數(shù)學(xué)學(xué)案：知識(shí)導(dǎo)航.不等式的基本性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精5.1不等式的基本性質(zhì)自主整理1.兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系:a＞ba-b______________0；a=ba-b______________0；a＜ba—b______________0.2.不等式的基本性質(zhì):(1）a＞bb______________a;（2)a＞b，b＞ca______________c;(3)a＞ba+c______________b+c;(4）ac______________bc,ac______________bc；（5)a＞b＞0an______________bn(n∈N，且n＞1）;（6)a＞b＞0______________(n∈N，且n＞1）。高手筆記1。實(shí)數(shù)大小比較的原理與實(shí)數(shù)乘法的符號(hào)法則是推導(dǎo)不等式性質(zhì)的依據(jù)。與等式相比，主要區(qū)別在數(shù)乘這一性質(zhì)上，對(duì)于等式a=bac=bc，其中c可取任意實(shí)數(shù),而對(duì)于不等式a＞b，兩邊同乘c之后，ac與bc的大小關(guān)系就需對(duì)c加以討論確定.2。學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)應(yīng)注意三個(gè)方面的問題：(1）注意區(qū)分不等號(hào)“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”的含義，準(zhǔn)確地表述不等式。（2)不等式的傳遞變形中應(yīng)注意不等號(hào)方向的一致性。（3)適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小是不等式變形的關(guān)鍵。3.不等式的一些性質(zhì)在應(yīng)用時(shí)可以適當(dāng)延伸,如將“＞"改為“≥”，“＜"改為“≤”，將正數(shù)改為非負(fù)數(shù)等。如：a≥b,b≥ca≥c;a＞b≥0,c＞0ac＞bc等,而且還可推證出其他一些結(jié)論性質(zhì),如a＞b,c＞da+c＞b+d;a＞b≥0,c＞d≥0ac＞bd等。4.區(qū)分“"和“”，即“推出關(guān)系”和“等價(jià)關(guān)系”,或者說“不可逆關(guān)系”與“可逆關(guān)系”.如a＞b，c＞0ac＞bc，但ac＞bc不一定推出a＞b，c＞0,有可能a＜b，c＜0。5。文字語言翻譯成數(shù)學(xué)符號(hào)要準(zhǔn)確,“大于"“＞”,“小于”“＜”，“至多"“不多于”“小于等于"“≤”,“至少”“不少于"“大于等于"“≥"。名師解惑使用不等式的性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意哪些問題?剖析:(1)不等式的性質(zhì)都可由兩個(gè)實(shí)數(shù)具有的性質(zhì)推得，在使用時(shí)，一定要弄清它們成立的前提條件，例如，在應(yīng)用傳遞性時(shí)，如果不等式中有一個(gè)帶等號(hào)而另一個(gè)不帶等號(hào)，那么等號(hào)是傳遞不過去的,如a≤c，c＜ba＜b。(2）在乘法法則中,要特別注意c的符號(hào),如果不確定則需討論,如當(dāng)c≠0時(shí)，有a＞bac2＞bc2,但如果缺少條件c≠0，則a＞bac2＞bc2就是錯(cuò)誤的,只能得到ac2≥bc2（當(dāng)且僅當(dāng)c=0時(shí)取“=”）.（3)a＞b＞0an＞bn成立的條件“n∈N且n＞1”不能省略.假設(shè)去掉會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤,如n=—1,a=3,b=2，則3-1＞2-1與事實(shí)＜矛盾.總之，要正確使用不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，需注意不等式性質(zhì)成立的條件,條件不同時(shí)，得到的結(jié)論有可能不同.講練互動(dòng)【例1】若a、b、c∈R，a＞b,則下列不等式成立的是(）A。＜B。a2＞b2C。＞D。a|c|＞b｜c(diǎn)|解析:A中-=，由a＞b可以確定b—a＜0，但不能確定ab的符號(hào),∴無法判定。B中需在都是正數(shù)的前提下成立.C中∵c2+1≥1＞0，∴＞0。在a＞b兩邊同乘一正數(shù)，方向不變，∴C成立。而D中｜c(diǎn)|≥0,當(dāng)c=0時(shí),a|c｜=b｜c(diǎn)｜，D不成立。