第07講 函數(shù)模型及其應用（教師版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page第07講函數(shù)模型及其應用（3類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2023年新I卷，第10題,5分對數(shù)函數(shù)模型的應用對數(shù)的運算性質(zhì)的應用由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會結合其他函數(shù)知識點考查，需要掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，難度中等偏下，分值為5分【備考策略】1.會選擇合適的函數(shù)類型來模擬實際問題的變化規(guī)律.2.會比較一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異3.了解函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應用【命題預測】本節(jié)內(nèi)容通常考查給定實際問題選擇用合適的函數(shù)解析式來模擬或求對應的實際應用值，是新高考復習的重要內(nèi)容知識講解1．三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同2.常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)3．解函數(shù)模型問題的步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型．(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型．(3)解模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論．(4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題．以上過程用框圖表示如下：考點一、指數(shù)函數(shù)模型1．（山東·高考真題）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)（

）A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為天，根據(jù)，解得即可得結果.【詳解】因為，，，所以，所以，設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為天，則，所以，所以，所以天.故選：B.【點睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應用，考查了指數(shù)式化對數(shù)式，屬于基礎題.2．（2024·陜西安康·模擬預測）半導體的摩爾定律認為，集成電路芯片上的晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，用表示從開始，晶體管數(shù)量隨時間變化的函數(shù)，，若是以年為單位，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，也就是晶體管數(shù)量每兩年增加一倍，可得為指數(shù)型函數(shù)，即可判斷.【詳解】晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，也就是晶體管數(shù)量每兩年增加一倍，根據(jù)時間以年為單位，以及，得.故選：C．3．（2024高三下·全國·專題練習）小微企業(yè)是推進創(chuàng)業(yè)富民、恢復市場活力、引領科技創(chuàng)新的主力軍，一直以來，融資難、融資貴制約著小微企業(yè)的發(fā)展活力.某銀行根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了小微企業(yè)實際還款比例與小微企業(yè)的年收入（單位：萬元）的關系為.已知小微企業(yè)的年收入為80萬元時，其實際還款比例為，若銀行希望實際還款比例為，則小微企業(yè)的年收入約為（參考數(shù)據(jù)：，1）（

）A．46.49萬元 B．53.56萬元 C．64.43萬元 D．71.12萬元【答案】A【分析】先根據(jù)題中數(shù)據(jù)代入計算函數(shù)中參數(shù)的值，然后計算還款比例為時的值即可.【詳解】由題意知，化簡得，故，得.則當時，，化簡得，兩邊同時取對數(shù)，得，得，故當實際還款比例為時，小微企業(yè)的年收入約為46.49萬元.故選：A1．（2024·湖南益陽·三模）二手汽車價位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計算車價位，即按照同款新車裸車價格，第一年汽車貶值20%，從第二年開始每年貶值10%．剛參加工作的小明打算買一輛約5年的二手車，價格不超過8萬元．根據(jù)年限折舊法，設小明可以考慮的同款新車裸車最高價位是萬，則（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【分析】根據(jù)題意，列出不等式，解之并取近似值，即得的值.【詳解】依題意，，解得，則，又，則.故選：C.2．（2024·廣東茂名·一模）Gompertz曲線用于預測生長曲線的回歸預測，常見的應用有：代謝預測，腫瘤生長預測，有限區(qū)域內(nèi)生物種群數(shù)量預測，工業(yè)產(chǎn)品的市場預測等，其公式為：（其中，為參數(shù)）.某研究員打算利用該函數(shù)模型預測公司新產(chǎn)品未來的銷售量增長情況，發(fā)現(xiàn).若表示該新產(chǎn)品今年的年產(chǎn)量，估計明年的產(chǎn)量將是今年的倍，那么的值為（為自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，得到，分別代入、，得到和的值，進而得到，求解即可.【詳解】由，得到，當時，；當時，.依題意，明年的產(chǎn)量將是今年的倍，得：，，即，解得.，.故選：A.3．（2024·四川德陽·三模）如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進了社會經(jīng)濟發(fā)展和資源整合．已知某類果蔬的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關系．(a，b．為常數(shù))，若該果蔬在7℃的保鮮時間為288小時，在21℃的保鮮時間為32小時，且該果蔬所需物流時間為4天，則物流過程中果蔬的儲藏溫度(假設物流過程中恒溫)最高不能超過（

