專題26 圓的相關(guān)概念及性質(zhì)（練習(xí)）（28題型）

第26講圓的相關(guān)概念及性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\u題型過關(guān)練 3題型01理解圓的相關(guān)概念 3題型02圓的周長(zhǎng)與面積相關(guān)計(jì)算 3題型03圓中的角度計(jì)算 5題型04圓中線段長(zhǎng)度的計(jì)算 5題型05求一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值 6題型06由垂徑定理及推論判斷正誤 7題型07利用垂徑定理求解 8題型08根據(jù)垂徑定理與全等/相似三角形綜合求解 9題型09在坐標(biāo)系中利用勾股定理求值或坐標(biāo) 10題型10利用垂徑定理求平行弦問題 12題型11利用垂徑定理求同心圓問題 12題型12垂徑定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用 13題型13利用垂徑定理的推論求解 14題型15利用垂徑定理求取值范圍 18題型16利用弧、弦、圓心角關(guān)系判斷正誤 19題型17利用弧、弦、圓心角關(guān)系求解 20題型18利用弧、弦、圓心角關(guān)系求最值 21題型19利用弧、弦、圓心角關(guān)系證明 22題型20利用圓周角定理求解 24題型21利用圓周角定理推論求解 25題型22已知圓內(nèi)接四邊形求角度 27題型23利用圓的有關(guān)性質(zhì)求值 27題型24利用圓的有關(guān)性質(zhì)證明 28題型25利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問題 31題型26利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決多結(jié)論問題 32題型27圓有關(guān)的常見輔助線-遇到弦時(shí),常添加弦心距 33題型28圓有關(guān)的常見輔助線-遇到有直徑時(shí),常添加（畫）直徑所對(duì)的圓周角 34真題實(shí)戰(zhàn)練 34

題型過關(guān)練題型01理解圓的相關(guān)概念1．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）下列關(guān)于圓的說(shuō)法中，正確的是（

）A．過三點(diǎn)可以作一個(gè)圓 B．相等的圓心角所對(duì)的弧相等C．平分弦的直徑垂直于弦 D．圓的直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸2．（2020·內(nèi)蒙古烏蘭察布·?？家荒＃┫铝忻}：①三點(diǎn)確定一個(gè)圓；②直徑是圓的對(duì)稱軸；③平分弦的直徑垂直于弦；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤相等的圓心角所對(duì)的弧相等，正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)3．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）下列說(shuō)法中，正確的是（

）①對(duì)角線垂直且互相平分的四邊形是菱形；②對(duì)角線相等的四邊形是矩形；③同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；④半圓是弧，但弧不一定是半圓.A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④4．（2023·福建泉州·南安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┥钪薪?jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會(huì)掉進(jìn)井里去，這是因?yàn)椋?/p>

）A．同樣長(zhǎng)度的線段圍成的平面圖形中圓的面積最大B．同一個(gè)圓所有的直徑都相等C．圓的周長(zhǎng)是直徑的π倍D．圓是軸對(duì)稱圖形題型02圓的周長(zhǎng)與面積相關(guān)計(jì)算5．（2022·山西臨汾·統(tǒng)考二模）山西著名工藝品平遙推光漆器外觀古樸雅致、閃光發(fā)亮，繪飾金碧輝煌，以手掌推出光澤而得名．圖1是平遙推光漆器的一種圖案，圖2是選取其某部分并且放大后的示意圖．四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，分別以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心，12對(duì)角線的長(zhǎng)為半徑畫弧，四條弧相交于點(diǎn)O，則圖中陰影部分的面積為（

A．2π?4 B．π?2 C．2π D．16．（2019·廣東佛山·佛山市三水區(qū)三水中學(xué)校考一模）某公園計(jì)劃砌一個(gè)形狀如圖（1）所示的噴水池，后來(lái)有人建議改為圖（2）的形狀，且外圓的直徑不變，噴水池邊沿的寬度、高度不變，你認(rèn)為砌噴水池的邊沿（

）A．圖（1）需要的材料多 B．圖（2）需要的材料多C．圖（1）、圖（2）需要的材料一樣多 D．無(wú)法確定7．（2019·河北張家口·統(tǒng)考一模）半徑為R、r的兩個(gè)同心圓如圖所示，已知半徑為r的圓周長(zhǎng)為a，且R?r=1，則半徑為R的圓周長(zhǎng)為（

）A．a(chǎn)+1 B．a(chǎn)+2 C．a(chǎn)+π D．a(chǎn)+2π8．（2021·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）一塊含有30°角的三角板ABC如圖所示，其中∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm．將此三角板在平面內(nèi)繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周．（1）畫出邊BC旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形；（2）求出該圖形的面積．題型03圓中的角度計(jì)算9．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC＝12OD，則∠ABDA．90° B．95° C．100° D．105°10．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，AB為直徑，∠AOC=80°，點(diǎn)D為弦AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為BC上任意一點(diǎn)，則∠CED的大小可能是（A．10° B．20° C．30°11．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O與△OAB的邊AB相切，切點(diǎn)為B．將△OAB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△O'A'B，使點(diǎn)O落在⊙O上，邊A'B交線段AO于點(diǎn)

題型04圓中線段長(zhǎng)度的計(jì)算12．（2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在斜邊AB上，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過邊AC上的點(diǎn)E，連接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半徑為3，AD=2，則線段BC的長(zhǎng)為（

A．403 B．8 C．24513．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在斜邊AB上，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過邊AC上的點(diǎn)E，連接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半徑為3，AD=2，則線段BCA．403 B．8 C．245 14．（2022·湖北武漢·武漢第三寄宿中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，將兩個(gè)正方形如圖放置（B，C，E共線，D，C，G共線），若AB＝3，EF＝2，點(diǎn)O在線段BC上，以O(shè)F為半徑作⊙O，點(diǎn)A，點(diǎn)F都在⊙O上，則OD的長(zhǎng)是（

）A．4 B．10 C．13 D．26題型05求一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值15．（2023·湖北咸寧·統(tǒng)考二模）如圖，正方形ABCD內(nèi)接干圓O，線段MN在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，若圓O的面積為2π，MN=1，△AMN周長(zhǎng)的最小值是_________

16．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）平面直角坐標(biāo)系xoy中，⊙O的半徑為2，點(diǎn)M在⊙O上，點(diǎn)N在線段OM上，設(shè)ON=t（1<t<2），點(diǎn)P的坐標(biāo)為?4,0，將點(diǎn)P沿OM方向平移2個(gè)單位，得到點(diǎn)P'，再將點(diǎn)P'作關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接PQ，當(dāng)點(diǎn)M在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ

17．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)B作BE⊥CD交CD于點(diǎn)E，則在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，求線段AE的最小值為______18．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，P是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段BP的最小值是______；當(dāng)BP取最小值時(shí)，DP延長(zhǎng)線交線段BC于E，則CE的長(zhǎng)為______．

題型06由垂徑定理及推論判斷正誤19．（2022·山東濟(jì)寧·二模）如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為E，連接CO、AD、OD，∠BAD=22.5°，則下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．CE=EO B．OC=2CD C．∠OCE=45° 20．（2022·河南許昌·統(tǒng)考一模）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．AE＝BE B．OE＝DE C．AC=BC 21．（2018·內(nèi)蒙古包頭·校聯(lián)考一模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，連接BC、BD、AC，下列結(jié)論中不一定正確的是（）A．∠ACB=90° B．OE=BE C．BD=BC D．AD題型07利用垂徑定理求解22．（2023·云南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是OO的弦，AB?CD．垂足為E．若AB=26，CD=24，則∠OCE的余弦值為（