答案:C綠色通道解答有關(guān)不等式性質(zhì)的選擇題,一是利用不等式相關(guān)的性質(zhì)推導(dǎo),要特別注意不等式變號(hào)的因素及不等式的使用條件是否具備;二是可用特殊值法或排除法解答。變式訓(xùn)練1.如果a、b、c滿足c＜b＜a,且ac＜0，則下列不一定成立的是（）A。ab＞acB。c（b—a)＞0C。cb2＜ab2解法一：∵c＜b＜a且ac＜0,∴c＜0,a＞0.A中b＞c，a＞0ab＞ac成立。B中∵b＜a,∴b-a＜0。又∵c＜0，∴(b—a)c＞0成立。C中∵b2≥0,當(dāng)b=0時(shí),cb2=ab2，∴C項(xiàng)不一定成立.D中a＞c,∴a-c＞0.ac＜0，∴ac（a-c）＜0成立。解法二：取c=-1、b=0、a=1,分別代入A、B、C、D中驗(yàn)證,可知C不成立。答案:C【例2】已知a＞b＞0,c＞d＞0，求證：＞.分析:觀察要證的不等式，聯(lián)系性質(zhì)（6）可知關(guān)鍵是證明＞。為此需先證＞.證明:∵c＞d＞0，∴cd＞0，c-d＞0，＞0.∴-=＞0?！啵荆?。∵a＞b＞0，∴＞＞0.又∵a＞b＞0，＞0，∴＞＞0?！啵荆??！啵?綠色通道根據(jù)不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式，可觀察要證的不等式的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想與之有聯(lián)系的不等式的性質(zhì)或兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系進(jìn)行變形運(yùn)算。變式訓(xùn)練2。已知a＞b＞0,c＜d＜0，e＜0,求證:。證明：∵c＜d＜0,∴-c＞—d＞0?！遖＞b＞0,∴a—c＞b-d＞0?！?∵a—c＞b-d＞0,∴a—c—b+d＞0.∴b—a+c—d＜0?！遝＜0，∴e(b-a+c-d）＞0?！啵??！啵境闪?【例3】若a、b、c、d∈R+,且a＞c+d,b＞c+d,求證：ab＞ad+bc，ab＞ac+bd.分析：由于a＞c+d,b＞c+d,但a、b的大小關(guān)系不定，可分三種情況討論.證明:∵a、b、c、d∈R+,a＞c+d，b＞c+d,（1)當(dāng)a＞b＞c+d時(shí)，ab＞a（c+d）=ac+ad＞ac+bd,即ab＞ac+ad＞bc+ad成立。(2）當(dāng)b＞a＞c+d時(shí),ab＞b(c+d)=bc+bd＞bc+ad，即ab＞bc+ad成立。由ab＞b(c+d）=bc+bd＞ac+bd,得ab＞ac+bd成立.（3）當(dāng)a=b＞c+d時(shí)，ab＞a（c+d）=ac+ad=ac+bd=bc+ad，即ab＞ac+bd=bc+ad成立。綜上，ab＞ad+bc,ab＞ac+bd成立.綠色通道證明不等式，要多觀察結(jié)構(gòu)，靈活地進(jìn)行變形，情況不確定時(shí)，可進(jìn)行分類討論。變式訓(xùn)練3.比較x3+11x與6x2+6的大小。解：∵x3+11x—(6x2+6)=x3—6x2+11x—6=x3—3x2-3x2+11x—6=x2(x-3）+(—3x+2)(x—3）=(x-3)（x2—3x+2）=（x-3)(x-2）(x-1）,當(dāng)x＜1時(shí)，x—1＜0,x-2＜0，x-3＜0,∴(x—3)（x—2）（x-1）＜0?！鄕3+11x＜6x2+6。當(dāng)1＜x＜2時(shí)，x—1＞0，x-2＜0，x—3＜0，∴(x-3）（x-2）(x—1)＞0.∴x3+11x＞6x2+6.當(dāng)2＜x＜3時(shí)，x-1＞0，x-2＞0,x—3＜0,∴（x-3）（x-2)（x—1)＜0?！鄕3+11x＜6x2+6.當(dāng)x＞3時(shí)，x—1＞0，x-2＞0,x-3＞0,∴（x-3)（x—2）（x-1）＞0.∴x3+11x＞6x2+6。當(dāng)x=1或x=2或x=3時(shí),(x—1）（x—2）(x—3)=0.∴x3+11x=6x2+6.綜上,當(dāng)x＜1或2＜x＜3時(shí)，x3+11x＜6x2+6;當(dāng)1＜x＜2或x＞3時(shí),x3+11x＞6x2+6;當(dāng)x=1或x=2或x=3時(shí),x2+11x=6x2+6?！纠?】已知6＜x+y＜9,-1＜x—y＜5,求2x+3y的范圍.分析：已知條件為x+y和x-y的范圍，需將2x+3y用已知條件表示出來,再用待定系數(shù)法確定。解:設(shè)2x+3y=m(x+y)+n(x-y)=（m+n)x+(m—n）y，∴∴∴2x+3y=（x+y）-（x—y）?！?＜x+y＜9,∴15＜(x+y)＜?！摺?＜x—y＜5,∴—＜—（x-y)＜.∴＜（x+y）—(x-y)＜23,即＜2x+3y＜23.黑色陷阱本題中所求量的范圍需用已知量表示出來，采用整體代換的思想,即弄清所求量與已知量之間的關(guān)系。若由得再得2x+3y的范圍為(,29),這樣就在變化過程中擴(kuò)大了范圍，出現(xiàn)錯(cuò)誤.變式訓(xùn)練4.若已知二次