）A．14℃ B．15℃ C．13℃ D．16℃【答案】A【分析】根據(jù)給定的函數(shù)模型建立方程組，再列出不等式即可求解.【詳解】依題意，，則，即，顯然，設物流過程中果蔬的儲藏溫度為t℃，于是，解得，因此，所以物流過程中果蔬的儲藏溫度最高不能超過14℃.故選：A考點二、對數(shù)函數(shù)模型1．（2024·湖南長沙·三模）地震震級通常是用來衡量地震釋放能量大小的數(shù)值，里氏震級最早是由查爾斯?里克特提出的，其計算基于地震波的振幅，計算公式為，其中表示某地地震的里氏震級，表示該地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅，表示這次地震中的標準地震振幅.假設在一次地震中，某地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅為5000，且這次地震的標準地震振幅為0.002，則該地這次地震的里氏震級約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．6.3級 B．6.4級 C．7.4級 D．7.6級【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到，結合對數(shù)的運算法則，即可求解.【詳解】由題意，某地地震波的最大振幅為，且這次地震的標準地震振幅為，可得.故選：B.2．（2024·山東泰安·模擬預測）青少年視力問題是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足．已知小明和小李視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)分別為和，記小明和小李視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)分別為，則的值所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，建立方程，結合對數(shù)運算求解即得.【詳解】依題意，，兩式相減得，解得，所以.故選：D3．（2023·全國·高考真題）（多選）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車10混合動力汽車10電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意可知，結合對數(shù)運算逐項分析判斷.【詳解】由題意可知：，對于選項A：可得，因為，則，即，所以且，可得，故A正確；對于選項B：可得，因為，則，即，所以且，可得，當且僅當時，等號成立，故B錯誤；對于選項C：因為，即，可得，即，故C正確；對于選項D：由選項A可知：，且，則，即，可得，且，所以，故D正確；故選：ACD.1．（2024·重慶·模擬預測）物理學家本·福特提出的定律：在進制的大量隨機數(shù)據(jù)中，以開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，應用此定律可以檢測某些經(jīng)濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)是否存在造假或錯誤．根據(jù)此定律，在十進制的大量隨機數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率大約是以9開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率的（

）倍（參考數(shù)據(jù)：A．5.5 B．6 C．6.5 D．7【答案】C【分析】根據(jù)題意，分別求得，結合對數(shù)的運算法則，即可求解.【詳解】由題意，以開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，可得，所以.故選：C.2．（2024·江西·二模）核酸檢測分析是用熒光定量法，通過化學物質(zhì)的熒光信號，對在擴增進程中成指數(shù)級增加的靶標實時監(jiān)測，在擴增的指數(shù)時期，熒光信號強度達到閥初始數(shù)值時，的數(shù)量與擴增次數(shù)滿足，其中為的初始數(shù)量，為擴增效率．已知某被測標本擴增次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼谋叮瑒t擴增效率約為（

