初一數(shù)學(xué)資料培優(yōu)教材

初一數(shù)學(xué)資料培優(yōu)教材匯總

第一講數(shù)系擴(kuò)張-有理數(shù)（一）

一、【問(wèn)題引入與歸納】

1、正負(fù)數(shù)，數(shù)軸，相反數(shù)，有理數(shù)等概念。

2、有理數(shù)的兩種分類：

能表成二

3、有理數(shù)的本質(zhì)定義,a0互質(zhì)）。

4、性質(zhì)：①順序性（可比較大小）；

②四則運(yùn)算的封閉性（0不作除數(shù)）；

③稠密性：任意兩個(gè)有理數(shù)間都存在無(wú)數(shù)個(gè)有理數(shù)。

5、絕對(duì)值的意義與性質(zhì)：

①11110c②非負(fù)性ba0C

③非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：i）非負(fù)數(shù)的和仍為非負(fù)數(shù)。

ii）幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則他們都為0。

二、【典型例題解析】：

1、若ba0C的值等于多少？

2.如果K是大于1的有理數(shù)，那么K一定小于它的（）

A.相反數(shù)B.倒數(shù)C.絕對(duì)值D.平方

3、已知兩數(shù)一、一互為相反數(shù)，一、一互為倒數(shù)，下的絕對(duì)值是2,求

的值。Y-----------Q-b

4、如果在數(shù)軸上表示一、一兩上實(shí)數(shù)點(diǎn)的位置，如下圖所示，那

么ba0C化簡(jiǎn)的結(jié)果等于（

A.亦B.e廠C.OD.一

5、已知二六一；求二的值是（）

A.2B.3C.9D.6

?ill>

6、有3個(gè)有理數(shù)a,b,c,兩兩不等，那么11'0'中有幾個(gè)負(fù)數(shù)？

7、設(shè)三個(gè)互不相等的有理數(shù)，既可表示為1,1*67"'的形式式，又可表示為0,,,一

的形式，求b，

8、三個(gè)有理數(shù)?的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且"u

則F―aoc―*的值是多少？

9、若―'為整數(shù),且一^一：”,試求r一??的值。

三、課堂備用練習(xí)題。

1、計(jì)算：1+2-3-4+5+6-7-8+-+2005+20062,計(jì)算：1X2+2X3+3X4+—+n(n+l)

ba0c

4、已知1中為非負(fù)整數(shù)，且滿足ba0c，求I，的所有可能值。5、若三個(gè)有理數(shù)

____I_________!11________A!?)

「k滿足180C，求?”的值。

第二講數(shù)系擴(kuò)張-有理數(shù)(二)

一、【能力訓(xùn)練點(diǎn)】：

1、絕對(duì)值的幾何意義

①b…一表示數(shù)一對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

②1"1,表示數(shù)一、一對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離。

2、利用絕對(duì)值的代數(shù)、幾何意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值。

二、【典型例題解析】：

1、(1)若b…,,化簡(jiǎn)=一：°：—*

(2)若一」，化簡(jiǎn)

2、設(shè)丁k,且門(mén)“，試化簡(jiǎn)F一丁二一*

3、一、一是有理數(shù)，下列各式對(duì)嗎？若不對(duì)，應(yīng)附加什么條件?

(1)ba0c(2)ba0c

⑶ba0c(4)若?U<則i”「

(5)若b1?1，則1/(6)若''(1則一一

4、若ba0C,求一的取值范圍。

5、不相等的有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B、C,如果F一:,

那么B點(diǎn)在A、C的什么位置？

6、設(shè)二一丁二一”,求—ba°C一的最小值。

7、1'是一個(gè)五位數(shù)，F(xiàn)一■0c―",求—bOC一的最大

值。

8、設(shè)F―aQc—*都是有理數(shù)，令一b丁71~

FK—c?,―b丁7cbF―?*，試比較

M、N的大小。

三、【課堂備用練習(xí)題工

1、已知^o:一求-I「的最小值。

2、若一。「與卜…’互為相反數(shù)，求一…’的值。

3、如果求bM1的值。

4、一是什么樣的有理數(shù)時(shí)，下列等式成立？

(1)a~Oc-(2)baOc

Ii：'：

5、化簡(jiǎn)下式:

第三講數(shù)系擴(kuò)張-有理數(shù)(三)

