2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.4.3不同函數(shù)增長的差異課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE5課時(shí)作業(yè)34不同函數(shù)增長的差異時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——eq\a\vs4\al(一、選擇題)1．某種植物生長發(fā)育的數(shù)量y與時(shí)間x的關(guān)系如下表：x123…y125…下面的函數(shù)關(guān)系式中，能表達(dá)這種關(guān)系的是(D)A．y＝log2(x＋1) B．y＝2x－1C．y＝2x－1 D．y＝(x－1)2＋12．以下四種說法中，正確的是(D)A．冪函數(shù)增長的速度比一次函數(shù)增長的速度快B．對(duì)隨意的x>0，xn>logaxC．對(duì)隨意的x>0，ax>logaxD．不肯定存在x0，當(dāng)x>x0時(shí)，總有ax>xn>logax解析：對(duì)于A，冪函數(shù)與一次函數(shù)的增長速度受冪指數(shù)及一次項(xiàng)系數(shù)的影響，冪指數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)不確定，增長幅度不能比較；對(duì)于B，C，當(dāng)0<a<1時(shí)，明顯不成立．當(dāng)a>1，n>0時(shí)，肯定存在x0，使得當(dāng)x>x0時(shí)，總有ax>xn>logax，但若去掉限制條件“a>1，n>0”，則結(jié)論不成立．3．三個(gè)變量y1，y2，y3隨著變量x的改變狀況如下表：x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4則關(guān)于x分別呈對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)改變的變量依次為(C)A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2解析：通過指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等不同函數(shù)模型的增長規(guī)律比較可知，對(duì)數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢，變量y3隨x的改變符合此規(guī)律；指數(shù)函數(shù)的增長速度越來越快，y2隨x的改變符合此規(guī)律；冪函數(shù)的增長速度介于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之間，y1隨x的改變符合此規(guī)律，故選C.4．某公司為了適應(yīng)市場需求對(duì)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)做了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤增長快速，后來增長越來越慢，若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤y與時(shí)間x的關(guān)系，可選用(D)A．一次函數(shù) B．二次函數(shù)C．指數(shù)型函數(shù) D．對(duì)數(shù)型函數(shù)解析：因其增長速度越來越慢，符合對(duì)數(shù)函數(shù)的特征．5．某地區(qū)植被被破壞，土地沙化越來越嚴(yán)峻，最近三年測(cè)得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加數(shù)y(萬公頃)關(guān)于年數(shù)x(年)的函數(shù)關(guān)系較為近似的是(C)A．y＝0.2x B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝0.2＋log16x解析：將x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分別代入驗(yàn)算．6．把物體放在冷空氣中冷卻，假如物體原來的溫度是T1(℃)，空氣的溫度是T0(℃)，經(jīng)過t分鐘后物體的溫度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把溫度是90℃的物體，放在10℃的空氣中冷卻t分鐘后，物體的溫度是50℃，那么t的值約等于(參考數(shù)據(jù)：ln3≈1.099，ln2≈0.693)(B)A．1.78 B．2.77C．2.89 D．4.40解析：由題意可知50＝10＋(90－10)e－0.25t，整理得e－0.25t＝eq\f(1,2)，即－0.25t＝lneq\f(1,2)＝－ln2＝－0.693，解得t≈2.77.eq\a\vs4\al(二、填空題)7．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間(0，＋∞)上增長較快的一個(gè)是y＝x2.解析：當(dāng)x變大時(shí)，x比lnx增長要快，∴x2要比xlnx增長的要快．8．電子技術(shù)快速發(fā)展，計(jì)算機(jī)的成本不斷降低，若每隔5年計(jì)算機(jī)的價(jià)格降低eq\f(1,3)，則現(xiàn)在價(jià)格為4050元的計(jì)算機(jī)經(jīng)過15年后價(jià)格應(yīng)降為1_200元．解析：4050×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))3＝4050×eq\f(8,27)＝1200(元)．9．一個(gè)駕駛員喝了少量酒后，血液中的酒精含量快速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時(shí)25%的速度削減，為了保障交通平安，規(guī)定駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09mg/mL，那么這個(gè)駕駛員至少要經(jīng)過5小時(shí)才能開車．(精確到1小時(shí)，參考數(shù)據(jù)lg2≈0.30，lg3≈0.48)解析：設(shè)經(jīng)過n小時(shí)后才能開車，此時(shí)酒精含量為0.3(1－0.25)n.