第08講 利用洛必達(dá)法則解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題（高階拓展、競(jìng)賽適用）（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第08講利用洛必達(dá)法則解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題（高階拓展、競(jìng)賽適用）（2類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題2能用洛必達(dá)法則解決極限等問(wèn)題【命題預(yù)測(cè)】洛必達(dá)法則只是一個(gè)求極限的工具，是在一定條件下通過(guò)對(duì)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式極限值的方法。詳細(xì)的洛必達(dá)法則應(yīng)用是大學(xué)高等數(shù)學(xué)中才介紹，這里用高中生最能看懂的方式說(shuō)明，能備考使用即可.知識(shí)講解洛必達(dá)法則：法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型

法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型注意：1.將上面公式中的換成洛必達(dá)法則也成立。2.洛必達(dá)法則可處理型。3.在著手求極限前,首先要檢查是否滿足,型定式,否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí),就不能用洛必達(dá)法則,這時(shí)稱(chēng)洛必達(dá)法則不適用,應(yīng)從另外途徑求極限。4.若條件符合,洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用,直到求出極限為止。,如滿足條件,可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則?？键c(diǎn)一、洛必達(dá)法則的直接應(yīng)用1．（23-24高二下·北京朝陽(yáng)·期中）兩個(gè)無(wú)窮小之比或兩個(gè)無(wú)窮大之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則，即在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法，如，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)洛必達(dá)法則求解即可.【詳解】.故選：B2．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則.②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對(duì)任意，均有成立，且，則稱(chēng)函數(shù)為區(qū)間上的k階無(wú)窮遞降函數(shù).結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問(wèn)題：(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)；(2)計(jì)算：；(3)證明：，.【答案】(1)不是區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)；(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為區(qū)間上的k階無(wú)窮遞降函數(shù)的定義即可判斷；（2）通過(guò)構(gòu)造，再結(jié)合即可得到結(jié)果；（3）通過(guò)換元令令，則原不等式等價(jià)于，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題干中函數(shù)為區(qū)間上的k階無(wú)窮遞降函數(shù)的定義證出，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)，由于，所以不成立，故不是區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù).（2）設(shè)，則，設(shè)，則，所以，得.（3）令，則原不等式等價(jià)于，即證，記，則，所以，即有對(duì)任意，均有，所以，因?yàn)?，所以，所以，證畢!【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)方法證明不等式成立問(wèn)題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意題干條件中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.1．（21-22高二下·重慶萬(wàn)州·階段練習(xí)）我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱(chēng)為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型．兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，則．【答案】/0.5【分析】依據(jù)洛必達(dá)法則去計(jì)算即可解決.【詳解】故答案為：2．（21-22高三上·湖北襄陽(yáng)·期末）我們把分子，分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱(chēng)為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型，兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必達(dá)在他的著作《無(wú)限小分析》一書(shū)中創(chuàng)造一種算法（洛必達(dá)法則），用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，則．【答案】2【分析】根據(jù)題設(shè)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限即得.【詳解】由題可得.故答案為：2.3．（2024·河北邢臺(tái)·二模）在函數(shù)極限的運(yùn)算過(guò)程中，洛必達(dá)法則是解決未定式型或型極限的一種重要方法，其含義為：若函數(shù)和滿足下列條件：①且（或，）；②在點(diǎn)的附近區(qū)域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；③（可為實(shí)數(shù)，也可為），則．(1)用洛必達(dá)法則求；(2)函數(shù)（，），判斷并說(shuō)明的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)已知，，，求的解析式．參考公式：，．【答案】(1)(2)僅在時(shí)存在1個(gè)零點(diǎn)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用洛必達(dá)法則求解即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合的單調(diào)性求解即可；（3）利用累乘法求出的表達(dá)式，然后結(jié)合，利用洛必達(dá)法則求極限即可.