第07講 函數(shù)模型及其應(yīng)用（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第07講函數(shù)模型及其應(yīng)用（3類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新I卷，第10題,5分對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會(huì)結(jié)合其他函數(shù)知識(shí)點(diǎn)考查，需要掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，難度中等偏下，分值為5分【備考策略】1.會(huì)選擇合適的函數(shù)類型來模擬實(shí)際問題的變化規(guī)律.2.會(huì)比較一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異3.了解函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容通?？疾榻o定實(shí)際問題選擇用合適的函數(shù)解析式來模擬或求對應(yīng)的實(shí)際應(yīng)用值，是新高考復(fù)習(xí)的重要內(nèi)容知識(shí)講解1．三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同2.常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)3．解函數(shù)模型問題的步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型．(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論．(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題．以上過程用框圖表示如下：考點(diǎn)一、指數(shù)函數(shù)模型1．（山東·高考真題）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)（

）A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為天，根據(jù)，解得即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為天，則，所以，所以，所以天.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了指數(shù)式化對數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）半導(dǎo)體的摩爾定律認(rèn)為，集成電路芯片上的晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，用表示從開始，晶體管數(shù)量隨時(shí)間變化的函數(shù)，，若是以年為單位，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，也就是晶體管數(shù)量每兩年增加一倍，可得為指數(shù)型函數(shù)，即可判斷.【詳解】晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，也就是晶體管數(shù)量每兩年增加一倍，根據(jù)時(shí)間以年為單位，以及，得.故選：C．3．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）小微企業(yè)是推進(jìn)創(chuàng)業(yè)富民、恢復(fù)市場活力、引領(lǐng)科技創(chuàng)新的主力軍，一直以來，融資難、融資貴制約著小微企業(yè)的發(fā)展活力.某銀行根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了小微企業(yè)實(shí)際還款比例與小微企業(yè)的年收入（單位：萬元）的關(guān)系為.已知小微企業(yè)的年收入為80萬元時(shí)，其實(shí)際還款比例為，若銀行希望實(shí)際還款比例為，則小微企業(yè)的年收入約為（參考數(shù)據(jù)：，1）（

）A．46.49萬元 B．53.56萬元 C．64.43萬元 D．71.12萬元【答案】A【分析】先根據(jù)題中數(shù)據(jù)代入計(jì)算函數(shù)中參數(shù)的值，然后計(jì)算還款比例為時(shí)的值即可.【詳解】由題意知，化簡得，故，得.則當(dāng)時(shí)，，化簡得，兩邊同時(shí)取對數(shù)，得，得，故當(dāng)實(shí)際還款比例為時(shí)，小微企業(yè)的年收入約為46.49萬元.故選：A1．（2024·湖南益陽·三模）二手汽車價(jià)位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計(jì)算車價(jià)位，即按照同款新車裸車價(jià)格，第一年汽車貶值20%，從第二年開始每年貶值10%．剛參加工作的小明打算買一輛約5年的二手車，價(jià)格不超過8萬元．根據(jù)年限折舊法，設(shè)小明可以考慮的同款新車裸車最高價(jià)位是萬，則（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【分析】根據(jù)題意，列出不等式，解之并取近似值，即得的值.【詳解】依題意，，解得，則，又，則.故選：C.2．（2024·廣東茂名·一模）Gompertz曲線用于預(yù)測生長曲線的回歸預(yù)測，常見的應(yīng)用有：代謝預(yù)測，腫瘤生長預(yù)測，有限區(qū)域內(nèi)生物種群數(shù)量預(yù)測，工業(yè)產(chǎn)品的市場預(yù)測等，其公式為：（其中，為參數(shù)）.某研究員打算利用該函數(shù)模型預(yù)測公司新產(chǎn)品未來的銷售量增長情況，發(fā)現(xiàn).若表示該新產(chǎn)品今年的年產(chǎn)量，估計(jì)明年的產(chǎn)量將是今年的倍，那么的值為（為自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，得到，分別代入、，得到和的值，進(jìn)而得到，求解即可.【詳解】由，得到，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.依題意，明年的產(chǎn)量將是今年的倍，得：，，即，解得.，.故選：A.3．（2024·四川德陽·三模）如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合．已知某類果蔬的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系．(a，b．為常數(shù))，若該果蔬在7℃的保鮮時(shí)間為288小時(shí)，在21℃的保鮮時(shí)間為32小時(shí)，且該果蔬所需物流時(shí)間為4天，則物流過程中果蔬的儲(chǔ)藏溫度(假設(shè)物流過程中恒溫)最高不能超過（