）參考數(shù)據(jù)：A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，代入關系式，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)及指數(shù)與對數(shù)的關系計算可得．【詳解】由題意知，，即，即，所以，則，解得．故選：D．3．（2024·四川·模擬預測）2023年6月22日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實現(xiàn)時速自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內(nèi)噪聲更小．如果用聲強（單位：）表示聲音在傳播途徑中每平方米上的聲能流密度，聲強級（單位：）與聲強的函數(shù)關系式為，其中為基準聲強級，為常數(shù)，當聲強時，聲強級．下表為不同列車聲源在距離處的聲強級：聲源與聲源的距離（單位：）聲強級范圍內(nèi)燃列車20電力列車20高速列車20設在離內(nèi)燃列車?電力列車?高速列車處測得的實際聲強分別為，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)聲強、聲強級之間的關系確定基準聲強級，即可判斷A；計算可得大小關系，即可判斷B，D；計算可得大小關系，即可判斷.【詳解】對于：因為聲強時，聲強級，所以，解得，故錯誤；對于B：因為，所以，即，故B正確；對于C：，所以，即，故C不正確；對于D，，所以，即，故D不正確．故選：B．考點三、建立擬合函數(shù)模型解決實際問題1．（全國·高考真題）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：.設，由于的值很小，因此在近似計算中，則r的近似值為A． B．C． D．【答案】D【分析】本題在正確理解題意的基礎上，將有關式子代入給定公式，建立的方程，解方程、近似計算．題目所處位置應是“解答題”，但由于題干較長，易使考生“望而生畏”，注重了閱讀理解、數(shù)學式子的變形及運算求解能力的考查．【詳解】由，得因為，所以，即，解得，所以【點睛】由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點之二是復雜式子的變形出錯．2．（2024·陜西商洛·模擬預測）人工智能（ArtificialIntelligence），英文縮寫為AI.它是研究?開發(fā)用于模擬?延伸和擴展人的智能的理論?方法?技術及應用系統(tǒng)的一門新的技術科學.人工智能研究的一個主要目標是使機器能夠勝任一些通常需要人類智能才能完成的復雜工作.在疫情期間利用機器人配送?機器人測控體溫等都是人工智能的實際運用.某研究人工智能的新興科技公司第一年年初有資金5000萬元，并將其全部投入生產(chǎn)，到當年年底資金增長了，預計以后每年資金年增長率與第一年相同.公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底各項人員工資?稅務等支出合計1500萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設第年年底企業(yè)除去各項支出資金后的剩余資金為萬元，第年年底企業(yè)的剩余資金超過21000萬元，則整數(shù)的最小值為.【答案】6【分析】由題意中的遞推，得證數(shù)列是以3000為首項，為公比的等比數(shù)列，求出通項后解不等式即可.【詳解】由題意得，，.即，，數(shù)列是以3000為首項，為公比的等比數(shù)列，即，，即，，，所以的最小值為6.故答案為：6.1．（2024·重慶·二模）英國經(jīng)濟學家凱恩斯（1883-1946）研究了國民收入支配與國家經(jīng)濟發(fā)展之間的關系，強調(diào)政府對市場經(jīng)濟的干預，并形成了現(xiàn)代西方經(jīng)濟學的一個重要學派一凱恩斯學派.機恩斯抽象出三個核心要素：國民收入，國民消費和國民投資，假設國民收入不是用于消費就是用于投資，就有：.其中常數(shù)表示房租?水電等固定消費，為國民“邊際消費傾向”.則（

）A．若固定且，則國民收入越高，“邊際消費傾向”越大B．若固定且，則“邊際消費傾向”越大，國民投資越高C．若，則收入增長量是投資增長量的5倍D．若，則收入增長量是投資增長量的【答案】AC【分析】利用已知可得，可判斷A；由，可判斷B；若，可得，由導數(shù)的意義可判斷C；同理可判斷D.【詳解】由題意可得固定且，又，所以，所以，由于為定值，所以可得增大時(國民收入越高)，增大(“邊際消費傾向”越大)，故A正確；由上可得，為定值，故增大，減小(投資越小)，故B錯誤；若，由，可得，由導數(shù)的定義可得，所以可得收入增長量是投資增長量的倍，故C正確；同C項討論可得若，可得，因此收入增長量是投資增長量的倍，故D錯誤.故選：AC.2．（2024·北京朝陽·二模）假設某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力滿足公式，其中是空氣密度，是該飛行器的迎風面積，是該飛行器相對于空氣的速度，是空氣阻力系數(shù)（其大小取決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率.當不變，比原來提高時，下列說法正確的是（

