；③函數(shù)y＝a|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)x≥0時(shí)，其圖象與指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)在[0，＋∞)的圖象相同；當(dāng)x<0時(shí)，其圖象與x≥0時(shí)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．1.(2023·天津?yàn)I海七校二模)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x＋1|)的圖象大致為()答案B解析作出函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x≥0，,2x，x<0))的圖象，如圖所示，將y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)的圖象向左平移1個(gè)單位得到f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x＋1|)的圖象．故選B.2．定義區(qū)間[x1，x2](x1<x2)的長(zhǎng)度為x2－x1.已知函數(shù)y＝2|x|的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇1，2]，則區(qū)間[a，b]的長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2答案B解析如圖是函數(shù)y＝2|x|在值域?yàn)閇1，2]上的圖象．使函數(shù)y＝2|x|的值域?yàn)閇1，2]的定義域區(qū)間中，長(zhǎng)度最小的區(qū)間為[－1，0]或[0，1]，長(zhǎng)度最大的區(qū)間為[－1，1]，從而由定義可知區(qū)間[a，b]的長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為2－1＝1.故選B.多角度探究突破考向三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用角度比較指數(shù)冪的大小例3(1)(2023·淮南一模)設(shè)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))eq\s\up7(\f(３,７))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)))eq\s\up7(\f(4,７))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))eq\s\up7(\f(4,７))，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>cC．b>c>a D．b>a>c答案A解析∵函數(shù)y＝xeq\s\up7(\f(4,７))是(0，＋∞)上的增函數(shù)，eq\f(3,7)<eq\f(4,7)，∴b<c.∵函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))eq\s\up12(x)是R上的減函數(shù)，eq\f(3,7)<eq\f(4,7)，∴a>c.綜上，a>c>b.故選A.(2)(2023·沈陽(yáng)模擬)若p：0<a<b；q：4a－4b<5－a－5－b，則p是q的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析設(shè)f(x)＝4x－5－x，則函數(shù)f(x)為增函數(shù)，則由4a－4b<5－a－5－b，即4a－5－a<4b－5－b可得a<b，所以0<a<b是4a－4b<5－a－5－b的充分不必要條件．故選A.比較指數(shù)式大小的方法比較兩個(gè)指數(shù)式的大小時(shí)，盡量化成同底或同指．(1)當(dāng)?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時(shí)，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大?。?2)當(dāng)指數(shù)相同，底數(shù)不同時(shí)，構(gòu)造兩個(gè)指數(shù)函數(shù)，利用圖象比較大?。换驑?gòu)造同一冪函數(shù)，然后利用冪函數(shù)的性質(zhì)比較大小．(3)當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時(shí)，常借助1，0等中間量進(jìn)行比較．1.下列各式比較大小正確的是()A．1.72.5>1.73 B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(2,3))<2－eq\s\up7(\f(4,3))C．1.70.3<0.93.1 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(3,4))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up7(\f(2,3))答案D解析∵y＝1.7x為增函數(shù)，∴1.72.5<1.73，故A不正確；∵2－eq\s\up7(\f(4,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(4,3))，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)為減函數(shù)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(2,3))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(4,3))＝2－eq\s\up7(\f(4,3))，故B不正確；∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0，1)，∴1.70.3>0.93.1，故C不正確；∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(x)為減函數(shù)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(3,4))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(2,3))，又y＝xeq\s\up7(\f(2,3))在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(2,3))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up7(\f(2,3))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(3,4))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(2,3))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up7(\f(2,3))，故D正確．2．(2024·宿遷模擬)設(shè)eq\f(1,2)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(b)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)<1，那么()A．a(chǎn)a<ab<ba B．a(chǎn)a<ba<abC．a(chǎn)b<aa<ba D．