第15講 導數(shù)中的極值點偏移問題（高階拓展、競賽適用）（教師版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page導數(shù)中的極值點偏移問題（高階拓展、競賽適用）（8類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2022年全國甲卷理，第21題,12分導數(shù)中的極值偏移問題恒成立問題、零點問題利用導數(shù)證明不等式2021年新I卷，第22題,12分導數(shù)中的極值偏移問題利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導數(shù)證明不等式2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分【備考策略】1能用導數(shù)解決函數(shù)的基本問題2能理解并掌握極值點偏移的含義3能結(jié)合極值點偏移的形式綜合證明及求解【命題預(yù)測】極值點偏移問題在高考中很常見，此類問題以導數(shù)為背景考察學生運用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)換的思想解決函數(shù)問題的能力，層次性強，能力要求較高，需要綜合復習知識講解極值點偏移的含義眾所周知，函數(shù)滿足定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對稱；可以理解為函數(shù)在對稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點.如二次函數(shù)的頂點就是極值點，若的兩根的中點為，則剛好有，即極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移.若相等變?yōu)椴坏?，則為極值點偏移：若單峰函數(shù)的極值點為，且函數(shù)滿足定義域內(nèi)左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點左右側(cè)變化快慢不同.故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實數(shù)滿足，則與極值點必有確定的大小關(guān)系：若，則稱為極值點左偏；若，則稱為極值點右偏.如函數(shù)的極值點剛好在方程的兩根中點的左邊，我們稱之為極值點左偏.極值點偏移問題的一般題設(shè)形式1.若函數(shù)存在兩個零點且，求證：（為函數(shù)的極值點）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點）；3.若函數(shù)存在兩個零點且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.極值點偏移的判定定理對于可導函數(shù)，在區(qū)間上只有一個極大（?。┲迭c，方程的解分別為，且，（1）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c右（左）偏；（2）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（小）大值點右（左）偏.證明：（1）因為對于可導函數(shù)，在區(qū)間上只有一個極大（小）值點，則函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間為，單調(diào)遞減（增）區(qū)間為，由于，有，且，又，故，所以，即函數(shù)極（小）大值點右（左）偏；（2）證明略.左快右慢（極值點左偏）左慢右快（極值點右偏）左快右慢（極值點左偏）左慢右快（極值點右偏）對數(shù)平均不等式兩個正數(shù)和的對數(shù)平均定義：對數(shù)平均與算術(shù)平均?幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對數(shù)平均不等式）取等條件：當且僅當時，等號成立．只證：當時，．不失一般性，可設(shè)．證明如下：（I）先證：……①不等式①（其中）構(gòu)造函數(shù)，則．因為時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式①成立；（II）再證：……②不等式②（其中）構(gòu)造函數(shù)，則．因為時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，從而不等式成立；綜合（I）（II）知，對，都有對數(shù)平均不等式成立，當且僅當時，等號成立．運用判定定理判定極值點偏移的方法1、方法概述：（1）求出函數(shù)的極值點；（2）構(gòu)造一元差函數(shù)；（3）確定函數(shù)的單調(diào)性；（4）結(jié)合，判斷的符號，從而確定、的大小關(guān)系.考點一、極值點偏移高考真題鑒賞1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．【答案】(1)(2)證明見的解析【分析】（1）由導數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導數(shù)即可得證.【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導的定義域為，則令,得當單調(diào)遞減當單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個零點小于1,一個零點大于1，不妨設(shè)要證,即證因為,即證又因為,故只需證即證即證下面證明時，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個解又因為有兩個零點，故兩邊取對數(shù)得：，即又因為，故，即下證因為不妨設(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題是極值點偏移問題，關(guān)鍵點是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式這個函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【分析】(1)首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導函數(shù)的解析式，由導函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.(2)方法二：將題中的等式進行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)的定義域為．由得，，當時，；當時；當時，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因為，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因為，所以，即又因為，所以，即．因為，所以，即．綜上，有結(jié)論得證．【整體點評】(2)方法一：等價轉(zhuǎn)化是處理導數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導數(shù)問題必備的知識和技能.方法二：等價轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點偏移問題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.考點二、含對數(shù)型極值點偏移1．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最值；(2)若函數(shù)有兩個不同的極值點，記作，且，求證：.【答案】(1)無最小值，最大值為(2)證明見解析【分析】（1）對函數(shù)求導后得，分別求出和的解集，從而可求解.（2）由有兩個極值點，從而要證，令，構(gòu)建函數(shù)，然后利用導數(shù)求解的最值，從而可求解證明.【詳解】（1）由題意得，則.令，解得；令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，無最小值，最大值為.（2），則，又有兩個不同的極值點，欲證，即證，原式等價于證明①.由，得，則②.由①②可知原問題等價于求證，即證.令，則，上式等價于求證.令，則，恒成立，在上單調(diào)遞增，當時，，即，原不等式成立，即.【點睛】方法點睛：對于極值點偏移問題，首先找到兩極值點的相應(yīng)關(guān)系,然后構(gòu)造商數(shù)或加數(shù)關(guān)系；通過要證明的不等式，將兩極值點變形后構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用導數(shù)求解出構(gòu)造函數(shù)的最值，從而證明不等式或等式成立.1．（23-24高三上·江蘇南通·階段練習）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)若有兩個極值點，求證：.【答案】(1)有極小值1,無極大值；(2)證明見解析.【分析】（1）利用導函數(shù)研究函數(shù)的極值即可；（2）根據(jù)題意得出是方程的兩個根，結(jié)合函數(shù)表達式將問題轉(zhuǎn)化為證，利用極值點偏移構(gòu)造函數(shù)，判定其單調(diào)性計算即可.【詳解】（1）當時，函數(shù)，易知在定義域上單調(diào)遞增，且，所以當時，，即此時單調(diào)遞減，當時，，即此時單調(diào)遞增，故在時取得極小值，，無極大值；（2）由，令，即，由題意可知是方程的兩個根，則，欲證，即證，即證，令，若，定義域上單調(diào)遞增，不存在兩個零點，舍去；則，可知在時，單調(diào)遞減，在時，單調(diào)遞增，要符合題意則需，又時，，時，，此時不妨令，構(gòu)造函數(shù)，即在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，即，所以，因為，所以，且在時，單調(diào)遞增，故，得證.【點睛】本題關(guān)鍵在于先轉(zhuǎn)化問題為證，利用極值點偏移構(gòu)造函數(shù)，判定其單調(diào)性及最值得出即可.2．（2024·河北保定·二模）已知函數(shù)為其導函數(shù)．(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)若存在兩個不同的正數(shù)，使得，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）利用導數(shù)求函數(shù)的最大值，轉(zhuǎn)化為最大值小于等于1，即可求解；（2）不等式轉(zhuǎn)化為證明，即證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1），當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減．所以，解得，即的取值范圍為．（2）證明：不妨設(shè)，則，要證，即證，則證，則證，所以只需證，即．令，則，．當時，，則，所以在上單調(diào)遞減，則．所以．由（1）知在上單調(diào)遞增，所以，從而成立．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用分析法，轉(zhuǎn)化為證明.考點三、含指數(shù)型極值點偏移1．