數(shù)學學案：知識導航柯西不等式

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精5.4幾個著名的不等式5.4.1柯西不等式自主整理柯西不等式（1)代數(shù)形式:設a、b、c、d均為實數(shù),則_______________,當且僅當ad=bc時取“=”.(2)向量形式:設α、β為平面上的兩個向量，則_______,當且僅當兩個向量方向相同或相反時取“=”.（3)三角形不等式：設x1、y1、x2、y2、x3、y3為任意實數(shù),則≥________________。向量表示:設α、β、γ為平面上的向量，則____________,當且僅當向量α—β與β-γ同向時取“=”.（4）一般形式:設n為大于1的自然數(shù),ai、bi(i=1，2,…，n)為任意實數(shù)，則______________。當且僅當時取“=”(當ai=0時，約定bi=0,i=1，2，…,n)。(5)在n個實數(shù)a1,a2，…,an和為定值S時,它們的平方和不小于,當且僅當a1=a2=…=an時，平方和取最小值.高手筆記1?？挛鞑坏仁娇捎苫静坏仁酵谱C，其形式比較整齊、優(yōu)美.因用到的字母較多，不易記憶，可聯(lián)想其幾何意義（即向量形式)就比較好理解了,由α·β=｜α｜|β｜cosα≤｜α｜·｜β｜，所以只需記住向量數(shù)量積定義即可.2.記憶三角形不等式時只需記住三角形中兩邊之和大于第三邊及平面內兩點間的距離公式即可寫出,注意聯(lián)想記憶.3.柯西不等式的幾種形式間是等價的，但要注意結構形式的變化對數(shù)值的要求，對“=”取到的條件要從推導過程中來理解.名師解惑對柯西不等式的理解剖析:柯西不等式的幾種形式,都涉及對不等式的理解與記憶，因此，柯西不等式可以理解為四個有順序的數(shù)對應的一種不等關系或構造的一個不等式,如基本不等式是由兩個數(shù)來構造的(a2+b2)（12+12）≥（a+b)2，但怎樣構造要仔細體會，(a2+b2)（c2+d2）≥(ac+bd）2,（a2+b2)（d2+c2）≥（ad+bc）2，誰與誰組合聯(lián)系,要根據(jù)需要.柯西不等式取“=”的條件,可以多方面聯(lián)系來記憶,如(a2+b2）(c2+d2)≥（ac+bd）2,取“=”的條件是“ad=bc"，有點像a、b、c、d成等比數(shù)列時ad=bc的結論?？挛鞑坏仁降南蛄啃问街?α·β≤｜α｜·|β｜取“=”的條件是β=0或存在實數(shù)k,使α=kβ,我們可以從向量的數(shù)量積的角度來理解記憶。講練互動【例1】設a，b,c,d，m,n都是正實數(shù),P=,Q=，試確定P與Q的大小。分析：從結構上觀察,被開方數(shù)為(ma+nc）()，可用柯西不等式.解:∵m、n、a、b、c、d為正數(shù)，∴(ma+nc）()=［()2+（)2］·［(）2+（）2]≥（)2=(）2，即Q≥P，當且僅當時取“=”.綠色通道解答問題時注意觀察式子的結構是否符合柯西不等式的形式,并構造不等式.變式訓練1。已知不等式(x+y)()≥9對于任意正實數(shù)x、y恒成立,求正實數(shù)a的最小值.解：設z=(x+y）(+),不等式（x+y)(+)≥9對于任意的正實數(shù)x、y恒成立,等價于zmin≥9，∵x、y、a∈R+,∴z=(x+y）（+)=［（)2+()2]［(）2+（)2]≥(）2=（1+)2。∴zmin=（1+）2.∴（1+)2≥9。∴1+≥3，即a≥4.∴a的最小值為4.【例2】已知a、b∈R，求證:(a4+b4)（a2+b2)≥(a3+b3)2.分析：雖然可以作乘法展開上式的兩邊,然后再比較它們，但是如果注意到不等式的兩邊形式與柯西不等式的一致性,可以避免繁雜的運算.證明：根據(jù)柯西不等式有（a4+b4)(a2+b2）≥（a2·a+b2·b)2=（a3+b3）2.綠色通道在證明不等式時,要觀察不等式的結構,若聯(lián)系經(jīng)典不等式,既可以啟發(fā)證明思路,又可以簡化運算.變式訓練2。已知a、b∈R,求證：（a4+b4）(a2+b2)≥a2b2（a+b）2。證明：由柯西不等式,得(a4+b4）(a2+b2)=（a4+b4）（b2+a2)≥(a2b+b2a）2=［ab(a+b）］2=a2b2(a+b）2【例3】求函數(shù)y=的最大值.分析：利用不等式求函數(shù)的最值,通常設法在不等式一邊得到一個常數(shù),并尋找不等式取“=”的條件.這個函數(shù)的解析式是兩部分的和,若能化為ac+bd的形式就可利用柯西不等式進行平方合并求最值.解:函數(shù)的定義域為［2,5］且y〉0.y2=（)2≤（42+32)[(）2+（)2]=25×3,∴y≤,當且僅當=時等號成立,即x=時取“=”，y取最大值.綠色通道學會觀察函數(shù)的結構,并構造不等式,注意柯西不等式的等號成立的條件，弄清誰是a、b、c、d.變式訓練3。求函數(shù)y=的最大值.解法一：函數(shù)的定義域為[1,10］，且y>0，y=1×+1×≤××3=，當且僅當,即x=時取“=”，ymax=.解法二:函數(shù)的定義域為［1,10］，且y>0。y2=(）2=x-1+10—x+2=9+2≤9+(x—1)+(10—x)=18?！鄖≤，當且僅當x—1=10—x時,即x=時,取“=",ymax=?！纠?】已知a、b、c、d、e、f是不全相等的正數(shù),求證:a2+b2+c2+d2+e2+f2>ab+bc+cd+de+ef+fa.分析:上式兩邊的結構比較整齊，左邊為平方和，右邊為順序乘積的和，可由柯西不等式證明.證明：∵（a2+b2+c2+d2+e2+f2）2=（a2+b2+c2+d2+e2+f2）(b2+c2+d2+e2+f2+a2）≥（ab+bc+cd+de+ef+fa）2，又∵a、b、c、d、e、f是不全相等的正數(shù),∴上面“="取不到.∴a2+b2+c2+d2+e2+f2>ab+bc+cd+de+ef+fa成立.綠色通道學會構造柯西不等式，注意觀察結構和規(guī)律.變式訓練4。已知a、b、c、d∈