a(chǎn)b<ba<aa答案C解析∵eq\f(1,2)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(b)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)<1且y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在R上是減函數(shù)，∴0<a<b<1，∴指數(shù)函數(shù)y＝ax在R上是減函數(shù)，∴ab<aa，∴冪函數(shù)y＝xa在R上是增函數(shù)，∴aa<ba，∴ab<aa<ba.故選C.角度解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式例4(1)已知實(shí)數(shù)a≠1，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，則a的值為_(kāi)_______．答案eq\f(1,2)解析①當(dāng)a<1時(shí)，由f(1－a)＝f(a－1)得41－a＝2a－(a－1)，即22－2a＝2，所以2－2a＝1，解得a＝eq\f(1,2)；②當(dāng)a>1時(shí)，由f(1－a)＝f(a－1)得2a－(1－a)＝4a－1，即22a－1＝22a－2，所以2a－1＝2a－2，無(wú)解．綜上可知，a＝eq\f(1,2).(2)(2023·邯鄲一模)不等式10x－6x－3x≥1的解集為_(kāi)_______．答案[1，＋∞)解析由10x－6x－3x≥1，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(x)≤1，令f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(x)，因?yàn)閥＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(x)均為R上的減函數(shù)，則f(x)在R上單調(diào)遞減，且f(1)＝1，所以f(x)≤f(1)，所以x≥1，故不等式10x－6x－3x≥1的解集為[1，＋∞)．1．解指數(shù)方程的依據(jù)af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)?f(x)＝g(x)．2．解指數(shù)不等式的思路方法對(duì)于形如ax>ab(a>0，且a≠1)的不等式，需借助函數(shù)y＝ax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，則需分a>1與0<a<1兩種情況討論；而對(duì)于形如ax>b的不等式，需先將b轉(zhuǎn)化為以a為底的指數(shù)冪的形式，再借助函數(shù)y＝ax的單調(diào)性求解．1.若x滿足不等式2x2＋1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x－2)，則函數(shù)y＝2x的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8))) D．[2，＋∞)答案B解析將2x2＋1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x－2)化為x2＋1≤－2(x－2)，即x2＋2x－3≤0，解得x∈[－3，1]，所以2－3≤2x≤21，所以函數(shù)y＝2x的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)).2．方程4x＋|1－2x|＝11的解為_(kāi)_______．答案x＝log23解析當(dāng)x≥0時(shí)，原方程化為4x＋2x－12＝0，即(2x)2＋2x－12＝0，∴(2x－3)(2x＋4)＝0，∴2x＝3，即x＝log23；當(dāng)x<0時(shí)，原方程化為4x－2x－10＝0，令t＝2x，則t2－t－10＝0(0<t<1)．由求根公式得t＝eq\f(1±\r(41),2)均不符合題意，故x<0時(shí)，方程無(wú)解．綜上，原方程的解為x＝log23.角度指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例5(1)(2023·大慶二模)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(4x,2＋4x)，則()A．f(0.1)>f(0.2)B．函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)f(x)是偶函數(shù)D．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))對(duì)稱答案D解析函數(shù)f(x)＝eq\f(4x,2＋4x)的定義域?yàn)镽.對(duì)于A，函數(shù)f(x)＝eq\f(4x,2＋4x)＝1－eq\f(2,2＋4x)，函數(shù)y＝4x在R上為增函數(shù)，易得f(x)在R上為增函數(shù)，則有f(0.1)<f(0.2)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，f(x)＝eq\f(4x,2＋4x)，有4x>0，則有f(x)>0，所以f(x)沒(méi)有零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，f(1)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，f(－1)＝eq\f(4－1,2＋4－1)＝eq\f(1,9)，所以f(1)≠f(－1)，f(x)不是偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閒(x)＝eq\f(4x,2＋4x)，所以f(1－x)＝eq\f(41－x,2＋41－x)＝eq\f(4,2·4x＋4)＝eq\f(2,4x＋2)，所以f(x)＋f(1－x)＝1，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))對(duì)稱，D正確．故選D.(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(ax2－4x＋3)(a∈R)．若a＝－1，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_______；若f(x)的值域是(0，＋∞)，則a＝________．答案[－2，＋∞)0解析當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－x2－4x＋3)，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2]上單調(diào)遞增，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞減，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(t)在R上單調(diào)遞減，所以f(x)在(－∞，－2]上單調(diào)遞減，在[－2，＋∞)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[－2，＋∞)．令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(h（x）)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(h（x）)的值域?yàn)?0，＋∞)．應(yīng)使h(x)＝ax2－4x＋3的值域?yàn)镽，因此只能a＝0(因?yàn)槿鬭≠0，則h(x)為二次函數(shù)，其值域不可能為R)，故f(x)的值域?yàn)?0，＋∞)時(shí)，a的值為0.指數(shù)函數(shù)綜合問(wèn)題的處理策略(1)涉及最值(或值域)的問(wèn)題，通常要先對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行變形，然后逐步求函數(shù)的最值．