）A．14℃ B．15℃ C．13℃ D．16℃【答案】A【分析】根據(jù)給定的函數(shù)模型建立方程組，再列出不等式即可求解.【詳解】依題意，，則，即，顯然，設(shè)物流過程中果蔬的儲(chǔ)藏溫度為t℃，于是，解得，因此，所以物流過程中果蔬的儲(chǔ)藏溫度最高不能超過14℃.故選：A考點(diǎn)二、對數(shù)函數(shù)模型1．（2024·湖南長沙·三模）地震震級通常是用來衡量地震釋放能量大小的數(shù)值，里氏震級最早是由查爾斯?里克特提出的，其計(jì)算基于地震波的振幅，計(jì)算公式為，其中表示某地地震的里氏震級，表示該地地震臺(tái)測振儀記錄的地震波的最大振幅，表示這次地震中的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅.假設(shè)在一次地震中，某地地震臺(tái)測振儀記錄的地震波的最大振幅為5000，且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為0.002，則該地這次地震的里氏震級約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．6.3級 B．6.4級 C．7.4級 D．7.6級【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】由題意，某地地震波的最大振幅為，且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為，可得.故選：B.2．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）青少年視力問題是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足．已知小明和小李視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)分別為和，記小明和小李視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)分別為，則的值所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，建立方程，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算求解即得.【詳解】依題意，，兩式相減得，解得，所以.故選：D3．（2023·全國·高考真題）（多選）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車10混合動(dòng)力汽車10電動(dòng)汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車處測得實(shí)際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可知：，對于選項(xiàng)A：可得，因?yàn)?，則，即，所以且，可得，故A正確；對于選項(xiàng)B：可得，因?yàn)?，則，即，所以且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，即，可得，即，故C正確；對于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：，且，則，即，可得，且，所以，故D正確；故選：ACD.1．（2024·重慶·模擬預(yù)測）物理學(xué)家本·福特提出的定律：在進(jìn)制的大量隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，應(yīng)用此定律可以檢測某些經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)是否存在造假或錯(cuò)誤．根據(jù)此定律，在十進(jìn)制的大量隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率大約是以9開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率的（

）倍（參考數(shù)據(jù)：A．5.5 B．6 C．6.5 D．7【答案】C【分析】根據(jù)題意，分別求得，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】由題意，以開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，可得，所以.故選：C.2．（2024·江西·二模）核酸檢測分析是用熒光定量法，通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號(hào)，對在擴(kuò)增進(jìn)程中成指數(shù)級增加的靶標(biāo)實(shí)時(shí)監(jiān)測，在擴(kuò)增的指數(shù)時(shí)期，熒光信號(hào)強(qiáng)度達(dá)到閥初始數(shù)值時(shí)，的數(shù)量與擴(kuò)增次數(shù)滿足，其中為的初始數(shù)量，為擴(kuò)增效率．已知某被測標(biāo)本擴(kuò)增次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼谋?，則擴(kuò)增效率約為（