）A．713 B．1213 C．71223．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為(

)A．363 B．243 C．183 D．72324．（2022·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，∠CAD＝45°，則∠BOC＝_____°．25．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D．若∠APD是AD所對(duì)的圓周角，則∠APD的度數(shù)是______．題型08根據(jù)垂徑定理與全等/相似三角形綜合求解26．（2022·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，AD⊥BC于點(diǎn)E．（1）求證：∠BAD=∠CAD；（2）連接BO并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G，連接GC．若⊙O的半徑為5，OE=3，求GC和OF的長(zhǎng)．27．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）小明向如圖所示的圓形區(qū)域內(nèi)投擲飛鏢．已知△ABC是等邊三角形，D點(diǎn)是弧AC的中點(diǎn)，則飛鏢落在陰影部分的概率為________．28．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖AB與圓O相切于A，D是圓O內(nèi)一點(diǎn)，DB與圓相交于C．已知BC＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，則圓的半徑為_____．29．（2022·廣西欽州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC＝3，AC＝4，點(diǎn)D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE⊥BE交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則BDDE30．（2021·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在半徑為32的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是AC?的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若E是BD的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是_____題型09在坐標(biāo)系中利用勾股定理求值或坐標(biāo)31．（2022·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為5的⊙E與y軸交于點(diǎn)A0,?2，B0,4，與x軸交于C，D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（A．4?26,0 B．?4+26,0 C．32．（2021·浙江寧波·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A10,0,B8,0，點(diǎn)C,D是以O(shè)A為直徑的半圓上兩點(diǎn)，且四邊形OCDB是平行四邊形，則點(diǎn)CA．2，3 B．2,4 C．1,2 D．1,333．（2017·山東臨沂·校考一模）如圖，已知⊙A在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A與x軸交于點(diǎn)B，C，與y軸交于點(diǎn)D，E，若圓心A的坐標(biāo)為（-4，6），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-12，0），則DE的長(zhǎng)度為（）A．221 B．421 C．8 D．1634．（2022·四川瀘州·模擬預(yù)測(cè)）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=6x(x>0)圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)P為圓心，3為半徑的圓與直線y=x相交，交點(diǎn)為A、B，當(dāng)弦AB的長(zhǎng)等于25時(shí)，點(diǎn)題型10利用垂徑定理求平行弦問題35．（2021·浙江衢州·?？家荒＃┤鐖D，已知AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，則CD與AB之間的距離是_____．36．（2022·黑龍江·統(tǒng)考一模）如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的☉O交于點(diǎn)G，B，F(xiàn)，E，GB=5，EF=4，那么AD=______．37．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考二模）在半徑為4cm的⊙O中，弦CD平行于弦AB，AB=43cm，∠BOD=90°，則AB與CD之間的距離是題型11利用垂徑定理求同心圓問題38．（2022·福建·模擬預(yù)測(cè)）如圖，以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)圓中，大圓的弦AB切小圓于點(diǎn)C，大圓的半徑OA交小圓于點(diǎn)D，若OD＝3，tan∠OAB＝12，則AB的長(zhǎng)是_______39．（2019·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，兩個(gè)圓都以O(shè)為圓心，大圓的弦AB與小圓相切于點(diǎn)C，若AB=6，則圓環(huán)的面積為________.40．（2022·甘肅武威·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C，D（如圖）．（1）求證：AC=BD；（2）若大圓的半徑R=10，小圓的半徑r=8，且圓O到直線AB的距離為6，求AC的長(zhǎng)．題型12垂徑定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用41．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖中，一段圓弧經(jīng)過格點(diǎn)A，B，C，AE的延長(zhǎng)線經(jīng)過格點(diǎn)D，則AE的長(zhǎng)為（

）A．3π4 B．π2 C．5π842．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)A，B，O均在格點(diǎn)上，則sinC=___________

43．（2023·天津東麗·統(tǒng)考二模）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，M均為格點(diǎn)，以格點(diǎn)O為圓心，AB為直徑作圓，點(diǎn)M在圓上．

（Ⅰ）線段AB的長(zhǎng)等于__________；（Ⅱ）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，在BM上找出一點(diǎn)P，使PM=AM44．（2023·天津·校聯(lián)考一模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D均為格點(diǎn)，且點(diǎn)A，B在圓上．（1）線段AC的長(zhǎng)等于________；（2）過點(diǎn)D作DF∥AC，直線DF與圓交于點(diǎn)M,N（點(diǎn)M在N的左側(cè)），畫出MN的中點(diǎn)P，簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）_______題型13利用垂徑定理的推論求解45．（2023·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，BC=BD，∠CDB=30°，AC=23，則OE=A．32 B．3 C．1 46．（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，連接OC交弦AB于點(diǎn)D，若OD=3，DC=2，則AB的長(zhǎng)是______．47．（2023·天津西青·統(tǒng)考一模）已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D是⊙O上兩點(diǎn)，AC=BC，連接AC，BC，(1)如圖①，若AB=10，BD=5，求∠ABC和∠ABD的大??；(2)如圖②，過點(diǎn)C作⊙O的切線，與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，若CE=CB，求∠ABD的大?。?8．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在DO的延長(zhǎng)線上，連接AE．若∠E=∠B．

(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)連接AC．若AC=6，CF=4，求OE的長(zhǎng)．題型14垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用49．（2021·山東臨沂·統(tǒng)考二模）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖1，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.如圖2，筒車盛水桶的運(yùn)行軌跡是以軸心O為圓心的圓.已知圓心在水面上方，且圓被水面截得的弦AB長(zhǎng)為6米，∠OAB=41.3°，若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最高點(diǎn)（C，O的連線垂直于AB），求點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）50．（2022·河南開封·統(tǒng)考一模）中國(guó)5A級(jí)旅游景區(qū)開封市清明上河園，水車園中的水車是由立式水輪，竹筒、支撐桿和水槽等配件組成，如圖是水車園中半徑為5m的水車灌田的簡(jiǎn)化示意圖，立式水輪⊙O在水流的作用下利用竹筒將水運(yùn)送到到點(diǎn)A處，水沿水槽AP流到田地，⊙O與水面交于點(diǎn)B，C，且點(diǎn)B，C，P在同一直線上；AP與⊙O相切，若點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離為32米，立式水輪⊙O的最低點(diǎn)到水面的距離為2米，連接AC，AB．請(qǐng)解答下列問題，(1)求證：∠PAC=∠PBA．(2)請(qǐng)求出水槽AP的長(zhǎng)度．51．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖是正在修建的某大門上半部分的截面，其為圓弧型，跨度CD（弧所對(duì)的弦）的長(zhǎng)為3.2米，拱高AB（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為0.8米．(1)求該圓弧所在圓的半徑；(2)在修建中，在距大門邊框的一端（點(diǎn)D）0.4米處將豎立支撐桿HG，求支撐桿HG的高度；52．（2021·云南大理·統(tǒng)考二模）我們定義：如果圓的兩條弦互相垂直且相交，那么這兩條弦互為“十字弦”，也把其中的一條弦叫做另一條弦的“十字弦”．如圖1，已知⊙O的兩條弦AB⊥CD，則AB、CD互為“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．【概念理解】（1）若⊙O的半徑為5，一條弦AB=8，則弦AB的“十字弦”CD的最大值為_，最小值為_．（2）如圖2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直徑，弦AB與CD相交于H，連接AC，若AC=12，DH=7，CH=9，求證︰AB、CD互為“十字弦”；【問題解決】（3）如圖3，在⊙O中，半徑為13，弦AB與CD相交于H，AB、CD互為“十字弦”且AB=CD，CHDH=5，則CD的長(zhǎng)度_題型15利用垂徑定理求取值范圍53．（2020·山東泰安·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，兩個(gè)同心圓，大圓的半徑為5，小圓的半徑為3，若大圓的弦AB與小圓有公共點(diǎn)，則弦AB的取值范圍是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤554．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O的弦AB=8，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，若⊙O的直徑是10，則OP的長(zhǎng)的取值范圍是______．55．（2023·浙江金華·?？家荒＃┰阡J角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，設(shè)BC邊上的高為h，則h的取值范圍是__________________．56．（2022·湖南長(zhǎng)沙·?？级＃┰诎霃綖?的圓中，弦AB=8，點(diǎn)C是劣弧AB上的動(dòng)點(diǎn)（可與A、B重合），連接OC交AB于點(diǎn)P(1)如圖1，當(dāng)OC⊥AB時(shí)，求(2)如圖2，過C點(diǎn)作CM⊥AB，垂足為點(diǎn)M，設(shè)CM=m，求OP的長(zhǎng)度（用含(3)如圖3，設(shè)CM=m，連接OM．求題型16利用弧、弦、圓心角關(guān)系判斷正誤57．（2020·安徽蕪湖·校聯(lián)考三模）在⊙O中，M為AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(

