第05講 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第05講利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（6類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第18題,17分利用導(dǎo)數(shù)證明不等式證明函數(shù)的對稱性利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題利用不等式求取值范圍2021年新I卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為13-17分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性2能求出函數(shù)的極值或給定區(qū)間的最值3能進(jìn)行函數(shù)轉(zhuǎn)化證明不等式【命題預(yù)測】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,也是高考壓軸題之一近幾年高考命題的趨勢，是穩(wěn)中求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題考查多個核心素養(yǎng)以及綜合應(yīng)用能力,有一定的難度,一般放在解答題的最后位置，對數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等多個數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)都有較深入的考查，需綜合復(fù)習(xí)知識講解基本方法在不等式構(gòu)造或證明的過程中，可借助題目的已知結(jié)論、均值不等式、函數(shù)單調(diào)性、與、有關(guān)的常用不等式等方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，再進(jìn)行證明．（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；（3）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；（4）構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).常見類型與有關(guān)的常用不等式：（1）（）；（2）（）．與有關(guān)的常用不等式：（1）（）；（2）（）；（3）（），（）；（4）（），（）．用取代的位置，相應(yīng)的可得到與有關(guān)的常用不等式．考點(diǎn)一、直接法證明簡單不等式1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）求證：．【詳解】證明：令，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增則在時(shí)求得最小值，即在上恒成立，即在上恒成立2．（2022高三·浙江·專題練習(xí)）證明以下不等式：(1)；(2)；(3).【詳解】（1）解：令，則有.令，即，解得；令，即，解得，所以在單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，即.所以.（2）解：令，則.令，即，解得；令，即，解得，所以在單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以，即，所以.（3）解：由（1）得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）①.由（2）得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）②因?yàn)棰偈脚c②式取等號的條件不同，所以.1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）求證：(1)（）；(2)；(3)（）．【詳解】（1）要證，只需證，令（），，故在上單調(diào)遞減，由于，因，故，則有（）.（2）令，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，可知在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以，故，從而成立.（3）令（），，由解得：，，令，得，令，得或故在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，由于，則有對恒成立，故得：（）．考點(diǎn)二、構(gòu)造函數(shù)證明不等式1．（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測）已知為正實(shí)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)．若曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)求證：．【答案】(1)2(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)切線方程列出關(guān)于的方程組，解方程組即可.（2）對要證明的式子進(jìn)行化簡，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.由題意可知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，所以，解得(負(fù)值舍去)，所以.（2）由第1問可知，.要證，即要證，只需證.構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，所以.2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，然后分與討論，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由（1）可得的最小值為，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為的最小值大于等于零，即可證明.【詳解】（1）依題意，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由得，由得，即當(dāng)時(shí)函數(shù)在是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，的最小值為，，設(shè)，則，∴函數(shù)在是減函數(shù)，在是增函數(shù)，即的最小值為，即，∴，即的最小值，∴．3．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：.【答案】(1)答案見詳解(2)證明見詳解【分析】（1）求導(dǎo)可得，分和兩種情況，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號判斷原函數(shù)單調(diào)性；（2）構(gòu)建，，根據(jù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理分析的零點(diǎn)和符號，進(jìn)而可得的單調(diào)性和最值，結(jié)合零點(diǎn)代換分析證明.【詳解】（1）由題意可得：的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，則在上恒成立，可知在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）構(gòu)建，則，由可知，構(gòu)建，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，且，可知在上存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)，則，即；當(dāng)，則，即；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，又因?yàn)椋瑒t，，可得，即，所以.1．（2024·河北·三模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：．(2)若函數(shù)，試問：函數(shù)是否存在極小值？若存在，求出極小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在；極小值為0．