）參考數(shù)據(jù)：A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，代入關(guān)系式，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系計(jì)算可得．【詳解】由題意知，，即，即，所以，則，解得．故選：D．3．（2024·四川·模擬預(yù)測）2023年6月22日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實(shí)現(xiàn)時(shí)速自動(dòng)駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內(nèi)噪聲更小．如果用聲強(qiáng)（單位：）表示聲音在傳播途徑中每平方米上的聲能流密度，聲強(qiáng)級（單位：）與聲強(qiáng)的函數(shù)關(guān)系式為，其中為基準(zhǔn)聲強(qiáng)級，為常數(shù)，當(dāng)聲強(qiáng)時(shí)，聲強(qiáng)級．下表為不同列車聲源在距離處的聲強(qiáng)級：聲源與聲源的距離（單位：）聲強(qiáng)級范圍內(nèi)燃列車20電力列車20高速列車20設(shè)在離內(nèi)燃列車?電力列車?高速列車處測得的實(shí)際聲強(qiáng)分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)聲強(qiáng)、聲強(qiáng)級之間的關(guān)系確定基準(zhǔn)聲強(qiáng)級，即可判斷A；計(jì)算可得大小關(guān)系，即可判斷B，D；計(jì)算可得大小關(guān)系，即可判斷.【詳解】對于：因?yàn)槁晱?qiáng)時(shí)，聲強(qiáng)級，所以，解得，故錯(cuò)誤；對于B：因?yàn)?，所以，即，故B正確；對于C：，所以，即，故C不正確；對于D，，所以，即，故D不正確．故選：B．考點(diǎn)三、建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題1．（全國·高考真題）2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行．點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，r滿足方程：.設(shè)，由于的值很小，因此在近似計(jì)算中，則r的近似值為A． B．C． D．【答案】D【分析】本題在正確理解題意的基礎(chǔ)上，將有關(guān)式子代入給定公式，建立的方程，解方程、近似計(jì)算．題目所處位置應(yīng)是“解答題”，但由于題干較長，易使考生“望而生畏”，注重了閱讀理解、數(shù)學(xué)式子的變形及運(yùn)算求解能力的考查．【詳解】由，得因?yàn)?，所以，即，解得，所以【點(diǎn)睛】由于本題題干較長，所以，易錯(cuò)點(diǎn)之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯(cuò)點(diǎn)之二是復(fù)雜式子的變形出錯(cuò)．2．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）人工智能（ArtificialIntelligence），英文縮寫為AI.它是研究?開發(fā)用于模擬?延伸和擴(kuò)展人的智能的理論?方法?技術(shù)及應(yīng)用系統(tǒng)的一門新的技術(shù)科學(xué).人工智能研究的一個(gè)主要目標(biāo)是使機(jī)器能夠勝任一些通常需要人類智能才能完成的復(fù)雜工作.在疫情期間利用機(jī)器人配送?機(jī)器人測控體溫等都是人工智能的實(shí)際運(yùn)用.某研究人工智能的新興科技公司第一年年初有資金5000萬元，并將其全部投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了，預(yù)計(jì)以后每年資金年增長率與第一年相同.公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底各項(xiàng)人員工資?稅務(wù)等支出合計(jì)1500萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第年年底企業(yè)除去各項(xiàng)支出資金后的剩余資金為萬元，第年年底企業(yè)的剩余資金超過21000萬元，則整數(shù)的最小值為.【答案】6【分析】由題意中的遞推，得證數(shù)列是以3000為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)后解不等式即可.【詳解】由題意得，，.即，，數(shù)列是以3000為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即，，即，，，所以的最小值為6.故答案為：6.1．（2024·重慶·二模）英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家凱恩斯（1883-1946）研究了國民收入支配與國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展之間的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)政府對市場經(jīng)濟(jì)的干預(yù)，并形成了現(xiàn)代西方經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)重要學(xué)派一凱恩斯學(xué)派.機(jī)恩斯抽象出三個(gè)核心要素：國民收入，國民消費(fèi)和國民投資，假設(shè)國民收入不是用于消費(fèi)就是用于投資，就有：.其中常數(shù)表示房租?水電等固定消費(fèi)，為國民“邊際消費(fèi)傾向”.則（

