巴拿赫空間理論

巴拿赫空間理論(Banachspace)是1920年由波蘭數(shù)學家巴拿赫(S.Banach)一手創(chuàng)立的，數(shù)學分析中常

巴拿赫空間

用的許多空間都是巴拿赫空間及其推廣，它們有許多重要的應用。大多數(shù)巴拿赫空間是無窮維空間，可

看成通常向量空間的無窮維推廣。

編輯本段線性空間

巴拿赫空間(Banachspace)是一種賦有“長度”的線性空間，泛函分析研究的基本對象之一。數(shù)學

分析各個分支的發(fā)展為巴拿赫空間理論的誕生提供了許多豐富而生動的素材、從外爾斯特拉斯，K.(T.W.)

以來，人們久已十分關心閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)以及它們的一致收斂性。甚至在19世紀末，G.阿斯

科利就得到［a,b］上一族連續(xù)函數(shù)之列緊性的判斷準則，后來十分成功地用于常微分方程和復變函數(shù)論

中。巴拿赫空間

1909年里斯，F(xiàn).(F.)給出［0,1］上連續(xù)線性泛函的表達式，這是分析學歷史上的重大事件。還有一個極重

要的空間，那就是由所有在［0，1］上次可勒貝格求和的函數(shù)構成的空間(l<p<；8)。在1910?1917

年，人們研究它的種種初等性質；其上連續(xù)線性泛函的表示，則照亮了通往對偶理論的道路。人們還把

弗雷德霍姆積分方程理論推廣到這種空間，并且引進全連巴拿赫空間

續(xù)算子的概念。當然還該想到希爾伯特空間。正是基于這些具體的、生動的素材，巴拿赫，S.與維納，

N.相互獨立地在1922年提出當今所謂巴拿赫空間的概念，并且在不到10年的時間內便發(fā)展成一部本身

相當完美而又有著多方面應用的理論。

編輯本段Banach空間

完備的線性賦范空間稱為巴拿赫空間。星用波蘭數(shù)學家巴拿赫(StefanBanach)的名字命名的。巴

拿赫空間

巴拿赫的主要貢獻是引進了線性賦范空間概念，建立了其上的線性算子理論，證明了作為泛函分析

基礎的三個定理，哈恩-巴拿赫延拓定理，巴拿赫-斯坦豪斯定理即共鳴之定理、閉圖像定理。這些定理

概括了許多經典的分析結果，在理論上和應用上都有重要價值。

編輯本段無窮空間

巴拿赫空間是一種賦有長度的線性空間，大多數(shù)都是無力空間，可看成通常向量空間的無窮維推廣。

同時也是泛函分析研究的基本對象之一。巴拿赫空間

里斯。F在1909年就給出了F0：1』上連續(xù)線性泛函的表達式。所以，連續(xù)線性泛函的表示是巴拿赫空

間的一種初等性質。

編輯本段正文

一種賦有“長度”的線性空間，泛函分析研究的基本對象之一。數(shù)學分析各個分支的發(fā)展為巴拿赫

空間理論的誕生提供了許多豐富而生動的素材。從K.(T.W.)外爾斯特拉斯以來，人們久己十分關心閉區(qū)

間上的連續(xù)函數(shù)以及它們的一致收斂性。甚至在19世紀末，G.阿斯科利就得到【。，b］±~

族連續(xù)巴拿赫空間

函數(shù)之列緊性的判斷準則，后來十分成功地用于常微分方程和復變函數(shù)論中。1909年E(F.)里斯給出C

【0,1】上連續(xù)線性泛函的表達式，這是分析學歷史上的重大事件。還有一個極重要的空間，那就是由所

有在［0,1］上p次可勒貝格求和的函數(shù)構成的Lp空間(l<p<8)。在1910?1917年，人們研究它的種種

初等性質：其上連續(xù)線性泛函的表示，則照亮了通往對偶理論的道路。人們還把弗宙德霍姆枳分方程理

論推廣到這種空間，并且引進全連續(xù)算子的概念。當然還該想到希爾伯特空間。正是基于這些具體的、

生動的素材，S.巴拿赫與N.維納相互獨立地在1922年提出當今所謂巴拿赫空間的概念，并且在不到10

年的時間內便發(fā)展成一部本身相當完美而又有著多方面應用的理論。定義對于實(或復)數(shù)域K

編輯本段定義

空間X,若有從X到R的函數(shù)IIxll使得:①IIxII20,IIxll=0必須且只須x=0,②對aWK,有IIaxII

=JIIxII,③IIx+yIIIIxII+IIyII,則稱X為線性賦范空間，而稱IIXII為范數(shù)。顯然，范數(shù)這概念是Rn

中向量長度概念的推廣。如同有理數(shù)系可完備化為實數(shù)系，任何線性賦范空間也可按照距離d(x,y)=IIx-yII

作為度量空間而完備化。完備的賦范線性空間稱為巴拿赫空間。例如，設。為緊豪斯多夫空間，令C(Q)