【分析】（1）構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得證；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，并構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）證明：函數(shù)定義域?yàn)?令，則，當(dāng)時(shí)，，且，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，故得證.（2）由題意，則，令，則當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在單調(diào)遞增，則，即，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，又，故，使得，所以當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為.故存在，極小值為0.2．（2024·河北保定·三模）已知函數(shù)，為的極值點(diǎn).(1)求a；(2)證明：.【答案】(1)3；(2)證明見解析；【分析】（1）求導(dǎo)，由求解；（2）轉(zhuǎn)化為證，令，由證明.【詳解】（1）解：，依題意，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以；（2）由（1）可知，，要證，即證，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明不等式，往往由證明.3．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）就、分類討論導(dǎo)數(shù)的符號后可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）原不等式等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，可由各式符號證明此不等式成立，當(dāng)時(shí)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可證明恒成立，據(jù)此可得的單調(diào)性，從而可得原不等式成立.【詳解】（1），，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無減區(qū)間.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，，要證，即證，①當(dāng)時(shí)，，，；②當(dāng)時(shí)，令，則，設(shè)，則，，，，，，在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞增，，即．綜上，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下不等式恒成立，應(yīng)該根據(jù)不等式中含有的函數(shù)的類型進(jìn)行合理的分類討論，特別是含有三角函數(shù)式時(shí)，可根據(jù)其值域選擇分類討論的標(biāo)準(zhǔn).考點(diǎn)三、轉(zhuǎn)為兩個函數(shù)類型證明不等式1．（全國·高考真題）設(shè)函數(shù),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=e(x-1)+2.(1)求

(2)證明:【答案】（1）；（2）詳見解析.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)求導(dǎo)法則求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是在該點(diǎn)的切線的斜率，結(jié)合切線方程以及該點(diǎn)的函數(shù)值，將函數(shù)值和切線斜率代入原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)可求得參數(shù)值；（2）由（1)可得的解析式，為多項(xiàng)式，對要證的不等式進(jìn)行變形，使之成為兩個函數(shù)的大小關(guān)系式，再分別利用導(dǎo)函數(shù)求出兩函數(shù)在定義域內(nèi)的最值，可證得兩函數(shù)的大小關(guān)系，進(jìn)而證得.試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?由題意可得，.故，.（2）證明：由（1）知，，從而等價(jià)于.設(shè)函數(shù)，則.所以當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，.故在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為.設(shè)函數(shù)，則.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而在上的最大值為.綜上，當(dāng)時(shí)，，即.考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而證明不等式恒成立.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、不等式的恒成立和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于難題．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步求函數(shù)最值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對求導(dǎo)；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間；④根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值及最值（閉區(qū)間上還要注意比較端點(diǎn)處函數(shù)值的大?。?本題（2）的證明過程就是利用導(dǎo)數(shù)分別求出在上的最小值及在上的最大值，進(jìn)而得證的.1．（2024高三·階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)且，求證：.【答案】（1）見解析（2）證明見解析【分析】（1）函數(shù)定義域?yàn)椋蟪鰧?dǎo)函數(shù)，通過，，判斷導(dǎo)函數(shù)符號，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）運(yùn)用分析法轉(zhuǎn)化證明，要證，只需證，法一中要證，只需證：，令，求導(dǎo)判斷導(dǎo)數(shù)值符號即可；法二中只需證，設(shè)，，在上恒成立，求出，的最值進(jìn)行比較即可；法三中只需證：.設(shè)，判斷，函數(shù)單調(diào)遞增，，證明即可.【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)椋?①若時(shí)，則，在上單調(diào)遞減；②若時(shí)，，令或.又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

③若時(shí)，，令或.又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）法一：，，要證，只需證，只需證：，只需證：，設(shè)，即，在上單調(diào)遞減，所以，即原不等式成立.法二：要證，只需證，，只需證，設(shè)，，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.所以，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，即原不等式成立.法三：，.要證：成立，只需證：.設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，所以.即原不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及構(gòu)造法的應(yīng)用，考查分類討論以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是難題.考點(diǎn)四、數(shù)列類型不等式的證明1．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見解析【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.