專題13.19-課題-最短路徑(將軍飲馬問題)(專項(xiàng)練習(xí))(培優(yōu)篇)八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練

專題13.19課題-最短路徑（將軍飲馬問題）（專項(xiàng)練習(xí)）（培優(yōu)篇）一、單選題1．如圖，直線是一條河，、是兩個(gè)新農(nóng)村定居點(diǎn)．欲在上的某點(diǎn)處修建一個(gè)水泵站，直接向、兩地供水．現(xiàn)有如下四種管道鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的供水管道，則鋪設(shè)管道最短的方案是（）B．C. D．2．如圖，等腰的底邊BC長為4cm，面積為，腰AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，D為BC的中點(diǎn)，M為直線EF上的動(dòng)點(diǎn)．則周長的最小值為（）A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm3．如圖．在五邊形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分別找一點(diǎn)M、N，使得△AMN的周長最小時(shí)，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為（）A．84° B．88° C．90° D．96°4．如圖，，M，N分別是邊上的定點(diǎn)，P，Q分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，記，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，關(guān)于，的數(shù)量關(guān)系正確的是（） B． C． D．5．如圖，在銳角△ABC中，∠ACB＝50°；邊AB上有一定點(diǎn)P，M、N分別是AC和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長最小時(shí)，∠MPN的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°6．如圖，已知，平分，，在上，在上，在上．當(dāng)取最小值時(shí)，此時(shí)的度數(shù)為（）A． B． C． D．7．如圖，在中，，是的平分線．若，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，且的面積為，則的最小值是（）A． B． C． D．8．在△ABC中，AB=BC，點(diǎn)D在AC上，BD=6cm，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，△DEF周長的最小值為6cm，則()A．20° B．25° C．30° D．35°9．如圖所示，OB是一條河流，OC是一片菜田，張大伯每天從家（A點(diǎn)處）去河處流邊挑水，然后把水挑到菜田處，最后回到家中．請你幫他設(shè)計(jì)一條路線，使張大伯每天行走的路線最短．下列四個(gè)方案中你認(rèn)為符合要求的是（）A． B．C． D．10．如圖，在等邊△ABC中，BF是AC邊上的中線，點(diǎn)D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，當(dāng)△AEF周長最小時(shí)，∠CFE的大小是()A．30° B．45° C．60° D．90°二、填空題11．如圖，在中，，，，，是的平分線，若點(diǎn)、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．12．如圖，在銳角中，，，平分，、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是__________．13．已知，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且.當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則與和的最小值為_______．14．如圖，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC邊上的中線且AD＝4，F(xiàn)是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則CF+EF的最小值為_____．15．如圖，在△ABC中，AB=AC=8，S△ABC=16，點(diǎn)P為角平分線AD上任意一點(diǎn)，PE⊥AB，連接PB，則PB+PE的最小值為_____．16．如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，當(dāng)BF＋CE取得最小值時(shí)，∠AFB＝_______°．17．如圖，∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點(diǎn)P是OA上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N（6，0）是OB上的一定點(diǎn)，點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_____．18．如圖，P為∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，M，N分別是射線OA，OB上一點(diǎn)，當(dāng)△PMN周長最小時(shí)，∠OPM＝50°，則∠AOB＝___________．19．如圖，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一點(diǎn)M，OM＝10cm，現(xiàn)要在OC，OA上分別找點(diǎn)Q，N，使QM＋QN最小，則其最小值為________．20．如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，G，H分別是AF和CD的中點(diǎn)，P是GH上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，則AP＋BP的值最小時(shí)，BP與HG的夾角(銳角)度數(shù)為________．21．如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，∠AOB=30°則△PMN周長的最小值=________三、解答題22．如圖，在等邊中，是直線上一點(diǎn)，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊，連接．（提示：含的直角三角形三邊之比為）（1）如圖1，若點(diǎn)在邊上，求證：；（2）如圖2，若點(diǎn)在的延長線上，請?zhí)骄烤€段，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（3）圖2中，若，點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到停止，求出此過程中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長．23．如圖，已知∠AOB，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)．(1)要使得△PEF的周長最小，試在圖上確定點(diǎn)E、F的位置．(2)若OP＝4，要使得△PEF的周長的最小值為4，則∠AOB＝________．24．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與軸交于點(diǎn)A、與軸交于點(diǎn)B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直線BC與直線AB關(guān)于軸對稱.(1)求△ABC的面積；(2)如圖2，D為OA延長線上一動(dòng)點(diǎn)，以BD為直角邊，D為直角頂點(diǎn)，作等腰直角△BDE，求證：AB⊥AE；(3)如圖3，點(diǎn)E是軸正半軸上一點(diǎn)，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，點(diǎn)M是射線AF上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AO上一動(dòng)點(diǎn)，判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，N，使OM＋NM的值最?。咳舸嬖?，請寫出其最小值，并加以說明.25．已知：如圖，在∠POQ內(nèi)部有兩點(diǎn)M、N，∠MOP＝∠NOQ.(1)畫圖并簡要說明畫法：在射線OP上取一點(diǎn)A，使點(diǎn)A到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離和最??；在射線OQ上取一點(diǎn)B，使點(diǎn)B到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離和最??；(2)直接寫出AM＋AN與BM＋BN的大小關(guān)系．參考答案1．D【分析】利用軸對稱的性質(zhì)，通過作對稱點(diǎn)找到修建水泵站的位置．【詳解】解：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，然后連接與直線l交于一點(diǎn)，在這點(diǎn)修建水泵站，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和連點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可以證明此事鋪設(shè)的管道最短．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查利用軸對稱的性質(zhì)找線段和最小的問題，解題的關(guān)鍵是掌握這個(gè)作圖方法．2．D【分析】連接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的長為BM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8cm，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝10（cm）．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查的是軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．3．B【分析】根據(jù)要使的周長最小，即利用點(diǎn)的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出關(guān)于和的對稱點(diǎn),,即可得出，進(jìn)而得出即可得出答案．【詳解】解：如圖示，作關(guān)于和的對稱點(diǎn)，，連接，交于，交于，則即為的周長最小值．延長，作于點(diǎn)，，，，，，且，，，故選：B．【點(diǎn)撥】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出，的位置是解題關(guān)鍵．4．B【分析】如圖，作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M′，N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，KD∠OQN=180°-30°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ，由此即可解決問題．【詳解】如圖，作M關(guān)于的對稱點(diǎn)，N關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于Q，交于P，則此時(shí)的值最?。?/p>