一、【能力訓(xùn)練點(diǎn)1

1、運(yùn)算的分級(jí)與運(yùn)算順序；

2、有理數(shù)的加、減、乘、除及乘方運(yùn)算的法則。

(1)加法法則：同號(hào)相加取同號(hào)，并把絕對(duì)值相加；異號(hào)相加取絕對(duì)值較大數(shù)的符號(hào)，并

用較大絕對(duì)值減較小絕對(duì)值；一個(gè)數(shù)同零相加得原數(shù)。

(2)減法法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

(3)乘法法則：幾個(gè)有理數(shù)相乘，奇負(fù)得負(fù)，偶負(fù)得正，并把絕對(duì)值相乘。

(4)除法法則：除以一個(gè)數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

3、準(zhǔn)確運(yùn)用各種法則及運(yùn)算順序解題，養(yǎng)成良好思維習(xí)慣及解題習(xí)慣。

二、【典型例題解析】：

1、計(jì)算：ba0

2、計(jì)算：(1)、ba0c

(2)、(-18.75)+(+6.25)+(-3.25)+18.25

⑶、(-4')+

3、計(jì)算：①6a0c

②ba0c

4、化簡(jiǎn)：計(jì)算：(I)v

_______I____________III______________

,oba0c

ba0c

ba

(4)

(5)-4.035X12+7.535XI2-36X(J,'11')

5、計(jì)算：⑴ba0c

iiiiA

(2)ba0c

iiiiA

(3)ba0c

_______I______________I_____I___________I_____________—

ba0c

6、計(jì)算:

■I■■

baOc

第四講數(shù)系擴(kuò)張-有理數(shù)（四）

一、【能力訓(xùn)練點(diǎn)】：

1、運(yùn)算的分級(jí)與運(yùn)算順序；

2、有理數(shù)的加、減、乘、除及乘方運(yùn)算的法則。

3、巧算的一般性技巧：

①湊整（湊0）;②巧用分配律

③去、添括號(hào)法則；④裂項(xiàng)法

4、綜合運(yùn)用有理數(shù)的知識(shí)解有關(guān)問(wèn)題。

二、【典型例題解析工

1、計(jì)算：ba0

2

ba0c

?III>

ba0c

I11I

3、計(jì)算:①ba0c

②ba0c

4、化簡(jiǎn)：ba0c并求當(dāng)1"，'111「時(shí)

的值。

iiii_______________A

5、計(jì)算:ba0c

iiiia

6、比較bd°C與2的大小。

7、計(jì)算：匕aO

8、已知一、工是有理數(shù)，且含\“I,1”IJ山，請(qǐng)將b"，

按從小到大的順序排列。

三、【備用練習(xí)題】：

?111A???

1、計(jì)算⑴ba°c（2）ba0

2、計(jì)算：ba0c

111____________1______________

3、計(jì)算：ba0c

iiii?

ba0c「，求代數(shù)式Q0°的值。

4、如果

5、若一、一互為相反數(shù)，一、一互為倒數(shù)，一的絕對(duì)值為2,求

的值。

第五講代數(shù)式(一)

一、【能力訓(xùn)練點(diǎn)】：

(1)列代數(shù)式；(2)代數(shù)式的意義;

(3)代數(shù)式的求值(整體代入法)

二、【典型例題解析工

1、用代數(shù)式表示：

(1)比一I，的和的平方小一的數(shù)。

(2)比?山的積的2倍大5的數(shù)。

(3)甲乙兩數(shù)平方的和(差)。

(4)甲數(shù)與乙數(shù)的差的平方。

(5)甲、乙兩數(shù)和的平方與甲乙兩數(shù)平方和的商。

(6)甲、乙兩數(shù)和的2倍與甲乙兩數(shù)積的一半的差。

(7)比一的平方的2倍小1的數(shù)。

(8)任意一個(gè)偶數(shù)(奇數(shù))

(9)能被5整除的數(shù)。

(10)任意一個(gè)三位數(shù)。

2、代數(shù)式的求值：

⑴已知““：，求代數(shù)式**20°的值。

(2)已知卜e的值是7,求代數(shù)式b"c的值。

(3)已知「k；Tk,求'工?！闹?I，

(4)已知?'，求'M的值。

(5)已知：當(dāng)丁k時(shí)，代數(shù)式bJOC的值為知07,求當(dāng)…一’時(shí)，代數(shù)式b10{

的值。

(6)已知等式baoc對(duì)一切一都成立，求A、B的值。

(7)已知一ba0c1,求?！猅il—"的值。

(8)當(dāng)多項(xiàng)式-1~a。C~*時(shí)，求多項(xiàng)式一^一二~~*的值。

3、找規(guī)律：

1.(1)~;⑵baoc

(3)~c*(4)baoc

第N個(gè)式子呢？

baQc若ba。c

(一、一為正整數(shù))，求

ill.一c—~b。一?*猜想：

ba0c

三、【備用練習(xí)題】：

1、若I”,‘個(gè)人完成一項(xiàng)工程需要一天,則一個(gè)人完成這項(xiàng)工程需要多少天？

----1_,__

2、已知代數(shù)式ba。?！闹禐?,求代數(shù)式,311(的值。

3、某同學(xué)到集貿(mào)市場(chǎng)買(mǎi)蘋(píng)果，買(mǎi)每千克3元的蘋(píng)果用去所帶錢(qián)數(shù)的一半，而余下的錢(qián)都買(mǎi)

