二次函數(shù)中特殊三角形存在性問題（原卷版）（北師大版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題05二次函數(shù)中特殊三角形存在性問題類型一、等腰三角形存在性問題例．如圖，拋物線交軸于點(diǎn)、(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，對稱軸交軸于，點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是直線下方的拋物線上一點(diǎn)，且．求的坐標(biāo)；(3)為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是否存在以、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練1】．如圖，已知直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，且與軸的另一個交點(diǎn)為，對稱軸為直線．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)是第二象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求四邊形面積S的最大值及此時D點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)B，C，P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練2】．如圖，已知二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是直線下方拋物線上的一動點(diǎn)，求面積的最大值；(3)直線（不經(jīng)過點(diǎn)）分別交直線和拋物線于點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出的值．【變式訓(xùn)練3】．如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與該二次函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，與二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上．(1)求的值及這個二次函數(shù)的關(guān)系式：(2)求的面積；(3)在該二次函數(shù)的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練4】．如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且經(jīng)過，兩點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為B．

(1)若直線經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，求直線和拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M使三角形的周長最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對稱軸上的一個動點(diǎn)，求使為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．類型二、直角三角形存在性問題例．如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，其對稱軸為直線，為y軸上一點(diǎn)，直線與拋物線交于另一點(diǎn)D．

(1)求拋物線的解析式；(2)直接寫出直線的解析式和點(diǎn)D坐標(biāo)；(3)在線段下方的拋物線上求一點(diǎn)E，使得的面積最大，并求出最大面積；(4)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)F，使得是直角三角形？如果存在，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練1】．如圖，直線與拋物線相交于和，點(diǎn)是線段上異于的動點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)是否存在這樣的點(diǎn)，使線段的長有最大值？求這個最大值；(3)是否存在這樣的點(diǎn)，使為直角三形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，連接BD交y軸于點(diǎn)G，作直線OD，點(diǎn)P為線段BD上方的拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸交BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作直線OD于點(diǎn)F．當(dāng)為最大時，求這個最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，連接BC、BD，將繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到，使得，將線段沿射線平移得到，連接，，請問在平移過程中，是否存在是以為直角邊的直角三角形，若存在，請直接寫出的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練3】．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)不與點(diǎn)重合，當(dāng)時，過點(diǎn)作軸，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)H，得到矩形，求矩形的周長的最大值；（3）如圖2，點(diǎn)為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【變式訓(xùn)練4】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，已知，，且．

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)分別求出直線BC的解析式和拋物線的解析式；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得是以為一條直角邊的直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．類型三、等腰直角三角形存在性問題例．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為P，連接，．

（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)為．（2）若點(diǎn)M在PC的垂直平分線上，且在第一象限內(nèi)，當(dāng)是等腰直角三角形時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．【變式訓(xùn)練1】．如圖①，已知拋物線L：經(jīng)過點(diǎn)，，過點(diǎn)A作軸交拋物線于點(diǎn)C，的平分線交線段于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)．

(1)求拋物線的關(guān)系式；(2)若動點(diǎn)P在直線下方的拋物線上，連接、，當(dāng)面積最大時，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練2】．將拋物線：向下平移6個單位長度得到拋物線，再將拋物線向左平移2個單位長度得到拋物線．(1)直接寫出拋物線，的解析式；(2)如圖，點(diǎn)在拋物線上（對稱軸右側(cè)），點(diǎn)在對稱軸上，是以為斜邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練3】．如圖1，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且、直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)連結(jié)，判斷線段與線段有何關(guān)系，請說明理由．(3)如圖2．若點(diǎn)是直線上方的拋物線上的一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①連結(jié)、，當(dāng)為何值時，．②在直線上是否存在一點(diǎn)使為等腰直角三角形，若存在請求出的值，不存在請說明理由．【變式訓(xùn)練4】．如