依據(jù)題意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，在不等式兩邊取常用對(duì)數(shù)，則有nlgeq\f(3,4)＝n(lg3－2lg2)≤lg0.3＝lg3－1，將已知數(shù)據(jù)代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，解得n≥eq\f(13,3)＝4eq\f(1,3)，故至少經(jīng)過5小時(shí)才能開車．eq\a\vs4\al(三、解答題)10．畫出函數(shù)f(x)＝eq\r(x)與函數(shù)g(x)＝eq\f(1,4)x2－2的圖象，并比較兩者在[0，＋∞)上的大小關(guān)系．解：函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖：依據(jù)圖象易得：當(dāng)0≤x<4時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)＝g(x)；當(dāng)x>4時(shí)，f(x)<g(x)．11．“學(xué)習(xí)曲線”可以用來描述學(xué)習(xí)達(dá)到某一水平所需的學(xué)習(xí)時(shí)間．假設(shè)“學(xué)習(xí)曲線”符合函數(shù)t＝5log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(N,B)))(B為常數(shù))，N(單位：字)表示某一英文詞匯量水平，t(單位：天)表示達(dá)到這一英文詞匯量所須要的學(xué)習(xí)時(shí)間．(1)已知某人練習(xí)達(dá)到40個(gè)詞匯量時(shí)須要10天，求該人的學(xué)習(xí)曲線解析式．(2)他學(xué)習(xí)幾天能駕馭160個(gè)詞匯量？(3)假如他學(xué)習(xí)時(shí)間大于30天，他的詞匯量狀況如何？解：(1)把t＝10，N＝40代入t＝5log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(N,B)))，得10＝5log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(40,B)))，解得B＝10，所以t＝5log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(N,10)))(N>0)．(2)當(dāng)N＝160時(shí)，t＝5log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(160,10)))＝5log216＝20(天)．(3)當(dāng)t>30時(shí)，5log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(N,10)))>30，解得N>640，所以學(xué)習(xí)時(shí)間大于30天，他的詞匯量大于640個(gè)．——實(shí)力提升類——12．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是(D)解析：設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)．函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為D中圖象．13．某地發(fā)生地震后，地震專家對(duì)該地區(qū)發(fā)生的余震進(jìn)行了監(jiān)測(cè)，記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：強(qiáng)度(J)1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震級(jí)(里氏)5.05.25.35.4(注：地震強(qiáng)度是指地震時(shí)釋放的能量．)地震強(qiáng)度(x)和震級(jí)(y)的模擬函數(shù)關(guān)系可以選用y＝algx＋b(其中a，b為常數(shù))．利用散點(diǎn)圖可知a的值等于eq\f(2,3).(取lg2＝0.3進(jìn)行計(jì)算)解析：由模擬函數(shù)及散點(diǎn)圖得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(alg1.6＋b＝5，,alg3.2＋b＝5.2，))兩式相減得a(lg3.2－lg1.6)＝0.2，alg2＝0.2，a＝eq\f(2,3).14．某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，依據(jù)預(yù)料可知，進(jìn)入21世紀(jì)以來，該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長．記2008年為第1年，且前4年中，第x年與年產(chǎn)量f(x)(萬件)之間的關(guān)系如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))x＋a.(1)找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型，并說明理由，然后選取2008年和2010年的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式；(2)因遭遇某國對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行反傾銷的影響，2024年的年產(chǎn)量比預(yù)料削減30%，試依據(jù)所建立的函數(shù)模型，確定2024年的年產(chǎn)量．解：(1)符合條件的是f(x)＝ax＋b，理由：若模型為f(x)＝2x＋a，則由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此時(shí)f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，與已知相差太大，不符合．若模型為f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))x＋a，則f(x)是減函數(shù)，與已知不符合．由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\c