)A．AB＞2AM B．AB＝2AMC．AB＜2AM D．AB與2AM的大小不能確定58．（2018·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四點(diǎn)，OC，OD交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，且AE＝FB，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．OE＝OF B．弧AC=弧BD C．AC＝CD＝DB D．CD∥AB59．（2018·福建三明·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，直徑AB⊥弦CD，垂足為M，則下列結(jié)論一定正確的是(

)A．AC＝CD B．OM＝BM C．∠A＝12∠BOD D．∠A＝12題型17利用弧、弦、圓心角關(guān)系求解60．（2022·福建泉州·一模）如圖，AB是⊙O的弦，且AB＝6，點(diǎn)C是弧AB中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧AB上的一點(diǎn)，∠ADC＝30°，則圓心O到弦AB的距離等于（）A．33 B．32 C．3 61．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）將一張正方形的透明紙片ABCD和⊙O按如圖位置疊放，頂點(diǎn)A、D在⊙O上，邊AB、BC、CD分別與⊙O相交于點(diǎn)E、F、G、H，則下列弧長(zhǎng)關(guān)系中正確的是（

）A．AD=AE B．AD=AF C．62．（2022·安徽合肥·校聯(lián)考三模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=8，點(diǎn)M在⊙O上，∠MAB=20°,N是MB的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn)，若MN=2，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．763．（2023·山東德州·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，∠B=90°，⊙O過點(diǎn)A、C，與AB交于點(diǎn)D，與BC相切于點(diǎn)C，若∠A=32°，則∠ADO=__________64．（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，已知半圓直徑AB=2，點(diǎn)C、D三等分半圓弧，那么△CBD的面積為________．題型18利用弧、弦、圓心角關(guān)系求最值65．（2022·山東棗莊·?？家荒＃┤鐖D，AB是⊙O的直徑，AB＝2，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB＝30°，D為弧BC的中點(diǎn)，E是直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，則CE+DE最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．266．（2022·安徽淮南·統(tǒng)考一模）如圖，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于點(diǎn)D．點(diǎn)E為半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)，若OB=2，則CE+DE長(zhǎng)的最小值為______．67．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊ΔABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AC，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=CF，連接BE，AF交于點(diǎn)P，連接CP，則CP的最小值為___________．題型19利用弧、弦、圓心角關(guān)系證明68．（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在⊙O中，AB＝BC＝CD，OC與（1）AD∥BC（2）四邊形BCDE為菱形．69．（2023·貴州黔南·統(tǒng)考一模）如圖，A、B是圓O上的兩點(diǎn)，∠AOB=120°，C是AB的中點(diǎn)．(1)求證：AB平分∠OAC；(2)延長(zhǎng)OA至P，使得OA=AP，連接PC，若圓O的半徑R=1，求PC的長(zhǎng)．70．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在⊙O中，弦AD、BC相交于點(diǎn)E，連接OE，已知

(1)求證：BE=DE；(2)如果⊙O的半徑為5，AD⊥CB,DE=1，求AE的長(zhǎng)．71．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=BC，對(duì)角線AC為⊙O的直徑，E為⊙O外一點(diǎn)，AB平分∠DAE，AD=AE，連接BE．(1)求∠AEB的度數(shù)；(2)連接CE，求證：2BE題型20利用圓周角定理求解72．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，AB、AC是⊙O的弦，過點(diǎn)A的切線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若∠BAD=35°，則∠C=___________°．73．（2022·山西晉中·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，OA=3，∠C=45°，則圖中陰影部分的面積是_________．（結(jié)果保留π）74．（2023·寧夏銀川·?？家荒＃┤鐖D，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)A，B，O在格點(diǎn)上，則cos∠ACB的值是________．75．（2022·江西·校聯(lián)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點(diǎn)，連接AC、BC，OD⊥BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接CD、AD，AD與BC交于點(diǎn)F，CG與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．（1）求證：△ACD∽△CFD；（2）若∠CDA＝∠GCA，求證：CG為⊙O的切線；（3）若sin∠CAD＝13，求tan∠CDA題型21利用圓周角定理推論求解76．（2023·江蘇蘇州·星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，CB=CD，∠CAD=30°，∠ACD=50°，則∠ADB=77．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，則∠D的度數(shù)是___．78．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測(cè)量，測(cè)得AB=12cm，BC=5cm，則圓形鏡面的半徑為__________．

79．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC交于點(diǎn)D，連接AD．(1)求證：BD=CD；(2)若⊙O與AC相切，求∠B的度數(shù)；(3)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出劣弧AD的中點(diǎn)E．（不寫作法，保留作圖痕跡）題型22已知圓內(nèi)接四邊形求角度80．（2021·重慶南岸·統(tǒng)考一模）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．70° B．110° C．130° D．140°81．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，如果它的一個(gè)外角∠DCE=64°，那么∠BOD的度數(shù)為()A．128° B．64° C．32° D．116°82．（2022·河北石家莊·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，與△ABC的外接圓交于點(diǎn)D，則圖中與∠EAD相等的角(不包括∠EAD)是___________．題型23利用圓的有關(guān)性質(zhì)求值83．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，AC=12，經(jīng)過點(diǎn)B且半徑為5的⊙O與AB交于D，與CB的延長(zhǎng)線交于E，則線段DEA．6.4 B．7 C．7.2 D．884．（2022·安徽合肥·合肥壽春中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，BC和DE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)D落在線段AB上，連接BE

(1)若∠ABC=20°，則∠BCE=_______；(2)若BE=BD，則tan∠ABC=________85．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥CE交△ACE的外接圓于點(diǎn)F，連接AF，其中AC=3，BC=4(1)求證△CFA∽△CEB；(2)當(dāng)E從B運(yùn)動(dòng)到A時(shí)，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為______．題型24利用圓的有關(guān)性質(zhì)證明86．（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD=CD，過D作DE⊥BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

