斐波那契數(shù)列學案

神奇的斐波那契數(shù)列（學案）學習目標1、了解斐波那契數(shù)列的有關數(shù)學文化；了解斐波那契數(shù)列通項公式的推導方法；理解斐波那契數(shù)列在數(shù)列中的地位。2、通過研究斐波那契數(shù)列相關資料，體驗收集、分析材料的一般方法，掌握學會學習的一般技能；通過利用斐波那契數(shù)列數(shù)列知識研究高中數(shù)學知識、現(xiàn)實生活中的應用等問題，在應用中掌握斐波那契數(shù)列的數(shù)學思想，培養(yǎng)應用知識分析問題能力和創(chuàng)新解決實際問題的能力。3、通過展示斐波那契數(shù)列的數(shù)學史，激發(fā)學習數(shù)學的熱情態(tài)度，塑造良好的人文底蘊；通過介紹斐波那契數(shù)列在現(xiàn)實生活中的應用，激發(fā)勇于探索、積極思考、追求科學的學習品質(zhì)；通過互聯(lián)網(wǎng)技術呈現(xiàn)、感知人類探索數(shù)學在萬物中的聯(lián)系、養(yǎng)成良好的審美情趣，樹立獻身科學的人生觀與回報社會的價值觀。學習重難點學習重點斐波那契數(shù)列及其性質(zhì)學習難點斐波那契數(shù)列通項公式的推導學習過程1、斐波那契數(shù)列引入（課下提前閱讀數(shù)學必修5教材第37、38頁）問題提出：如果一對兔子每月能生一對小兔子（一雄一雌），而每1對小兔子在它出生后的第三個月里，又能生1對小兔子，假設在不發(fā)生死亡的情況下，由一對初生兔子開始，12個月后會有多少對兔子呢?經(jīng)過月數(shù)0123456789101112幼仔101123581321345589成兔對數(shù)01123581321345589144總體對數(shù)11235813213455891442332、斐波那契數(shù)列的遞推式斐波那契數(shù)定義為：數(shù)列滿足稱為斐波那契數(shù)列3、大自然中有哪些斐波那契數(shù)列的體現(xiàn)【自然中的呈現(xiàn)】①花瓣數(shù)②生物學中“魯?shù)戮S格定律”樹木的生長，樹苗在一段間隔，比如一年，以后長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝繼續(xù)萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過一年的枝同時萌發(fā)，當年生的新枝則次年“休息”．這樣，一株樹木各個年份的枝椏數(shù)，這個規(guī)律，就是生物學上著名的“魯?shù)戮S格定律”。4、斐波那契數(shù)列的探究探究一：斐波那契數(shù)列的性質(zhì)游戲活動：五位同學圍成一圈依序循環(huán)報數(shù)，規(guī)定：①第一位同學首次報出的數(shù)為1，第二位同學首次報出的數(shù)也為1，之后每位同學所報出的數(shù)都是前兩位同學所報出的數(shù)之和；②若報出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報該數(shù)的學生需拍手一次，已知甲同學第一個報數(shù)，當五位同學依序循環(huán)報到第20個數(shù)時，甲同學拍手的總次數(shù)為多少次？（1）（2）（3）（4）探究二：斐波那契數(shù)列通項公式：斐波那契數(shù)列的通項公式推導5、斐波那契數(shù)列在現(xiàn)實生活中的應用和體現(xiàn)（收集資料）本課小結(jié)知識小結(jié)（2）思想方法小結(jié)7、課后作業(yè)1.進一步探索斐波那契數(shù)列的性質(zhì)。2.探究必修二中的“魔術師的地毯”問題（教材104、105頁）。3.進一步探究性質(zhì)中游戲活動并思考：學生甲第1個報數(shù)，當5位學生依序循環(huán)報到第100個數(shù)時，學生甲拍手的總次數(shù)為多少次？（2009年福建省高考試題）知識鏈接：斐波那契數(shù)列的發(fā)明者，是意大利數(shù)學家列昂納多·斐波那契（LeonardoFibonacci），生于公元1170年，卒于1250年，籍貫是比薩。他被人稱作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫了《算盤全書》（LiberAbacci）一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數(shù)學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業(yè)團體聘任為外交領事，派駐地點相當于今日的阿爾及利亞地區(qū)，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數(shù)學。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯等地研究數(shù)學。斐波那契數(shù)列的排列是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……依次類推下去，你會發(fā)現(xiàn)，它后一個數(shù)等于前面兩個數(shù)的和。在這個\t"/item/%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B0/_blank"數(shù)列中的數(shù)字，就被稱為斐波那契數(shù)。2是第3個斐波那契數(shù)。這個\t"/item/%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B0/_blank"級數(shù)與大自然植物的關系極為密切。幾乎所有花朵的花瓣數(shù)都來自這個級數(shù)中的一項數(shù)字：菠蘿表皮方塊形鱗苞形成兩組旋向相反的螺線，它們的條數(shù)必須是這個級數(shù)中緊鄰的兩個數(shù)字（如左旋8行，右旋13行）；還有向日葵花盤……倘若兩組螺線條數(shù)完全相同，豈不更加嚴格對稱？可大自然偏不！直到最近的1993年，人們才對這個古老而重要的級數(shù)給出真正滿意的解釋：此級數(shù)中任何相鄰的兩個數(shù)，次第相除，其比率都最為接近0.618034……這個值，它的極限就是所謂的"\t"/item/%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B0/_blank"黃金分割數(shù)"。特別指出：0不是第一項，而是第零項。在現(xiàn)代物理、準晶體結(jié)構(gòu)、化學等領域，斐波納契數(shù)列都有直接的應用，為此，美國數(shù)學會從1960年代起出版了《斐波納契數(shù)列》季刊，專門刊載這方面的研究成果。自然界中的斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列在自然科學的其他分支，有許多應用。例如，樹木的生長，由于新生的枝條，往往需要一段“休息”時間，供自身生長，而后才能萌發(fā)新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以后長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過一年的枝同時萌發(fā)，當年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個年份的枝椏數(shù)，便構(gòu)成斐波那契數(shù)列。這個規(guī)律，就是生物學上著名的“魯?shù)戮S格定律”。斐波那契螺旋：具有13條順時針旋轉(zhuǎn)和21條逆時針旋轉(zhuǎn)的螺旋的薊的頭部這些植物懂得斐波那契數(shù)列嗎？應該并非如此，它們只是按照自然的規(guī)律才進化成這樣。這似乎是植物排列種子的“優(yōu)化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當，不至于在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。葉子的生長方式也是如此，對于許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長出來，為了在生長的過程中一直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長出來，而不是一下子同時出現(xiàn)的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應該是222.5度，這個角度稱為“黃金角度”，因為它和整個圓周360度之比是黃金分割數(shù)0.618033989……的倒數(shù)，而這種生長方式就決定了斐波那契螺旋的產(chǎn)生。向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時能達到89，甚至144條。斐波那契數(shù)列在歐美可謂是盡人皆知，于是在電影這種通俗藝術中也時常出現(xiàn)，比如在風靡一時的《達芬奇密碼》里它就作為一個重要的符號和情節(jié)線索出現(xiàn)，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘會計時隨口問的