【詳解】（1）（2），，所以，．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，當(dāng)時(shí)，，所以僅在時(shí)存在1個(gè)零點(diǎn)．（3），所以，，…，將各式相乘得，兩側(cè)同時(shí)運(yùn)算極限，所以，即，令，原式可化為，又，由（1）得，故，由題意函數(shù)的定義域?yàn)椋C上，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查新定義，注意理解新定義，結(jié)合洛必達(dá)法則的適用條件，構(gòu)造函數(shù)，從而利用洛必達(dá)法則求極限.考點(diǎn)二、利用洛必達(dá)法則解決函數(shù)綜合問(wèn)題1．（全國(guó)高考）已知恒成立,求的取值范圍解:記,則則所以,在單調(diào)遞增,且所以時(shí),時(shí),即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增所以所以分析上式中求用了洛必達(dá)法則當(dāng)時(shí),分子,分母,符合不定形式,所以2．（天津高考）恒成立,求的取值范圍解:記,則則所以,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,所以即所以所以所以3．（全國(guó)高考）恒成立,求的取值范圍解:記,則記則所以,在單調(diào)遞增,所以所以,在單調(diào)遞增,所以即在上,所以在上單調(diào)遞增所以所以1．若不等式對(duì)于恒成立，求的取值范圍.【答案】【分析】由題設(shè)有在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、洛必達(dá)法則求右側(cè)的極限，即可得參數(shù)范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于.記，則.記，則.因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞減，且.因此在上單調(diào)遞減，且，故，因此在上單調(diào)遞減.由洛必達(dá)法則有，即趨向于0時(shí)，趨向，即有.故時(shí)，不等式對(duì)于恒成立.2．已知函數(shù).(1)若在時(shí)有極值，求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】小問(wèn)1：由可得的值，進(jìn)而可得表達(dá)式，然后進(jìn)行檢驗(yàn)符合條件即可；小問(wèn)2：根據(jù)題意可得對(duì)于恒成立，令，只需，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性結(jié)合由洛必達(dá)法則，則最值即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由在處取極值，得，求得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則在時(shí)有極大值，符合題意，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，即.①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，也即.記，，則.記，，則，因此在上單調(diào)遞增，且，所以；從而在上單調(diào)遞增，所以，由洛必達(dá)法則有：，即當(dāng)時(shí)，，所以，即有，綜上所述，當(dāng)，時(shí)，成立．3．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若關(guān)于的方程有唯一的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，求，斜率為，寫(xiě)出切線的方程，再將點(diǎn)點(diǎn)代入切線方程即可求出實(shí)數(shù)的值；（2）易知為方程的根，只需證明當(dāng)和時(shí)原方程均沒(méi)有實(shí)數(shù)解即可，分別討論，當(dāng)時(shí)，，，方程的解得情況，以及當(dāng)時(shí)，，，方程的解得情況，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），所以在點(diǎn)處的切線的斜率，又，所以切線的方程為：，即，由經(jīng)過(guò)點(diǎn)可得：.（2）易知為方程的根，由題只需說(shuō)明當(dāng)和時(shí)原方程均沒(méi)有實(shí)數(shù)解即可.①當(dāng)時(shí)，若，顯然有，而恒成立，此時(shí)方程顯然無(wú)解若，，，令，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減故在單調(diào)遞減從而，，此時(shí)方程也無(wú)解.若，由，記，則，設(shè)，則有恒成立，所以恒成立，故令在上遞增，在上遞減，可知原方程也無(wú)解由上面的分析可知時(shí)，，方程均無(wú)解.②當(dāng)時(shí)，若，顯然有，而恒成立，此時(shí)方程顯然無(wú)解若，和①中的分析同理可知此時(shí)方程也無(wú)解.若，由，記，則，由①中的分析知，故在恒成立，從而在上單調(diào)遞增，如果，即，則，要使方程無(wú)解，只需，即有如果，即，此時(shí)，方程一定有解，不滿足.由上面的分析知時(shí)，，方程均無(wú)解，綜合①②可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程有唯一解.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，函數(shù)方程轉(zhuǎn)化思想，分類(lèi)討論思想，屬于難題.4．已知.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；（2）.【分析】（1）由解析式知定義域?yàn)椋?，令，?yīng)用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進(jìn)而判斷的單調(diào)區(qū)間；（2）法一：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)并結(jié)合分類(lèi)討論的方法研究的單調(diào)性，進(jìn)而求的范圍；法二：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)與方程思想，結(jié)合分類(lèi)討論的方法研究的單調(diào)性，求的范圍；法三：分離常量法得在上恒成立，令應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，求的范圍；【詳解】（1）由解析式知：的定義域?yàn)榍遥?，則∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，即，∴在上單調(diào)遞增，即的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間.（2）解法1：直接求導(dǎo)，分類(lèi)討論.