）A．若不變，則比原來提高不超過B．若不變，則比原來提高超過C．為使不變，則比原來降低不超過D．為使不變，則比原來降低超過【答案】C【分析】由題意可得，，結合選項，依次判斷即可.【詳解】由題意，，所以，，A：當，不變，比原來提高時，則，所以比原來提高超過，故A錯誤；B：由選項A的分析知，，所以比原來提高不超過，故B錯誤；C：當，不變，比原來提高時，，所以比原來降低不超過，故C正確；D：由選項C的分析知，比原來降低不超過，故D錯誤.故選：C一、單選題1．（2024·河南三門峽·模擬預測）研究表明，地震時釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關系為.2024年1月30日在新疆克孜勒蘇州阿合奇縣發(fā)生了里氏5.7級地震，所釋放的能量記為年1月13日在湯加群島發(fā)生了里氏5.2級地震，所釋放的能量記為，則比值的整數(shù)部分為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】由對數(shù)運算性質(zhì)可得，進而可得，結合可得結果.【詳解】由已知得，所以，所以，因為，所以，所以.故選：B.2．（2024·北京昌平·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關，經(jīng)驗表明，某種綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20℃室溫下，茶水溫度從90℃開始，經(jīng)過tmin后的溫度為，可選擇函數(shù)來近似地刻畫茶水溫度隨時間變化的規(guī)律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達到最佳飲用口感時，需要放置的時間最接近的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C．6min D．【答案】B【分析】令，則，兩邊同時取對將代入即可得出答案.【詳解】由題可知，函數(shù)，令，則，兩邊同時取對可得：，即，即.故選：B.3．（2024·陜西安康·模擬預測）若一段河流的蓄水量為立方米，每天水流量為立方米，每天往這段河流排水立方米的污水，則天后河水的污染指數(shù)為初始值，．現(xiàn)有一條被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以當前的污染指數(shù)為初始值，若從現(xiàn)在開始停止排污水，要使河水的污染指數(shù)下降到初始值的，需要的天數(shù)大約是（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．98 B．105 C．117 D．130【答案】C【分析】由已知化簡函數(shù)式得，再利用約天后，河水的污染指數(shù)下降到初始值的，可得方程，然后兩邊取對數(shù)得，最后利用已知的對數(shù)值可計算得到結果.【詳解】由題意可知：，，所以設約天后，河水的污染指數(shù)下降到初始值的，即，所以，故選：C.4．（2024·四川涼山·三模）工廠廢氣排放前要過濾廢氣中的污染物再進行排放，廢氣中污染物含量（單位：mg/L）與過濾時間小時的關系為（，均為正的常數(shù)）．已知前5小時過濾掉了10%污染物，那么當污染物過濾掉50%還需要經(jīng)過（

）（最終結果精確到1h，參考數(shù)據(jù)：，）A．43h B．38h C．33h D．28h【答案】D【分析】先確定廢氣中初始污染物含量，由題意求出常數(shù)，即可解出．【詳解】∵廢氣中污染物含量與過濾時間小時的關系為，令，得廢氣中初始污染物含量為，又∵前5小時過濾掉了10%污染物，∴，則，∴當污染物過濾掉50%時，，則，∴當污染物過濾掉50%還需要經(jīng)過.故選：D.5．（2024·江西·模擬預測）酒駕最新標準規(guī)定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，達到及以上認定為醉酒駕車．如果某駕駛員酒后血液中酒精濃度為，從此刻起停止飲酒，血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個小時才能駕駛？（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】由題意得到不等式，兩邊取對數(shù)求出答案.【詳解】由．即，兩邊取對數(shù)可得，，故至少經(jīng)過7個小時才能駕駛.故選：B6．（2024·全國·模擬預測）某農(nóng)業(yè)研究所對玉米幼穗的葉齡指數(shù)與可見葉片數(shù)進行分析研究，其關系可以用函數(shù)（為常數(shù)）表示．若玉米幼穗在伸長期可見葉片為7片，葉齡指數(shù)為30，則當玉米幼穗在四分體形成期葉齡指數(shù)為82.5時，可見葉片數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【分析】利用函數(shù)，由題意已知，求出待定系數(shù)，再用，去求解，當然這里面有取自然對數(shù)及取值計算.【詳解】由題意知，，則等式兩邊同時取自然對數(shù)得，，．，，，，故選：C．7．（2024·全國·模擬預測）青少年視力問題是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足．已知小明和小李視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)分別為4.5和4.9，記小明和小李視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)分別為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到方程組，求出，根據(jù)得到.【詳解】依題意，，兩式相減可得，，故，而，故.故選：C．8．（2024·江蘇·模擬預測）盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關系為.2008年5月12日我國汶川發(fā)生里氏8.0級地震，它所釋放出來的能量是2024年4月3日我國臺灣發(fā)生里氏7.0級地震的（