了每千克2元的蘋(píng)果，則該同學(xué)所買(mǎi)的蘋(píng)果的平均價(jià)格是每千克多少元？

(一

4、已知HI-_baoc.求當(dāng)—i山.時(shí)，—._ba._0_c_

第六講代數(shù)式(二)

一、【能力訓(xùn)練點(diǎn)】：

(1)同類項(xiàng)的合并法則；

(2)代數(shù)式的整體代入求值。

二、【典型例題解析】：

1、已知多項(xiàng)式經(jīng)合并后，不含有K的項(xiàng)，求

1"1的值。

2、當(dāng)ba0c達(dá)到最大值時(shí)，求ba°，的值。

3、已知多項(xiàng)式ba0c與多項(xiàng)式N的2倍之和是baoc,求N?

4、若E-互異，且11aoe,求…1’的值。

5、已知ba。c，求ba0c的值。

6、已知ba0c，求ba。c的值。

7、已知丁均為正整數(shù)，且丁k,求'8?！闹怠?/p>

8、求證》30°等于兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積。

9、已知十1丁，求baoC的值。

10、一堆蘋(píng)果，若干個(gè)人分，每人分4個(gè)，剩下9個(gè)，若每人分6個(gè)，最后一個(gè)人分到的少

于3個(gè)，問(wèn)多少人分蘋(píng)果？

三、【備用練習(xí)題】：

1、已知…L，比較M、N的大小。

1111>

ba0cI)aQc

2、已知ba0C，求ba0c的值。

3、已知ba0c,求K的值。

4、ba0C,比較i*1>的大小。

5、已知ba。c，求ba0c的值。

第七講發(fā)現(xiàn)規(guī)律

一、【問(wèn)題引入與歸納】

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“先從少數(shù)的事例中摸索出規(guī)律來(lái)，再?gòu)睦碚撋?/p>

來(lái)證明這一規(guī)律的一般性，這是人們認(rèn)識(shí)客觀法則的方法之一”。這種以退為進(jìn)，尋找規(guī)律

的方法，對(duì)我們解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題有重要指導(dǎo)作用，下面舉例說(shuō)明。

能力訓(xùn)練點(diǎn)：觀察、分析、猜想、歸納、抽象、驗(yàn)證的思維能力。

二、【典型例題解析】

1、觀察算式：

按規(guī)律填空：1+3+5+???+99=?,1+3+5+7+…+b1?c

?

2、如圖是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的小房子。觀察圖形的變化規(guī)律，寫(xiě)出第一個(gè)小房子

用了多少塊石子？

3、用黑、白兩種顏色的正六邊形地面磚（如圖：：

所示）的規(guī)律，拼成若干個(gè)圖案：（1）第3個(gè)圖

案中有白色地面磚多少塊？（2）第一個(gè)圖案中有白色地

面磚多少塊?第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)

4、觀察下列一組圖形，如圖，根據(jù)其變化規(guī)律，可得

第10個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)為多少？第一個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)為多少？

5、觀察右圖，回答下列問(wèn)題：

（1）圖中的點(diǎn)被線段隔開(kāi)分成四層，則第一層有1

有多少個(gè)點(diǎn)，第四層有多少個(gè)點(diǎn)？

（2）如果要你繼續(xù)畫(huà)下去，那第五層應(yīng)該畫(huà)多少個(gè)點(diǎn)，第n層有多少個(gè)點(diǎn)？

（3）某一層上有77個(gè)點(diǎn)，這是第幾層？

（4）第一層與第二層的和是多少？前三層的和呢？前4層的和呢？你有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)什

?勿勿勿

么規(guī)律？根據(jù)你的推測(cè)，前12層的和是多少？

6、讀一讀：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示從1開(kāi)始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和,

由于上述式子比較長(zhǎng)，書(shū)寫(xiě)也不方便，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們可將“1+2+3+4+5+…+100”表

示為"'，這里“一”是求和符號(hào)，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即從1開(kāi)始的100以內(nèi)的

連續(xù)奇數(shù)的和）可表示為""’又如"￡三一0

可表示為，同學(xué)們，通過(guò)以上材料的閱讀，請(qǐng)解答下列問(wèn)題:

（1）2+4+6+8+10+…+100（即從2開(kāi)始的100以內(nèi)的連續(xù)偶數(shù)的和）用求和符號(hào)可表不為

（2）計(jì)算：1[=（填寫(xiě)最后的計(jì)算結(jié)果）.

