數(shù)學學案第一講四柱坐標系與球坐標系簡介

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識·巧學一、柱坐標系定義：如圖1—4—圖1空間點P的直角坐標（x,y，z）與柱坐標（ρ,θ,z）之間的變換公式為要點提示柱坐標系又稱半極坐標系，它是由平面極坐標系及空間直角坐標系中的一部分建立起來的.二、球坐標系定義：如圖1-空間點P的直角坐標（x,y，z)與球坐標(r,φ,θ）之間的變換關系為圖1要點提示在測量實踐中，球坐標中的角θ稱為被測點P（r,φ,θ)的方位角，90°-φ稱為高低角。三、坐標系的建立1.當圖形中有互相垂直且相交于一點的三條直線時，可以利用這三條直線直接建系;2。有些圖形雖然沒有互相垂直且相交于一點的三條直線，但是圖形中有一定的對稱關系（如正三棱錐﹑正四棱錐﹑正六棱錐等），則可以利用圖形的對稱性建立空間坐標系來解題;3.有些圖形沒有互相垂直且相交于一點的三條直線，但是有兩個互相垂直的平面，我們可以利用面面垂直的性質定理,作出互相垂直且相交于一點的三條直線,建立空間坐標系。深化升華當描述點的位置只用長度來形容不夠時,要考慮用角度來表示;如果用一個角度不夠,就用兩個角度來表示，來分別建立適當?shù)目臻g坐標系。問題·探究問題1分析在柱坐標系，球坐標系和空間直角坐標系中刻畫空間中點的位置的方法,探討有何異同?探究：它們都是三維的坐標，球坐標與柱坐標都是在空間直角坐標基礎上建立的。在直角坐標中,需要三個長度：（x，y,z），而在球坐標與柱坐標中，既需要長度，也需要角度。它們是從長度、方向來描述一個點的位置,需要(ρ,θ，z）或者（r，φ，θ)?？臻g直角坐標：設點M為空間一已知點。我們過點M作三個平面分別垂直于x軸、y軸、z軸，它們與x軸、y軸、z軸的交點依次為P、Q、R，這三點在x軸、y軸、z軸的坐標依次為x、y、z。于是空間的一點M就唯一地確定了一個有序數(shù)組x,y，z.這組數(shù)x，y，z就叫做點M的坐標，并依次稱x，y和z為點M的橫坐標，縱坐標和豎坐標.（如圖1—4-3所示）圖1坐標為（x，y，z)的點M通常記為M(x，y,z）.這樣，通過空間直角坐標系，就建立了空間的點M和有序數(shù)組(x，y,z）之間的一一對應關系.如果點M在yOz平面上，則x=0;同樣,zOx面上的點,y=0；如果點M在x軸上，則y=z=0；如果M是原點，則x=y=z=0等.幾種三維坐標互相不同，互相有聯(lián)系，互相能夠轉化,它們都是刻畫空間一點的位置，只是描述的角度不同.典題·熱題例1如圖1-圖1思路分析：抓住球坐標定義。解：連結OM,記|OM｜=R，OM與Oz軸正向所夾的角為θ，設M在Oxy平面上的射影為Q，Ox軸按逆時針方向旋轉到OQ時所轉過的最小正角為φ。這樣點M的位置就可以用有序數(shù)組（R，θ,φ）表示.答案：M(R，θ，φ).誤區(qū)警示字母與平時表示不一樣，容易出錯.例2經過若干個固定和流動的地面遙感觀測站監(jiān)測,并通過數(shù)據(jù)匯總,計算出一個航天器在某一時刻的位置，離地面2384千米，地球半徑為6371千米,此時經度為80°，緯度為75°.試建立適當?shù)淖鴺讼?，確定出此時航天器點P的坐標.思路分析：在赤道平面上，選取地球球心為極點，以O為端點且與零子午線相交的射線Ox為極軸，建立平面極坐標系，在此基礎上，取以O為端點且經過北極的射線Oz（垂直于赤道平面）為另一條極軸，如圖1—圖1解：在赤道平面上，選取地球球心為極點,以O為端點且與零子午線相交的射線Ox為極軸，建立球坐標系。由已知航天器位于經度為80°,可知θ=80°，由航天器位于緯度75°，可知φ=90°-75°=15°,由航天器離地面2384千米，地球半徑為6371千米，可知r=2384+6371=8755千米。∴點P的球坐標為(8755,15°,80°）。深化升華在球坐標系中，它的三度與前面所學的球的一些基本知識是有著密切的聯(lián)系的.（1）經線與經度：地球球面上從北極到南極的半個大圓叫做經線，規(guī)定經過英國格林威治天文臺舊址的經線為0°經線.一個地方的經度是指經過當?shù)亟浘€的所在半平面和0°經線所在半平面之間的夾角的度數(shù)，以0°經線為基準,向東度量的為東經，向西度量的為西經。如東經30°,西經60°等。（2）緯線與緯度：與地軸（通過北極和南極的直線）垂直的平面截地球球面所得的圓叫做緯線，其中大圓叫做赤道.一個地方的緯度是指當?shù)嘏c球心的連線和地球赤道平面之間所成的角的度數(shù)，赤道為0°緯線；以赤道為基準,向北度量為北緯,向南度量為南緯.如北緯25°，南緯23。5°等.例3已知長方體ABCD-A1B1C1D1的邊長為AB=14，AD=6,AA1=10,以這個長方體的頂點A為坐標原點,以射線AB、AD、AA1分別為Ox、Oy、Oz軸的正半軸,建立空間直角坐標系,求長方體頂點C1解：如圖1-圖1C1點的(x，y,z)分別對應著CD、BC、CC1，C1點的（ρ，θ,z)分別對應著CA、∠DAC、CC1，C1點的(r,φ，θ）分別對應著AC1、∠A1AC1∴C1點的空間直角坐標為（14,6，10），C1點的柱坐標為(,arctan，10）,C1點的球坐標為（,arctan)。深化升華另外,點B的空間直角坐標為(14，0，0)，柱坐標為（14，0,0），球坐標為（14,，0)；點A1的空間直角坐標為(0，0，10)，柱坐標為(0,0，10），球坐標為（10,0,0）。例4設地球的半徑為R，在球坐標系中,點A的坐標為（R,45°，70°)，點B的坐標為（R，45°，160°)，求A、B兩點的球面距離。思路分析：要求A、B兩點間球面距離,要把它放到△AOB中去分析，只要求得∠AOB的度數(shù)和AB的長度,就可求球面距離。解：如圖1-圖1∴∠