(1)若AB為直徑，證明：DE是⊙O的切線；(2)若AB不是⊙O的直徑，如圖2，DE交⊙O于點(diǎn)F，連接BF①求證：CDBF②若AB=BC+EF，求sin∠ABD87．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是射線AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），過點(diǎn)P作⊙O的割線交⊙O于點(diǎn)C，D，BH⊥CD于H，連接BC，

(1)①在圖1的情形下，證明：BC?BD=AB?BH；②當(dāng)點(diǎn)P處于圖2中的位置時(shí)，①中的結(jié)論___________（填“仍成立”或“不再成立”）；(2)若⊙O的半徑為3，當(dāng)∠APC=30°且BC?BD=6時(shí)，求AP的長(zhǎng)．88．（2022·山西大同·校聯(lián)考三模）閱讀與思考：阿基米德（公元前287年－公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家、靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，并且享有“力學(xué)之父”的美稱，留給后人的最有價(jià)值的書是《阿基米德全集》．在該書的“引理集”中有這樣一道題：如圖1，以AB為直徑作半圓O，弦AC是一個(gè)內(nèi)接正五邊形的一條邊（即：∠AOC=72°），點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，連接CD并延長(zhǎng)與直徑BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接AC,DB交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M．求證：ME是半圓的半徑．下面是勤奮小組的部分證明過程：證明：如圖2，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H．∵∠AOC=72∴∠ABC=1∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD=∵∠AOC=72°，∴∠AOD=∠COD=36°．∴∠ABD=∠CBD=∠DAC=∠DCA=1∵以AB為直徑作半圓O，∴∠ACB=∠ADB=90°．（依據(jù)3）∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=108°．∵四邊形ABCD是半圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAD=180°?∠DCB=72°,∠ADC+∠ABC=180°．（依據(jù)4）∵∠ADE+∠ADC=180°，∴∠ADE=∠ABC=36°．∵FM⊥AB于點(diǎn)M，∴FM=FC,∠FMB=∠ACB=90°．∵BF=BF，∴△BCF≌△BMF(HL∵BC=BM．∵BC=BM,∠ABD=∠CBD,BD=BD．∴△BCD≌△BMD(SAS∴DC=DM．……通過上面的閱讀，完成下列任務(wù)：(1)任務(wù)一：直接寫出依據(jù)1，依據(jù)2，依據(jù)3和依據(jù)4；(2)任務(wù)二：根據(jù)勤奮小組的解答過程完成該題的證明過程．（提示：先求出∠A的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)或判定完成該題的證明過程）題型25利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問題89．（2022·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將BC沿BC翻折交AB于點(diǎn)D．再將BD沿AB翻折交BC于點(diǎn)E．若BE=DE，設(shè)∠ABC=α，則A．21.9°<α<22.3° B．22.3°<α<22.7°C．22.7°<α<23.1° D．23.1°<α<23.5°90．（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）如圖，AB、AC是⊙O的弦（不是直徑），將AB沿AB翻折交AC于點(diǎn)D．若AB=AC，AD=BD，則91．（2023·安徽淮南·校聯(lián)考一模）如圖，已知，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)．(1)如圖①，將AC沿弦AC翻折，交AB于D，若點(diǎn)D與圓心O重合，AC=23，則⊙O的半徑為_____(2)如圖②，將BC沿弦BC翻折，交AB于D，把BD沿直徑AB翻折，交BC于點(diǎn)E．（Ⅰ）若點(diǎn)E恰好是翻折后的BD的中點(diǎn)，則∠B的度數(shù)為_____；（Ⅱ）如圖③，連接DE，若AB=10，OD=1，求線段DE的長(zhǎng)．題型26利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決多結(jié)論問題92．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，延長(zhǎng)BA與弦CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，已知PD=12AB，下列結(jié)論：①若CD?=AD?+BC?，則AB=2CD；②若∠B=60°，則∠P=20°；③若∠P=30°，則PAPD=3?1；④ADA．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④93．（2022·福建莆田·統(tǒng)考一模）如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AC=8，B為AC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABC沿弦AC翻折至△ADC，延長(zhǎng)CD交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，連接AE，OF．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①AE=AB；②AD=AE；③∠ADC=2∠AED；④OF的最小值為1，其中正確的是______（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．94．（2020·湖南岳陽(yáng)·?？级＃┤鐖D所示，MN是⊙O的直徑，作AB⊥MN，垂足為點(diǎn)D，連接AM，AN，點(diǎn)C為AN上一點(diǎn)，且AC=AM，連接CM，交AB于點(diǎn)E，交AN于點(diǎn)F，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①∠MAN=90°；②AM=BM；③∠ACM+∠ANM=∠MOB；④題型27圓有關(guān)的常見輔助線-遇到弦時(shí),常添加弦心距95．（2022·貴州銅仁·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)P，且∠APC=45°，若PC2+PD296．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O的半徑是3，點(diǎn)P是弦AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，則弦AB的長(zhǎng)為______．題型28圓有關(guān)的常見輔助線-遇到有直徑時(shí),常添加（畫）直徑所對(duì)的圓周角97．（2022·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)校聯(lián)考一模）圖，點(diǎn)A1,2、點(diǎn)B都在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上，當(dāng)以O(shè)B為直徑的圓經(jīng)過A點(diǎn)，點(diǎn)98．（2023·黑龍江雞西·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC=2，∠BAC=30°，則⊙O的直徑等于__________．

99．（2018·湖南張家界·校聯(lián)考一模）如圖，AB為△ADC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD=50°，則∠ACD=_______°．真題實(shí)戰(zhàn)練一、單選題1．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）在同一平面內(nèi)，已知⊙O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點(diǎn)P為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最大距離是（

）A．2 B．5 C．6 D．82．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過圓心O的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，下列敘述正確的是（

）A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形3．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個(gè)“老碗”（圖①）的形狀示意圖．AB是⊙O的一部分，D是AB的中點(diǎn)，連接OD，與弦AB交于點(diǎn)C，連接OA，OB．已知AB=24cm，碗深CD=8cm，則⊙O的半徑OA為（

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm4．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，垂足分別為D,E,F，連接DE,EF,FD．若DE+DF=6.5,△ABC的周長(zhǎng)為21，則EF的長(zhǎng)為（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．35．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ˋC），點(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心，B為AC上一點(diǎn)，OB⊥AC于D．若AC=3003m，BD=150m

A．300πm B．200πm C．150πm6．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC=50°，則∠D=（

）

A．20° B．40° C．50° D．80°7．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，半徑OA,OB互相垂直，點(diǎn)C在劣弧AB上．若∠ABC=19°，則∠BAC=（

）

A．23° B．24° C．25° D．26°8．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，連接OB，IA．若∠CAI=35°，則∠OBC的度數(shù)為（

）

A．15° B．17.5° C．20° D．25°9．（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若∠DCE=65°，則∠BOD的度數(shù)是（

）

A．65° B．115° C．130° D．140°10．（2022·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，與BC相交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論：①∠BAD=∠CAD；②若∠BAC=60°，則∠BEC=120°；③若點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，則∠BGD=90°；④BD=DE．其中一定正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．411．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），DE與AC交于點(diǎn)F，連結(jié)CE．下列結(jié)論：①BD=CE；②∠DAC=∠CED；③若BD=2CD，則CFAF=45；④在△ABC內(nèi)存在唯一一點(diǎn)P，使得PA+PB+PC的值最小，若點(diǎn)D在AP的延長(zhǎng)線上，且AP的長(zhǎng)為2，則A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④二、填空題12．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）在Rt△ACB中，∠BAC=30°,CB=2，點(diǎn)E是斜邊AB的中點(diǎn)，把Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得Rt△AFD，點(diǎn)C，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，點(diǎn)F，連接CF，EF,CE，在旋轉(zhuǎn)的過程中，△CEF13．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BD為弦，點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)，以點(diǎn)C為切點(diǎn)的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．