表示◎上一切實(或復)值連續(xù)函數(shù)的全體，則c(C)關于范數(shù)成為一個巴拿赫空間。再如，設(C,1)是正測度

空間，令Lp(Q,u)表示巴拿赫空間

Q上一切p(p21)次可求和函數(shù)的全體，則Lp(Q,u)關于范數(shù)成為一個巴拿赫空間。特別取C={1,2,3,…},

u(n)=l(當n=l、2、3、…)則相應的Lp(C,u)成為滿足條件的數(shù)列的全體，而相應的范數(shù)為。一般記這

個特殊的Lp(Q,u)為Ip。還如，設(Q,B,口)是正測度空間，對Q上可測的函數(shù)/⑴,如果有正數(shù)a,使

于Q幾乎處處有I/I⑴IWa,則稱/⑴為本性有界的函數(shù)，而記上述諸a之下確界為。令表

示。上之本性有界函數(shù)的全體，則L8(Q)關于范數(shù)成為一個巴拿赫空間。特別對。={1,2,3,…}而以

(n)=l(n=l,2,3,…)則相應的l_8(Q)即有界數(shù)列的全體,而相應的范數(shù)為。一般記這個特殊的2(。)為m。

若，則稱強收斂于x,簡寫作?；鳛橥耆头吨苯缓瘮?shù)系的推廣，設是巴拿赫空間X中的序列,如果對巴

拿赫空間

每個xGX都恰有一數(shù)列，使，則稱為X的基，而稱X為有基的空間。凡有基的空間一定是可分的，對于

許多可分空間，人們具體地構造出它們的基。但是，是否每個可分的巴拿赫空間都有基的問題，直到1973

年才由P.恩夫洛舉出反例。確有可分而沒有基的巴拿赫空間。對偶空間設/(x)是從實(

編輯本段對偶空間

/上賦范線性空間X巴拿赫空間

到/上的線性函數(shù)。若/(x)還是連續(xù)的，則稱/(x)為連續(xù)線性泛函。一切如此的/(x)按范數(shù)構成的巴拿赫空間,

便稱為X的對偶空間(或共規(guī)空間)并記作X*(或X卜)。在許多數(shù)學分支中都會遇到對偶空間，例如矩

量問題、偏微分方程理論等。一些物理系統(tǒng)的狀態(tài)也常與適當空間上的線性泛函聯(lián)系在一起。至于泛函

分析本身，對偶空間也是極為重要的概念。通過X*,能更好地理解X。里斯表現(xiàn)定理設。是緊豪斯多夫

編輯本段里斯表現(xiàn)定理

的C(Q)上的連續(xù)線性泛函/(x),便恰有。上的一個復正則波萊爾測度U使⑴并且II/II=U在。上的

全變差|口|。許多人把這結果稱作里斯表現(xiàn)定理。它是發(fā)展近代算了?譜論的重要工具，還有著其他多方

面的應巴拿赫空間

用。這定理也可推廣至局部緊豪斯多夫空間。許多測度來源于此定理。設Q上所有復的正則波萊爾測度

為m(Q),對每個u￡m(Q),由⑴式定義的/(x)是C(Q)上的連續(xù)線性泛函,定義IIuII=全變差|U|,

則C(Q產保范同構于m(Q)。例如，于正測度u,有Lp(Q,H)(l<p<8)上每個連續(xù)線性泛函〃x)皆可表為⑵

式中z(t)￡Lq(Q,u),而,并且。另一方面，由⑵式右端定義的泛函在【Lp(Q,u)】*中，總之【Lp(Q,u)】*保

范同構于Lq(。3)。再如，于3-有限的正測度?有L1(Q,口)上的連續(xù)線性泛函/(x)可表為(3)式中z⑴

￡|_8(Q,口),并且另一方面，由⑶定義的泛函在111(。)】*中°總之,【Ll(。，u)】*保范同構于L8(Q,口)。

由于古典巴拿赫空間

分析發(fā)展的要求，也因為巴拿赫空間理論本身的需要，于是人們研究X與X*之間的關系，這便是對偶理論。

這理論的主要工具是哈恩―巴拿赫擴張定理:設M是線性賦范空間X的閉線性子空間,則①對M上的連續(xù)

線性泛函g(x),恒有f(x)￡X*使/(x)=g(x),當x￡M,又II/II=IIgII();②對X中任給的xOWO,恒有f(x)WX*使

/(xO)=IIxOIIJI/II=1,③對任意，恒有/(x)￡X*當x￡M使得加)=0,/"0)=1拼且II/II=l/d,這里。設

/(x)￡X*,一般稱點集H={x￡X;/(x)=常數(shù)C}為X中的閉超平面。設M是X的子空間,xO￡X,則稱點集xO+M

為X中的線性簇。這樣,哈恩―巴拿赫定理便有如下的幾何解釋：若X中的線性簇m與非空的開凸集K

不相交，則有閉超平面H使而。自反空間對巴拿赫空間X有對

編輯本段自反空間

*，而X*的對偶空間則記作X**,任給xO￡X，通過(當x*￡X*)便確定一個，并且。這表明存在映射

T把X保范地嵌入到X**中。一般X**。如果T(X)=X**,則稱X為自反空間。典型的自反空間是Lp[Ozl]

(l<p<8),但L1巴拿赫空間

[0,1]與C[0,1】都不自反。弱收斂無窮維巴拿赫空間的單位球是不可能按范數(shù)拓撲為緊的，因此許

多有限維空間的命題都不能推廣到一般巴拿赫空間。針對這一點，人們引進弱收斂的概念。對X中與xO.