）倍A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意分別求得震級和時的釋放的能量，進而求得兩次地震釋放的能量比.【詳解】設里氏震級時釋放的能量為，里氏震級時釋放的能量為，則，，所以，，所以，即2008年5月12日汶川地震釋放出的能量是2024年4月3日我國臺灣發(fā)生的地震釋放的能量的倍，故選：C.9．（2024·寧夏吳忠·模擬預測）從甲地到乙地的距離約為240km，經(jīng)多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量（單位：L）與速度（單位：km/h）（）的下列數(shù)據(jù)：04060801200.0006.6678.12510.00020.000為描述汽車每小時耗油量與速度的關系，則下列四個函數(shù)模型中，最符合實際情況的函數(shù)模型是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出散點圖，根據(jù)單調(diào)性和定義域即可得解.【詳解】作出散點圖，由圖可知函數(shù)模型滿足：第一，定義域為；第二，在定義域單調(diào)遞增且單位增長率變快；第三，函數(shù)圖象過原點.A選項：函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故A錯誤；B選項：函數(shù)的單位增長率恒定不變，故B錯誤；C選項：滿足上述三點，故C正確；D選項：函數(shù)在處無意義，D錯誤.故選：C10．（2024·寧夏銀川·一模）鋰電池在存放過程中會發(fā)生自放電現(xiàn)象，其電容量損失量隨時間的變化規(guī)律為，其中Q（單位）為電池容量損失量，p是時間t的指數(shù)項，反映了時間趨勢由反應級數(shù)決定，k是方程剩余項未知參數(shù)的組合，與溫度T和電池初始荷電狀態(tài)M等自放電影響因素有關．以某種品牌鋰電池為研究對象，經(jīng)實驗采集數(shù)據(jù)進行擬合后獲得，相關統(tǒng)計學參數(shù)，且預測值與實際值誤差很?。谘芯縈對Q的影響時，其他參量可通過控制視為常數(shù)，電池自放電容量損失量隨時間的變化規(guī)律為，經(jīng)實驗采集數(shù)據(jù)進行擬合后獲得，相關統(tǒng)計學參數(shù)，且預測值與實際值誤差很?。粼撈放齐姵爻跏己呻姞顟B(tài)為，存放16天后，電容量損失量約為（

）（參考數(shù)據(jù)為：）A．100.32 B．101.32 C．105.04 D．150.56【答案】C【分析】根據(jù)題意，得到，將，，結合題中所給數(shù)據(jù)加以計算，即可得到存放16天后電容量損失量近似值.【詳解】根據(jù)題意，可得，代入，可得，因為該品牌電池初始荷電狀態(tài)，所以存放16天后，電容量損失量.故選：C.一、單選題1．（2024·陜西渭南·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.經(jīng)研究可知：在室溫下，某種綠茶用的水泡制，經(jīng)過后茶水的溫度為，且.當茶水溫度降至時飲用口感最佳，此時茶水泡制時間大約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C．8min D．【答案】B【分析】根據(jù)初始條件求得參數(shù)，然后利用已知函數(shù)關系求得口感最佳時泡制的時間．【詳解】由題意可知，當時，，則，解得，所以，當時，，即，則，所以茶水泡制時間大的為7min.故選：B.2．（2024·河北邯鄲·模擬預測）中國地震臺網(wǎng)測定：2024年4月3日，中國臺灣花蓮縣海域發(fā)生里氏7.3級地震.已知地震時釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關系為，2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級地震，則它所釋放出來的能量約是中國臺灣花蓮縣海域發(fā)生里氏7.3級地震的多少倍？（