（1）若∠A=30°,AB=6，則BD的長(zhǎng)是_________（結(jié)果保留π）；（2）若CFAF=1314．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD交于點(diǎn)E,AC=2BD．連接AD，過點(diǎn)B的切線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．若∠AFB=68°，則

15．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，AD是⊙O的直徑，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形．若∠DAC=∠ABC，AC=4，則⊙O的直徑AD=______．

16．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一個(gè)量角器與一把無(wú)刻度直尺水平擺放，直尺的長(zhǎng)邊與量角器的外弧分別交于點(diǎn)A，B，C，D，連接AB，則∠BAD的度數(shù)為_______．

17．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D，M分別是弦AC，弧AC的中點(diǎn)，AC=12,BC=5，則MD的長(zhǎng)是________．

18．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上．若∠ADE=70°，則∠AOC=_____度．三、解答題19．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線BD是⊙O的直徑．

(1)如圖1，連接OA,CA，若OA⊥BD，求證；CA平分∠BCD；(2)如圖2，E為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，滿足AE⊥BC,CE⊥AB，若BD=33，AE=3，求弦BC20．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）在⊙O中，半徑OC垂直于弦AB，垂足為D，∠AOC=60°，E為弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上一點(diǎn)．

(1)如圖①，求∠AOB和∠CEB的大??；(2)如圖②，CE與AB相交于點(diǎn)F，EF=EB，過點(diǎn)E作⊙O的切線，與CO的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，若OA=3，求EG的長(zhǎng)．21．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）裝有水的水槽放置在水平臺(tái)面上，其橫截面是以AB為直徑的半圓O，AB=50cm，如圖1和圖2所示，MN為水面截線，GH為臺(tái)面截線，MN∥GH計(jì)算：在圖1中，已知MN=48cm，作OC⊥MN于點(diǎn)C（1）求OC的長(zhǎng)．操作：將圖1中的水面沿GH向右作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，使水流出一部分，當(dāng)∠ANM=30°時(shí)停止?jié)L動(dòng)，如圖2．其中，半圓的中點(diǎn)為Q，GH與半圓的切點(diǎn)為E，連接OE交MN于點(diǎn)D．

探究：在圖2中（2）操作后水面高度下降了多少？（3）連接OQ并延長(zhǎng)交GH于點(diǎn)F，求線段EF與EQ的長(zhǎng)度，并比較大?。?2．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．(1)求證DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；(2)過點(diǎn)C作CF∥AD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若AC=AD，23．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，OA,OB,OC都是⊙O的半徑，∠ACB=2∠BAC．

(1)求證：∠AOB=2∠BOC；(2)若AB=4,BC=5，求⊙O24．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)M,N分別為邊AB,BC的中點(diǎn)，連接MN．初步嘗試：（1）MN與AC的數(shù)量關(guān)系是_________，MN與AC的位置關(guān)系是_________．特例研討：（2）如圖2，若∠BAC=90°,BC=42，先將△BMN繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（α為銳角），得到△BEF，當(dāng)點(diǎn)A,E,F在同一直線上時(shí)，AE與BC相交于點(diǎn)D，連接CF

（1）求∠BCF的度數(shù)；（2）求CD的長(zhǎng)．深入探究：（3）若∠BAC<90°，將△BMN繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，得到△BEF，連接AE，CF．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α滿足0°<α<360°，點(diǎn)C,E,F在同一直線上時(shí)，利用所提供的備用圖探究∠BAE與∠ABF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．25．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）問題探究（1）在△ABC中，BD，CE分別是∠ABC與∠BCA的平分線．①若∠A=60°，AB=AC，如圖，試證明BC=CD+BE；②將①中的條件“AB=AC”去掉，其他條件不變，如圖，問①中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由．遷移運(yùn)用（2）若四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，且∠ACB=2∠ACD，∠CAD=2∠CAB，如圖，試探究線段AD，BC，AC之間的等量關(guān)系，并證明．

第26講圓的相關(guān)概念及性質(zhì)答案解析題型過關(guān)練題型01理解圓的相關(guān)概念1．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）下列關(guān)于圓的說(shuō)法中，正確的是（

）A．過三點(diǎn)可以作一個(gè)圓 B．相等的圓心角所對(duì)的弧相等C．平分弦的直徑垂直于弦 D．圓的直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸【答案】D【分析】利用圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A、過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)一定能作一個(gè)圓，故錯(cuò)誤，不符合題意；B、同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故錯(cuò)誤，不符合題意；C、平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，故錯(cuò)誤，不符合題意；D、圓的直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸，正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了確定圓的條件及圓的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)性質(zhì)及定義，難度不大．2．（2020·內(nèi)蒙古烏蘭察布·?？家荒＃┫铝忻}：①三點(diǎn)確定一個(gè)圓；②直徑是圓的對(duì)稱軸；③平分弦的直徑垂直于弦；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤相等的圓心角所對(duì)的弧相等，正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓、圓周角定理、垂徑定理以及弧與圓心角的關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)，注意熟記定理是解此題的關(guān)鍵．①根據(jù)確定圓的條件進(jìn)行解答即可；②利用直徑所在的直線為圓的對(duì)稱軸進(jìn)行判斷即可；③根據(jù)垂徑定理即可得出結(jié)論；④根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得出結(jié)論；⑤根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：①不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，故本小題錯(cuò)誤；②直徑所在的直線為圓的對(duì)稱軸，故本小題錯(cuò)誤；③平分弦的直徑垂直于弦（非直徑），故本小題錯(cuò)誤；④三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故本小題錯(cuò)誤；⑤在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故本小題錯(cuò)誤．∴正確命題的個(gè)數(shù)為0個(gè)．故選：A．【點(diǎn)睛】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解確定圓的條件、圓的對(duì)稱性、垂徑定理及三角形的外心的性質(zhì)，難度不大．3．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）下列說(shuō)法中，正確的是（

）①對(duì)角線垂直且互相平分的四邊形是菱形；

②對(duì)角線相等的四邊形是矩形；③同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；

④半圓是弧，但弧不一定是半圓.A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形，對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，弧分為優(yōu)弧、劣弧、半圓弧分別判斷即可．【詳解】解：①、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形，故該項(xiàng)正確；②、對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；③、在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；④、弧分為優(yōu)弧、劣弧、半圓弧，則半圓是弧，但弧不一定是半圓，故該項(xiàng)正確；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查基本概念，熟記知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．4．（2023·福建泉州·南安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┥钪薪?jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會(huì)掉進(jìn)井里去，這是因?yàn)椋?/p>