7、觀察下列各式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

3X5=15,而15=42-15X7=35,而35=62-1…

11X13=143,而143=122-1.....

將你猜想的規(guī)律用只含一個(gè)字母的式子表示出來(lái)。

8、請(qǐng)你從右表歸納出計(jì)算13+23+33+…+n3的分式，并算出爐一1|234

13+23+33+…+1003的值。23—*2468

33―?36912

43―?481216

三、【跟蹤訓(xùn)練題】1

1、有一列數(shù)F―乙一~"其中：1=6X2+1,！=6X3+2」=6X4+3,'=6X5+4；…

則第一個(gè)數(shù),=,當(dāng)仙=2001時(shí)，一=

2、將正偶數(shù)按下表排成5列

第1列第2列第3列第4列第5列

第一行2468

第二行16141210

第三行18202224

2826

根據(jù)上面的，見(jiàn)律，則2006應(yīng)在行歹IJ。

3、已知一個(gè)數(shù)列2,5,9,14,20,一，35…則一的值應(yīng)為：（）

4、在以下兩個(gè)數(shù)串中：

1,3,5,7,…，1991,1993,1995,1997,1999和1,4,7,10,…，1990,1993,1996,

1999,同時(shí)出現(xiàn)在這兩個(gè)數(shù)串中的數(shù)的個(gè)數(shù)共有（）個(gè)。A.333B.334C.335

D.336

5、學(xué)校閱覽室有能坐4人的方桌，如果多于4

人，就把方桌拼成一行，2張方桌拼成一行能坐△△△

6人（如右圖所示）按照這種規(guī)定填寫(xiě)下表的

空格：

△AA

拼成一行的桌子數(shù)123???n

人數(shù)46???

6、給出下列算式:

觀察上面的算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，用代數(shù)式表示這個(gè)規(guī)律:

7、通過(guò)計(jì)算探索規(guī)律：

152=225可寫(xiě)成100X1義(1+1)+25

252=625可寫(xiě)成100X2X(2+1)+25

352=1225可寫(xiě)成100X3義(3+1)+25

452=2025可寫(xiě)成100X4義(4+1)+25

752=5625可寫(xiě)成

歸納、猜想得：(10n+5)2=

根據(jù)猜想計(jì)算：19952=

8、已知ba°c,計(jì)算：

112+122+132+-+192=；

9、從古到今，所有數(shù)學(xué)家總希望找到一個(gè)能表示所有質(zhì)數(shù)的公式，有位學(xué)者提出：當(dāng)n

是自然數(shù)時(shí)，代數(shù)式n2+n+41所表示的是質(zhì)數(shù)。請(qǐng)驗(yàn)證一下，當(dāng)n=40時(shí)，n2+n+41的值是

什么？這位學(xué)者結(jié)論正確嗎？

一第八講綜合練習(xí)(一)

1、若;山‘，求卜"，’的值。

2、已知banc，與ba0c互為相反數(shù)，求⑶：。

3、已知=F*,求丁的范圍。

4、判斷代數(shù)式?”的正負(fù)。

??______I___________I11a

5、若1'，求11a0c的值。

6、若一一3—c—*,求ba0c

—I----1_I---1----->

ba0c

7、已知卜，。，，化簡(jiǎn)ba0c

8、已知R互為相反數(shù)，"互為倒數(shù)，—的絕對(duì)值等于2,P是數(shù)軸上的表示原點(diǎn)的數(shù),

求ba0c的值。

9、問(wèn)口中應(yīng)填入什么數(shù)時(shí)，才能使ba0C

10、?在數(shù)軸上的位置如圖所示，一I--------一---------'~——?