若于任何X*ex*都有，則稱弱收斂于X0,記作。埃伯萊因-什穆利揚定理巴拿赫空間X是自反的；

必須且只須X中任何按范數(shù)有界的點列都含有弱收斂的了?序列。利用自反空間的這個拓撲性質，便能

證明如下的結果：設J(x)是自反空間X之有界凸閉集C上弱下￥連續(xù)的有界泛函，則J(x)在C上達到最小

值。應該指出，正是為著使得一些重要的命題得以成立，人代才引進種種類型的巴拿樹空間，自反空間

就是一個鮮巴拿赫空間

明的例子。再如與上述極值問題的惟一性有關，有所謂球狀空間；與拉東-尼科迪姆定理相關，則有一致

凸空間等等。人們曾經長久地停留在序列弱收斂上。其實即使對于12上的弱拓撲，只用序列弱收斂也

是不行的。J.馮?諾伊曼首先看到這一點，并且在1930年就使用弱鄰域概念。X上使得一切x*￡X*都

連續(xù)的最弱的拓撲稱為X上的弱拓撲。全體，其中，￡>0,n=l,2,…構成X在0點的一個弱鄰域基。X*

上使得一切,xWX都連續(xù)的最弱的拓撲稱為X*上的弱*拓撲。全體淇中，￡>0,n=l,2,…構成X*在O

點的一個弱*鄰域基。線性算子設T是從實(或復)域

編輯本段線性算子

性空間X中線性流形M到F上的線性空間Y的映射，如果則稱T是線性算子,M為T的定義域，記作

特別當而為數(shù)域時，便稱為上的線性泛函。設、都是賦范線性空間

D|T)0M=XYFTXXY,x0￡D(T),

若對D(T)中任何收斂于X0的序列都有Tx巴拿赫空間

n-*TxO,則稱T在x0處連續(xù)。設D(T)=X,則線性算子T在X上每點都連續(xù)必須且只須T是有界的，即。

這時還稱為T的范數(shù),記作IITII。設X與Y都是數(shù)域F上的線性空間,A與B都是從X到Y的線性算子，

對A與B可定義如下的運算:(A+B)x=Ax+Bx,(aA)x=a(Ax),當x￡X,a￡F又定義(AB)x=A(Bx),x￡X,當A與

B都是從X到X的線性算子時。若線性算子T是單射的,則將它的逆映射記作T-1,而lx=x則稱為單位算

子或恒等算子。設H為度量空間，，對x0￡E,若有小球，貝]稱X0在E的內部。若點集S的閉包壁之

武部是空的，則稱S在H中無處稠密。若度最空間H中的點集，而每個Sn皆在H中無處稠密，則稱E為

H中第一綱的點集。H中非第一綱的點集叫做第二綱的。顯然全體有理數(shù)在實軸上便是第一綱的?？梢?/p>

這樣相：第一綱的點集是比較稀蔚的。貝爾綱定理完備的度量空間必定是?第二綱的。這是區(qū)間套定理

的發(fā)展和提高，在證明許多存在定理時是很有用處的。在勒貝格關于奇異積分與。?特普利茨關于正則求

和法以及哈恩關于插值理論等方面的研究之后，巴拿赫與H.斯坦豪斯在1927年給出共鳴定理。共鳴巴

拿赫空間

定理又稱一致有界原理。設X是巴拿赫空間，Y是線性賦范空間，是一族從X到Y的有界線性算子。如果

當x￡X,則。這是有著多方面應用的重要定理，是綱定理的直接推論。和綱推理密切相關，還有極著名

的開映射定理。開映射定理設X與Y都是巴拿赫空間，若T是從X到Y的有界線性算子，且TX=Y，則T

變X的開集為Y中的開集。這在有限維空間是平凡的，但在無限維空間卻是極為深刻有力的工具。它有

下列重要推論。巴拿赫逆算子定理設X與Y都是巴拿赫空間，若T是從X到Y的有界線性算子,且丁是

一對一的，又TX=Y,則T-1連續(xù)。開映射定理還有一個關于閉算子的重要推論。設y-Tx是線性的，若從恒

有xOWD(T)且，則稱T為閉算子。閉算子在應用上是非常重要的概念。表面上，閉性與連續(xù)性很相似，其

實差異不小，因為連續(xù)性是從較少的假設xn-x0到更多的結論且。一般稱XXY中之G(T)={<x,Tx>；x￡

DIT)}為T的圖像。易見T是閉算子,則G(T)按范數(shù)II<x,y>II=||xll+||yII是閉的點集。閉圖像定理設

X與Y都是巴拿赫空間，若T是從X到Y的線性算子，則T是有界的必須且只須G(T)是閉的。共挽算子設

X與Y都是巴拿赫空間。若線性算子T的定義域D(T)在X中稠密，而T的值都在Y中，如果對有x*￡X*

使當x￡D(T)時，y*(Tx)=x*(x)則x*由y*惟一確定，記作TH*=x*,一般稱T卜為T的共粗算子或對偶算子。

特別當T是從X到Y的有界線性算子時，則T|■也是有界的，且IIT卜II=IITII。顯然，共腕算子是轉置矩

陣的推廣，所以它自然地在研究方程Tx=y時起著重要的作用。設A為巴拿赫空間X上的線性算子，稱

N[A)={x;Ax=0}為A的零空間,R(A)={y;y=Ax,x￡D(A)}為A的值域。從線性方程組的解，已經看到A與A卜之值

域與零空間的密切關系，后來在弗雷德霍姆理論中又再次看到這點。對點集，所謂M在X*中的零化子

即而于點集，則G在X中之零化子即。設A為巴拿赫空間上有界線性算子，則，〃。若又設X自反，

則。閉值域定理設X與Y是巴拿赫空間，而T是從X到丫的閉線性算子，且，則下列命題等價：①

R任)在Y中是閉的，②R(T卜)在X*中是閉的，③@。參考書目S.Banach,Th6oriedesOperationsLin6aires,

MonografjeMathematyczne,Warsaw?Linear,IntroductiontofunctionalAnalysis,JohnWiley&Sons,NewYork,

1979.