）A．若固定且，則國民收入越高，“邊際消費(fèi)傾向”越大B．若固定且，則“邊際消費(fèi)傾向”越大，國民投資越高C．若，則收入增長量是投資增長量的5倍D．若，則收入增長量是投資增長量的【答案】AC【分析】利用已知可得，可判斷A；由，可判斷B；若，可得，由導(dǎo)數(shù)的意義可判斷C；同理可判斷D.【詳解】由題意可得固定且，又，所以，所以，由于為定值，所以可得增大時(shí)(國民收入越高)，增大(“邊際消費(fèi)傾向”越大)，故A正確；由上可得，為定值，故增大，減小(投資越小)，故B錯(cuò)誤；若，由，可得，由導(dǎo)數(shù)的定義可得，所以可得收入增長量是投資增長量的倍，故C正確；同C項(xiàng)討論可得若，可得，因此收入增長量是投資增長量的倍，故D錯(cuò)誤.故選：AC.2．（2024·北京朝陽·二模）假設(shè)某飛行器在空中高速飛行時(shí)所受的阻力滿足公式，其中是空氣密度，是該飛行器的迎風(fēng)面積，是該飛行器相對于空氣的速度，是空氣阻力系數(shù)（其大小取決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率.當(dāng)不變，比原來提高時(shí)，下列說法正確的是（

）A．若不變，則比原來提高不超過B．若不變，則比原來提高超過C．為使不變，則比原來降低不超過D．為使不變，則比原來降低超過【答案】C【分析】由題意可得，，結(jié)合選項(xiàng)，依次判斷即可.【詳解】由題意，，所以，，A：當(dāng)，不變，比原來提高時(shí)，則，所以比原來提高超過，故A錯(cuò)誤；B：由選項(xiàng)A的分析知，，所以比原來提高不超過，故B錯(cuò)誤；C：當(dāng)，不變，比原來提高時(shí)，，所以比原來降低不超過，故C正確；D：由選項(xiàng)C的分析知，比原來降低不超過，故D錯(cuò)誤.故選：C一、單選題1．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測）研究表明，地震時(shí)釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為.2024年1月30日在新疆克孜勒蘇州阿合奇縣發(fā)生了里氏5.7級地震，所釋放的能量記為年1月13日在湯加群島發(fā)生了里氏5.2級地震，所釋放的能量記為，則比值的整數(shù)部分為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】由對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】由已知得，所以，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：B.2．（2024·北京昌平·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20℃室溫下，茶水溫度從90℃開始，經(jīng)過tmin后的溫度為，可選擇函數(shù)來近似地刻畫茶水溫度隨時(shí)間變化的規(guī)律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達(dá)到最佳飲用口感時(shí)，需要放置的時(shí)間最接近的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C．6min D．【答案】B【分析】令，則，兩邊同時(shí)取對將代入即可得出答案.【詳解】由題可知，函數(shù)，令，則，兩邊同時(shí)取對可得：，即，即.故選：B.3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若一段河流的蓄水量為立方米，每天水流量為立方米，每天往這段河流排水立方米的污水，則天后河水的污染指數(shù)為初始值，．現(xiàn)有一條被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以當(dāng)前的污染指數(shù)為初始值，若從現(xiàn)在開始停止排污水，要使河水的污染指數(shù)下降到初始值的，需要的天數(shù)大約是（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．98 B．105 C．117 D．130【答案】C【分析】由已知化簡函數(shù)式得，再利用約天后，河水的污染指數(shù)下降到初始值的，可得方程，然后兩邊取對數(shù)得，最后利用已知的對數(shù)值可計(jì)算得到結(jié)果.【詳解】由題意可知：，，所以設(shè)約天后，河水的污染指數(shù)下降到初始值的，即，所以，故選：C.4．（2024·四川涼山·三模）工廠廢氣排放前要過濾廢氣中的污染物再進(jìn)行排放，廢氣中污染物含量（單位：mg/L）與過濾時(shí)間小時(shí)的關(guān)系為（，均為正的常數(shù)）．已知前5小時(shí)過濾掉了10%污染物，那么當(dāng)污染物過濾掉50%還需要經(jīng)過（