6Qoc1x

化簡(jiǎn)：?―oC1

II、若baoc,求使ba0C成立的丁的取值范圍。

12、計(jì)、，必算：ba°0c

??A?!i?A

已知ba0c,ba0c

-J---->

c,求二

14、已知b'°,求=、一的大小關(guān)系。

設(shè)ba0C,求代數(shù)式

15、有理數(shù)1'I'均不為0,且ba0。。

ba0c的值。

第九講一元一次方程（一）

一、知識(shí)點(diǎn)歸納：

1、等式的性質(zhì)。2、一元一次方程的定義及求解步驟。

3、一元一次方程的解的理解與應(yīng)用.4、一元一次方程解的情況討論。

二、典型例題解析：

1、解下列方程：（i）ba°c（2）

ba0c

2、能否從baoc"得到"‘I’,為什么？反之，能否從l'H，’得到

ba0C,為什么？

3、若關(guān)于一的方程1>a°C,無(wú)論K為何值時(shí)，它的解總是丁L,求一、-

的值。

11.■?〉

4、若baOc。求baoc的值。

5、已知二廠是方程b”,的解，求代數(shù)式F—aoc―*的值。

6、關(guān)于一的方程ba。'，的解是正整數(shù)，求整數(shù)K的值。

1ill_________壬1iiiA

7、若方程ba0c與方程ba0c同解，求一的值。

8、關(guān)于一的一元一次方程二丁）一；?求代數(shù)式r―c

的值。

9、解方程""U

10、已知方程F—F—；―*的解為一I求方程一C?的解。

11、當(dāng)一滿足什么條件時(shí)，關(guān)于一的方程F――*,①有一解；②有無(wú)數(shù)解；③

無(wú)解。

第十講一元一次方程（2）

一、能力訓(xùn)練點(diǎn)：

1、列方程應(yīng)用題的一般步驟。

2、利用一元一次方程解決社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題（如經(jīng)濟(jì)問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題、增長(zhǎng)率問(wèn)題）

二、典型例題解析。

1、要配制濃度為20%的硫酸溶液100千克，今有98%的濃硫酸和10%的硫酸，問(wèn)這兩種

硫酸分別應(yīng)各取多少千克？

2、一項(xiàng)工程由師傅來(lái)做需8天完成，由徒弟做需16天完成，現(xiàn)由師徒同時(shí)做了4天，后因

師傅有事離開(kāi)，余下的全由徒弟來(lái)做，問(wèn)徒弟做這項(xiàng)工程共花了幾天？

3、某市場(chǎng)雞蛋買(mǎi)賣(mài)按個(gè)數(shù)計(jì)價(jià)，一商販以每個(gè)0.24元購(gòu)進(jìn)一批雞蛋，但在販運(yùn)途中不慎碰

壞了12個(gè)，剩下的蛋以每個(gè)0.28元售出，結(jié)果仍獲利11.2元，問(wèn)該商販當(dāng)初買(mǎi)進(jìn)多少個(gè)雞

蛋？

4、某商店將彩電按原價(jià)提高40%,然后在廣告上寫(xiě)“大酬賓，八折優(yōu)惠”，結(jié)果每臺(tái)彩電

仍可獲利270元，那么每臺(tái)彩電原價(jià)是多少？

5、一個(gè)三位數(shù)，十位上的數(shù)比個(gè)位上的數(shù)大4,個(gè)位上的數(shù)比百位上的數(shù)小2,若將此三位

數(shù)的個(gè)位與百位對(duì)調(diào)，所得的新數(shù)與原數(shù)之比為7:4,求原來(lái)的三位數(shù)？

6、初一年級(jí)三個(gè)班，完成甲、乙兩項(xiàng)任務(wù)，（一）班有45人，（二）班有50人，（三）班有

43人，現(xiàn)因任務(wù)的需要，需將（三）班人數(shù)分配至（一）、（二）兩個(gè)班，且使得分配后（二）

班的總?cè)藬?shù)是（一）班的總?cè)藬?shù)的2倍少36人，問(wèn)：應(yīng)將（三）班各分配多少名學(xué)生到（一）、

（二）兩班？

j―?

7、一個(gè)容器內(nèi)盛滿酒精溶液，第一次倒出它的仁后，用水加滿，第二次倒出它的‘后用水

加滿，這時(shí)容器中的酒精濃度為25%,求原來(lái)酒精溶液的濃度。

8、某中學(xué)組織初一同學(xué)春游，如果租用45座的客車，則有15個(gè)人沒(méi)有座位；如果租用同

數(shù)量的60座的客車，則除多出一輛外，其余車恰好坐滿，已知租用45座的客車日租金為每

輛車250元，60座的客車日租金為每輛300元，問(wèn)租用哪種客車更合算？租兒輛車？

9、1994年底，張先生的年齡是其祖母的一半，他們出生的年之和是3838,問(wèn)到2006年

底張先生多大？

10、有一滿池水，池底有泉總能均勻地向外涌流，已知用24部A型抽水機(jī)，6天可抽干池

水，若用21部A型抽水機(jī)13天也可抽干池水，設(shè)每部抽水機(jī)單位時(shí)間的抽水量相同，要

使這一池水永抽不干，則至多只能用多少部A型抽水機(jī)抽水？

11、狗跑5步的時(shí)間，馬能跑6步，馬跑4步的距離，狗要跑7步，現(xiàn)在狗已跑出55米，

馬開(kāi)始追它，問(wèn)狗再跑多遠(yuǎn)馬可以追到它？

12、一名落水小孩抱著木頭在河中漂流，在A處遇到逆水而上的快艇和輪船，因霧大而未

被發(fā)現(xiàn)，1小時(shí)快艇和輪船獲悉此事，隨即掉頭追救，求快艇和輪船從獲悉到追及小孩各需

多少時(shí)間？

數(shù)形結(jié)合談數(shù)軸

一、閱讀與思考

數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形的學(xué)科，在數(shù)學(xué)里數(shù)和形是有密切聯(lián)系的。我們常用代數(shù)的方法來(lái)處理兒