（2）設(shè)，求出，先討論時(shí)題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的符號合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.2．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線斜率；(2)求證：當(dāng)時(shí)，；(3)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求斜率；（2）問題化為時(shí)，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可證結(jié)論；（3）構(gòu)造，，作差法研究函數(shù)單調(diào)性可得，再構(gòu)造且，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性得到恒成立，對作放縮處理，結(jié)合累加得到，即可證結(jié)論.【詳解】（1），則，所以，故處的切線斜率為；（2）要證時(shí)，即證，令且，則，所以在上遞增，則，即.所以時(shí).（3）設(shè)，，則，由（2）知：，則，所以，故在上遞減，故；下證，令且，則，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，所以，故在上恒成立，則，所以，，…，，累加得：，而，因?yàn)?，所以，則，所以，故；綜上，，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問，作差法研究單調(diào)性證右側(cè)不等關(guān)系，再構(gòu)造且，導(dǎo)數(shù)研究其函數(shù)符號得恒成立，結(jié)合放縮、累加得到為關(guān)鍵.3．（2024·北京·三模）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)求證：．（且）【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．(2)(3)證明見解析【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo),再根據(jù)的正負(fù)分類討論單調(diào)性即可;（2）若恒成立，即，根據(jù)（1）中的單調(diào)性求出其最大值即可列式求解.（3）由（2）知當(dāng)時(shí),有在恒成立，令,即可推出，再對不等式兩邊累加求和,即可推出結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋贂r(shí)，，的遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；③時(shí)，令得；令得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．（2）由（1）知，時(shí)，在上遞增，，不合題意，故只考慮的情況，由（1）知即綜上，的取值范圍為．（3）由（2）知：當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，所以當(dāng)恒成立，令，進(jìn)而，即，．所以．（且）即．（且）【點(diǎn)睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．1．（2024·河北·三模）已知函數(shù)．(1)若在恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意可得恒成立，令，求導(dǎo)得，利用導(dǎo)數(shù)分類可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，可得在恒成立，當(dāng)時(shí)，可得，利用累加法可得結(jié)論.【詳解】（1）在恒成立．構(gòu)造函數(shù)，則在恒成立．當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，矛盾，故舍去當(dāng)時(shí)，由得，所以在上單調(diào)遞增，故，均有，矛盾，故舍去當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，滿足題意；綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．所以當(dāng)時(shí)，可得同理，，，兩邊分別累加得：即即【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是通過（1）中的結(jié)論得到，再代入得到其他不等式，最后累加即可證明.2．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)證明：時(shí)，；(2)證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）只要證時(shí)，，令，然后利用可判斷其在上遞增，則，從而證得結(jié)論；（2）由（1）知，令，則，然后利用累加法可證得結(jié)論.【詳解】（1）證明：要證，只要證，即證時(shí)，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以時(shí)，，所以時(shí)，．（2）證明：由（1）知，令得，即，所以，，，……，，所以，即．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)判斷其單調(diào)性即可證得結(jié)論.3．（2024·江蘇蘇州·三模）已知函數(shù).(1)時(shí)，求的零點(diǎn)個數(shù);(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值;(3)求證:.【答案】(1)2個(2)(3)證明見解答【分析】（1），求導(dǎo)后令，再次求導(dǎo)可得，進(jìn)而可判斷的單調(diào)性，結(jié)合，的值可得結(jié)論；（2）由題意可得，可得，進(jìn)而判斷時(shí)，不等式恒成立；（3）利用，結(jié)合（2）以及放縮法可證明不等式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)，又，，且時(shí)，，則存在，，使得，所以有兩個零點(diǎn).（2）令由，得，令所以，令，可得，所以在上為增函數(shù)，所以，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以恒成立，所以實(shí)數(shù)的最大值是實(shí)數(shù)；（3）因?yàn)椋桑?）可得，所以，所以，所以，又，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：第三問，考查放縮法證明不等式，其中證明不等式成立是關(guān)鍵.考點(diǎn)五、三角函數(shù)類型不等式的證明1．（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若是的極大值點(diǎn)，求的取值范圍；(3)若，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）令，求出導(dǎo)函數(shù)，再分和兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合（1）分、、、四種情況討論，判斷的單調(diào)性，即可確定極值點(diǎn)，從而得解；（3）利用分析法可得只需證，，只需證對任意，有，結(jié)合（2）只需證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.【詳解】（1）由題知，令，則，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，，由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，且，由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以無極值點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，且；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，符合題意；綜上所述，的取值范圍是.（3）要證，只要證，只要證，，因?yàn)?，則，所以只要證對任意，有，只要證對任意，有（※），因?yàn)橛桑?）知：當(dāng)時(shí)，若，則，所以，即①，令函數(shù)，則，所以當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增；則，即，由①②得，所以（※）成立，所以成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).2．