）A．同樣長(zhǎng)度的線段圍成的平面圖形中圓的面積最大B．同一個(gè)圓所有的直徑都相等C．圓的周長(zhǎng)是直徑的π倍D．圓是軸對(duì)稱圖形【答案】B【分析】根據(jù)圓的特征即可求解．【詳解】解：根據(jù)同一個(gè)圓所有的直徑都相等，則井蓋就不會(huì)掉進(jìn)井里去，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基礎(chǔ)知識(shí)，理解并掌握?qǐng)A的基礎(chǔ)知識(shí)，圓的基本特征是解題的關(guān)鍵．題型02圓的周長(zhǎng)與面積相關(guān)計(jì)算5．（2022·山西臨汾·統(tǒng)考二模）山西著名工藝品平遙推光漆器外觀古樸雅致、閃光發(fā)亮，繪飾金碧輝煌，以手掌推出光澤而得名．圖1是平遙推光漆器的一種圖案，圖2是選取其某部分并且放大后的示意圖．四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，分別以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心，12對(duì)角線的長(zhǎng)為半徑畫弧，四條弧相交于點(diǎn)O，則圖中陰影部分的面積為（

A．2π?4 B．π?2 C．2π D．1【答案】A【分析】由題意得半徑為2，陰影部分面積=圓的面積-正方形的面積，代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形∴正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)為22∴半徑為2∵陰影部分面積=圓的面積-正方形的面積∴陰影部分面積=π（2）2-22=2π?4故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和圓，組合圖形陰影部分面積，解題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積之間的關(guān)系．6．（2019·廣東佛山·佛山市三水區(qū)三水中學(xué)?？家荒＃┠彻珗@計(jì)劃砌一個(gè)形狀如圖（1）所示的噴水池，后來(lái)有人建議改為圖（2）的形狀，且外圓的直徑不變，噴水池邊沿的寬度、高度不變，你認(rèn)為砌噴水池的邊沿（

）A．圖（1）需要的材料多 B．圖（2）需要的材料多C．圖（1）、圖（2）需要的材料一樣多 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式，將每個(gè)圓的周長(zhǎng)計(jì)算出來(lái)，找到和周長(zhǎng)L的關(guān)系即可．【詳解】設(shè)大圓的直徑是D，圖（2）中三個(gè)小圓的直徑分別為：d1,d2,d3,∴d1+d2+d3=D根據(jù)圓周長(zhǎng)公式，得圖（1）中，需要2πD；圖（2）中，需要πD+πd1+πd2+πd3=πD+π(d1+d2+d3)=2πD故選：C．【點(diǎn)睛】注意：第二個(gè)圖中，計(jì)算三個(gè)小圓的周長(zhǎng)時(shí)候，提取π，所有的直徑之和是大圓的直徑．7．（2019·河北張家口·統(tǒng)考一模）半徑為R、r的兩個(gè)同心圓如圖所示，已知半徑為r的圓周長(zhǎng)為a，且R?r=1，則半徑為R的圓周長(zhǎng)為（

）A．a(chǎn)+1 B．a(chǎn)+2 C．a(chǎn)+π D．a(chǎn)+2π【答案】D【分析】根據(jù)半徑為r的圓的周長(zhǎng)表示出半徑r.【詳解】∵半徑為r的圓周長(zhǎng)為a，∴2πr=a，∴r=a∵R?r=1，∴R=1+r=1+a∴半徑為R的圓周長(zhǎng)為2π?2π+a2π=故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查圓的周長(zhǎng)公式，熟記公式是解題的關(guān)鍵.8．（2021·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）一塊含有30°角的三角板ABC如圖所示，其中∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm．將此三角板在平面內(nèi)繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周．（1）畫出邊BC旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形；（2）求出該圖形的面積．【答案】（1）畫圖見詳解；（2）BC掃過的面積S圓環(huán)==9π．【分析】（1）由三角板ABC可求AB=2BC=6cm，由勾股定理：AC=AB2?BC2（2）BC掃過的面積S圓環(huán)=πAB【詳解】解：（1）∵三角板ABC，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm，∴AB=2BC=6cm，∴由勾股定理：AC=AB邊BC在平面內(nèi)繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周．圖形是以AB為半徑的圓去掉以AC為半徑的圓，所形成的圓環(huán)，如圖所示：（2）BC掃過的面積S圓環(huán)=πAB【點(diǎn)睛】本題考查畫旋轉(zhuǎn)圖形，勾股定理，30°直角三角形的性質(zhì)，圓環(huán)面積，掌握畫旋轉(zhuǎn)圖形方法，勾股定理，30°直角三角形的性質(zhì)，圓環(huán)面積求法是解題關(guān)鍵．題型03圓中的角度計(jì)算9．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC＝12OD，則∠ABDA．90° B．95° C．100° D．105°【答案】D【分析】連接OB，即得出OB＝OD，從而得出∠OBD＝∠ODB．根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合題意可判斷∠OBC＝30°，再利用平行線的性質(zhì)可得出∠BOD＝∠OBC＝30°，從而根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠OBD＝∠ODB＝75°，最后由∠ABD＝∠OBC+∠OBD求解即可．【詳解】如圖：連接OB，∴OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB．∵OC＝12OD∴OC＝12OB∵OC⊥AB，∴sin∠OBC=∴∠OBC＝30°．∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠OBC＝30°，∴∠OBD＝∠ODB＝75°，∴∠ABD＝∠OBC+∠OBD=30°+75°＝105°．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用．連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．10．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，AB為直徑，∠AOC=80°，點(diǎn)D為弦AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為BC上任意一點(diǎn)，則∠CED的大小可能是（A．10° B．20° C．30°【答案】C【分析】連接OD、OE，先求出∠COD=40°，∠BOC=100°，設(shè)∠BOE=x，則∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°；然后運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)分別求得∠OED和∠COE，最后根據(jù)線段的和差即可解答．【詳解】解：連接OD、OE∵OC=OA∴△OAC是等腰三角形∵∠AOC=80°，點(diǎn)D為弦∴∠DOC=40°，∠BOC=100°設(shè)∠BOE=x，則∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°∵OC=OE，∠COE=100°-x∴∠OEC=180°∵OD＜OE，∠DOE=100°-x+40°=140°-x∴∠OED＜180°∴∠CED＞∠OEC-∠OED=40°又∵∠CED＜∠ABC=40°，故答案為C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線、構(gòu)造等腰三角形是解答本題的關(guān)鍵．11．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O與△OAB的邊AB相切，切點(diǎn)為B．將△OAB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△O'A'B，使點(diǎn)O落在⊙O上，邊A'B交線段AO于點(diǎn)

【答案】87【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)邊相等及半徑相等得到等邊△OBO'，得到旋轉(zhuǎn)角為【詳解】∵△AOB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△O'A'B∴∠A=∠A'=27°連接OO

∵OB=OO∴△OO∴∠OBO∴△AOB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了60°，∴∠ABA∴∠OCB=∠A+∠ABA故答案為：87.【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)中角度的計(jì)算，旋轉(zhuǎn)過程中對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，旋轉(zhuǎn)角處處相等．本題中利用圓的半徑相等得到邊長(zhǎng)關(guān)系進(jìn)而求得角度關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型04圓中線段長(zhǎng)度的計(jì)算12．（2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在斜邊AB上，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過邊AC上的點(diǎn)E，連接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半徑為3，AD=2，則線段BC的長(zhǎng)為（