何問(wèn)題；反過(guò)來(lái)，也借助于幾何圖形來(lái)處理代數(shù)問(wèn)題，尋找解題思路，這種數(shù)與形之間的相

互作用叫數(shù)形結(jié)合，是一種重要的數(shù)學(xué)思想。

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的有力

工具，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

|>利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)；

2、利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；

3、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大??；

4、利用數(shù)軸解決與絕對(duì)值相關(guān)的問(wèn)題。

二、知識(shí)點(diǎn)反饋

1、利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)；

例1：已知有理數(shù)一在數(shù)軸上原點(diǎn)的右方，有理數(shù)丁在原點(diǎn)的左方，那么（）

11

A.'B.'C.??o<D.?M<

拓廣訓(xùn)練：

1、如圖"為數(shù)軸上的兩點(diǎn)表示的有理數(shù)，在二"*中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)

有（）

（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）------------------------------------>

A.1B.2C,3D.400b

3、把滿足k1中的整數(shù)一表示在數(shù)軸上，并用不等號(hào)連接。

2、利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；

例2：如果數(shù)軸上點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為3,點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離為5,那么A、B兩點(diǎn)的距離

為。

拓廣訓(xùn)練：

1、在數(shù)軸上表示數(shù)一的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3,則baoC

2、已知數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，A、B之間的距離為1,點(diǎn)A與原點(diǎn)。的距離為3,那么所有

滿足條件的點(diǎn)B與原點(diǎn)O的距離之和等于。（北京市“迎春杯”競(jìng)賽題）

3、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大??；

例3：已知上，。，且一一’,那么有理數(shù)I的大小關(guān)系是

。（用“一”號(hào)連接）（北京市“迎春杯”競(jìng)賽題）

拓廣訓(xùn)練:

若b，且1L,比較FL—-?的大小，并用“一”號(hào)連接。

例4：己知丁k比較仙與4的大小

拓廣訓(xùn)練：

1、已知丁k,試討論不與3的大小2、已知兩數(shù)"，如果一比丁大，試判斷不與

的大小

4、利用數(shù)軸解決與絕對(duì)值相關(guān)的問(wèn)題。

例5：有理數(shù)T~k在數(shù)軸上的位置如圖所示，式子忑一^0―:*化簡(jiǎn)結(jié)果為

（）-laO1bc

A.a0c>B.I"「C.1"?*D.I.「

拓廣訓(xùn)練：

1、有理數(shù)TR在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)一’）一3?的結(jié)果為

...................................A

。baOcl

2、已知baoc，在數(shù)軸上給出關(guān)于的四種情況如圖所示，則成立的是

???????A???A???

a0bb0a0abOba

①②③④

3、已知有理數(shù)丁亡在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)的位置如下圖：則二一六一；―*化簡(jiǎn)后的結(jié)

果是（）

（湖北省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽選撥賽試題）----------------------------------->

-1cOab

A.1'11'B.''一'C.~~~*D.b,?e,

三、培優(yōu)訓(xùn)練

1、已知是有理數(shù)，且一"71一"*,那以丁丁丁的值是（）

A.B.D.或

2、（07樂(lè)山）如圖，數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)一向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)一，再用右移動(dòng)5個(gè)4

一一B

位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)".若點(diǎn)，”表示的數(shù)為1,則點(diǎn)表示的數(shù)為（）^--^-F-I-A----丁?一J

11''?.,

A.川B.C.D."■

3、如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩點(diǎn)相距1個(gè)單位，點(diǎn)A、B、C、D對(duì)應(yīng)的數(shù)分別

...................＞

是整數(shù)」…且bc,那么數(shù)軸的原點(diǎn)應(yīng)是（）ABCD

A.A點(diǎn)B.B點(diǎn)C.C點(diǎn)D.D點(diǎn)

4、數(shù)b”,所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A,B,C,D在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么丁k與一I，的大

小關(guān)系是（-------------------------->

AD0CB

A.baocB.b?0cc.b?0eD.不確定的

5、不相等的有理數(shù)一一在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A,B,C,若ba0c，那

么點(diǎn)B（）

A.在A、C點(diǎn)右邊B.在A、C點(diǎn)左邊C.在A、C點(diǎn)之間D.以上均有可能

6、設(shè)一—a°c―＞，則下面四個(gè)結(jié)論中正確的是（）（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）