測的。對于每個勒貝格可測集兒入（力）20。如果［與8是勒貝格可測的，且力

是4的子集，那么人（力）WX（4）。（由2,3及4可得。）可數(shù)多個是勒貝格可

測集的交或者并仍然是勒貝格可測的。（由2,3可得）。如果力是一個開集或閉集,

且是R（甚至Borel集，見度量空間,待補）的子集，那么A是勒貝格可測的。如果

力是一個勒貝格可測集，并有X（4=0（空集）,則A的任何一個子集也是空集。如

果力是勒貝格可測的，x是R中的一個元素，A關于x的平移（還義為4+x={〃+

也是勒貝格可測的，并且測度等于A.如果力是勒貝格可測的，6>0,

貝J/I關于小四擴張（定義為）也是勒貝格可測的，其測度為。更廣泛地說，設7是

一個線性變換,力是一個R的勒貝格可測子集，則7"）也是勒貝格可測的，其測度

為。如果力是A的勒貝格可測子集，F(xiàn)是一個小到R上的連續(xù)單射函數(shù),則f（A}

也是勒貝格可測的。

簡要地說，斤的勒貝格可測子集組成一個含所有區(qū)間及其笛卡爾積的。代數(shù)，且

A是其上唯一的完備的、平移不變的、滿足的測度。

勒貝格測度是。有限測度。

編輯本段

零測集

主條目：零測集

R的子集是零測集，如果對于每一個￡>0,它都可以用可數(shù)個，個區(qū)間的乘積

來覆蓋，其總體積最多為所有坦整堡都是零測集。

如果R的子集的豪斯多夫維數(shù)小于〃，那么它就是關于〃維勒貝格測度的零測集。

在這里，豪斯多夫維數(shù)是相對于R上的歐幾里得度量（或任何與其等價的利普希茨度

量）。另一方面，一個集合可能拓撲維數(shù)小于〃，但具有正的〃維勒貝格測度。一個

例子是史密斯-沃爾泰拉-康托爾集，它的拓撲維數(shù)為0,但1維勒貝格測度為正數(shù)。

為了證明某個給定的集合力是勒貝格可測的，我們通常嘗試尋找一個“較好”的

集合區(qū)與力只相差一個零測集，然后證明8可以月開集或閉集的可數(shù)交集和并集生

成。

編輯本段

勒貝格測度的結構

勒貝格測度的現(xiàn)代結構，基于外測度，是卡拉特奧多里發(fā)明的。

固定。中的盒子是形如的集合，其中。這個盒子的體積定義為

對于任何R的子集力，我們可以定義它的外測度入U）：

是可數(shù)個盒子的集合，它的并集覆蓋了然后定義集合力為勒貝格可測的，如果對

于所有集合，都有：

這些勒貝格可測的集合形成了一個。代數(shù)。勒貝格測度定義為X（J）二入（力）對

于任何勒貝格可測的集合人

根據(jù)維塔利定理，存在實數(shù)R的一個勒貝格不可測的子集。如果力是的任何測度

為正數(shù)的子集，那么/便有勒貝格不可測的子集。

編輯本段

與其他測度的關系

在所定義的集合上，博雷爾測度與勒貝格測度是一致的；然而，仍然有更多勒貝

格可測的集合不是博雷爾可測的。博雷爾測度是平移不變的，但不是完備的。

哈爾測度可以定義在任何局部緊鞋上，是勒貝珞測度的一個推廣(帶有加法的R

是一個局部緊群)。

豪斯多夫測度(參見豪斯多夫維數(shù))是勒貝格測度的一個推廣，對于測量R的維

數(shù)比〃低的子集是很有用的，例如R³內的曲線或曲面，以及分形集合。不能把

豪斯多夫測度與豪斯多夫維數(shù)的概念混淆。

可以證明，在無窮維空間不存在勒貝格測度的類似物。

編輯本段

歷史

勒貝格在1901年描述勒他的測度,隨后在第二年他描述了勒貝格積分。二者都是

作為他在作為年的博士論文的一部分發(fā)表的。

定義：設f(x)是￡￡Lq(mE<-)上的有界函數(shù)，則稱f(x)eL(E)，如果對

任意￡>0,必然存在E的分劃D,使

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定理1

S(D,f)-s(D,f)二23imEi<e,

這里S(D,f)及s(D,f)分別是f(x)關于分劃D的大和及小和，aimEi是

Ei上的振幅。

它與黎曼積分的主要區(qū)別在于前者是對函數(shù)的函數(shù)值區(qū)域進行劃分；后者是對函

數(shù)定義域進行劃分。

對此Lebesgue自己曾經作過一個比喻，他說：

假如我欠人家一筆錢，現(xiàn)在要還，此時按鈔票的面值的大小分類，然后計算每一類

的面額總值，再相加，這就是Lebesgue積分思想；如不按面額大小分類，而是按從錢袋

取出的先后次序來計算總數(shù)，那就是Riemann積分思想。（參見：周性偉，實變函數(shù)教學

的點滴體會，《高等理科教學》，2000.1）

即采取對值域作分劃，相應得到對定義域的分劃（每一塊不一定是區(qū)間），使得在

每一塊上的振幅都很小，即按函數(shù)值的大小對定義域的點加以歸類。

編輯本段

積分介紹