（22-23高二上·重慶沙坪壩·期末）已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(2)若存在極小值，且極小值等于，求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由條件可得在上恒成立，然后可得，然后利用導數(shù)求出的最大值即可；（2）求出，分、、、四種情況討論的單調(diào)性，然后可得，令、，然后利用、的單調(diào)性可證明.【詳解】（1）因為在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，且不恒等于，由可得，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以；（2）因為，其定義域為，所以，①當時，，所以當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以的極小值為，而，不合題意，②當時，由可得或，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以的極小值為，而，不合題意，③當時，，在上單調(diào)遞增，不合題意，④當時，由可得或，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以的極小值為，令，則，所以，令，則，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，令，則所以在上單調(diào)遞增，所以，所以當時有，因為，所以，又因為在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．(2)若，求證：．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；極大值為，極小值為(2)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)可求得的單調(diào)區(qū)間，并確定極值點，由此可進一步求得極值；（2）根據(jù)單調(diào)性和極值可確定的范圍，利用極值點偏移的證明方法，構(gòu)造函數(shù)，，可證得，，結(jié)合不等式的性質(zhì)可證得結(jié)論.【詳解】（1）定義域為，，令，解得：或，當時，；當時，；的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；的極大值為，極小值為.（2）由（1）知：，，．令，，則；令，則；令，則，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，對任意恒成立．，，又，，在上單調(diào)遞增，，，即；令，，則；在上單調(diào)遞增，，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，對任意恒成立．，．又，，在上單調(diào)遞增，且，，；由得：，，.【點睛】思路點睛：本題第（1）問用到導數(shù)零點九字訣：有沒有，在不在，比大小．第（2）問用到第（1）問的兩個極值點和，然后兩次利用極值點偏移法，得出兩個不等式和，再利用這兩個不等式巧妙得出所要證明的不等式．2．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）設(shè)，為函數(shù)（）的兩個零點．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出定義域，求導，得到的單調(diào)性和極值情況，根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)，得到，求出，結(jié)合題目條件，得到當時，，根據(jù)零點存在性定理得到在內(nèi)存在唯一零點，同理得到在內(nèi)存在唯一零點，從而求出答案；（2）設(shè)，由可得，令，故，，推出要證，即證，構(gòu)造，，求導，對分子再構(gòu)造函數(shù)，證明出，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故，即，證明出結(jié)論.【詳解】（1）的定義域為R，，當時，，當時，，故在內(nèi)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故要使有兩個零點，則需，故，由題目條件，可得，當時，因為，又，故在內(nèi)存在唯一零點，又，故在內(nèi)存在唯一零點，則在R上存在兩個零點，故滿足題意的實數(shù)的取值范圍為；（2）證明：由（1）可設(shè)，由可得，令，則，所以，故，所以，要證，即證，即證，因為，即證，即，令，，，令，則，當時，，當時，，故在內(nèi)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以，令得，故，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故，即，，，則，證畢．【點睛】導函數(shù)處理零點個數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號，隱零點的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學生對多種基本方法，基本思想，基本既能進行整合，注意思路是通過極值的正負和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢，從而判斷零點個數(shù)，較為復雜和綜合的函數(shù)零點個數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進行分類討論，分類的標準，及分類是否全面，都是需要思考的地方考點四、加法型極值點偏移1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)恰有兩個零點．(1)求的取值范圍；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導得到，利用導數(shù)得到的最小值，從而要使有兩個零點，則最小值小于，得到的范圍；（2）由（1）的結(jié)論，構(gòu)建函數(shù)，，由得到函數(shù)單調(diào)遞增，得到，從而得到，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則得到.【詳解】（1）因為，所以，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取最小值．因為當時，，當時，，且函數(shù)恰有兩個零點，所以,所以的取值范圍為．（2）由（1）知，為的極小值點，所以可設(shè)，則，構(gòu)建函數(shù)，，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，，所以，因為，所以，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：由的極小值點，得到零點的位置，通過構(gòu)建函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性可得結(jié)果.2．（2023·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求的取值范圍；(2)若關(guān)于的方程有兩個不同的正實根，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）對不等式參變分離，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求的最大值可解；（2）將變形為，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性將方程轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)討論其性質(zhì)，結(jié)合圖象可得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性，并令，可得，最后由作差整理可證.【詳解】（1）的定義域為，由，得.設(shè)，則.由，得，由，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而.故，即的取值范圍是.（2）證明：由，得，即，即.設(shè)，則等價于.易證在上單調(diào)遞增，則，即.設(shè)，則.由，得，由，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，且，當x趨于時，趨于0.方程有兩個不同的正實根，不妨設(shè)，由圖可知，.設(shè)則在上單調(diào)遞增.因為，所以，即.設(shè)，則，即，則.因為方程有兩個不同的正實根，所以，作差得.因為，所以，所以，則，故.【點睛】本題屬于極值點偏移問題，通常處理方法有構(gòu)造差函數(shù)借助單調(diào)性證明，或者合理代換將二元化為一元問題，利用導數(shù)求解即可.3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當時，判斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；(2)若有三個零點，且．（i）求的取值范圍；（ii）證明：.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）多次求導后，借助導數(shù)的單調(diào)性及正負即可判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）（i）原條件可轉(zhuǎn)化有三個不等實根，從而構(gòu)造函數(shù)，研究該函數(shù)即可得；（ii）借助的單調(diào)性，得到，從而將證明，轉(zhuǎn)化為證明，再設(shè)，從而將三個變量的問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，即可構(gòu)造函數(shù)，證明其在上大于即可.【詳解】（1）當時，，，令，，令，可得，則當時，，當時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，故當時，，當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）（i）有三個零點，即有三個根，由不是該方程的根，故有三個根，且，令，，故當時，，當時，，即在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當時，，時，，當時，，時，，故時，有三個根；（ii）由在上單調(diào)遞增，，故，由（i）可得，且，即只需證，設(shè)，則，則有，即有，故，，則，即，即只需證，令，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，即得證.【點睛】方法點睛：極值點偏移問題的一般題設(shè)形式：1.若函數(shù)存在兩個零點且，求證：（為函數(shù)的極值點）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點）；3.若函數(shù)存在兩個零點且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)有兩個零點．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）先分離參數(shù)將函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求其單調(diào)性、最值即可得的取值范圍；（2）法一、根據(jù)第（1）問得到的取值范圍，令，通過比值換元將問題化為證，構(gòu)造函數(shù)求其導函數(shù)、單調(diào)性最值即可；法二、根據(jù)第（1）問得到的取值范圍，先判定結(jié)論成立，再利用函數(shù)的單調(diào)性將所證不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式來判定時是否成立，通過構(gòu)造，利用導數(shù)研究其單調(diào)性及最值即可.