A.一沒(méi)有最小值B.只一個(gè)一使一取最小值

C.有限個(gè)?。ú恢挂粋€(gè)）使一取最小值D.有無(wú)窮多個(gè)一使一取最小值

--Mj

7、在數(shù)軸上，點(diǎn)A,B分別表示“：和"，則線段AB的中點(diǎn)所表示的數(shù)是。

8、若一…二則使二―3—；—*成立的一的取值范圍是。

?illA

9、一是有理數(shù)，則＞a°c的最小值是。

10、已知b“，，為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示：dbOaC

且-b7%—?*求~b?。┮??的值。

11、（南京市中考題）（1）閱讀下面材料：

點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)丁，A、B兩點(diǎn)這間的距離表示為丁不，當(dāng)A、B兩點(diǎn)中

有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖1,baoc；當(dāng)人、13兩點(diǎn)都

不在原點(diǎn)時(shí)，_____少_____

，________..______,_______10b

①如圖2,點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊baoc（）；，'B,

....0b

②如圖3,點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊baOc；

③如圖4,點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊baO

綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離bc?！?

BOA

（2）回答下列問(wèn)題：W―OT

①數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是

,數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是；

②數(shù)軸上表示一和-1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是，如果卜"；那么一為

③當(dāng)代數(shù)式ba°c取最小值時(shí)，相應(yīng)的一的取值范圍是

④求b?0c的最小值。

聚焦絕對(duì)值

一、閱讀與思考

絕對(duì)值是初中代數(shù)中的一個(gè)重要概念，引入絕對(duì)值概念之后，對(duì)有理數(shù)、相反數(shù)以及后續(xù)要

學(xué)習(xí)的算術(shù)根可以有進(jìn)一步的理解;絕對(duì)值又是初中代數(shù)中一個(gè)基本概念，在求代數(shù)式的值、

代數(shù)式的化簡(jiǎn)、解方程與解不等式時(shí)，常常遇到含有絕對(duì)值符號(hào)的問(wèn)題，理解、掌握絕對(duì)值

概念應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：

1、脫去絕值符號(hào)是解絕對(duì)值問(wèn)題的切入點(diǎn)。

脫去絕對(duì)值符號(hào)常用到相關(guān)法則、分類討論、數(shù)形結(jié)合等知識(shí)方法。

去絕對(duì)值符號(hào)法則：

MM

2、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義

從數(shù)軸上看表示數(shù)一的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；11,1表示數(shù)一、數(shù)一的兩點(diǎn)間的距離。

3、靈活運(yùn)用絕對(duì)值的基本性質(zhì)

①1'I1,②ba0c③ba。；'④?&D《⑤

ba0c⑥ba0c

二、知識(shí)點(diǎn)反饋

1、去絕對(duì)值符號(hào)法則

例1：已知b-。，’且i，?！敲炊。

拓廣訓(xùn)練：

1、已知F—二一:一>且i那么一11oc’。（北京市“迎春

杯”競(jìng)賽題）

2、若b且i?，那么丁丁廠的值是（）

A.3或13B.13或-13C.3或-3D.-3或-13

2、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義

例2：i?！淖钚≈凳牵ǎ?/p>

A.2B.0C.1D.-1

解法1、分類討論

■■?■

當(dāng)i”「時(shí)，baOc.

,,---1-----1-----?-----

當(dāng)"J—aoc—>時(shí)，ba0c.

當(dāng)Tk時(shí)ba-0c―o

比較可知，b；一的最小值是2,故選A。

解法2、由絕對(duì)值的幾何意義知=表示數(shù)一所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；

廠表示數(shù)一所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)-1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；b4’’的最小值是指一點(diǎn)

到1與-1兩點(diǎn)距離和的最小值。如圖易知------------------?

X-1X1X

當(dāng)b‘時(shí)，ba0€的值最小，最小值是2故選A。

拓廣訓(xùn)練：

已知b巾c’的最小值是一，bc’的最大值為丁，求丁丁廠的值。

三、培優(yōu)訓(xùn)練

1、如圖，有理數(shù)丁丁在數(shù)軸上的位置如圖所示：-2a-10b1

則在一0c?中，負(fù)數(shù)共有（）（湖北省荊州市競(jìng)賽題）

A.3個(gè)B.1個(gè)C.4個(gè)D.2個(gè)

2、若揶是有理數(shù)，則…「一定是（）

A.零B.非負(fù)數(shù)C.正數(shù)D.負(fù)數(shù)

3、如果刀―a°c—*,那么一的取值范圍是（）

A.1'B.1'?1'C.1?'D.1?'