易知，．∵，，∴．故選：B.【點(diǎn)撥】本題考查軸對稱-最短問題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．5．D【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作PD⊥AC于點(diǎn)E，PG⊥BC于點(diǎn)F，連接DG交AC、BC于點(diǎn)M、N，連接MP、NP，得到△PMN，由此解答.【詳解】解：過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)E，PG⊥BC于點(diǎn)F，連接DG交AC、BC于點(diǎn)M、N，連接MP、NP，∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°，∵∠C＝50°，∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，由對稱可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，故選：D．【點(diǎn)撥】此題考查最短路徑問題，根據(jù)題意首先作出對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)得到符合題意的三角形，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)解答，正確掌握最短路徑問題的解答思路是解題的關(guān)鍵.6．D【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接、、、、，則由軸對稱知識(shí)可知，所以依據(jù)垂線段最短知：當(dāng)在一條直線上，且時(shí)，取最小值，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余及三角形外角的性質(zhì)可以求出.【詳解】解：∵，平分，∴，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接、、、、，則，，，，，∴，，，，當(dāng)在一條直線上，且時(shí)，取最小值，∴，∴，∴，∴，故選：D.【點(diǎn)撥】本題考查了最短路徑問題，等腰三角形等邊對等角，直角三角形的兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，垂線段最短，通過作對稱點(diǎn)化折為直是解題的關(guān)鍵.7．C【分析】由題意可知，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，先確定當(dāng)取最小值時(shí)動(dòng)點(diǎn)、的位置，再利用三角形的面積公式即可求出答案．【詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，如圖所示∵平分，、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)∴，與關(guān)于對稱∴此時(shí)，∵，∴∴的最小值是故選：C【點(diǎn)撥】本題是軸對稱最短路線問題，主要考查了角平分線的性質(zhì)、對稱的性質(zhì)以及三角形的面積公式，確定是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】作點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)G，關(guān)于BC的對稱點(diǎn)H，連接GH交AB于E，交BC于F，連接BG、BH，此時(shí)△DEF的周長最小，根據(jù)軸對稱關(guān)系得到BG=BD=BH=6cm，又由△DEF的周長=DE+DF+EF=GH=6cm，得到∠GBH=60°，由此即可求出∠ABC的度數(shù).【詳解】作點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)G，關(guān)于BC的對稱點(diǎn)H，連接GH交AB于E，交BC于F，連接BG、BH，此時(shí)△DEF的周長最小，由軸對稱得：BG=BD=BH=6cm，∠GBA=∠DBA，∠HBC=∠DBC，∵△DEF的周長=DE+DF+EF=GH=6cm，∴△BGH是等邊三角形，∴∠GBH=60°，∴∠ABC=∠GBH=30°，故選：C.【點(diǎn)撥】此題考查最短路徑，軸對稱關(guān)系，等邊三角形的判定定理及性質(zhì)定理，三角形周長最小的題通常轉(zhuǎn)化為最短路徑的題進(jìn)行解答.9．D【分析】做出點(diǎn)A關(guān)于OB和OC的對稱點(diǎn)A′和A″，連接A′A″，與OB、OC分別交于點(diǎn)M，N，則沿AM-MN-NA的路線行走路線最短．【詳解】要找一條最短路線，以河流為軸，取A點(diǎn)的對稱點(diǎn)A'，連接A'N與河流相交于M點(diǎn)，再連接AM，則張大伯可沿著AM走一條直線去河邊M點(diǎn)挑水，然后再沿MN走一條直線到菜園去，同理，畫出回家的路線圖如下：故選D．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短是解決問題的關(guān)鍵．10．D【解析】分析：首先證明點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)（∠ACE=30°），因?yàn)锳F為定值，所以當(dāng)AE+EF最小時(shí)，△AEF的周長最小，作點(diǎn)A關(guān)于直線CE的對稱點(diǎn)M，連接FM交CE于E′，此時(shí)AE′+FE′的值最小，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)即可求出∠CFE的大?。斀猓骸摺鰽BC，△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵AF=CF，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，∴點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)（∠ACE=30°），作點(diǎn)A關(guān)于直線CE的對稱點(diǎn)M，連接FM交CE于E′，此時(shí)AE′+FE′的值最小，∵CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM是等邊三角形，∵AF=CF，∴FM⊥AC，∴∠CFE′=90°，故選D．點(diǎn)撥：本題考查軸對稱——最短距離問題、等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)（∠ACE=30°），本題難度比較大，屬于中考選擇題中的壓軸題．11．【分析】由題意可以把Q反射到AB的Q點(diǎn)，如此PC+PQ的最小值問題即變?yōu)镃與線段AB上某一點(diǎn)O的最短距離問題，最后根據(jù)“垂線段最短”的原理得解．【詳解】解：如圖，作Q關(guān)于AP的對稱點(diǎn)O，則PQ=PO，所以O(shè)、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，CO=PC+PO=PC+PQ，此時(shí)PC+PQ有可能取得最小值，