(2)涉及單調(diào)性的問(wèn)題，一方面要注意底數(shù)對(duì)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響；另一方面要注意借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．1.若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)滿足f(1)＝eq\f(1,9)，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]答案B解析由f(1)＝eq\f(1,9)，得a2＝eq\f(1,9)，所以a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,3)(舍去)，即f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(|2x－4|)，由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上單調(diào)遞減，在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(－∞，2]上單調(diào)遞增，在[2，＋∞)上單調(diào)遞減．故選B.2．(2023·銀川校聯(lián)考二模)已知函數(shù)f(x)＝4x－2x＋2－1，x∈[0，3]，則其值域?yàn)開(kāi)_______．答案[－5，31]解析令t＝2x，∵x∈[0，3]，∴1≤t≤8，∴g(t)＝t2－4t－1＝(t－2)2－5，t∈[1，8]，又y＝g(t)的圖象關(guān)于直線t＝2對(duì)稱，開(kāi)口向上，∴g(t)在[1，2)上單調(diào)遞減，在(2，8]上單調(diào)遞增，且|8－2|>|2－1|，∴當(dāng)t＝2時(shí)，函數(shù)取得最小值，即g(t)min＝－5，當(dāng)t＝8時(shí)，函數(shù)取得最大值，即g(t)max＝31，∴f(x)的值域?yàn)閇－5，31]．課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．化簡(jiǎn)eq\f(2c,3a)eq\r(4,\f(81a5b2,16c4))(a>0，c<0)的結(jié)果為()A．±eq\r(4,ab2) B．－eq\r(4,ab2)C．－eq\r(ab2) D.eq\r(ab2)答案B解析原式＝eq\f(2c,3a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(81a5b2,16c4)))eq\s\up7(\f(1,4))＝eq\f(2c,3a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(34a5b2,24c4)))eq\s\up7(\f(1,4))＝eq\f(2c,3a)·eq\f(3a（ab2）\s\up7(\f(1,4)),－2c)＝－eq\r(4,ab2).故選B.2．(a2－a＋2)－x－1<(a2－a＋2)2x＋5的解集為()A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)答案D解析∵a2－a＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(7,4)>1，∴－x－1<2x＋5，∴x>－2.故選D.3．(2024·滁州模擬)函數(shù)f(x)＝xa－2與g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))eq\s\up12(－x)在(0，＋∞)上均單調(diào)遞減的一個(gè)充分不必要條件是()A．a(chǎn)∈(0，2) B．a(chǎn)∈[0，1)C．a(chǎn)∈[1，2) D．a(chǎn)∈(1，2]答案C解析函數(shù)f(x)＝xa－2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，可得a－2<0，即a<2；函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))eq\s\up12(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)))eq\s\up12(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，可得0<eq\f(a,4)<1，解得0<a<4，若函數(shù)f(x)＝xa－2與g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))eq\s\up12(－x)均單調(diào)遞減，可得0<a<2，由題意可得所求區(qū)間真包含于(0，2)，結(jié)合選項(xiàng)，函數(shù)f(x)＝xa－2與g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))eq\s\up12(－x)均單調(diào)遞減的一個(gè)充分不必要條件是a∈[1，2)．故選C.4．(2023·南昌模擬)草莓中有多種氨基酸、微量元素、維生素，能夠調(diào)節(jié)免疫功能，增強(qiáng)機(jī)體免疫力．草莓味甘、性涼，有潤(rùn)肺生津，健脾養(yǎng)胃等功效，受到眾人的喜愛(ài)．根據(jù)草莓單果的重量，可將其從小到大依次分為4個(gè)等級(jí)，其等級(jí)x(x＝1，2，3，4)與其對(duì)應(yīng)等級(jí)的市場(chǎng)銷售單價(jià)y(單位：元/千克)近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝eax＋b.若花同樣的錢買到的1級(jí)草莓比4級(jí)草莓多1倍，且1級(jí)草莓的市場(chǎng)銷售單價(jià)為24元/千克，則3級(jí)草莓的市場(chǎng)銷售單價(jià)最接近(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3,2)≈1.26，eq\r(3,4)≈1.59)()A．30.24元/千克 B．33.84元/千克C．38.16元/千克 D．42.64元/千克答案C解析由題意可知eq\f(e4a＋b,ea＋b)＝e3a＝2，ea＝eq\r(3,2)，由ea＋b＝24，則e3a＋b＝ea＋b·e2a＝24e2a＝24×eq\r(3,4)≈38.16.故選C.5．(2023·唐山模擬)不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)≤eq\r(x)的解集是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))答案B解析在同一坐標(biāo)系中作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，y＝eq\r(x)的圖象，如圖所示，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＝eq\r(x)得x＝eq\f(1,2)，結(jié)合圖象知，不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)≤eq\r(x)的解集是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).6．