積分是“和”的概念。即將東西加起來。所以積分早期是從面積，路程等計算中

發(fā)展起來。比如計算面積，將X軸的區(qū)間分成若干小區(qū)間，將小區(qū)間的高度（Y值）乘

以小區(qū)間的長度，然后加起來。用極限法就可以求得精確的面積。這是傳統(tǒng)的積分概

念（黎曼積分）。

次?nux**：?，上a,〈詞

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定理2

勒貝格從另一個角度來考慮積分概念，導致勒貝格積分和測度概念。比如計算面積，

可以將小區(qū)間的高度（Y值）乘以對應的所有小區(qū)間的長度的和（測度），然后加起來。

又比如現(xiàn)有硬幣：25,25,10,5,10,1,5,250用黎曼積分來求和：

25+25+10+5+10+1+5+25=106o用勒貝格積分來求和:25*3+10*2+5*2+1=106。結果是一

樣。但對于一些“壞”函數(shù)，結果是不一樣。比如在X軸［0,1］閉區(qū)間上定義函數(shù)：

Y=l,當X是無理數(shù)；

Y=0,當X是有理數(shù)。

求該函數(shù)覆蓋的面積。

黎曼積分無法定義，因為任意小的區(qū)間都包含無理數(shù)和有理數(shù)。

用勒貝格積分來求和：1*1+0*0;lo

［0,1］閉區(qū)間的長度（測度）是1；有限點集的長度（測度）是0；無限可數(shù)點集（如，

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證明1

有理數(shù)）的長度（測度）是0,而［0,1］閉區(qū)間的長度（測度）二有理數(shù)集的長度+無理

數(shù)集的長度。

所以，［0,1］閉區(qū)間的無理數(shù)集的長度（測度）是I。這就解釋了上述計算結果。

由此可見，勒貝格積分比黎曼積分廣義。

很多數(shù)學概念和思想就是從貌似相同的概念和思想中推導出來。這啟發(fā)我們在做

研究時應從不同角度來考慮一些現(xiàn)有概念和理論，有時可能導致新的概念和理論。

編輯本段

背景知識

黎曼積分的重要推廣，分析數(shù)學中普遍使用的重要工具。

19世紀的微積分學中已經有了許多直觀而有用的積分，例如黎曼積分（簡稱R積

分）、黎曼-斯蒂爾杰斯積分（簡稱R-S積分）等。只要相應的函數(shù)性質良好，用這些積

分來計算曲邊形面積、物體

?2。?八<?<!??上

證明2

重心、物理學上的功、能等，是很方便的。然而，隨著認識的深入，人們愈來愈經常

地需要處理復雜的函數(shù)，例如，由一列性質良好的函數(shù)組成級數(shù)所定義出來的函數(shù)，

兩個變元的函數(shù)對一個變元積分后所得到的一元函數(shù)等。在討論它們的可積性、連續(xù)

性、可微性時，經常遇到積分與極限能否交換順序的問題。通常只有在很強的假設下

才能對這問題作出肯定的回答。因此，在理論和應用上都迫切要求建立一種新的積分,

它既能保持R積分的幾何直觀和計算上的有效，乂能在積分與極限交換順序的條件上

有較大的改善。1902年法國數(shù)學家H.L.勒貝格出色地完成了這一工作，建立了以后人

們稱之為勒貝格積分的理論，接著又綜合R-S積分思想產生了勒貝格-斯蒂爾杰斯積分

(簡稱1-S積分)。20世紀初又發(fā)展成建立在一般集合上的測度和積分的理論，簡

稱測度論。

編輯本段

勒貝格

(1875?1941)Lebesgue,HenriLon

法國數(shù)學家。1875年6月28日生于博韋，1941年7月26日卒于巴黎。1894?1897

年在巴黎高等師范學校學習。1902年在巴黎大學獲得博士學位，從1902年起先后在

雷恩大學、普瓦蒂埃大學、巴黎大學文理學院任教。1922年任法蘭西學院教授，同年

被選為巴黎科學院院士。

勒貝格的主要貢獻是測度和積分理論。他采用無窮個區(qū)間來覆蓋點集，使許

多特殊的點集的測度有了定義。在定義積分時他也采取劃分值域而不是劃分定義域的

辦法，使積分歸結為測度，從而使黎曼積分的局限性得到突破，進一步發(fā)展了積分理論。

他的理論為20世紀的許多數(shù)學分支如泛函分析、概率論、抽象積分論、抽象調和分

析等奠定了基礎。利用勒貝格積分理論，他對三角級數(shù)論也作出基本的改進。另外，

他在維數(shù)論方面也有貢獻。晚年他對初等幾何學及數(shù)學史進行了研究。他的論文收集

在《勒貝格全集

第六章度量空間和線性賦范空間

第1次課

教學內容(或課題)：§6.1度量空間的進一步例子

目的要求：在復習第二章度量空間基本概念前提下，要求進一步掌握離散度量空間、

序列空間、有界函數(shù)空間、可測函數(shù)空間等.