【詳解】（1）由得，則由有兩個零點知方程有兩個不同的實數(shù)根．令，則，由得，由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．而，當時，，當時，，故，即，實數(shù)的取值范圍為．（2）法一、由（1）知，令，則．由得，要證，只需證，只需證，即證，即證．令，則，令，，則，所以單調(diào)遞增，即，故在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，故，得證．法二、由（1）知，當時，顯然．當時，則，要證，只需證，又且在上單調(diào)遞增，故只需證，即證，即證，即證，令，則，令，則，在上單調(diào)遞減，所以，故，所以在上單調(diào)遞減，則，又，所以當時，，即．【點睛】方法點睛：含有雙變量的不等式證明問題中的雙變量指的是所給的不等關(guān)系中涉及兩個不同變量，處理此類問題有兩個策略：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙變量所滿足的等式，把含雙變量的不等式轉(zhuǎn)化為含單變量的不等式求解；二是巧妙構(gòu)造函數(shù)，再利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值．2．（2024高三下·全國·專題練習）已知函數(shù)．(1)證明：；(2)若，且，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）對函數(shù)變形整理，構(gòu)造函數(shù)，對其進行二次求導，從而可求出的單調(diào)性，進而可求出函數(shù)的最大值，即可證明結(jié)論成立.（2）對函數(shù)進行二次求導，從而可判斷函數(shù)單調(diào)性，要證，只需證，結(jié)合在上單調(diào)遞減知只需證，即證，進而構(gòu)造函數(shù)判斷其單調(diào)性即可證明.【詳解】（1）由題意，，設(shè)，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，從而，故恒成立，，故．（2）由題意，，，，，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，在上單調(diào)遞減，且，若，則，不合題意，若，則，不合題意，∴，要證，只需證，結(jié)合在上單調(diào)遞減知只需證，又，，故只需證，即證①，令，，則，，在上單調(diào)遞增，又，，從而在上單調(diào)遞減，，，，，即不等式①成立，故．【點睛】本題考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及利用導數(shù)證明不等式問題，考查了學生的邏輯推理能力及數(shù)據(jù)分析能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.3．（2024高三·全國·專題練習）設(shè)函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，且，求證：．【答案】(1)在上單調(diào)遞增(2)證明見解析【分析】(1)由題意得，令，根據(jù)的正負確定的單調(diào)性，得，即得函數(shù)的單調(diào)性.（2）構(gòu)造函數(shù)，其中，則，令，得，從而可得在上單調(diào)遞減，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得【詳解】（1）∵，，∴．令，則．令，得或．當時，；當時，；當時，．∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，，故對一切恒成立，∴，于是，故在上單調(diào)遞增．（2）不妨設(shè)．構(gòu)造函數(shù)，其中，則．由，得．令，∵，∴在單調(diào)遞增，則．∴在上單調(diào)遞減，∴，即對恒成立．∵，∴，∴．由（1）知在上單調(diào)遞增，∴，故．考點五、減法型極值點偏移1．（23-24高二下·云南·期中）已知函數(shù).(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)當時，若方程有三個不相等的實數(shù)根，且，證明：.【答案】(1)在上單調(diào)遞增(2)證明見解析【分析】（1）求定義域，求導，結(jié)合得到，即在內(nèi)恒成立，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；（2），求導，得到函數(shù)單調(diào)性，得到，構(gòu)造，求導得到函數(shù)單調(diào)性，得到，再構(gòu)造，求導得到函數(shù)單調(diào)性，得到，兩式結(jié)合得到答案.【詳解】（1）由題意可知：的定義域為，，令，可得，當時，即，，可知在上恒成立，即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.（2）當時，可得，，或故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由題意可得：，因為，令，則，可知在上單調(diào)遞增，則，可得在上恒成立，因為，則，且在上單調(diào)遞減則，即；令，則，可知在上單調(diào)遞增，則，可得在上恒成立，因為，則，且在上單調(diào)遞增，則，即；由和可得.【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造兩次差函數(shù)，解決極值點偏移問題，即構(gòu)造，求導得到函數(shù)單調(diào)性，得到，再構(gòu)造，求導得到函數(shù)單調(diào)性，得到.1．（23-24高三上·河南·開學考試）有兩個零點．(1)時，求的范圍；(2)且時，求證：．【答案】(1)(2)證明見詳解【分析】（1）將函數(shù)零點與方程的根聯(lián)系起來，進一步分離參數(shù)構(gòu)造新的函數(shù)，利用導數(shù)研究其性態(tài)即可求解.（2）當時由及的兩個零點之間的距離可得.【詳解】（1）時，，由題意的兩個零點即為方程的兩個根，分離參數(shù)即得，令，對其求導得，設(shè)，則，所以在定義域上面單調(diào)遞減，注意到，所以隨的變化情況如下表：所以有極大值（最大值），又當時，；當時，，若方程有兩個根，則，即的取值范圍為.（2）因為，設(shè)，所以當且時有，進而有，且的函數(shù)圖像恒在的函數(shù)圖象上方，不妨設(shè)的兩個零點為（且），如圖所示：因此的兩個零點在二次函數(shù)兩個零點之內(nèi)，所以有，令，則其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分步為，其判別式，又，所以，綜上，有，命題得證.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第一問的關(guān)鍵在于將函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的根進一步分離參數(shù)，至于第二問的關(guān)鍵是進行放縮，進而去發(fā)現(xiàn)相應(yīng)零點之間的變化.2．（23-24高三下·天津·階段練習）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，設(shè)的兩個極值點為，且存在，使得的圖象與有三個公共點；①求證：；②求證：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，再討論，結(jié)合函數(shù)的定義域，即可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）①要證，即證，只需證，構(gòu)造函數(shù)，，借助導數(shù)即可得證；②同①中證法，先證，則可得，利用、是方程的兩根所得韋達定理，結(jié)合即可得證.【詳解】（1），，其中，，當時，即，此時恒成立，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，當時，即或，當時，在區(qū)間上恒成立，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，，得或，當，或時，，當時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，綜上可知，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）①由（1）知，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，、是方程的兩根，有，，又的圖象與有三個公共點，故，則，要證，即證，又，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，即可證，又，即可證，令，，由，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，即，即恒成立，即得證；②由，則，令，，則，故在上單調(diào)遞增，即，即當時，，由，故，又，故，由，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，又由①知，故，又，故.【點睛】關(guān)鍵點點睛：最后一問關(guān)鍵點在于先證，從而借助①中所得，得到.考點六、平方型（立方型）極值點偏移1．（22-23高三上·云南·階段練習）已知函數(shù)，．(1)若，求的取值范圍；(2)證明：若存在，，使得，則．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)后可得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可求最大值，從而可求參數(shù)的取值范圍.（2）利用極值點偏移可證，結(jié)合不等式放縮可證.【詳解】（1），，令，解得，所以當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在單調(diào)遞減，所以，要使，則有，而，故，所以的取值范圍為．（2）證明：當時，由（1）知，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，設(shè)，所以，，①若，則，成立；②若，先證，此時，要證，即證，即，，令，，，所以在(1,2)上單調(diào)遞增，所以，即，，所以，因為，，所以，即．【點睛】思路點睛：對于導數(shù)中的多變量的不等式問題，應(yīng)該根據(jù)要證明的不等式合理構(gòu)建新的不等式，而后者可借助極值點偏移來處理，注意前者在構(gòu)建的過程中可利用一些常見的不等式來處理.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個零點，，且，求證：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，然后分類討論的取值情況，從而可求解.（2）結(jié)合（1）中結(jié)論可知，從而求出，，然后設(shè)并構(gòu)造函數(shù)，然后利用導數(shù)求解，然后再構(gòu)造函數(shù)證明，從而求解.【詳解】（1）因為函數(shù)的定義域是，，當時，，所以在上單調(diào)遞減；當時，令，解得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減．