第二章相交線與平行線（5個(gè)類(lèi)型85題）-【?？?jí)狠S題】七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)壓軸題攻略（北師大版）（原卷版）

第二章相交線與平行線壓軸題專(zhuān)練內(nèi)容導(dǎo)航一、與余角（補(bǔ)角）有關(guān)的壓軸題（15題）二、與三角板旋轉(zhuǎn)有關(guān)的壓軸題（15題）三、平行線的性質(zhì)與判定（29題）四、平行線的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題（10題）五、平行線+三角板旋轉(zhuǎn)的綜合問(wèn)題（16題）一、與余角（補(bǔ)角）有關(guān)的壓軸題1．已知：如圖1，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，使，過(guò)點(diǎn)作射線，使．如圖2，繞點(diǎn)以每秒9°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，同時(shí)射線繞點(diǎn)以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得射線，當(dāng)射線落在的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，射線和同時(shí)停止，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，的某一邊平分（指不大于180°的角）．2．直觀想象，邏輯推理已知點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)．(1)如圖，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使，求與的度數(shù)；(2)如圖，射線OC為內(nèi)部任意一條射線，射線OD、OE分別是、的角平分線，求的度數(shù)，并寫(xiě)出簡(jiǎn)要的推理過(guò)程；(3)寫(xiě)出上圖中所有互余的角和互補(bǔ)的角．3．已知直線與相交于點(diǎn)O．（Ⅰ）如圖1，若，平分，則_________．（Ⅱ）如圖2，若，，平分，求的大?。唬á螅┤鐖D3，若，，平分，求的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?．如圖，已知點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，，是的平分線．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，是的平分線，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，是的一條三等分線，若，求的度數(shù)．5．如圖①，將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，．

(1)若，求和的度數(shù)；(2)試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖②，是兩個(gè)同樣的直角三角尺銳角的頂點(diǎn)重合疊放在一起，，若平分，試判斷是否平分，并說(shuō)明理由；并直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系．6．已知：平分，和互為補(bǔ)角．

(1)如圖，求的度數(shù)；(2)如圖，平分，求證：；(3)如圖，在（）的條件下，連接，，，求的度數(shù)．7．如圖1，是直線上的一點(diǎn)，，平分．

(1)若，求的度數(shù)；(2)將圖1中的繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置．①探究和的度數(shù)之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；②在的內(nèi)部有一條射線，內(nèi)部有一條射線，且，試確定與的度數(shù)之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．8．定義：從（）的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部作一條射線，若該射線將分得的兩個(gè)角中有一個(gè)角與互為余角，則稱(chēng)該射線為的“分余線”．(1)如圖1，，，請(qǐng)判斷是否為的“分余線”，并說(shuō)明理由；(2)若平分，且為的“分余線”，則______；(3)如圖2，，在的內(nèi)部作射線，，，使為的平分線，為的“分余線”．當(dāng)為的“分余線”時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．9．點(diǎn)O為直線l上一點(diǎn)，射線均與直線l重合，如圖1所示，過(guò)點(diǎn)O作射線和射線，使得，作的平分線．(1)求與的度數(shù)；(2)作射線，使得，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出圖形，并求出的度數(shù)；(3)如圖3，將射線從圖1位置開(kāi)始，繞點(diǎn)O以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，作的平分線當(dāng)時(shí)，求旋轉(zhuǎn)的時(shí)間．10．如圖，過(guò)點(diǎn)在內(nèi)部作射線．，分別平分和，與互補(bǔ)，．(1)如圖1，若，則______°，______°，______°；(2)如圖2，若平分．①當(dāng)時(shí)，求度數(shù)；②試探索：是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．如圖1，OB、OC是∠AOD內(nèi)部?jī)蓷l射線．(1)若∠AOD和∠BOC互為補(bǔ)角，且∠AOD＝2∠BOC．求∠AOD及∠BOC的度數(shù)；(2)如圖2，若∠AOD＝2∠BOC，在∠AOD的外部分別作∠COD、∠AOB的余角∠DOM及∠AON，請(qǐng)寫(xiě)出∠DOM、∠AON、∠BOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，已知∠AOD＝120°，射線OE平分∠AOD，若將OB繞O點(diǎn)從OA出發(fā)以每秒6°逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，OC繞O點(diǎn)從OD出發(fā)以每秒5°順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，OB、OC同時(shí)運(yùn)動(dòng)；當(dāng)OC運(yùn)動(dòng)一周回到OD時(shí)，OB、OC同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．若運(yùn)動(dòng)t（t＞0）秒后，OE恰好是∠BOC的四等分線，則此時(shí)t的值為（直接寫(xiě)出答案）．12．閱讀下面材料小聰遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，∠AOB＝α，請(qǐng)畫(huà)一個(gè)∠AOC，使∠AOC與∠BOC互補(bǔ)．小聰是這樣思考的：首先通過(guò)分析明確射線OC在∠AOB的外部，畫(huà)出示意圖，如圖2所示：然后通過(guò)構(gòu)造平角找到∠AOC的補(bǔ)角∠COD．如圖3所示：進(jìn)而分析要使∠AOC與∠BOC互補(bǔ)，則需∠BOC＝∠COD．因此，小聰找到了解決問(wèn)題的方法：反向延長(zhǎng)射線OA得到射線OD，利用量角器畫(huà)出∠BOD的平分線OC，這樣就得到了∠BOC與∠AOC互補(bǔ)．(1)根據(jù)小聰?shù)漠?huà)法可知，如圖3，點(diǎn)O在直線AD上，射線OC平分∠BOD．請(qǐng)說(shuō)明∠AOC與∠BOC互補(bǔ)的理由；(2)參考小聰?shù)漠?huà)法，請(qǐng)?jiān)趫D4中畫(huà)出一個(gè)∠AOH，使∠AOH與∠BOH互余（保留畫(huà)圖痕跡）；(3)已知∠EPQ和∠FPQ互余，射線PM平分∠EPQ，射線PN平分∠FPQ，若∠EPQ＝β（45°＜β＜90°），直接寫(xiě)出銳角∠MPN的度數(shù)是．13．已知點(diǎn)A，B，O在一條直線上，以點(diǎn)O為端點(diǎn)在直線AB的同一側(cè)作射線，，使．（1）如圖①，若平分，求的度數(shù)；（2）如圖②，將繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置時(shí)，使得所在射線把分成兩個(gè)角．①若，求的度數(shù)；②若（n為正整數(shù)），直接用含n的代數(shù)式表示．14．已知為直線上一點(diǎn)，射線、、位于直線上方，在的左側(cè)，，．（1）如圖1，，當(dāng)平分時(shí)，求的度數(shù)．（2）如圖2，若，且，求（用表示）．（3）若，點(diǎn)在射線上，若射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），，平分，當(dāng)時(shí)，求的值．15．如圖（1）所示，線段與線段重合，點(diǎn)是它們的中點(diǎn)，保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)）；射線從與射線重合開(kāi)始，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（至多旋轉(zhuǎn)到與射線重合為止）．在此基礎(chǔ)上，我們給出如下定義：比較與的大小，若，則將其中較小角的度數(shù)定義為對(duì)的“迷你角度”；若，則將或的度數(shù)定義為對(duì)的“迷你角度”．