教學過程：

一復習第二章度量空間的概念

設X是個集合，若對于Vx,〉￡X,都有唯一確定的實數(shù)d(x,y)與之對應，且滿足1°

d(x9y)>0,d(x,y)=0ox=y;2°d(xyy)<d(xtz)+d(y,z)對Vx,y9zeX都成立，則稱(X,

d)為度量空間或距離空間，X中的元素稱為點，條件2°稱為三點不等式.

歐氏空間R"對R"中任意兩點X二房,々，…，Z)和丁=(m，為，…，)'〃)，規(guī)定距離為

2

d(x,y)二才(為一-

\/1=!/

ch㈤空間表閉區(qū)間口力]上實值(或復值;連續(xù)函數(shù)的全體.對C[a，U中任意兩

點X,y,定義J(x,y)=maxl.r(f)-.

a<t<b'*1

-空間記/2二彳=卜仁<8,.設X=kJL，y={”}：j/2,定義d(x,y)二

*=1,

￡(…)干.

ki=l)

二度量空間的進一步例子

例1設X是任意非空集合，對丁F,)yX,令

當x*)”

當大=y

容易驗證1°d(x,>J)>0,d(x,y)=0=x=y;2°d(x,y)<d(x,z)+d(y,z)對Vx,y,zeX都

成立.稱(X,d)為離散的度量空間.由此可見，在任何非空的集合上總可以定義距離，使

它成為度量空間.

例2序列空間S

令s表示實數(shù)列(或復數(shù)列)的全體，對v.E=k乙，y=W3，令^y)=t-r

*=i2

k：一"L.顯然右邊的級數(shù)總是收斂的.易知4(羽y)ZO,且d(x,)，)=Oo%=)，.即

1+1與一九I

d(x,y)滿足條件1°.

\a+t\\a\+\b\

對X/a,Z?eC,先證

l+|a+"1+|41+網(wǎng)

實因令/(/)=」一(0<r<+oo),則因為廣⑺=不%>o,所以函數(shù)/(，)=士在

'1+r

[0,行)上單調遞增.又因為|a+4W4+|4,所以有

…<同+例=同.網(wǎng)工同?網(wǎng).

1+1+41+時+網(wǎng)1+\a\+\b\1+\a\+網(wǎng)-1+1+\b\

再令z={zj：=[,a=xk-zk,=.，則a+h=xk-yk.由上述已證的不等式,

得

?V區(qū)一z/+忤一”|

1+1.一川―l+l--z/l+\zk-yk[

由此推得2。c/(x.y)4d(x.z)+d(y,z)對Vx.y.z￡S都成立.故S按d(x.y)成一度量空間.

例3有界函數(shù)空間夙人)

設A是一個給定的集合，令B(A)表示A上有界實值(或復值)函數(shù)的全體.定

義d(x,y)=sudM/)-y(".顯然d(x,y)之0,且d(x,y)=0二Vr￡A成立/(/)=)?),即

IGA

d(x,y)滿足條件1°.又VfcA,有必)—)，("<k?)—z(”+|z(f)-M)?sup|Mz)-z("+

sup|z(。-刈

所以sup|削-刈Wsup|W)-z("+sup|z(。-即d(x,y)滿足條件2°.特別當

teAreAteA

A=[a,同時,5(A)=

例4可測函數(shù)空間M(X)

設M(X)為X上實值(或復值)的Lebesgue可測函數(shù)的全體，〃?為Lebesgue測度，若小(X)

<00,對任意兩個可測函數(shù)及g(f),由于故不等式左邊為x上可積

函數(shù).令

次加)4端駕J加.

若把M(x)中兩個幾乎處處相等的函數(shù)視為歷(X)中同一個元素，則d(/,g)N0且d(/,g)=0

<=>f=g,即d(fg)滿足條件1°.其次(參考例2)

dg月用邛淅4f±z±+±z±L=r±z±6/w+

f"「"打〃="(/,/?)+"(/?,g),對W，gj7￡M(X)都成立.即d(f,g)滿足條件2°.故

“1+3gl

M(X)按上述距離d(/,g)成為度量空間.

作業(yè)P205.2.4.

作業(yè)提示2.與例2處理方法類似.

4.利用‘一當xNO時的遞增性.

1+x

第2次課

教學內容（或課題）：§6.2（1）度量空間中的極限

目的要求：掌握一般的度量空間中的鄰域、內點、外點、界點、導集、閉包、開集、

閉集、收斂點列等概念，認識具體空間中點列收斂的具體意義.