綜上所述，當時，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）因為是函的兩個零點，由（1）知，因為，設(shè)，則，當，，當，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．又因為，且，所以，．首先證明：．由題意，得，設(shè)，則兩式相除，得．要證，只要證，即證．只要證，即證．設(shè)，．因為，所以在上單調(diào)遞增．所以，即證得①．其次證明：．設(shè)，．因為，所以在上單調(diào)遞減．所以，即．所以②．由①②可證得．【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．（4）利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)若對任意的都有，求實數(shù)的取值范圍；(2)若且，，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）分別計算，的導函數(shù)，接著分析它們的單調(diào)性，求得在時，的最大值為，的最小值為，問題得解；（2）先將轉(zhuǎn)化為，再設(shè)，數(shù)形結(jié)合得到，接著構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得到，最后利用放縮法證明不等式.【詳解】（1）由，，得，，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當時，的最大值為．當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，的最小值為．所以，故實數(shù)的取值范圍為．（2）由得，兩邊取對數(shù)并整理，得，即，即．由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，（技巧：注意對第（1）問結(jié)論的應(yīng)用）而，當時，恒成立，不妨設(shè)，則．記，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，，于是，，又在上單調(diào)遞減，因此，即，所以．【點睛】利用對稱化構(gòu)造的方法求解極值點偏移問題的“三步曲”：（1）求導，得到函數(shù)的單調(diào)性、極值情況，作出函數(shù)圖象，由得到的大致范圍．（2）構(gòu)造輔助函數(shù)（若要證，則構(gòu)造函數(shù)；若要證，則構(gòu)造函數(shù).），限定的范圍，求導，判定符號，獲得不等式．（3）代入，利用及的單調(diào)性即得所證結(jié)論．1．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實根，求證：；【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域和導數(shù)，再根據(jù)和分類討論，即可得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）由可得，是方程的兩不等實根，從而可將問題轉(zhuǎn)化為是方程的兩不等實根，即可得到和的范圍，原不等式等價于，即極值點偏移問題，根據(jù)對稱化構(gòu)造（解法1）或?qū)?shù)均值不等式（解法2）等方法即可證出．【詳解】（1）由題意得，函數(shù)的定義域為.由得：，當時，在上單調(diào)遞增；當時，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因為是方程的兩不等實根，，即是方程的兩不等實根，令，則，即是方程的兩不等實根.令，則，所以在上遞增，在上遞減，，當時，；當時，且.所以0，即0.令，要證，只需證，解法1（對稱化構(gòu)造）：令，則，令，則，所以在上遞增，，所以h，所以，所以，所以，即，所以.解法2（對數(shù)均值不等式）：先證，令，只需證，只需證，令，所以在上單調(diào)遞減，所以.因為，所以，所以，即，所以.【點睛】方法點睛：本題第二問解題關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化，將問題變成熟悉的極值點偏移問題，從而根據(jù)對稱化構(gòu)造及對數(shù)均值不等式等方法證出．2．（22-23高二下·遼寧·期末）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若（e是自然對數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：.【答案】(1)結(jié)論見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，再按分類探討的正負作答.（2）等價變形給定等式，結(jié)合時函數(shù)的單調(diào)性，由，，再構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)、均值不等式推理作答.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導得則，由得，若，當時，，則單調(diào)遞減，當時，，則單調(diào)遞增，若，當時，，則單調(diào)遞增，當時，，則單調(diào)遞減；所以當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由，兩邊取對數(shù)得，即，由（1）知，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而，時，恒成立，因此當時，存在且，滿足，若，則成立；若，則，記，，則，即有函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，于是，而，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，又，則有，則，所以.【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)的雙零點問題，不管待證的是兩個變量的不等式，還是導函數(shù)的值的不等式，都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).3．（2023·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若有2個不同的零點（），求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求解函數(shù)定義域，參變分離得到，構(gòu)造，利用導函數(shù)得到其單調(diào)性，極值和最值情況，得到；（2）轉(zhuǎn)化為有2個不同的實數(shù)根，構(gòu)造，得到其單調(diào)性，得到，且，求出，換元后即證，構(gòu)造，求導后得到在上單調(diào)遞增，，得到證明.【詳解】（1）因為函數(shù)的定義域為，所以成立，等價于成立.令，則，令，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，又因為，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值也是最大值.因此，即實數(shù)的取值范圍為.（2）有2個不同的零點等價于有2個不同的實數(shù)根.令，則，當時，解得.所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值為.又因為，當時，，當時，.且時，.所以，且.因為是方程的2個不同實數(shù)根，即.將兩式相除得，令，則，，變形得，.又因為，，因此要證，只需證.因為，所以只需證，即證.因為，即證.令，則，所以在上單調(diào)遞增，，即當時，成立，命題得證.【點睛】極值點偏移問題中，若等式中含有參數(shù)，則消去參數(shù)，由于兩個變量的地位相同，將特征不等式變形，如常常利用進行變形，可構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用導函數(shù)再進行求解.考點七、乘積型極值點偏移1．（2023高三·全國·專題練習）已知函數(shù).若有兩個零點，證明：.【答案】證明見解析【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，從而只需證明，即可求解.【詳解】由題意得，令，則，，所以在上單調(diào)遞增，故至多有解；又因為有兩個零點，所以，有兩個解，令，，易得在上遞減，在上遞增，所以.此時，兩式相除，可得：.于是，欲證只需證明：，下證：因為，不妨設(shè)，則只需證，構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞減，故，即得證，綜上所述：即證.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題通過構(gòu)造對數(shù)不等式證明極值點偏移問題.2．（2024·廣東湛江·一模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個根，，求實數(shù)a的取值范圍，并證明：．【答案】(1)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，(2)見解析【分析】（1）求出，根據(jù)導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）由，得，設(shè)，畫出的圖象可得；由，設(shè)，對求導可得，又，再由在上單調(diào)遞減，可得，即可證明.【詳解】（1）由題意可得，所以，的定義域為，又，由，得，當時，，則在上單調(diào)遞增，當時，，則在上單調(diào)遞減，（2）由，得，設(shè)，，由，得，當時，，則在上單調(diào)遞增，當時，，則在上單調(diào)遞減，又，，且當趨近于正無窮，趨近于，的圖象如下圖，所以當時，方程有兩個根，證明：不妨設(shè)，則，，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即，又，所以，又，，在上單調(diào)遞減，所以，故.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）解此問的關(guān)鍵在于求出的導數(shù)，并能根據(jù)導數(shù)的符號結(jié)合相關(guān)知識判斷出單調(diào)性；（2）解此問的關(guān)鍵在于把轉(zhuǎn)化為來證，又，構(gòu)造，對求導，得到的單調(diào)性和最值可證得，即可證明.3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù).(1)當時，判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個不同實根，求實數(shù)的取值范圍，并證明.【答案】(1)在上單調(diào)遞增(2)，證明見解析【分析】（1）對求導，根據(jù)的符號得出的單調(diào)性；（2）由題意可知有兩解，求出的過原點的切線斜率即可得出的范圍，設(shè)，根據(jù)分析法構(gòu)造關(guān)于的不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式恒成立即可，【詳解】（1）時，，故，在上單調(diào)遞增.（2）關(guān)于的方程有兩個不同實根,，即有兩不同實根，，得，令，，令，得，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，時，取得最大值，且，得圖象如圖：.