∵當(dāng)CO垂直于AB即CO移到CM位置時(shí)，CO的長度最小，∴PC+PQ的最小值即為CM的長度，∵，∴CM=，即PC+PQ的最小值為，故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查線段和最小的問題，通過軸反射把線段和最小的問題轉(zhuǎn)化為線段外一點(diǎn)到線段某點(diǎn)連線段最短問題是解題關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)題意畫出符合題意的圖形，作N關(guān)于AD的對稱點(diǎn)R，作AC邊上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根據(jù)垂線段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值.【詳解】解：作N關(guān)于AD的對稱點(diǎn)R，作AC邊上的高BE（E在AC上）∵平分，△ABC是銳角三角形∴R必在AC上∵N關(guān)于AD的對稱點(diǎn)是R∴MN=MR∴BM+MN=BM+MR∴BM+MN=BR≥BE（垂線段最短）∵，∴=18∴BE=cm即BM+MN的最小值是cm.故答案為.【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱——最短路徑問題.解答此類問題時(shí)要從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最小值.13．【分析】作點(diǎn)D關(guān)于OA的對稱點(diǎn)D′，連接CD′交OA于點(diǎn)P′，連接DP,，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到P′D′=P′D，此時(shí)DP′+CP′=CD′即為PC+PD的最小值，根據(jù)已知條件計(jì)算求出結(jié)果即可．【詳解】解：作點(diǎn)D關(guān)于OA的對稱點(diǎn)D′，連接CD′交OA于點(diǎn)P′，連接DP′，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到P′D′=P′D，此時(shí)DP′+CP′=CD′即為PC+PD的最小值.設(shè)DD′與OA交于點(diǎn)E，∵∠O=30°，OD=3，由對稱性可知∠DEO=90°,∴∠ODE=60°，DE=OD=,∴DD′=2DE=3,∴DD′=CD，∴∠D′=∠DCD′=∠ODE=30°，∴∠EDP′=∠D′=30°，∴∠ODP′=∠ODE+∠EDP′=90°，∴在Rt△ODP′中，∠O=30°，OD=3，∴DP′=∴CP′=2DP′=2∴DP′+CP′=3故與和的最小值為3【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題，兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)．得出動(dòng)點(diǎn)所在的位置是解題的關(guān)鍵．14．【分析】作BM⊥AC于M，交AD于F，根據(jù)三線合一定理求出BD的長和AD⊥BC，根據(jù)三角形面積公式求出BM，根據(jù)對稱性質(zhì)求出BF＝CF，根據(jù)垂線段最短得出CF+EF≥BM，即可得出答案．【詳解】解：作BM⊥AC于M，交AD于F，∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC邊上的中線，∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴B、C關(guān)于AD對稱，∴BF＝CF，根據(jù)垂線段最短得出：CF+EF＝BF+EF≥BF+FM＝BM，即CF+EF≥BM，∵S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BM，∴BM＝＝＝，即CF+EF的最小值是，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，關(guān)鍵是畫出符合條件的圖形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．15．4【分析】利用角平分線定理確定當(dāng)BF⊥AC時(shí)，PB+PE的值最小，再利用三角形面積公式，即可求得.【詳解】如圖，∵AB=AC=8，AD平分∴∴當(dāng)BF⊥AC時(shí)，PB+PE的值最小=BF∴BF=4∴PB+PE的最小值為4.【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱-最短路徑問題，也可以用角平分線定理考慮，找到PE+PB最小值的情況并畫出圖形，是解題的關(guān)鍵.16．105°【分析】如圖，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，將CE轉(zhuǎn)化為FH，與BF在同一個(gè)三角形中，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，確定點(diǎn)F的位置，即F為AC與BH的交點(diǎn)時(shí)，BF＋CE的值最小，求出此時(shí)∠AFB＝105°．