（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（），.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：（）；(3)證明：（）.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，后按照，分類討論即可；（2）用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可；（3）由（1）的結(jié)論可以得到.令，得到，即，結(jié)合數(shù)列累加法，可得.由（2）知，，每項(xiàng)進(jìn)行放縮即可證明．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），恒成立，在上單調(diào)遞減，又，，.（3）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，即，，，（當(dāng)時(shí)“=”成立）.令（），，即，，從而，，…，，累加可得，即.由（2）知，在是遞減函數(shù)，，即，.（）.1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，(1)求的最小值；(2)證明：.【答案】(1)1(2)證明見詳解【分析】（1）換元令，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和最值，進(jìn)而可得的最小值；（2）由（1）結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得，構(gòu)建，，利用導(dǎo)數(shù)可證，進(jìn)而結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)分析證明即可.【詳解】（1）令，由可知，構(gòu)建，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則，所以的最小值為1.（2）由（1）可知：，即，又因?yàn)?，則，可得，則，構(gòu)建，，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，可得，注意到，則，所以.2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在內(nèi)點(diǎn)處的切線斜率為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)①當(dāng)時(shí)，求在上的最小值；②證明：．【答案】(1)(2)①最小值是0；②證明見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，結(jié)合已知可得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)解析式求縱坐標(biāo)可得；（2）①利用二次導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，根據(jù)單調(diào)性求導(dǎo)函數(shù)最小值，然后可判斷的單調(diào)性，進(jìn)而可得最小值；②構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，結(jié)合①中結(jié)論可得，令，利用裂項(xiàng)相消法可證.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn).由于，則，得，則，且，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）①，則，記，則易知在上單調(diào)遞減，且,，即，所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.②由①可知，時(shí)恒成立，即恒成立.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，又，所以，取，則，，得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問中第2小問，關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，結(jié)合第1小問中結(jié)論得，然后利用裂項(xiàng)相消法可證.考點(diǎn)六、切線放縮法證明不等式1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求證：．【答案】(1)極小值，無極大值(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)的極值；（2）構(gòu)造新函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的最大值，即可證得.【詳解】（1）時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，無極值．時(shí)，令，解得．則時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，可得：時(shí)，函數(shù)取得極小值．無極大值.（2）解法一：，只需證明．時(shí)，不等式成立；只需證明時(shí)，，令，則令，，，∴．∴，∴在上單調(diào)遞減．∴利用洛必達(dá)法則：，∴．解法二：（切線放縮）要證明，只需證明，只需證明，令則時(shí)，則單調(diào)遞增，時(shí)，則單調(diào)遞減，則時(shí)取得極小值，∴，畫出和圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，恒成立即圖象必須在下方，在時(shí)取得極值，為在點(diǎn)處的切線，∴．1．（2023高二·上?！ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.(1)求的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù).證明：對任意，.【答案】(1)(2)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析運(yùn)算；（2）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）根據(jù)題意分析可得對，，構(gòu)建新函數(shù)、，分別利用導(dǎo)數(shù)求最值，即可證明.【詳解】（1）由題意可得：，，∵在,處的切線與軸平行，即，.（2）由（1）得：，，令，，當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則，；∵，則時(shí)，；時(shí)，；故的單調(diào)遞增為，單調(diào)遞減為.（3）由，即，，對，，等價(jià)于對，，由（2）對于，，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即，設(shè)，則對恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，即；綜上：，故，，得證.2．（2023·山東濟(jì)南·一模）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若，求證：.【答案】（1）極大值為1，無極小值；（2）見證明【分析】(1)本題首先可以根據(jù)函數(shù)解析式得出函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可得出函數(shù)的極值；(2)本題首先可根據(jù)不等式的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，然后利用導(dǎo)數(shù)以及(1)中結(jié)論求出的最小值以及的最大值，即可證明結(jié)論．【詳解】(1)函數(shù)定義域?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，有極大值，所以的極大值為1，無極小值；(2)由于，所以，故要證原不等式成立，只需證即可，即，令，則，所以函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，故，即，由(1)得，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值以及通過構(gòu)造函數(shù)證明不等式，能否構(gòu)造出函數(shù)并求出其最小值是解決本題的關(guān)鍵，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式及轉(zhuǎn)化能力，是難題．