，則，即當時，有兩個不同實根，，兩根滿足，，兩式相加得：，兩式相減地，上述兩式相除得，不妨設(shè)，要證：，只需證：,即證，設(shè)，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且,，即，.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明或判定不等式問題：1，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2，利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3，適當放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4，構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).1．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數(shù).(1)若有唯一極值，求的取值范圍；(2)當時，若，，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，分析極值點情況即可得解.（2）由（1）的信息可設(shè)，再構(gòu)造函數(shù)，探討函數(shù)的單調(diào)性推理即得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導得，當時，若，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點，不符合題意；若，當或時，，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有兩個極值點，不符合題意；若，當或時，，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有兩個極值點，不符合題意；當時，當時，，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，2是函數(shù)的極大值點，且是唯一極值點，所以的取值范圍是.（2）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，，不妨令，要證，只證，即證，就證，令，求導得，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，，而，則，即，又，因此，顯然，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，所以.【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)的雙零點問題，不管待證的是兩個變量的不等式，還是導函數(shù)的值的不等式，都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).2．（23-24高三上·四川遂寧·階段練習）設(shè)，.(1)當時，求的極值；(2)若有恒成立，求的取值范圍；(3)當時，若，求證：.【答案】(1)，；(2)；(3)證明見解析【分析】（1）求導得到的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性求極值即可；（2）將恒成立轉(zhuǎn)化為，然后分和兩種情況討論最大值即可求解；（3）將證明轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，求導得到，即可得證.【詳解】（1）的定義域為由題：，，令，解得或，令，解得，∴在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，.（2）由題：，欲使恒成立，只需，當時：∵，時，，時，，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，∴，得，此時，；當時：若即，令，解得或，令，解得，則在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，若即，，則在上單調(diào)遞增，若即，令，解得或，令，解得，則在，上單調(diào)遞，上單調(diào)遞減，不論上述哪種情況，均有，因此，不可能有恒成立，舍.綜上：的取值范圍為.（3）由（2）的結(jié)論可知：當時：在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，∵，∴由圖，不妨設(shè)，

欲證①，只需證，即證，即證，即證，即證②，設(shè)，，，，，又∵，，，，，在上單調(diào)遞減，，∴②成立，∴①成立.【點睛】方法點睛：處理極值點偏移問題中的類似于的問題的基本步驟如下：①求導確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導可得恒正或恒負；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④根據(jù)與的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.3．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知．(1)當時，討論函數(shù)的極值點個數(shù)；(2)若存在，，使，求證：．【答案】(1)函數(shù)的極值點有且僅有一個(2)證明見解析【分析】（1）對函數(shù)進行求導，然后分和兩種情況對函數(shù)的單調(diào)性進行研究，即可得到答案；（2）由可得（*），通過證明單調(diào)遞增，（*）轉(zhuǎn)化為，接著證明成立，即可求解【詳解】（1）當時，，則，當時，，故在上單調(diào)遞增，不存在極值點；當時，令，則總成立，故函數(shù)即在上單調(diào)遞增，且，，所以存在，使得，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；故在上存在唯一極值點，綜上，當時，函數(shù)的極值點有且僅有一個．（2）由知，整理得，（*），不妨令，則，故在上單調(diào)遞增，當時，有，即，那么，因此，（*）即轉(zhuǎn)化為，接下來證明，等價于證明，不妨令（），建構(gòu)新函數(shù)，，則在上單調(diào)遞減，所以，故即得證，由不等式的傳遞性知，即．【點睛】思路點睛：應(yīng)用對數(shù)平均不等式證明極值點偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到；③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.考點八、商式型極值點偏移1．（2022高三·全國·專題練習）已知函數(shù)有兩個相異零點?，且，求證：.【答案】證明見解析.【分析】對函數(shù)求導并研究的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)有兩個相異零點?得極大值，即有，進而有，應(yīng)用作差法可得，而、即可證明結(jié)論.【詳解】由題設(shè)，，由，得，由，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，且為最大值.由有兩個相異零點?，可得，即.，，，即，則，，，.2．（福建省寧德市2021屆高三三模數(shù)學試題）已知函數(shù).（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性：（2）若函數(shù)恰有兩個極值點，且，求的最大值.【答案】（1）在上單調(diào)遞增；（2）最大值為3.【分析】（1）對函數(shù)求導，然后分及討論即可得的單調(diào)性；（2）設(shè)，由題意，，，則，設(shè)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意即可求得的最大值.【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域為，，當時，恒成立，在上單調(diào)遞增；當時，令，則，設(shè)，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，∴，∴，在上單調(diào)遞增；綜上，當時，在上單調(diào)遞增；（2）依題意，，則，兩式相除得，，設(shè)，則，，，∴，，∴，設(shè)，則，設(shè)，則，∴在單調(diào)遞增，則，∴，則在單調(diào)遞增，又，即，而，∴，即的最大值為3.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題（2）問解題的關(guān)鍵點是，根據(jù)得，利用比值代換，則有，，，從而將雙變量問題變?yōu)閱巫兞繂栴}來解決.3．（22-23高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知函數(shù)，.(1)若對于任意，都有，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個零點，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）通過轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出該函數(shù)的最小值即可；（2）通過利用極值點偏移的知識，令，，利用導數(shù)相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為證明即可.【詳解】（1）結(jié)合題意：對于任意，都有，所以，因為，所以只需，，當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增.所以只需；（2）等價于，設(shè)函數(shù)，，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減，由知且，，設(shè)函數(shù)，其中，知，知在區(qū)間上單調(diào)遞增，即時，即時，，即，又由已知由且，有且，由在上單調(diào)遞減，所以，即.1．（22-23高二下·湖北·期末）已知函數(shù)（）.（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)恰有兩個極值點，（），且，求的最大值.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，再分和求函數(shù)的導數(shù)；（2）首先由條件可知，變形后兩式相除得，設(shè)，換元后，分別解出和，通過構(gòu)造函數(shù)（），利用導數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，再解抽象不等式，從而求得的最大值.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，當時，恒成立，在上單調(diào)遞增；當時，令，則，設(shè)，則，易知，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，∴，∴，在上單調(diào)遞增；綜上，當時，在上單調(diào)遞增；（2）依題意，，則兩式相除得，，設(shè)，則，，，∴，，∴，設(shè)（），則，設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，則，∴，則在單調(diào)遞增，又，且∴，∴，即的最大值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理以及運算求解能力，屬于中檔題，本題第二問的關(guān)鍵是換元后解出，，從而將轉(zhuǎn)化為（），利用導數(shù)判斷函數(shù)的性質(zhì).2．