A．403 B．8 C．245【答案】C【分析】連接OE，證明OE∥【詳解】解：連接OE，如圖，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠CBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠CBE=∠OEB，∴OE∥∴△AOE∽△ABC，∴OEBC∵⊙O的半徑為3，AD=2，∴AO=AD+OD=5，∴BC=OE?AB故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在斜邊AB上，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過邊AC上的點(diǎn)E，連接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半徑為3，AD=2，則線段BCA．403 B．8 C．245 【答案】C【分析】連接OE，由角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的推出∠OEB=∠CBE，得到OE∥BC，因此△AOE～△ABC，得到AO：AB=OE：BC代入有關(guān)數(shù)據(jù)，即可求出【詳解】解：如圖，連接OE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵OE=OB，∴∠OEB=∠ABE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥∴△AOE～△ABC，∴AO：AB=OE：BC，∵⊙O的半徑為3，AD=2，∴AO=AD+OD=2+3=5，AB=AD+BD=2+6=8，∴5：8=3：BC，∴BC=24故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線定義，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．14．（2022·湖北武漢·武漢第三寄宿中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，將兩個(gè)正方形如圖放置（B，C，E共線，D，C，G共線），若AB＝3，EF＝2，點(diǎn)O在線段BC上，以O(shè)F為半徑作⊙O，點(diǎn)A，點(diǎn)F都在⊙O上，則OD的長(zhǎng)是（

）A．4 B．10 C．13 D．26【答案】B【分析】連接OA，OF，由題意得OA=OF，設(shè)OC=x，由勾股定理得(x+2)2+22=【詳解】解：連接OA，OF，如圖，∵OF是半圓O的半徑，∴OA=OF，∵四邊形ABCD、EFGC是正方形，∴∠ABC=∠DCB=∠FEC=90°，AB=BC=CD=3,CE=EF=2設(shè)OC=x，∴BO=BC-OC=3-x，OE=OC+CE=x+2，在RtΔABO和RtΔAB∴32∵AO=FO∴32解得，x=1，即OC=1，在Rt△DOC中，DO∴OD=O故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本概念，勾股定理以及正方形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．題型05求一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值15．（2023·湖北咸寧·統(tǒng)考二模）如圖，正方形ABCD內(nèi)接干圓O，線段MN在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，若圓O的面積為2π，MN=1，△AMN周長(zhǎng)的最小值是_________

【答案】4【分析】由正方形的性質(zhì)知點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)C作CA'∥BD，且使CA'=1，連接AA'交BD于點(diǎn)N，取MN=1，連接AM、CM，則點(diǎn)【詳解】解：⊙O的面積為2π，則圓的半徑為2，BD=2由正方形的性質(zhì)知點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)C作CA'∥BD，且使連接AA'交BD于點(diǎn)N，取MN=1，連接AM、CM，則點(diǎn)M、

理由：∵A'C∥MN，且A'C=MN，則四邊形則A'N=CM=AM，故△AMN的周長(zhǎng)=AM+AN+MN=AA'+1為最小，∵正方形ABCD中AC⊥BD，∴A'C⊥AC，∴A'A=A則△AMN的周長(zhǎng)的最小值為3+1=4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)、點(diǎn)的對(duì)稱性、平行四邊形的性質(zhì)等，確定點(diǎn)M、N的位置是解題的關(guān)鍵．16．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）平面直角坐標(biāo)系xoy中，⊙O的半徑為2，點(diǎn)M在⊙O上，點(diǎn)N在線段OM上，設(shè)ON=t（1<t<2），點(diǎn)P的坐標(biāo)為?4,0，將點(diǎn)P沿OM方向平移2個(gè)單位，得到點(diǎn)P'，再將點(diǎn)P'作關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接PQ，當(dāng)點(diǎn)M在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ

【答案】4t?4/?4+4t【分析】根據(jù)題意作出點(diǎn)P'和點(diǎn)Q，連接P'M,PO，并延長(zhǎng)P'M至點(diǎn)B，使得P'M=BM,連接BQ并延長(zhǎng)交PO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，證明四邊形P【詳解】

解：根據(jù)題意作出點(diǎn)P'和點(diǎn)Q，如圖，連接P'M,PO，并延長(zhǎng)P'M至點(diǎn)B，使得P'M=BM∵將點(diǎn)P'作關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)Q∴P∵P∴BQ=2MN=2×OM?ON=4?2t，且∵將點(diǎn)P沿OM方向平移2個(gè)單位，∴P'P∴四邊形P'PCB為平行四邊形，四邊形∵將點(diǎn)P沿OM方向平移2個(gè)單位，∴P∴QC=BC?BQ=2?4?2t∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為?4,0，∴PC=P由圖得，PC?CQ≤PQ≤PC+CQ，

∴PQ的最大值為PC+CQ=2t+6，PQ的最小值為PC?CQ=10?2t，∴PQ長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為2t+6?10?2t故答案為：4t?4．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問題，主要考查了中位線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，平行四邊形的判定及性質(zhì)，正確畫出圖形并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．17．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)B作BE⊥CD交CD于點(diǎn)E，則在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，求線段AE的最小值為______

【答案】73?3/【分析】根據(jù)BE⊥CD，得到∠BEC=90°，進(jìn)而得到點(diǎn)E在以BC為直徑的圓上，設(shè)BC的中點(diǎn)為O，連接AO，交⊙O于點(diǎn)F，連接OE，則：AE≥OA?OE，當(dāng)且僅當(dāng)O,A,E三點(diǎn)共線時(shí)，AE取得最小值，即點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)，AE取得最小值，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，∴點(diǎn)E在以BC為直徑的圓上，設(shè)BC的中點(diǎn)為O，連接AO，交⊙O于點(diǎn)F，連接OE，則：AE≥OA?OE，

∴當(dāng)且僅當(dāng)O,A,E三點(diǎn)共線時(shí)，AE取得最小值，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴OF=BO=3，AO=∴AE的最小值為：AO?OF=73故答案為：73?3【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，求一點(diǎn)到圓上的距離的最小值．解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)E在以BC為直徑的圓上．18．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，P是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段BP的最小值是______；當(dāng)BP取最小值時(shí)，DP延長(zhǎng)線交線段BC于E，則CE的長(zhǎng)為______．

【答案】23【分析】（1）如圖，由∠BCP=∠PDC及∠BCD=90°易證∠CPD=90°，所以點(diǎn)P在以CD為直徑的圓上，連接OB，交⊙O于P，此時(shí)BP長(zhǎng)最小，根據(jù)勾股定理求解OB=5,進(jìn)而求得BP為2；（2）如圖，作OF∥BC交DE于F，由OC=OD可證OF=12CE，由△BPE～△OPF知BE【詳解】

解：∵四邊形ABCD矩形，∴∠BCD=90°，∴∠BCP+∠DCP=90°∵∠BCP=∠PDC，∴∠PDC+∠PCD=90°，∴∠CPD=90°，以CD為直徑作⊙O，⊙O經(jīng)過點(diǎn)P，連接OB，交⊙O于P，此時(shí)PB長(zhǎng)最?。逴B∴OB=5，∴PB=OB?OP=5?3=2，故答案為2．