1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）求證：若，則．【答案】證明見解析【分析】構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)性后即可得證.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故當(dāng)時(shí)，.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）證明：當(dāng)時(shí)，；【答案】證明見解析【分析】分別構(gòu)造函數(shù)、，利用導(dǎo)數(shù)可證得單調(diào)性，得到，由此可得結(jié)論.【詳解】令，則，在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時(shí)，；令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時(shí)，；綜上所述：當(dāng)時(shí)，.3．（22-23高二下·河北滄州·階段練習(xí)）求證：【答案】證明見解析【分析】將要證明的不等式變形為，構(gòu)造關(guān)于a的函數(shù)，求導(dǎo)分析即可.【詳解】證明：不妨設(shè)，則若證，只需證即證：設(shè)則所以函數(shù)在上單調(diào)遞增因?yàn)?，所以，即所以原不等式成立【點(diǎn)睛】本題屬于兩元化一元問題，采用淡化一元的方法將問題轉(zhuǎn)為關(guān)于a的函數(shù)是解題關(guān)鍵.4．（2022高三·全國·專題練習(xí)）討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，.【答案】在上單調(diào)遞增，證明見解析.【分析】求導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，確定原函數(shù)的單調(diào)性，并進(jìn)一步可證明結(jié)論.【詳解】由已知得，.因?yàn)椋?因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增;所以當(dāng)時(shí)，，即.5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，證明：對一切，都有成立.【答案】證明見解析【分析】利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，對已知不等式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求最值進(jìn)行運(yùn)算證明即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，在在，令，，由，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)到到最小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)到到最大值，所以.6．（22-23高二下·北京·期中）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性、最值的關(guān)系即可證明.【詳解】（1）,，,所以切點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式可得，，所以切線方程為：.（2）由題可得，設(shè)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，即.7．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），.(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，求得其極小值即可證明；（2）根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可判斷其單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1）因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，所以.（2）令，則.由（1）可得，所以，所以函數(shù)在上是增函數(shù)．因?yàn)?，所以，所以?．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知.(1)求并寫出的表達(dá)式；(2)證明：.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）直接求導(dǎo)并令可得，再代入原表達(dá)式即可；（2）構(gòu)造函數(shù)并用導(dǎo)數(shù)證明，然后利用即可.【詳解】（1）由有，取得到，解得.將代入可得.（2）設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).所以在上遞減，在上遞增，故.從而.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于使用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，屬于常規(guī)題.9．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明過程見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）利用（1）的結(jié)果，取特殊值代入進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）顯然該函數(shù)的定義域?yàn)槿w正實(shí)數(shù)，由，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，因此；（2）由（1）可知：，即，即，當(dāng)時(shí)，.10．（2023·廣西南寧·一模），(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明；(3)證明對于任意正整數(shù)，都有.【答案】(1)，在上單調(diào)遞增；，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分類討論求解單調(diào)區(qū)間即可.（2）根據(jù)的單調(diào)性得到，即可證明.（3）當(dāng)且時(shí)，有，從而得到，即可得到，再化簡即可證明.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋偃?，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；②若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即證.（3）由（2）知當(dāng)且時(shí)，，對于任意正整數(shù)，令得，所以.即證：.1．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）要證明，只要證即可，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得最值即可證明．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?dāng)時(shí)，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋砸C，只要證明即可，即要證，等價(jià)于（*）．令，則，在區(qū)間上，單調(diào)遞減；在區(qū)間上，單調(diào)遞增，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），所以（*）成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．又在上單調(diào)遞增，，所以存在，使得成立．綜上所述，原不等式成立．2．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程.