（21-22高二上·湖北武漢·期末）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且，證明：.【答案】（1）時，遞增；時，遞減；（2）證明見解析.【分析】（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，并判斷導數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合導函數(shù)的零點，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）首先方程變形為，設(shè)，，通過構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)證明，再分和時，證明.【詳解】解：（1），是減函數(shù)，是增函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，∵，∴時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減.（2）由題意得，，即，，設(shè)，，則由得，，且.不妨設(shè)，則即證，由及的單調(diào)性知，.令，，則，∵，∴，，∴，取，則，又，則，又，，且在單調(diào)遞減，∴，.下證：.（i）當時，由得，；（ii）當時，令，，則，記，，則，又在為減函數(shù)，∴，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴單調(diào)遞減，從而，在單調(diào)遞增，又，，∴，又，從而，由零點存在定理得，存在唯一，使得，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.所以，，又，，所以，，顯然，，所以，，即，取，則，又，則，結(jié)合，，以及在單調(diào)遞增，得到，從而.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問要證明不等式成立，換元后轉(zhuǎn)化為，兩次構(gòu)造函數(shù)，并轉(zhuǎn)化為極值點偏移問題，證明不等式.6．（2023·湖北武漢·三模）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根、，（?。┣髮崝?shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：．【答案】(1)答案見解析(2)（?。?；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）求出，分、兩種情況討論，分析導出的符號變化，即可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）（i）將方程變形為，令，令，可知直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍；（ii）將所證不等式等價變形為，由變形可得出，推導出，即證．令，只需證，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導數(shù)法即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：因為，所以，其中.①當時，，所以函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；②當時，由得，由可得.所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．綜上：當時，函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）解：（i）方程可化為，即．令，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，易知函數(shù)的值域為，結(jié)合題意，關(guān)于的方程（*）有兩個不等的實根．又因為不是方程（*）的實根，所以方程（*）可化為．令，其中，則．由可得或，由可得，所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以，函數(shù)的極小值為，且當時，；當時，則.作出函數(shù)和的圖象如下圖所示：由圖可知，當時，函數(shù)與的圖象有兩個交點，所以，實數(shù)的取值范圍是.（ii）要證，只需證，即證．因為，所以只需證．由（ⅰ）知，不妨設(shè)．因為，所以，即，作差可得．所以只需證，即只需證．令，只需證．令，其中，則，所以在上單調(diào)遞增，故，即在上恒成立．所以原不等式得證．【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).1．（2023高三·全國·專題練習）已知函數(shù)的圖像與直線交于不同的兩點，，求證：．【答案】證明見解析【分析】利用構(gòu)造函數(shù)且結(jié)合導數(shù)求解極值點偏移問題.【詳解】證明：由題意，，令，得，當，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，當，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，取到極小值.所以與交于不同的兩點，，所以不妨設(shè)，且，令，則，代入上式得，得，所以，設(shè)，則，所以當時，為增函數(shù)，，所以，故證：.【點睛】關(guān)鍵點睛：通過構(gòu)造函數(shù)并結(jié)合函數(shù)的導數(shù)從而求解極值點偏移.2．（2023·江西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，且，證明：，且．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求定義域，求導，分和兩種情況，得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）變形為是方程的兩個實數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，得到其單調(diào)性和極值最值情況，結(jié)合圖象得到，再構(gòu)造差函數(shù)，證明出.【詳解】（1）的定義域為R，由題意，得，，當時，恒成立，在上單調(diào)遞增；當，且當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）證明：由，得，是方程的兩個實數(shù)根，即是方程的兩個實數(shù)根．令，則，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以．因為當時，；當時，，，所以．不妨設(shè)，因為，是方程的兩個實數(shù)根，則．要證，只需證．因為，，所以只需證．因為，所以只需證．令，，則在恒成立．所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即當時，．所以，即成立．【點睛】極值點偏移問題，通常會構(gòu)造差函數(shù)來進行求解，若等式中含有參數(shù)，則先消去參數(shù).3．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習）已知函數(shù)的導函數(shù)為，若存在兩個不同的零點.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)，求出，討論其符號后結(jié)合零點存在定理可得參數(shù)的取值范圍.（2）結(jié)合的單調(diào)性可得等價于，，，討論的單調(diào)性后可得原不等式成立.【詳解】（1），設(shè)，則，當時，；當時，；故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因存在兩個不同的零點，故即.此時且，故在有且只有一個零點.令，則，當時，；當時，；故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，故，故當時，有，故此時在有且只有一個零點.綜上，.（2）由（1）分析可得，要證：，即證：，因即，故即證，即證：，其中，設(shè)，，則，故（因為，等號不可?。?，所以在上為增函數(shù)，故即，故成立即.4．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的零點個數(shù).(2)若關(guān)于的方程有兩個不同實根，求實數(shù)的取值范圍并證明.【答案】(1)有且僅有一個零點(2)，證明見解析【分析】（1）利用導函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，以及零點的存在性定理求解；（2）根據(jù)題意可得有兩個不同實根，進而可得，兩式相加得，兩式相減得，從而有，進而要證，只需證，即證，構(gòu)造函數(shù)即可證明.【詳解】（1）當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為，所以函數(shù)有且僅有一個零點.（2）方程有兩個不同實根，等價于有兩個不同實根，得，令，則，令，解得；令，解得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，由，得當時，；當?shù)拇笾聢D象如圖所示，