教學過程：

設（X,d）為度量空間，d是距離，定義

8（/,^）={xeX|d（x,%（））＜￡

為X。的以￡為半徑的開球，亦稱為凡的￡鄰域.

例1設（X/）是離散的度量空間，d是距離，則

'1X,當￡>1

仿§2.2-§2.3,設E是度量空間（X,d）中的一個子集，與是X中一點若存在.％的某一

鄰域U（/）,s.t.U（/）uE,則稱與為E的內點.若與是CE的內點，則稱與為E的外

點.若DUG。）內既有E的點又有非E的點，則稱與為E的邊界點.若VU（x0）內都含有無

窮多個屬于E的點，則稱人為E的聚點.E的全體聚點所成集合稱為E的導集，記為E'.E

UE'稱為E的閉包，記為若石的每一點都是上的內點，則稱石為開集.若EuE,則

稱后為閉集.

例2在歐氏空間川中，記A為全體有理數(shù)點的集合，B為全體無理數(shù)點的集合.則集合A及

8均無內點，均無外點；Vxw川既是4又是區(qū)的界點，既是A又是5的聚點；*既是A又

是3的導集，既是A又是3的閉包；A、8既非開集又非閉集.若如同例1,將集合川離

散化，則VxwA都是A的內點，X7ye8都是8的內點，因此A、8在離散空間中均為開集;

A>5均無界點；A之外點集合為B,B之外點集合為A;A>3均無聚點，因此4=中，

"=中，An4,BnB',故A、8均為閉集.

設W?是（X,d）中點列，若天￡X，s.t.

lim"（匕力=0

貝J稱｛4｝二是收斂點列，x是點列卜“｝2的極限.

收斂點列的極限是唯一的.實因若設乙既牧斂于］又收斂則因為

0<d(x,y)<<(x,x”)+d(y,x“)—>。(w—>oo),而有J(A,y)=0.所以x=y.

附注(*)式換個表達方式：liind(x*,x)=d(limx“,x).即當點列極限存在時，距離運

n—^-cn-Ko/

算與極限運算可以換序.更一般地有

距離d(x,)，)是X和)，的連續(xù)函數(shù).

證明d(x,y)<d(x,/)+[(/,)，o)+d(yo,)，)=d(x,y)-d(xo，)，o)wd(x,xo)+

加0,y)；

"(%,%)4"(工0，X)+d(x,y)+d(y,)，o)=>八%,%)-4(占)，)

Wd(x,Xo)+d()，o，)，).所以〃(")-d(x()，)'o)l<”(乂玉))+"(凡，y)

例3(尸205.1)設(X.d)為一度量空間，令

8(%,￡)二卜工6X,"(五,Xo)<e},S(X0,￡)={.%￡X,J(x,x0)<^}.問8(X(),￡)二s(x(),￡)?

答在R"空間中，必有甌㈤二s(%,￡).在離散度量空間(x,d)中，當“1時，

8(XO，￡)={X()},S(X(),E)=X,此時5(XO，￡)HS(Xo，e).畢.

設M是度量空間(X,d)中的點集，定義.

S(M)=supd(x,y)

x.yeM

為點集M的直徑.若5(M)-sup4(人,))<8,則稱M為(x,d)中的有界集(等價丁固定人，

x.yeM

VXGM,8為某正數(shù)，則為有界集).

(X,4)中的收斂點列卜“}北是有界集.實因，設㈣)％=

%,則數(shù)列{"(X〃,/)}收斂于0,故三叫)>0,s.t.V〃cN有d(xfl,x0)<Mo.所以X/〃,〃zeN,

有d(x，/)+

d(x()?xin)—2Mo?

(X,d)中的閉集可以用點列極限來定義：M為閉集oM中任何收斂點列的極限都

在M中，即若〃=1,2,…，xn—>x,則XEM.

具體空間中點列收斂的具體意義：

1.歐氏空間*(=(斕),4)「?,斕))，〃7=1,2「.，為R〃中的點列，X二

力（）切，6=J（X",一3）2十（E"）一”2）2十…十（E'"）一4J.

(內,人2,…,4)ER"，

%->X(〃?->co)<=>對每個有龍儀一芍（根.8）.

2.C[a,b]設卜，J：uCja,",xeC[a,b],則d(怎,x)=max|%“(￡)-%("fO

(〃—>cc)o{x"}：=]在[a,U一致收斂于x(f).

3.序列空間S設％=（記叫野），…/叫…），m=12…，及廣化…）

分別是s中的點列及點，則心”,大）=之何可—（）（m-8）OX,”依坐標收斂

￡2\+田）_4

于x.實因，若對每個Z有以-短（〃zf8）,則因￡二收斂，所以mmwN,

s.t

t=i2

91F

因為對每個攵=1,2,…,〃2-1,存在N&SN,s.t.當心M時能-4<|.令

k=m22

￡

m-11因")-A』m-\1

2苦.所以當

N=max{M，M,…,Ng},當〃〉N時，成立27r「「'<

1+f

〃>N時，成立二f1-?：（）~1：（）-^—7<—+￡二￡,所以乙-X

1+能_"￡01+/一弱22

(〃—>00)

n)

^z、b1|d-<,|

反之，若X”fx(〃一>8),即c/(x〃,x)=ZTI-f0(〃.8).又因為DAEN,

121+同-4I

有fIV2"d(x〃,x),所以當〃->8時，1：I-?0所以Ve>0，3A^GN,

1+曖-短|1+曖-短|

s.t.當〃〉N時，成立"二二]〈工.所以即）一短|<￡.所以DAwN,有理

1+田）-短|1+￡11

(〃一>8).