）（最終結(jié)果精確到1h，參考數(shù)據(jù)：，）A．43h B．38h C．33h D．28h【答案】D【分析】先確定廢氣中初始污染物含量，由題意求出常數(shù)，即可解出．【詳解】∵廢氣中污染物含量與過濾時(shí)間小時(shí)的關(guān)系為，令，得廢氣中初始污染物含量為，又∵前5小時(shí)過濾掉了10%污染物，∴，則，∴當(dāng)污染物過濾掉50%時(shí)，，則，∴當(dāng)污染物過濾掉50%還需要經(jīng)過.故選：D.5．（2024·江西·模擬預(yù)測）酒駕最新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車，達(dá)到及以上認(rèn)定為醉酒駕車．如果某駕駛員酒后血液中酒精濃度為，從此刻起停止飲酒，血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個(gè)小時(shí)才能駕駛？（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】由題意得到不等式，兩邊取對數(shù)求出答案.【詳解】由．即，兩邊取對數(shù)可得，，故至少經(jīng)過7個(gè)小時(shí)才能駕駛.故選：B6．（2024·全國·模擬預(yù)測）某農(nóng)業(yè)研究所對玉米幼穗的葉齡指數(shù)與可見葉片數(shù)進(jìn)行分析研究，其關(guān)系可以用函數(shù)（為常數(shù)）表示．若玉米幼穗在伸長期可見葉片為7片，葉齡指數(shù)為30，則當(dāng)玉米幼穗在四分體形成期葉齡指數(shù)為82.5時(shí)，可見葉片數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【分析】利用函數(shù)，由題意已知，求出待定系數(shù)，再用，去求解，當(dāng)然這里面有取自然對數(shù)及取值計(jì)算.【詳解】由題意知，，則等式兩邊同時(shí)取自然對數(shù)得，，．，，，，故選：C．7．（2024·全國·模擬預(yù)測）青少年視力問題是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足．已知小明和小李視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)分別為4.5和4.9，記小明和小李視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)分別為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到方程組，求出，根據(jù)得到.【詳解】依題意，，兩式相減可得，，故，而，故.故選：C．8．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關(guān)系為.2008年5月12日我國汶川發(fā)生里氏8.0級地震，它所釋放出來的能量是2024年4月3日我國臺(tái)灣發(fā)生里氏7.0級地震的（

）倍A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意分別求得震級和時(shí)的釋放的能量，進(jìn)而求得兩次地震釋放的能量比.【詳解】設(shè)里氏震級時(shí)釋放的能量為，里氏震級時(shí)釋放的能量為，則，，所以，，所以，即2008年5月12日汶川地震釋放出的能量是2024年4月3日我國臺(tái)灣發(fā)生的地震釋放的能量的倍，故選：C.9．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測）從甲地到乙地的距離約為240km，經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)得到一輛汽車每小時(shí)耗油量（單位：L）與速度（單位：km/h）（）的下列數(shù)據(jù)：04060801200.0006.6678.12510.00020.000為描述汽車每小時(shí)耗油量與速度的關(guān)系，則下列四個(gè)函數(shù)模型中，最符合實(shí)際情況的函數(shù)模型是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出散點(diǎn)圖，根據(jù)單調(diào)性和定義域即可得解.【詳解】作出散點(diǎn)圖，由圖可知函數(shù)模型滿足：第一，定義域?yàn)椋坏诙?，在定義域單調(diào)遞增且單位增長率變快；第三，函數(shù)圖象過原點(diǎn).A選項(xiàng)：函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：函數(shù)的單位增長率恒定不變，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：滿足上述三點(diǎn)，故C正確；D選項(xiàng)：函數(shù)在處無意義，D錯(cuò)誤.故選：C10．（2024·寧夏銀川·一模）鋰電池在存放過程中會(huì)發(fā)生自放電現(xiàn)象，其電容量損失量隨時(shí)間的變化規(guī)律為，其中Q（單位）為電池容量損失量，p是時(shí)間t的指數(shù)項(xiàng)，反映了時(shí)間趨勢由反應(yīng)級數(shù)決定，k是方程剩余項(xiàng)未知參數(shù)的組合，與溫度T和電池初始荷電狀態(tài)M等自放電影響因素有關(guān)．以某種品牌鋰電池為研究對象，經(jīng)實(shí)驗(yàn)采集數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合后獲得，相關(guān)統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)，且預(yù)測值與實(shí)際值誤差很?。谘芯縈對Q的影響時(shí)，其他參量可通過控制視為常數(shù)，電池自放電容量損失量隨時(shí)間的變化規(guī)律為，經(jīng)實(shí)驗(yàn)采集數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合后獲得，相關(guān)統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)，且預(yù)測值與實(shí)際值誤差很?。粼撈放齐姵爻跏己呻姞顟B(tài)為，存放16天后，電容量損失量約為（