）A．98 B．105 C．355 D．463【答案】C【分析】利用指對數(shù)的互化可得分別求兩次地震的能量，再應用指數(shù)的運算性質(zhì)求地震能量的倍數(shù).【詳解】由題設，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級地震所釋放出來的能量，中國臺灣花蓮縣海域發(fā)生里氏7.3級地震所釋放出來的能量，所以.故選：C.3．（2024·福建福州·模擬預測）當藥品注射到人體內(nèi)，它在血液中的殘余量會以每小時的速度減少，另一種藥物注射到人體內(nèi)，它在血液中的殘余量會以每小時的速度減少．現(xiàn)同時給兩位患者分別注射藥品A和藥品B，當兩位患者體內(nèi)藥品的殘余量恰好相等時，所經(jīng)過的時間約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】C【分析】設經(jīng)過小時后兩位患者體內(nèi)藥品的殘條量恰好相等，根據(jù)題意列方程，再由對數(shù)的運算性質(zhì)計算可得．【詳解】設經(jīng)過小時后兩位患者體內(nèi)藥品的殘條量恰好相等，由題意得：，整理得：，兩邊取常用對數(shù)得：，即，即，所以，即，所以大約經(jīng)過時，兩位患者體內(nèi)藥品的殘余量恰好相等．故選：C．4．（2024·浙江杭州·二模）某外來入侵植物生長迅速，繁殖能力強，大量繁殖會排擠本地植物，容易形成單一優(yōu)勢種群，導致原有植物種群的衰退甚至消失，使當?shù)厣鷳B(tài)系統(tǒng)的物種多樣性下降，從而破壞生態(tài)平衡.假如不加控制，它的總數(shù)量每經(jīng)過一年就增長一倍.則該外來入侵植物由入侵的1株變成100萬株大約需要（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．40年 B．30年 C．20年 D．10年【答案】C【分析】設該外來入侵植物由入侵的1株變成100萬株大約需要年，根據(jù)題意列出方程，再根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可.【詳解】設該外來入侵植物由入侵的1株變成100萬株大約需要年，由題意知，，即，所以，即由入侵的1株變成100萬株大約需要20年.故選：C.5．（23-24高三上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣.按照國家標準，教室內(nèi)空氣中二氧化碳日平均最高容許濃度應不超過.經(jīng)測定，剛下課時，空氣中含有的二氧化碳，若開窗通風后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且隨時間（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達到國家標準至少需要的時間為（參考數(shù)據(jù)：）（）A．11分鐘 B．13分鐘 C．15分鐘 D．17分鐘【答案】B【分析】由題意解出解析式中的參數(shù)，后解對數(shù)不等式求解即可.【詳解】由題意得，當時，，將其代入解析式，解得，故解析式為，令，解得，化簡得，結合，可得，所以該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達到國家標準至少需要的時間為13分鐘.故選：B.二、多選題6．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）科學研究表明，物體在空氣中冷卻的溫度變化是有規(guī)律的．如果物體的初始溫度為，空氣溫度保持不變，則t分鐘后物體的溫度（單位：）滿足：．若空氣溫度為，該物體溫度從（）下降到，大約所需的時間為，若該物體溫度從，下降到，大約所需的時間分別為，則（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】BC【分析】當時，可求得，繼而求得，逐項判定即可.【詳解】有題意可知，，當，則，即，，則，其是關于的單調(diào)遞增函數(shù)，當時，，當時，，則，故B正確；當時，，故A錯誤；當時，，此時滿足，，故C正確，D錯誤，故選：BC.7．（2024·遼寧·二模）半導體的摩爾定律認為，集成電路芯片上的晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，用表示從開始，晶體管數(shù)量隨時間變化的函數(shù)，若，則下面選項中，符合摩爾定律公式的是（

）A．若是以月為單位，則B．若是以年為單位，則C．若是以月為單位，則D．若是以年為單位，則【答案】BC【分析】對AC，計算，滿足，，，可確定，對CD，計算，滿足，，，可確定．【詳解】選項A，，，A不符合；選項B，，，，，符合；選項C，，則，，，，，符合，選項D，，，，，不符合．故選：BC．8．（2024·湖南長沙·模擬預測）氚，亦稱超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核由一個質(zhì)子和兩個中子組成，并帶有放射性，會發(fā)生衰變，其半衰期是12.43年.樣本中氚的質(zhì)量隨時間(單位:年)的衰變規(guī)律滿足，其中表示氚原有的質(zhì)量，則（

）(參考數(shù)據(jù):)A．B．經(jīng)過年后，樣本中的氚元素會全部消失C．經(jīng)過年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉淼腄．若年后，樣本中氚元素的含量為，則【答案】CD【分析】利用給定式子進行化簡判斷A，代入求值判斷B，C，解方程求出，再判斷D即可.【詳解】由題意得，故有，左右同時取對數(shù)得，故得，故A錯誤，當時，，故B錯誤，而當時，，得到經(jīng)過年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉淼?，故C正確，由題意得，化簡得，，將代入其中，可得，故D正確.故選：CD三、填空題9．（2024·廣東廣州·模擬預測）“阿托秒”是一種時間的國際單位，“阿托秒”等于秒，原子核內(nèi)部作用過程的持續(xù)時間可用“阿托秒”表示.《莊子?天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，如果把“一尺之棰”的長度看成1米，按照此法，至少需要經(jīng)過天才能使剩下“棰”的長度小于光在2“阿托秒”內(nèi)走過的距離.（參考數(shù)據(jù)：光速為米/秒，）【答案】31【分析】依題意可得尺子經(jīng)過天后，剩余的長度米，結合對數(shù)運算可得結果.【詳解】依題意，光在2“阿托秒”內(nèi)走的距離為米，經(jīng)過天后，剩余的長度米，由，得，兩邊同時取對數(shù)，得，而，則，所以至少需要經(jīng)過31天才能使其長度小于光在2“阿托秒”內(nèi)走的距離.故答案為：31.10．（2024·河南洛陽·模擬預測）在高度為的豎直墻壁面上有一電子眼，已知到天花板的距離為