4.可測函數(shù)空間"（X）設{/}"uM（X）,/cM（X）,則因d（/“"）二

[qd*嚴，有L^f=/〃=/.實因，若/；=/，則WT>。，有

-力之o]）f0（〃一>co）.De>0（不妨設￡v2m（X））,取Overv，則

—/n(X)<-.今對這樣取定的￡及。，因，nf,故MNEN,s.t.當〃>N時，成立

1+(T2

“xh-GbDvf.所以內643網(wǎng)信湍加

制芯力產“雁"爾/1+高的音+會￡.所以d(￡J)f°

(〃f8).所以力T于(〃->8).

反之，若/“―/(〃->8),即"(/“J)-。(〃78).對Vb>0,由于

言M*/,T"Dv￡34需端加4取J)?所以

11111/71(x1/；,-/|>cr])=O,即/；=>/.

以上各種極限概念不完全一致(依坐標收斂，一致收斂，依測度收斂)，引進距離概念之

后，都可以統(tǒng)一在度量空間的極限概念之中.

作業(yè)P205.5.

作業(yè)提示均勻收斂即一致收斂.證明大意如同“序列空間S”，并利用

上匚金叱㈣

m…邛布國口嚅/⑺一川中

第3次課

教學內容(或課題)：§6.2(2)度量空間中的稠密集可分空間

目的要求：掌握度量空間中的稠密集和可分空間的概念，能正確使用這兩個概念.

教學過程：

Th設B是度量空間X的一個子集，則集合O=X,ye8,d(x,)；)<￡,｝是個

開集，且BuO.

證明設V/w。，則三方￡8,s.t.d(xo，)，o)<￡.所以與wU(y0,￡)uO.

Vxe(/(x0,J),其中0cb〈￡-4/,)，0)，則小，)")<(￡-"(/，腎〉+4/，)，。)：1?所以

U(Xo?)uU(y(),￡)uO.所以Vx()是。之內點.所以。是開集.

又證以5中每一點為心作半徑￡的鄰域，所有這些鄰域的并集就是集合0.

每個鄰域都是開集，任意個開集之并仍為開集，故。為開集.

至于/uO是很顯然的.證畢.

例如8=0=\\u[——n

附注當￡-0時，得到是8之閉包未必是8.y

l〃J二1〃k)

=但0任3.

\k+\k)Ik(k+1)M2+1)J

P205.6.設8u[a/],證明度量空間C[a,b]中的集｛/當fG8時,/(/)=()｝為C[a.h]

中的閉集，而集

A=｛f|當fe5時,/("<?｝("0)為開集o6為閉集.

證明設｛//)｝久u》當七8時,〃)=()｝且在電“中〃。一%).則當X8時，

對有*):0.令〃-8,得/￡8時,/(0=0.所以/(f)w｛/當reBB寸J?)=o｝.

所以｛/|當/G8時J(f)=O｝是閉集.

“U”設3為閉集，兒(1)￡A，則仿("va(當"B).因在8連續(xù),所以:("

<max<a取￡：Oveva-?到施卜則對W(r)wU(/),￡),有

g)-%(心陰W")—/(”<￡,所以|f(“<￡("+￡?所以當/￡斗/(”引.)+￡

〈嗯X1yo(4+(〃-嗯x￡(4)=a

所以U(/O，￡)U4.所以4為開集.

“=>”設A為開集.設*“｝；：=1u8,%-，o且八)任兒取點/⑺：/(r)eA=

｛/]當feB時v。｝,則|同”)<。,令〃—為得，|/(八J<。.因為f°任8,故只有/仇)=。.

不妨設/"o)=a(/”o)二-〃時同法可證之).因為A為開集，所以三%>0,s.t.U(/,￡o)u

4七當ZeB時皿?。?/p>

VaOcecq,因為[(/'(/)+￡，/?))=￡<%,所以點/(，)+￡￡U(/,%)uA.因為

lim/(rj=/(r),所以對上述e>0且￡<%,存在"GB,s.t.|/(r)-f(tA<c，所以/(r)

n->cooN0

一￡</(&)?所以/(｝)+￡>/(%)=〃.

但由方框，應有|/(xJ+W<a,與/(5)+￡>/(，o)=a相互矛盾.這就證明了BnB'.故B

為閉集.證畢.

Defl設X是度量空間，N和M是X的兩個子集，令”表示用的閉包，若NLM,

則稱集〃在集N中稠密，當N=X時，稱M為X的一個稠密子集.若X有一個可列的稠

密子集，則稱X是可分空間.

例1〃維歐氏空間R”是可分空間.事實上，座標為有理數(shù)的點的全體是R"的可列稠密子

集.

設M是閉區(qū)間口,同全體有理數(shù)集合，N是口,“全體無理數(shù)集合.在叱中，因為Mu

H,Nu而，所以N在〃中