對(duì)任意，不等式恒成立等價(jià)于對(duì)任意，不等式恒成立.令，則，令，則，由知：，①當(dāng)，即時(shí)，即，即在上單調(diào)遞減，又，∴時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，又，∴時(shí)，，符合題意.②若，即，當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞增，即時(shí)，，故不恒成立，不合題意.③若，則恒成立，所以在單調(diào)遞增.∴時(shí)，，即在單調(diào)遞增，又時(shí)，，即恒成立，不合題意.綜上所述，的取值范圍是.解法2：對(duì)任意，不等式恒成立等價(jià)于對(duì)任意，恒成立.令，則，記，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，在單調(diào)遞減，又，所以時(shí)，，即對(duì)任意，恒成立.②當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，，即對(duì)任意，恒成立，不符合題意.③時(shí)，不等式化為，顯然不成立.④當(dāng)且時(shí)，方程的二根為，，若，，，則在單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，，即不等式不恒成立；若，，則在單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，，即不等式不恒成立.綜上所述，的取值范圍是.解法3：參數(shù)分離當(dāng)，對(duì)任意，不等式恒成立等價(jià)于對(duì)任意，恒成立.記，則，記，則，所以在單調(diào)遞減，又，所以，時(shí)，，即，所以在單調(diào)遞減.所以，綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）由解析式確定函數(shù)定義域，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究在某區(qū)間內(nèi)不等式恒成立，綜合應(yīng)用分類(lèi)討論、函數(shù)與方程等思想，以及分離常量法結(jié)合極限思想，求參數(shù)范圍.1．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，若對(duì)于任意恒成立，求的取值集合．【答案】的取值集合為【分析】以為分界點(diǎn)對(duì)不等式進(jìn)行討論，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及不等式恒成立的條件即可求解.【詳解】恒成立，即．當(dāng)時(shí)顯然成立，即．當(dāng)時(shí)，，令，則，令，則，所以遞增，所以，所以在上恒成立．所以在上遞增，根據(jù)洛必達(dá)法則得，，所以．同理，當(dāng)時(shí)，．綜上所述，的取值集合為．2．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【分析】由題意分離參數(shù)可得，令，對(duì)求導(dǎo)，求出的單調(diào)性結(jié)合洛必達(dá)法則求出的最大值.【詳解】∵，∴．∴當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增．若當(dāng)時(shí)，恒有成立，即恒有成立．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立．當(dāng)時(shí)，恒有成立，即，令，則．令，則，進(jìn)一步，∴在上單調(diào)遞減，∴．∴在上單調(diào)遞減，∴．即在上恒成立，∴在上單調(diào)遞減．∴，∴．綜上，的取值范圍為．3．（22-23高三·寧夏吳忠·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)若且恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）代入，得到，求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，即可得出答案；（2）因?yàn)?，分離參數(shù)可得.構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的導(dǎo)函數(shù)，得出的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)的最大值為，即可得出，進(jìn)而得出的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，可得，故，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.（2）由已知，所以，由，得.因?yàn)椋陨鲜娇苫癁?令，則，令，則.因?yàn)?，所以，所以為上的減函數(shù)，且，故時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，所以在在上為單調(diào)遞減.所以，當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值.則要使在上恒成立，則應(yīng)有.又因?yàn)?，?4．（23-24高二下·貴州六盤(pán)水·期中）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)，，求的取值范圍.【答案】(1)1(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得最小值；（2）分類(lèi)參數(shù)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，即可得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，；（2），，，令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，，即的取值范圍是.5．（21-22高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知，R．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意的，恒成立，求整數(shù)a的最小值．【答案】(1)分類(lèi)討論見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）求導(dǎo)，分，兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)正負(fù)，即得解；（2）轉(zhuǎn)化原不等式為在區(qū)間內(nèi)恒成立，令，求導(dǎo)分析單調(diào)性，即得解【詳解】（1）由題意得的定義域?yàn)?，，①時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞減，②時(shí)，令得或（舍）當(dāng)，單調(diào)遞減當(dāng)，，單調(diào)遞增．（2）由題意得，整理得，因?yàn)?，所以原命題等價(jià)于在區(qū)間內(nèi)恒成立，令，則，令，易知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，，故存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，也即為最大值，，故，又，故，又a為整數(shù)，故a的最小整數(shù)值為6．