所以當，即時，有兩個不同實根；證明：不妨設(shè)且兩式相加得，兩式相減得，所以，要證，只需證，即證，設(shè)，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即，所以，原命題得證.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問考查極值點偏移問題，常用解決策略是根據(jù)，兩式相加相減，進而可得，進而要證，只需證，即證，從而將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，令，討論該函數(shù)的單調(diào)性和最值即可證明.5．（2024·云南·二模）已知常數(shù)，函數(shù).(1)若，求的取值范圍;(2)若、是的零點，且，證明:.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，依題意，即可求出的取值范圍；（2）由（1）不妨設(shè)，設(shè)，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，結(jié)合及的單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1）由已知得的定義域為，且，當時，，即在上單調(diào)遞減；當時，，即在上單調(diào)遞增.所以在處取得極小值即最小值，，，，即的取值范圍為.（2）由（1）知，的定義域為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且是的極小值點.、是的零點，且，、分別在、上，不妨設(shè)，設(shè)，則當時，，即在上單調(diào)遞減.，，即，，，，，又，在上單調(diào)遞增，，即.【點睛】方法點睛：（1）給定函數(shù)比較大小的問題，需判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性以及需要比較的數(shù)值構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可比較大小；（2）極值點偏移法證明不等式，先求函數(shù)的導數(shù)，找到極值點，分析兩根相等時兩根的范圍，根據(jù)范圍以及函數(shù)值相等構(gòu)造新的函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及最值，判斷新函數(shù)小于或大于零恒成立，即可證明不等式.6．（22-23高二下·安徽·階段練習）已知函數(shù)．(1)若為定義域上的增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)令，設(shè)函數(shù)，且，求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由為定義域上的增函數(shù)可得恒成立，可轉(zhuǎn)化為，故求的最大值即可求得答案；（2）由可得，令求得的值域，從而得到，解不等式即可.【詳解】（1）的定義域為，由為定義域上的增函數(shù)可得恒成立.則由得，令，所以當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；故,則有解得.故a的取值范圍為（2）由有有即即.令由可得當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；則，即，解得或(負值舍去)，故.【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．7．（2023·山東日照·二模）已知函數(shù)．(1)若恒成立，求實數(shù)的值：(2)若，，，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）當時，由可知函數(shù)單調(diào)遞增，通過反例可說明不合題意；當時，可得單調(diào)性，知；構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)可求得，由此可得，知；（2）將已知不等式化為，令，利用導數(shù)可求得單調(diào)性，易知時成立，當時，采用分析法可知只需證得即可，構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)可說明，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）由題意得：定義域為，；①當時，，在上單調(diào)遞增，若，則，時，，不合題意；若，則，不合題意；②當時，若，則；若，則；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；若恒成立，，令，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又，；則當時，符合題意；綜上所述：.（2）由得：，令，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；由得：；，，當時，由得：，；當時，要證，只需證，，，則只需證，又，只需證；令，，則，在上單調(diào)遞減，，，即，即得證，；綜上所述：成立.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)求解恒成立、證明不等式的問題；本題證明不等式的關(guān)鍵是能夠采用同構(gòu)法將所給不等式化為的形式，結(jié)合極值點偏移的分析思想將問題轉(zhuǎn)化為證明，從而通過構(gòu)造函數(shù)來進行證明.8．（2023·江西南昌·二模）已知函數(shù)，．(1)當時，恒成立，求a的取值范圍．(2)若的兩個相異零點為，，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）運用導數(shù)研究的最小值不小于0即可.（2）消去參數(shù)a及比值代換法后得，運用導數(shù)研究在上最小值大于0即可.【詳解】（1）當時，恒成立，即當時，恒成立，設(shè)，所以，即，，設(shè)，則，所以，當時，，即在上單調(diào)遞增，所以，所以當時，，即在上單調(diào)遞增，所以，若恒成立，則．所以時，恒成立，a的取值范圍為.（2）由題意知，，不妨設(shè)，由得，則，令，則，即：．要證，只需證，只需證，即證，即證（），令（），因為，所以在上單調(diào)遞增，當時，，所以成立，故．【點睛】方法點睛：極值點偏移問題的解法(1)(對稱化構(gòu)造法)構(gòu)造輔助函數(shù)：對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)；對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過研究F(x)的單調(diào)性獲得不等式．(2)(比值代換法)通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明．9．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，a為實數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在處取得極值，是函數(shù)的導函數(shù)，且，，證明：【答案】(1)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.(2)證明見解析【分析】（1）求導，由導函數(shù)的正負即可確定的單調(diào)區(qū)間，（2）構(gòu)造函數(shù)，求導得的單調(diào)性，即可證明，構(gòu)造函數(shù)求導，利用單調(diào)性即可求證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，令，所以，得，當，，當，，故函數(shù)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）因為函數(shù)在處取得極值，所以，得，所以，得，令，因為，當時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且當時,,當時,,故.

先證，需證.因為，下面證明.設(shè),則,故在上為增函數(shù),故,所以,則,所以,即得，下面證明：令，當時，所以成立,所以，所以.當時，記,所以時，所以為減函數(shù)得,所以,即得.所以得證，綜上，.【點睛】思路點睛：求某點處的切線方程較為簡單，利用導數(shù)求單調(diào)性時，如果求導后的正負不容易辨別，往往可以將導函數(shù)的一部分抽離出來，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調(diào)性，進而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時，常采用兩種思路：求直接求最值和等價轉(zhuǎn)化.無論是那種方式，都要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造有效的函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.10．（2023·北京通州·三模）已知函數(shù)(1)已知f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，求實數(shù)a的值；(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.(3)已知有兩個零點，，求實數(shù)a的取值范圍并證明.【答案】(1)(2)(3)，證明見解析【分析】（1）切線方程的斜率為1，所以有，解方程即得實數(shù)a的值；（2）依題意在（0，+∞）上恒成立.，分參求解即可；（3）求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理即可求實數(shù)a的取值范圍；通過分析法要證明，只需證，構(gòu)造函數(shù)即可證得【詳解】（1）因為，所以.所以，又f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，所以，解得..（2）f（x）的定義域為（0，+∞），因為f（x）在定義域上為增函數(shù)，所以在（0，+∞）上恒成立.即恒成立.，即，令，所以，時，時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即.（3）定義域為當時，，所以在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意.當時，在（0，）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，函數(shù)存在兩個零點的必要條件是，即，又，所以在（1，）上存在一個零點（）.當時，，所以在（，+∞）上存在一個零點，綜上函數(shù)有兩個零點，實數(shù)a的取值范圍是.不妨設(shè)兩個零點由，所以，所以，所以，要證，只需證，只需證，由，只需證，只需證，只需證，令，只需證，令，，∴H（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，∴，即成立，所以成立.【點睛】極值點偏移問題，應(yīng)熟練掌握對稱構(gòu)造的基本方法，同時結(jié)合處理雙變量問題的常用方法比值代換的技巧.11．（22-23高三下·河北石家莊·階段練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個零點、，證明.【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為(2)證明見解析【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）設(shè)，由（1）可得，先證，即證，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可證得成立；其次證明出，令，則，將所證不等式變形為即證，令，，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可證得，綜合可得結(jié)論.【詳解】（1）解：因為的定義域為，則，令，解得，令，解得，所以的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（2）證明：不妨設(shè)，由（1）知：必有.要證，即證，即證，又，即證.令，其中，則，令，則在時恒成立，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以；接下來證明，令，則，又，即，所以，要證，即證，有，不等式兩邊取對數(shù)，即證，即證，即證，令，，則，令，其中，則，所以，在上單調(diào)遞增，則當時，，故當時，可得函數(shù)單調(diào)遞增，可得，即，所以，綜上，.