第06講 平面向量中的范圍與最值問題（高階拓展、競賽適用）（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點幫

Page第06講平面向量中的范圍與最值問題（高階拓展、競賽適用）（2類核心考點精講精練）平面向量中的范圍與最值范圍問題是向量問題中的命題熱點和重難點，綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了高考在知識點交匯處命題的思想，常以選擇填空題的形式出現(xiàn)，難度稍大，方法靈活。基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值，"比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍的等，在復(fù)習(xí)過程中要注重對基本方法的訓(xùn)練，把握好類型題的一般解法。由于數(shù)量積和系數(shù)的范圍在前兩節(jié)已學(xué)習(xí)，本講主要圍繞向量的模和夾角的范圍與最值展開學(xué)習(xí)。本講內(nèi)容難度較大，需要綜合學(xué)習(xí)。知識講解模長的范圍及最值與向量的模有關(guān)的問題,一般都會用到，結(jié)合平面向量及最值范圍等基本知識可求解。夾角的范圍及最值類別幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))結(jié)合平面向量的模長、夾角公式及最值范圍等基本知識可求解?？键c一、模長的范圍及最值問題1．（浙江·高考真題）已知，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是A．1 B．2 C． D．2．（湖南·高考真題）已知是單位向量，.若向量滿足（）A． B．C． D．3．（四川·高考真題）已知正三角形的邊長為，平面內(nèi)的動點滿足，，則的最大值是A． B． C． D．1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為單位向量，且，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．62．（23-24高二上·四川·階段練習(xí)）已知平面向量滿足，，則的最小值是.3．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知向量，為單位向量，且，向量與共線，則的最小值為.4．（2024·上海長寧·二模）已知平面向量滿足：，若，則的最小值為．5．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知，，，，，則的最大值為（

）A． B．4 C． D．6．（21-22高一下·浙江·階段練習(xí)）已知，，．若，則的最小值為（

）A．0 B． C．1 D．考點二、夾角的范圍及最值問題1．（2024·廣東江門·二模）設(shè)向量，則的最小值為.2．（2022·上海奉賢·一模）設(shè)平面上的向量滿足關(guān)系，又設(shè)與的模均為1且互相垂直，則與的夾角取值范圍為.3．（22-23高三上·江西·階段練習(xí)）已知平面向量，，，滿足，，則向量與所成夾角的最大值是（

）A． B． C． D．1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知非零向量與的夾角為銳角，為在方向上的投影向量，且，則與的夾角的最大值是．2．（21-22高三上·浙江溫州·期末）已知平面向量滿足，，向量滿足，當(dāng)與的夾角余弦值取得最小值時，實數(shù)的值為.3．（2021·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知是空間單位向量，，若空間向量滿足：，則，對于任意，向量與向量所成角的最小值為．一、單選題1．（2023·江西九江·一模）已知、為單位向量，則向量與夾角的最大值為（

）A． B． C． D．2．（2023·北京·模擬預(yù)測）平面向量，滿足，且，則與夾角的正弦值的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2023·安徽安慶·二模）已知非零向量，的夾角為，，且，則夾角的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）已知平面向量，，滿足，，，，則的最大值等于（

）A． B． C． D．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，為非零向量，且，，若的最小值為，則的值為（

）．A． B． C．4 D．6．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知向量，滿足，，若，且，則的最大值為（

）A．3 B．2 C． D．7．（2021·浙江·模擬預(yù)測）已知非零平面向量，，滿足，，若與的夾角為，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．（2021·全國·模擬預(yù)測）設(shè)，，且，若向量滿足，則的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空題9．（2023·安徽宣城·二模）已知向量滿足，對任意的的最小值為，則與的夾角為．10．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知平面向量滿足且，當(dāng)向量與向量的夾角最大時，向量的模為．11．（2023·上海閔行·二模）已知單位向量，若對任意實數(shù)，恒成立，則向量的夾角的最小值為.12．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知單位向量，向量與不共線，且，則的最大值為．13．（2023·上海楊浦·二模）已知非零平面向量、、滿足，，且，則的最小值是14．（22-23高一下·福建福州·期中）已知平面向量，，且滿足，若為平面單位向量，則的最大值15．（2023·貴州銅仁·模擬預(yù)測）已知向量，，滿足，，，則的最大值是.16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知非零且不垂直的平面向量，滿足，若在方向上的投影與在方向上的投影之和等于，則，夾角的余弦值的最小值為．17．（21-22高三上·浙江嘉興·期末）已知非零平面向量，，滿足，且，若與的夾角為，且，則的模取值范圍是.18．（23-24高三上·天津?qū)幒印て谀┰谄叫兴倪呅沃校?，是的中點，，若設(shè)，則可用，表示為；若的面積為，則的最小值為．19．（2020·浙江溫州·三模）已知向量，滿足，，若存在不同的實數(shù)，使得，且則的取值范圍是20．（2021·浙江金華·模擬預(yù)測）已知平面向量滿足，,,則的取值范圍是；已知向量是單位向量，若，且，則的取值范圍是.1．（全國·高考真題）設(shè)向量滿足，，，則的最大值等于A．4 B．2 C． D