(2024·鹽城模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝3x＋b，函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，則g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,9))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,9)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))答案A解析由函數(shù)f(x)＝3x＋b的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，可得b<－1，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)＝3b－3b－1＝3b·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(2,3)·3b<eq\f(2,3)×3－1＝eq\f(2,9)，又因?yàn)閑q\f(2,3)·3b>0，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,9))).故選A.7．若關(guān)于x的方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(|x|)＋a－2＝0有解，則a的取值范圍是()A．[0，1) B．[1，2)C．[1，＋∞) D．(2，＋∞)答案B解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(|x|)＋a－2＝0有解等價(jià)于2－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(|x|)有解．因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(|x|)的值域?yàn)?0，1]，所以0<2－a≤1，解得1≤a<2.8．(2023·全國(guó)甲卷)已知函數(shù)f(x)＝e－(x－1)2.記a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))，則()A．b＞c＞a B．b＞a＞cC．c＞b＞a D．c＞a＞b答案A解析函數(shù)f(x)＝e－(x－1)2是由函數(shù)y＝eu和u＝－(x－1)2復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，y＝eu為R上的增函數(shù)，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．易知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(6),2)))，又eq\f(\r(2),2)＜2－eq\f(\r(6),2)＜eq\f(\r(3),2)＜1，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(6),2)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))，所以b＞c＞a.故選A.二、多項(xiàng)選擇題9．(2024·福建師大附中高三月考)已知函數(shù)f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋b的圖象過(guò)原點(diǎn)，且無(wú)限接近直線y＝2，但又不與該直線相交，則下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)＋b＝0B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，則x＋y＝0C．若x＜y＜0，則f(x)＜f(y)D．f(x)的值域?yàn)閇0，2)答案ABD解析∵f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋b的圖象過(guò)原點(diǎn)，∴a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)＋b＝0，∴a＋b＝0，故A正確；由f(x)的圖象無(wú)限接近直線y＝2，但又不與該直線相交，則b＝2，又a＋b＝0，則a＝－2，則f(x)＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋2，其定義域?yàn)镽，∵f(－x)＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋2＝f(x)，則f(x)是偶函數(shù)，∵f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，在(－∞，0)上為減函數(shù)，∴若f(x)＝f(y)，且x≠y，則x＝－y，x＋y＝0，故B正確；∵f(x)在(－∞，0)上為減函數(shù)，∴當(dāng)x＜y＜0時(shí)，f(x)＞f(y)，故C錯(cuò)誤；∵0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)≤1，∴－2≤－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)<0，∴0≤－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋2＜2，∴f(x)的值域?yàn)閇0，2)，故D正確．故選ABD.10．(2023·淄博模擬)關(guān)于函數(shù)f(x)＝eq\f(1,4x＋2)的性質(zhì)，下列說(shuō)法中正確的是()A．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽B．函數(shù)f(x)的值域?yàn)?0，＋∞)C．方程f(x)＝x有且只有一個(gè)實(shí)根D．函數(shù)f(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形答案ACD解析函數(shù)f(x)＝eq\f(1,4x＋2)的定義域?yàn)镽，所以A正確；因?yàn)閥＝4x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(1,4x＋2)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以方程f(x)＝x只有一個(gè)實(shí)根，所以B不正確，C正確；因?yàn)閒(x＋1)＋f(－x)＝eq\f(1,4x＋1＋2)＋eq\f(1,4－x＋2)＝eq\f(1,4·4x＋2)＋eq\f(4x,2·4x＋1)＝eq\f(1,2)，所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))對(duì)稱，所以D正確．故選ACD.11．(2024·武漢質(zhì)量評(píng)估)若實(shí)數(shù)a，b滿足2a＋3a＝3b＋2b，則下列關(guān)系式中可能成立的是()A．0<a<b<1 B．b<a<0C．1<a<b D．a(chǎn)＝b答案ABD解析設(shè)f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，f(x)和g(x)在(－∞，＋∞)上均為增函數(shù)，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)<g(x)；當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)<g(x)．由函數(shù)f(x)與g(x)的圖象可知(圖略)，若f(a)＝2a＋3a＝3b＋2b＝g(b)，則b<a<0或0<a<b<1或1＜b＜a或a＝b.故選ABD.三、填空題12．(2023·長(zhǎng)沙一模)使得“2x>4x2”成立的一個(gè)充分條件是________．答案0<x<eq\f(1,4)(答案不唯一)解析由于4x2＝22x2，故2x>4x2等價(jià)于x>2x2，解得0<x<eq\f(1,2)，使得“2x>4x2”成立的一個(gè)充分條件只需為集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))))的子集即可，故答案可以為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,4))))).13．(2024·皖江名校模擬)已知函數(shù)f(x)＝a|x＋1|(a