）（參考數(shù)據(jù)為：）A．100.32 B．101.32 C．105.04 D．150.56【答案】C【分析】根據(jù)題意，得到，將，，結(jié)合題中所給數(shù)據(jù)加以計(jì)算，即可得到存放16天后電容量損失量近似值.【詳解】根據(jù)題意，可得，代入，可得，因?yàn)樵撈放齐姵爻跏己呻姞顟B(tài)，所以存放16天后，電容量損失量.故選：C.一、單選題1．（2024·陜西渭南·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)研究可知：在室溫下，某種綠茶用的水泡制，經(jīng)過后茶水的溫度為，且.當(dāng)茶水溫度降至?xí)r飲用口感最佳，此時(shí)茶水泡制時(shí)間大約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C．8min D．【答案】B【分析】根據(jù)初始條件求得參數(shù)，然后利用已知函數(shù)關(guān)系求得口感最佳時(shí)泡制的時(shí)間．【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，則，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，即，則，所以茶水泡制時(shí)間大的為7min.故選：B.2．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）中國地震臺(tái)網(wǎng)測定：2024年4月3日，中國臺(tái)灣花蓮縣海域發(fā)生里氏7.3級地震.已知地震時(shí)釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關(guān)系為，2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級地震，則它所釋放出來的能量約是中國臺(tái)灣花蓮縣海域發(fā)生里氏7.3級地震的多少倍？（

）A．98 B．105 C．355 D．463【答案】C【分析】利用指對數(shù)的互化可得分別求兩次地震的能量，再應(yīng)用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求地震能量的倍數(shù).【詳解】由題設(shè)，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級地震所釋放出來的能量，中國臺(tái)灣花蓮縣海域發(fā)生里氏7.3級地震所釋放出來的能量，所以.故選：C.3．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）當(dāng)藥品注射到人體內(nèi)，它在血液中的殘余量會(huì)以每小時(shí)的速度減少，另一種藥物注射到人體內(nèi)，它在血液中的殘余量會(huì)以每小時(shí)的速度減少．現(xiàn)同時(shí)給兩位患者分別注射藥品A和藥品B，當(dāng)兩位患者體內(nèi)藥品的殘余量恰好相等時(shí)，所經(jīng)過的時(shí)間約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)經(jīng)過小時(shí)后兩位患者體內(nèi)藥品的殘條量恰好相等，根據(jù)題意列方程，再由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得．【詳解】設(shè)經(jīng)過小時(shí)后兩位患者體內(nèi)藥品的殘條量恰好相等，由題意得：，整理得：，兩邊取常用對數(shù)得：，即，即，所以，即，所以大約經(jīng)過時(shí)，兩位患者體內(nèi)藥品的殘余量恰好相等．故選：C．4．（2024·浙江杭州·二模）某外來入侵植物生長迅速，繁殖能力強(qiáng)，大量繁殖會(huì)排擠本地植物，容易形成單一優(yōu)勢種群，導(dǎo)致原有植物種群的衰退甚至消失，使當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)系統(tǒng)的物種多樣性下降，從而破壞生態(tài)平衡.假如不加控制，它的總數(shù)量每經(jīng)過一年就增長一倍.則該外來入侵植物由入侵的1株變成100萬株大約需要（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．40年 B．30年 C．20年 D．10年【答案】C【分析】設(shè)該外來入侵植物由入侵的1株變成100萬株大約需要年，根據(jù)題意列出方程，再根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】設(shè)該外來入侵植物由入侵的1株變成100萬株大約需要年，由題意知，，即，所以，即由入侵的1株變成100萬株大約需要20年.故選：C.5．（23-24高三上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）教室通風(fēng)的目的是通過空氣的流動(dòng)，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進(jìn)室外的新鮮空氣.按照國家標(biāo)準(zhǔn)，教室內(nèi)空氣中二氧化碳日平均最高容許濃度應(yīng)不超過.經(jīng)測定，剛下課時(shí)，空氣中含有的二氧化碳，若開窗通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且隨時(shí)間（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)至少需要的時(shí)間為（參考數(shù)據(jù)：）（）A．11分鐘 B．13分鐘 C．15分鐘 D．17分鐘【答案】B【分析】由題意解出解析式中的參數(shù)，后解對數(shù)不等式求解即可.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，將其代入解析式，解得，故解析式為，令，解得，化簡得，結(jié)合，可得，所以該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)至少需要的時(shí)間為13分鐘.故選：B.二、多選題6．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）科學(xué)研究表明，物體在空氣中冷卻的溫度變化是有規(guī)律的．如果物體的初始溫度為，空氣溫度保持不變，則t分鐘后物體的溫度（單位：）滿足：．若空氣溫度為，該物體溫度從（）下降到，大約所需的時(shí)間為，若該物體溫度從，下降到，大約所需的時(shí)間分別為，則（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】BC【分析】當(dāng)時(shí)，可求得，繼而求得，逐項(xiàng)判定即可.【詳解】有題意可知，，當(dāng)，則，即，，則，其是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，故B正確；當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足，，故C正確，D錯(cuò)誤，故選：BC.7．（2024·遼寧·二模）半導(dǎo)體的摩爾定律認(rèn)為，集成電路芯片上的晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，用表示從開始，晶體管數(shù)量隨時(shí)間變化的函數(shù)，若，則下面選項(xiàng)中，符合摩爾定律公式的是（