(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解答【分析】（1）求導(dǎo)可得，又，可求切線方程；（2）求導(dǎo)得，令，再求導(dǎo)，進(jìn)而判斷在上單調(diào)遞增，可得在上單調(diào)遞增，，可得結(jié)論.【詳解】（1）由，可得，，又，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）由，可得，令，可得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述：.3．（2024·青海西寧·二模）已知函數(shù)．(1)若，求的極值；(2)若，求證：．【答案】(1)極小值為，無極大值；(2)證明見解析【分析】（1）若，求得，求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的極值；（2）由，令，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，即可得證．【詳解】（1）解：若，則，其中，所以，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋缘臉O小值為，無極大值．（2）證明：由題意知，令，則，令，則，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以．【點(diǎn)睛】方法總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3、適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4、構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).4．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)證明：.【答案】(1)0(2)證明見解析【分析】（1）二階求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增，結(jié)合可得的單調(diào)性，即可求解，（2）利用（1）的單調(diào)性可得，進(jìn)而由放縮可得，取，由對數(shù)的運(yùn)算即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，令，則，所以即在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以的最小值為.（2）由（1）可知在時(shí)單調(diào)遞增，故，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以，令，則，以上各式相加得，即，所以得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).5．（2024·河北邢臺·二模）已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)證明：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合條件即得；（2）將結(jié)論化為，再求的最大值；（3）直接在（2）的結(jié)論中取證明.【詳解】（1）此時(shí)，故.所以，，故所求切線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為.故該切線的方程為，即.（2）結(jié)論即為.設(shè)，則.故當(dāng)即時(shí)，當(dāng)即時(shí).所以在上遞增，在上遞減，從而的最大值就是，且恰在時(shí)取到.所以的取值范圍是.（3）由（2）的結(jié)論，知當(dāng)正數(shù)時(shí)，有，故.從而.6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)對，求證：．【答案】(1)，無極大值(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值；（2）作差構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，∴，無極大值；（2）令，，所以，令，，因?yàn)?，∴為增函?shù)，又，取，，，∴存在唯一使，即，，，即，∴為減函數(shù).，，即，∴為增函數(shù).∴，∴對有，即.7．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)區(qū)間(2)若函數(shù)，，證明：．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）求出，對的取值分類討論，即可得的單調(diào)性；（2）借助（1）中結(jié)論得，轉(zhuǎn)化所證不等式，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系即可證明不等式．【詳解】（1）由題知，函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，有，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，有，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，即．因?yàn)?，所以，所以?．（2024·北京昌平·二模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最小值；(3)若，當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的意義求出切線的斜率，再求出，最后利用點(diǎn)斜式寫出直線方程再整理即可；（2）含參數(shù)的單調(diào)性討論問題，先求導(dǎo)，再分參數(shù)，討論單調(diào)性得出結(jié)果即可，其中當(dāng)時(shí)又分、、三種情況；（3）構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算化簡，求導(dǎo)再結(jié)合基本不等式得到的單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，令，解得，①當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)，即時(shí)，與的情況如下：負(fù)0正減極小值增函數(shù)所以當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)即時(shí)，在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，綜上（3）設(shè)，所以，因?yàn)?，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）第一問可用導(dǎo)數(shù)的意義求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式求出直線方程；（2）第二問為帶參數(shù)的單調(diào)性的討論求極值點(diǎn)問題，可求導(dǎo)分析單調(diào)性，進(jìn)而求極值，在求出最值；（3）第三問為函數(shù)不等式問題，可構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)分析單調(diào)性求解.9．（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù)．(1)判斷并證明的零點(diǎn)個數(shù)(2)記在上的零點(diǎn)為，求證;（i）是一個遞減數(shù)列（ii）．【答案】(1)當(dāng)為奇數(shù)數(shù)，有1個零點(diǎn)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有2個零點(diǎn)(2)證明見解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)和零點(diǎn)的存在性定理可知其在內(nèi)有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，分類討論為奇、偶數(shù)時(shí)零點(diǎn)的情況，即可下結(jié)論；（2）（i）易知，當(dāng)時(shí)可得，利用的單調(diào)性解不等式可得，即可證明；（ii）由（i），求和可得；由得，利用放縮法和函數(shù)單調(diào)性解不等式可證得，求和，結(jié)合等比數(shù)列數(shù)列前n項(xiàng)求和公式計(jì)算即可證明.