【點睛】方法點睛：證明極值點偏移的相關(guān)問題，一般有以下幾種方法：（1）證明（或）：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個零點，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問題；（2）證明（或）（、都為正數(shù)）：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個零點，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問題；（3）應(yīng)用對數(shù)平均不等式證明極值點偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到；③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.12．（2022高三·全國·專題練習）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.(1)求的取值范圍；(2)記兩個極值點為，且.若，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將在有兩個不同根轉(zhuǎn)化為方程在有兩個不同根，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，進而求出的取值范圍；（2）兩邊取對數(shù)，將證明轉(zhuǎn)化為證明，再利用（1）合理轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為證明恒成立，再通過求其最值進行證明.【詳解】（1）由題意知，函數(shù)的定義域為，，方程在有兩個不同根，即方程在有兩個不同根，即方程在有兩個不同根，令，，則，則當時，，時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又因為，當時，，當時，，所以的取值范圍為；（2）要證，兩邊取對數(shù)，等價于要證，由（1）可知，分別是方程的兩個根，即，所以原式等價于，因為，，所以原式等價于要證明.又由，作差得，，即.所以原式等價于，令，，則不等式在上恒成立.令，，又，當時，可見時，，所以在上單調(diào)增，又，，所以在恒成立，所以原不等式恒成立.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決不等式恒成立問題的“兩種”常用方法：（1）分離參數(shù)法：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求該函數(shù)的最值，根據(jù)要求得所求范圍.（2）函數(shù)思想法：將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求該函數(shù)的極值(最值)，然后構(gòu)建不等式求解.13．（2023·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當時，，求的取值范圍.(2)若函數(shù)有兩個極值點，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）參變分離可得在恒成立，令，，利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得解；（2）求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意可得函數(shù)與函數(shù)，的圖象有兩個交點，利用導數(shù)說明的單調(diào)性，不妨設(shè)，要證，即證，令，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證.【詳解】（1）當時，在恒成立，令，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，的取值范圍是．（2）函數(shù)，．則，函數(shù)有兩個極值點，，有兩個正實數(shù)解方程有兩個正實數(shù)解函數(shù)與函數(shù)，的圖象有兩個交點．，令，解得，當時，則單調(diào)遞增，當時，則單調(diào)遞減，函數(shù)的極大值即最大值為．又時，且當時，，又，．不妨設(shè)，要證明，．令，，．所以，當且僅當，即時取等號，函數(shù)在單調(diào)遞增，，，即，因此成立．【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．14．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性．(2)已知關(guān)于的方程恰有個不同的正實數(shù)根．（i）求的取值范圍；（ii）求證：．【答案】(1)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）求導后，根據(jù)的正負可確定的單調(diào)性；（2）（i）將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個不同交點的問題，利用導數(shù)可求得的單調(diào)性和最值，從而得到的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定的范圍；（ii）設(shè)，根據(jù)：，，采用取對數(shù)、兩式作差整理的方式可得，通過分析法可知只需證即可，令，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)可求得單調(diào)性，從而得到，由此可證得結(jié)論.【詳解】（1）當時，，則；令，解得：或，當時，；當時，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）（i）由得：，恰有個正實數(shù)根，恰有個正實數(shù)根，令，則與有兩個不同交點，，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當從的右側(cè)無限趨近于時，趨近于；當無限趨近于時，的增速遠大于的增速，則趨近于；則圖象如下圖所示，當時，與有兩個不同交點，實數(shù)的取值范圍為；（ii）由（i）知：，，，，，不妨設(shè)，則，要證，只需證，，，，則只需證，令，則只需證當時，恒成立，令，，在上單調(diào)遞增，，當時，恒成立，原不等式得證.【點睛】思路點睛：本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性、方程根的個數(shù)問題和極值點偏移問題的求解；本題求解極值點偏移的基本思路是通過引入第三變量，將問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，進而通過構(gòu)造函數(shù)的方式證明關(guān)于的不等式恒成立.15．（23-24高三上·天津和平·階段練習）已知函數(shù)，a為實數(shù)．(1)當時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若函數(shù)在處取得極值，是函數(shù)的導函數(shù)，且，，證明：．【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(3)證明過程見解析【分析】（1）求出，求導，得到，進而由導函數(shù)的幾何意義求出切線方程；（2）求定義域，求導，解不等式，求出單調(diào)區(qū)間；（3）先令，求導得到其單調(diào)性，求出，進而構(gòu)造差函數(shù)，證明出極值點偏移問題.【詳解】（1）當時，，，，故，故函數(shù)在處的切線方程為，即；（2）定義域為，，令，解得，令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）由題意得，解得，故，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，可知函數(shù)在處取得極值，故符合題意，因為，，令，，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，且當時，恒成立，，當時，，畫出的圖象如下：

故，令，，則，因為，所以，，故在上單調(diào)遞減，又，故在上恒成立，即，，因為，所以，其中，故，其中，，在上單調(diào)遞增，故，即，令，，則，當時，所以單調(diào)遞增，由復合函數(shù)可得在上單調(diào)遞增，又，故存在，使得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，當時，，，故當時，恒成立，因為，故，即，又，故，其中，，在上單調(diào)遞增，故，故，綜上，.【點睛】關(guān)鍵點睛：極值點偏移問題，通常會構(gòu)造差函數(shù)來進行求解，需要先研究出兩個變量的取值范圍，若原函數(shù)較復雜，可先進行變形，再求導，得到其單調(diào)性，構(gòu)造出的差函數(shù)，研究其單調(diào)性，往往會和基本不等式，復合函數(shù)單調(diào)性等知識結(jié)合.16．（23-24高三上·重慶渝中·期中）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)是減函數(shù)，求的取值范圍；(2)若有兩個零點，且，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）在上恒成立，參變分離在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)求出的最大值，從而求出的取值范圍；（2）由零點得到，令，從而得到，，，構(gòu)造，求導得到其單調(diào)性，從而證明出結(jié)論.【詳解】（1）的定義域為，，函數(shù)是減函數(shù)，故在上恒成立，即在上恒成立，令，，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，且，故，解得，故的取值范圍是；（2）若有兩個零點，則，得．，令，則，故，則，，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，，則在上單調(diào)遞增，，即，故.【點睛】極值點偏移問題，若等式中含有參數(shù)，則消去參數(shù)，由于兩個變量的地位相同，將特征不等式變形，如常常利用進行變形，可構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用導函數(shù)再進行求解.17．（23-24高三上·江蘇·階段練習）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)有兩個極值點,證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求定義域，求導，恒成立，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導，得到其單調(diào)性和最值，得到實數(shù)a的取值范圍；（2）方法一：由（1）得，轉(zhuǎn)化為是的兩個零點，求導得到單調(diào)性，得到，換元后即證，構(gòu)造，求導得到其單調(diào)性，結(jié)合特殊點的函數(shù)值，得到答案；方法二：先證明引理，當時,,當時,，變形得到只需證，結(jié)合引理，得到，，兩式結(jié)合證明出答案.【詳解】（1）的定義域為，，由題意恒成立，即恒成立，設(shè)，則，當時，，單調(diào)遞增,當時，，單調(diào)遞減,∴在