【詳解】解：如圖，作CH⊥BC，且CH＝BC，連接BH交AD于M，連接FH，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°?60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF＋CE＝BF＋FH，∴當(dāng)F為AC與BH的交點(diǎn)時(shí)，BF＋CE的值最小，此時(shí)∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故答案為105°.【點(diǎn)撥】此題考查全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問題，關(guān)鍵是作出輔助線，當(dāng)BF＋CE取得最小值時(shí)確定點(diǎn)F的位置，有難度．17．（3，）【解析】【分析】作N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，連接N′M交OA于P，則此時(shí)，PM＋PN最小，由作圖得到ON＝ON′，∠N′ON＝2∠AON＝60°，求得△NON′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到N′M⊥ON，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】作N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，連接N′M交OA于P，則此時(shí)，PM＋PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON＝ON′，∠N′ON＝2∠AON＝60°，∴△NON′是等邊三角形，∵點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，∴N′M⊥ON，∵點(diǎn)N（6，0），∴ON＝6，∵點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，∴OM＝3，∴PM＝，∴P（3，）．故答案為：（3，）【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱?最短路線問題，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是確定P的位置．18．40°【分析】作P關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)P1，P2．連接OP1，OP2．則當(dāng)M，N是P1P2與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長最短，根據(jù)對稱的性質(zhì)可以證得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】如圖：作P關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)P1，P2．連接OP1，OP2．則當(dāng)M，N是P1P2與OA、OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長最短，連接P1O、P2O，∵PP1關(guān)于OA對稱，∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50°同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，∴△P1OP2是等腰三角形．∴∠OP2N=∠OP1M=50°，∴∠P1OP2=180°-2×50°=80°，∴∠AOB=40°，故答案為40°【點(diǎn)撥】本題考查了對稱的性質(zhì)，正確作出圖形，證得△P1OP2是等腰三角形是解題的關(guān)鍵．19．5cm【分析】作M關(guān)于OC的對稱點(diǎn)P，過P作PN⊥OA于N，交OC于Q，則此時(shí)QM+QN的值最小，則OP=OM=10cm，QM=PQ，∠PNO=90°，根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)求出PN即可．【詳解】解：作M關(guān)于OC的對稱點(diǎn)P，過P作PN⊥OA于N，交OC于Q，則此時(shí)QM+QN的值最小，∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一點(diǎn)M，∴OA、OB關(guān)于OC對稱，∴P點(diǎn)在OB上，∴OP=OM=10cm，QM=PQ，∠PNO=90°，∵PN=OP=×10=5cm，∴QM+QN=PQ+QN=PN=5cm，故答案為5cm．【點(diǎn)撥】本題考查了含30度角的直角三角形性質(zhì)，軸對稱以及最短路線問題，垂線段最短的應(yīng)用，關(guān)鍵是確定Q、N的位置．20．60°【詳解】如圖，因?yàn)辄c(diǎn)Ａ關(guān)于GH的對稱點(diǎn)是F，所以連接BF交GH于點(diǎn)P，則PA+PB=PF+PB=BF，所以PA+PB的最小值是BF.因?yàn)椤螧AF=180°×(6-2)÷6=120°，AB=AF，所以∠AFB=30°.因?yàn)椤螲GF=90°，所以∠GPF=60°.故答案為：60°.21．5cm；【解析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OP、OC、OD、PM、PN．

∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為D，

∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；

∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為D，

∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，

∴OC=OD=OP=5cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，

∴△COD是等邊三角形，

∴CD=OC=OD=5cm．

∴△PMN的周長的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=5cm．

故答案是：5cm．【點(diǎn)撥】主要運(yùn)用最短路線問題，綜合運(yùn)用了等邊三角形的知識(shí)．22．（1）見解析；（2），理由見解析；（3）【分析】（1）在上截取，易證是等邊三角形，得出，證明，得出，即可得出結(jié)論；（2）過作，交的延長線于點(diǎn)，由平行線的性質(zhì)易證，得出為等邊三角形，則，證明，得出，即可得出；（3）當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，最小值，當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，最小值，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑從最小值增大到4，再減小到，由此可得結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：在上截取，如圖1所示：是等邊三角形，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，，在和中，，，，，．（2）線段，與之間的等量關(guān)系是．理由如下：是等邊三角形，，過作，交的延長線于點(diǎn)，如圖2所示：，，，，為等邊三角形，，，為等邊三角形，，，，在和中，，，，．（3）由（2），則∠FCD=∠DGC=60°=∠FCE，∴CF與BC的夾角不變，即點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑為線段，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，最小值，當(dāng)時(shí)，∵EF=DF，∴CF垂直平分ED，∴∠CFE=30°，∴∠CEF=90°，∵EF=ED=AC=，∴CF==4，∴的最大值為4，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，最小值，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑從最小值增大到4，再減小到，此過程中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長．【點(diǎn)撥】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；作輔助線構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)鍵．23．(1)作圖見解析.(2)30°【詳解】試題分析：（1）分別作點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)C，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D，連接CD，交OA于E，OB于F.（2）由軸對稱的性質(zhì)知OP=OC，OP=OD，且△PEF周長的最小值是CD，所以dqga4OCD是等邊三角形，而