【詳解】（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有1個零點(diǎn)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有2個零點(diǎn).證明如下：當(dāng)時(shí)，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，若為奇數(shù)，，則，此時(shí)在內(nèi)無零點(diǎn)；若為偶數(shù)，設(shè)，則，方程有一個解，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，此時(shí)在內(nèi)有1個零點(diǎn).綜上，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有1個零點(diǎn)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有2個零點(diǎn).（2）（i）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在在內(nèi)的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，則，故，所以數(shù)列是一個遞減數(shù)列；（ii）由（i）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，有，所以，求和可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；當(dāng)時(shí)，，故，則，得，即，即，即，即，即，即，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，均有成立，求和可得.綜上，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在證明導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式綜合問題時(shí)，常常將上一問的結(jié)論直接應(yīng)用到證明當(dāng)中去，再綜合考慮不等式特征合理選取方法巧妙放縮求和，即可實(shí)現(xiàn)問題求解.10．（2024·四川南充·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在處切線的斜率為，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；(3)當(dāng)時(shí)，證明：【答案】(1)a=1(2)2(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)值等于切線斜率構(gòu)造方程，求出a即可.（2）將a代入不等式，x和m參變分離，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題即可.（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，有即后進(jìn)行放縮證明即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?/p>

所以a=1（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，所以

設(shè)則

因?yàn)楫?dāng)x≥1時(shí)，有所以函數(shù)單調(diào)遞增，故所以函數(shù)單調(diào)遞增，故

所以函數(shù)單調(diào)遞增，故所以所以實(shí)數(shù)m的最大值為2.（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，有即

設(shè)取,所以

即

.因?yàn)樗约础?．（2019·北京·高考真題）已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：；（Ⅲ）設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為M（a），當(dāng)M（a）最小時(shí)，求a的值．【答案】（Ⅰ）和.（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.【分析】(Ⅰ)首先求解導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，據(jù)此求得切點(diǎn)坐標(biāo)即可確定切線方程；(Ⅱ)由題意分別證得和即可證得題中的結(jié)論；(Ⅲ)由題意結(jié)合(Ⅱ)中的結(jié)論分類討論即可求得a的值.【詳解】（Ⅰ），令得或者.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)切線方程為，即；綜上可得所求切線方程為和.（Ⅱ）設(shè)，，令得或者，所以當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；而，所以，即；同理令，可求其最小值為，所以，即，綜上可得.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，所以是中的較大者，若，即時(shí)，；若，即時(shí)，；所以當(dāng)最小時(shí)，，此時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線方程，利用導(dǎo)函數(shù)證明不等式的方法，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）若是的極大值點(diǎn)，求．【答案】（1）見解析（2）【詳解】分析：（1）求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性證明即可．（2）分類討論和,構(gòu)造函數(shù),討論的性質(zhì)即可得到a的范圍．詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，.設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)時(shí)，，且僅當(dāng)時(shí)，，從而，且僅當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞增.又，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）（i）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，這與是的極大值點(diǎn)矛盾.（ii）若，設(shè)函數(shù).由于當(dāng)時(shí)，，故與符號相同.又，故是的極大值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)是的極大值點(diǎn)..如果，則當(dāng)，且時(shí)，，故不是的極大值點(diǎn).如果，則存在根，故當(dāng)，且時(shí)，，所以不是的極大值點(diǎn).如果，則.則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以是的極大值點(diǎn)，從而是的極大值點(diǎn)綜上，.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值證明不等式，第二問分類討論和,當(dāng)時(shí)構(gòu)造函數(shù)時(shí)關(guān)鍵，討論函數(shù)的性質(zhì)，本題難度較大．3．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）切線方程是；（2）證明見解析．【分析】（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程．（2）方法一：當(dāng)時(shí)，，令，只需證明即可．【詳解】（1），．因此曲線在點(diǎn)處的切線方程是．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】放縮當(dāng)時(shí)，．令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以．因此．［方法二］：【通性通法】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的定義域?yàn)镽，．當(dāng)時(shí)，令，得，或，其中．則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為．