）A．若是以月為單位，則B．若是以年為單位，則C．若是以月為單位，則D．若是以年為單位，則【答案】BC【分析】對AC，計(jì)算，滿足，，，可確定，對CD，計(jì)算，滿足，，，可確定．【詳解】選項(xiàng)A，，，A不符合；選項(xiàng)B，，，，，符合；選項(xiàng)C，，則，，，，，符合，選項(xiàng)D，，，，，不符合．故選：BC．8．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）氚，亦稱超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核由一個(gè)質(zhì)子和兩個(gè)中子組成，并帶有放射性，會(huì)發(fā)生衰變，其半衰期是12.43年.樣本中氚的質(zhì)量隨時(shí)間(單位:年)的衰變規(guī)律滿足，其中表示氚原有的質(zhì)量，則（

）(參考數(shù)據(jù):)A．B．經(jīng)過年后，樣本中的氚元素會(huì)全部消失C．經(jīng)過年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉淼腄．若年后，樣本中氚元素的含量為，則【答案】CD【分析】利用給定式子進(jìn)行化簡判斷A，代入求值判斷B，C，解方程求出，再判斷D即可.【詳解】由題意得，故有，左右同時(shí)取對數(shù)得，故得，故A錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤，而當(dāng)時(shí)，，得到經(jīng)過年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉淼?，故C正確，由題意得，化簡得，，將代入其中，可得，故D正確.故選：CD三、填空題9．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）“阿托秒”是一種時(shí)間的國際單位，“阿托秒”等于秒，原子核內(nèi)部作用過程的持續(xù)時(shí)間可用“阿托秒”表示.《莊子?天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，如果把“一尺之棰”的長度看成1米，按照此法，至少需要經(jīng)過天才能使剩下“棰”的長度小于光在2“阿托秒”內(nèi)走過的距離.（參考數(shù)據(jù)：光速為米/秒，）【答案】31【分析】依題意可得尺子經(jīng)過天后，剩余的長度米，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】依題意，光在2“阿托秒”內(nèi)走的距離為米，經(jīng)過天后，剩余的長度米，由，得，兩邊同時(shí)取對數(shù)，得，而，則，所以至少需要經(jīng)過31天才能使其長度小于光在2“阿托秒”內(nèi)走的距離.故答案為：31.10．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）在高度為的豎直墻壁面上有一電子眼，已知到天花板的距離為