4、丁是有理數(shù)，如果b"c,那么對(duì)于結(jié)論Q）丁一定不是負(fù)數(shù)；（2）一可能

是負(fù)數(shù)，其中（）（第15屆江蘇省競(jìng)賽題）

A.只有（I）正確B.只有（2）正確C.（1）（2）都正確D.（1）（2）都不正確

5、已知丁丁丁，則化簡(jiǎn)i「「所得的結(jié)果為（）

A.-'B.C.*,?1'D.*"1'

6、已知i&e",那么ba0c的最大值等于（）

A.1B.5C.8D.9

7、己知:k都不等于零，且卜a°c,根據(jù)一?「的不同取值，一有（）

A.唯一確定的值B.3種不同的值C.4種不同的值D.8種不同的值

8、滿足：『0'’成立的條件是（）（湖北省黃岡市競(jìng)賽題）

A.?'>>>B.''C.?「D.?'

9、若i二；則代數(shù)式>"°C的值為

10、若『k,則11°'的值等于

11、已知丁k是非零有理數(shù)，且F—―；一?,求ba°C的值。

12、已知一…是有理數(shù)，ba0c，且ba0c，求

的值。

13、閱讀下列材料并解決有關(guān)問(wèn)題:

MM

我們知道，現(xiàn)在我們可以用這一個(gè)結(jié)論來(lái)化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式，如

化簡(jiǎn)代數(shù)式ba°c時(shí)，可令j，一‘和i，一分別求得ba0C，(稱丁k

分別為=與丁k的零點(diǎn)值)。在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值「k和Tb可將全體有理數(shù)

分成不重復(fù)旦不遺漏的如下3種情況：

(1)當(dāng)?「時(shí)，原式二一0最?;

(2)當(dāng)b。。。時(shí)，原式=ba。c

(3)當(dāng)I”「時(shí),原式二F一「

tajc

綜上討論，原式=

通過(guò)以上閱讀，請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：

分別求出I"I和I"'的零點(diǎn)值；(2)化簡(jiǎn)代數(shù)式b

14、（1）當(dāng)一取何值時(shí)，?U,有最小值？這個(gè)最小值是多少？（2）當(dāng)一取何值時(shí)，1

有最大值？這個(gè)最大值是多少？（3）求??0c的最小值。（4）求

ba0c的最小值。

15、某公共汽車運(yùn)營(yíng)線路AB段上有A、D、C、B四個(gè)汽車站，如圖，現(xiàn)在要在AB段上修

建一個(gè)加油站M,為了使加油站選址合理，要求A,B,C,D四個(gè)汽車站到加油站M的路

程總和最小，試分析加油站M在何處選址最好？

AD

16、先閱讀下面的材料，然后解答問(wèn)題：

在一條直線上有依次排列的丁k臺(tái)機(jī)床在工作，我們要設(shè)置一個(gè)零件供應(yīng)站P,使這一臺(tái)

機(jī)床到供應(yīng)站P的距離總和最小，要解決這個(gè)問(wèn)題，先“退”到比較簡(jiǎn)單的情形：

A,A2(P)D

甲P甲乙

②

如圖①，如果直線上有2臺(tái)機(jī)床（甲、乙）時(shí),很明顯P設(shè)在川和1之間的任何地方都行,

因?yàn)榧缀鸵曳謩e到P的距離之和等于二到一的距離.

如圖②，如果直線上有3臺(tái)機(jī)床（甲、乙、丙）時(shí)，不難判斷，P設(shè)在中間一臺(tái)機(jī)床廠處最合

適，因?yàn)槿绻鸓放在二處，甲和丙分別到P的距離之和恰好為出到京的距離；而如果P

放在別處，例如D處，那么甲和丙分別到P的距離之和仍是"至的距離，可是乙還得走

從「到D近段距離，這是多出來(lái)的，因此P放在二處是最佳選擇。不難知道，如果直線

上有4臺(tái)機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第2臺(tái)與第3臺(tái)之間的任何地方；有5臺(tái)機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第3臺(tái)位

置。

問(wèn)題（1）：有一機(jī)床時(shí)，P應(yīng)設(shè)在何處？

問(wèn)題（2）根據(jù)問(wèn)題（1）的結(jié)論，求ba0c的最小值。

有理數(shù)的運(yùn)算

一、閱讀與思考

在小學(xué)里我們已學(xué)會(huì)根據(jù)四則運(yùn)算法則對(duì)整數(shù)和分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)引進(jìn)負(fù)數(shù)概念后，數(shù)集擴(kuò)

大到了有理數(shù)范圍，我們又學(xué)習(xí)了有理數(shù)的計(jì)算，有理數(shù)的計(jì)算與算術(shù)數(shù)的計(jì)