（2021·陜西漢中·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2).【分析】(1)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)將原不等式進(jìn)行參變分離得，然后構(gòu)造函數(shù)，從而把不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，求大于或等于函數(shù)的最大值問(wèn)題，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）依題意，令，得，由，得；由，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，設(shè)，則，令，得，當(dāng)在區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，隨的變化情況如下表：0極大值由上表可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有唯一極大值，也是其最大值，恒成立等價(jià)于，故的取值范圍是.7．（22-23高三上·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：當(dāng)時(shí)，；(3)若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值．【答案】(1)(2)見(jiàn)詳解(3)見(jiàn)詳解【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再代入求的值；（2）首先設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)，（3）首先不等式等價(jià)于對(duì)恒成立，參變分離后轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，轉(zhuǎn)化為求實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】（1）

，即切線的斜率為，又因?yàn)樗郧芯€方程為：，即.（2）令，則，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則所以在單調(diào)遞減，即，所以所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.（3）原題等價(jià)于對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，則.易知，即在單調(diào)遞增，所以，所以，故在單調(diào)遞減，所以.

綜上所述，的最大值為.8．（22-23高二下·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求在點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：當(dāng)時(shí)，.(3)若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)詳解(3)【分析】（1）由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出和，由點(diǎn)斜式可得解；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，等價(jià)于恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究的單調(diào)性和最小值即可得證；（3）利用參變分離將原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究的單調(diào)性和最小值即可得解【詳解】（1）由題意，，又由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，，所以在點(diǎn)處的切線方程：，即；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，等價(jià)于恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以，即在上為增函數(shù)，所以，即恒成立，恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，問(wèn)題得證；（3）若時(shí)，恒成立，等價(jià)于恒成立，令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，故當(dāng)時(shí)，原不等式恒成立.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)函數(shù)解不等式常見(jiàn)思路：（1）恒成立問(wèn)題常利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為最值求解（2）證明不等式可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．9．（22-23高三上·江西撫州·期中）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性，(2)若，當(dāng)時(shí)，恒成立時(shí)，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）求導(dǎo)，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可；（2）分離參數(shù)，當(dāng)時(shí)恒成立即可，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可求解最值得解.【詳解】（1）由可得.當(dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，恒成立即，設(shè)，則，令，則，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，故，綜上有，故，故為增函數(shù)，又，因?yàn)椋?，所以，故存在唯一零點(diǎn)使得，故當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，又，即，所以設(shè)，則，故為增函數(shù)，又，所以，所以，故要且為正整數(shù)則的最大值為3.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)范圍的問(wèn)題的解題常用方法：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題；3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別.10．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，曲線恒與x軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求