（2）作OF∥BC交DE于∵OC=OD，∴DF=EF，∴OF=1∵OF∥BC∴∠PFO=∠PEB，∠POF=∠PBE∴△BPE～△OPF∴BEOF∴4?CE1∴CE=3．故答案3．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的外接圓、點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值問題、中位線定理、相似三角形的判定和性質(zhì)；明確動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，確定BP取最小值時(shí)點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵；求CE長(zhǎng)的關(guān)鍵是利用矩形的性質(zhì)及（1）空的結(jié)論構(gòu)造相似三角形求解．題型06由垂徑定理及推論判斷正誤19．（2022·山東濟(jì)寧·二模）如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為E，連接CO、AD、OD，∠BAD=22.5°，則下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．CE=EO B．OC=2C．∠OCE=45° D．∠BOC=2∠BAD【答案】B【分析】由AB⊥CD，AB是⊙O的直徑，得CE=DE，BC?=BD?，進(jìn)而得出△OCE為等腰直角三角形，進(jìn)而得出∠OCE=45°，【詳解】解：∵AB⊥CD，AB是⊙O的直徑，∴CE=DE，BC?∴∠BOC=2∠BAD=2×22.5°=45°，∴△OCE為等腰直角三角形，∴∠OCE=45°，OC=2CE，∴OC=2故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理及解直角三角形，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．20．（2022·河南許昌·統(tǒng)考一模）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．AE＝BE B．OE＝DE C．AC=BC 【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理即可判斷．【詳解】解：∵CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，∴AE=EB，AC=BC，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．21．（2018·內(nèi)蒙古包頭·校聯(lián)考一模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，連接BC、BD、AC，下列結(jié)論中不一定正確的是（）A．∠ACB=90° B．OE=BE C．BD=BC D．AD【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理及圓周角定理進(jìn)行解答即可．【詳解】∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，故A正確；∵點(diǎn)E不一定是OB的中點(diǎn)，∴OE與BE的關(guān)系不能確定，故B錯(cuò)誤；∵AB⊥CD，AB是⊙O的直徑，∴BD=∴BD=BC，故C正確；∴AD=故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．題型07利用垂徑定理求解22．（2023·云南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是OO的弦，AB?CD．垂足為E．若AB=26，CD=24，則∠OCE的余弦值為（

）A．713 B．1213 C．712【答案】B【分析】先根據(jù)垂徑定理求出CE=1【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，AB?CD．∴CE=12CD=12,∠OEC=90°，OC∴cos∠OCE=故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查的是垂徑定理，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握垂徑定理，銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．23．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為(

)A．363 B．243 C．183 D．723【答案】A【分析】連接OC，首先根據(jù)題意可求得OC=6，OE=3，根據(jù)勾股定理即可求得CE的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理即可求得CD的長(zhǎng)，據(jù)此即可求得四邊形ACBD的面積．【詳解】解：如圖，連接OC，∵AB＝12，BE＝3，∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，∴在Rt△COE中，EC=O∴CD＝2CE＝63，∴四邊形ACBD的面積＝12故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，垂徑定理，熟練掌握和運(yùn)用垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵．24．（2022·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，∠CAD＝45°，則∠BOC＝_____°．【答案】45【分析】根據(jù)垂徑定理可得△ACD是等腰三角形，∠BAC＝22.5°，然后再利用圓周角定理可得∠BOC＝45°．【詳解】解：∵⊙O的直徑AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，∴AB垂直平分CD∴AC＝AD∴△ACD是等腰三角形∴∠BAC＝12∠CAD＝1∴∠BOC＝2∠BAC＝45°，故答案為：45．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．25．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D．若∠APD是AD所對(duì)的圓周角，則∠APD的度數(shù)是______．【答案】30°/30度【分析】根據(jù)垂徑定理得出∠AOB=∠BOD，進(jìn)而求出∠AOD=60°，再根據(jù)圓周角定理可得∠APD=12∠AOD【詳解】∵OC⊥AB，OD為直徑，∴BD=∴∠AOB=∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°，∴∠APD=12∠AOD故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理等知識(shí)，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．題型08根據(jù)垂徑定理與全等/相似三角形綜合求解26．（2022·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，AD⊥BC于點(diǎn)E．（1）求證：∠BAD=∠CAD；（2）連接BO并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G，連接GC．若⊙O的半徑為5，OE=3，求GC和OF的長(zhǎng)．【答案】（1）見詳解；（2）GC=6，OF=【分析】（1）由題意易得BD=（2）由題意可先作圖，由（1）可得點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，則有OE=12CG,OE【詳解】（1）證明：∵AD是⊙O的直徑，AD⊥BC，∴BD=∴∠BAD=∠CAD；（2）解：由題意可得如圖所示：由（1）可得點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∵點(diǎn)O是BG的中點(diǎn)，∴OE=1∴△AOF∽△CGF，∴OACG∵OE=3，∴CG=6，∵⊙O的半徑為5，∴OA=OG=5，∴56∴OF=5【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理、三角形中位線及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂徑定理、三角形中位線及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．27．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）小明向如圖所示的圓形區(qū)域內(nèi)投擲飛鏢．已知△ABC是等邊三角形，D點(diǎn)是弧AC的中點(diǎn)，則飛鏢落在陰影部分的概率為________．【答案】1【分析】如圖，連接OA，OC，連接OD交AC于E，則OD⊥AC，AE=CE，OD=OC=CD=OA，∠OAE=∠DCE=30°，證明△AOE≌△CDESAS，則S△AOE=S△CDE【詳解】解：如圖，連接OA，OC，連接OD交AC于E，由題意知，OD⊥AC，AE=CE，∠OAE=∠DCE=30°，∵AD?∴∠AOD=∠COD=60°，∵OD=OC，∴△COD是等邊三角形，∴CD=OA，在△AOE和△CDE中，∵OA=CD∠OAE=∠DCE=30°∴△AOE≌△CDESAS∴S△AOE∴S陰影∵S陰影∴飛鏢落在陰影部分的概率為16故答案為：16【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，等弧所對(duì)的圓周角相等，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，扇形面積，幾何概率等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于正確的表示陰影部分面積．28．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖AB與圓O相切于A，D是圓O內(nèi)一點(diǎn)，DB與圓相交于C．已知BC＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，則圓的半徑為_____．【答案】22【分析】連接BC并延長(zhǎng)，交圓于F，過O作OE⊥BF，連接AC,OA,AF，證明△ABC∽△FBA，則可得AB2＝BC?BF，進(jìn)而求得DE＝32，OD【詳解】解：連接BC并延長(zhǎng)，交圓于F，過O作OE⊥BF，連接AC,OA,AF∵BA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，∴∠OAB=90°∴∠OAC+∠CAB=90°∵∴∠AOC=在△AOC中，OA=OC∴∠AOC+2∠OAC=180°則2∠AFC+2∠OAC=180°∴∠AFC+∠OAC=90°∴∠AFC=∠CAB又∠B=∠B∴△ABC∽△FBA∴∴AB2＝BC?BF，∵BC＝DC＝3，AB＝6，∴BF＝12，CF＝9，∴DE＝32，OD∴OE＝OD2?DE2＝4?94∴OC＝OE2+CE2故答案為：22．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，證明AB2＝BC?BF，是解題的關(guān)鍵．29．（2022·廣西欽州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC＝3，AC＝4，點(diǎn)D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE⊥BE交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則BDDE【答案】3【分析】連接OE，作EF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，先證明△EDF∽△BDC，得出當(dāng)點(diǎn)E是AC中點(diǎn)時(shí)，EF的值最大，則BDDE值的最小，此時(shí)E，F(xiàn)，O【詳解】解：如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為O，連接OE，作EF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，∵∠C=90°，AE⊥BE，∴∠C=∠AEB=90°，∴A，B，E，C四點(diǎn)共圓，∵∠C=∠AEB=90°，∠EDF=∠BDC，∴△EDF∽△BDC，∴BDDE當(dāng)點(diǎn)E是AC中點(diǎn)時(shí)，EF的值最大，則BDDE值的最小，此時(shí)E，F(xiàn)，O∵AC=4，BC=3，∴AB=32∴OE=12∵OE⊥AC，∴AF=12AC∴OF=OA∴EF=OE-OF=52∴BDDE∴BDDE故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角