(1)當(dāng)時(shí)，①如圖（2）所示，若，求對(duì)的“迷你角度”是多少度；②若對(duì)的“迷你角度”為，請(qǐng)借助圖（3）和圖（4）進(jìn)行分析，求出的值是多少．(2)若時(shí)，對(duì)的“迷你角度”是，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值，不用說(shuō)明理由．二、與三角板旋轉(zhuǎn)有關(guān)的壓軸題（15題）16．一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，（、），將三角板繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2所示，且，有下列四個(gè)結(jié)論：

①在圖1的情況下，在內(nèi)作，則平分；②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若平分，平分，的角度恒為定值；③在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成的次數(shù)為3次；④的角度恒為．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)17．如圖1，點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，將兩個(gè)含角的三角板和三角板如圖擺放，使三角板的一條直角邊在直線上，其中．(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖2的位置，使得邊在的內(nèi)部且平分，此時(shí)三角板旋轉(zhuǎn)的角度為度；(2)三角板在繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)，若在的內(nèi)部．試探究與之間滿(mǎn)足什么等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，同時(shí)將三角板繞點(diǎn)O以每秒的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，將射線繞點(diǎn)O以每秒的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的射線記為，射線平分，射線平分，當(dāng)射線重合時(shí)，射線改為繞點(diǎn)O以原速按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在第二次相遇前，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)時(shí)間t的值．18．將一副直角三角板如圖1擺放在直線上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不動(dòng)，將三角板繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)直至邊第一次重合在直線上(1)當(dāng)秒時(shí)，平分；(2)①如圖2，旋轉(zhuǎn)三角板，使得、同時(shí)在直線的異側(cè)，則與數(shù)量關(guān)系為；②如圖3，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，使得、同時(shí)在直線的右側(cè)，猜想與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．(3)若在三角板開(kāi)始旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，另一個(gè)三角板也繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至直線上時(shí)同時(shí)停止．請(qǐng)直接寫(xiě)出在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中與的關(guān)系．19．如圖，一副三角板的邊在直線上，直角頂點(diǎn)C、M分別在直線的上方和下方，．(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則；(2)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，使在的內(nèi)部，求的度數(shù)；(3)將圖1中的三角板同時(shí)繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，速度分別為每秒和每秒，當(dāng)三角板第一次旋轉(zhuǎn)到起始位置時(shí)，一副三角板都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)直線恰好平分時(shí)，求t的值．20．點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在O處，射線平分．(1)如圖（1），若，則______；(2)將圖（1）中的直角三角板繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖（2）的位置，一邊在直線上方，另一邊在直線下方．①試探究的結(jié)果是否為定值？若為定值，求出這個(gè)值，若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．21．點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，使，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處．(1)如圖1，將三角板的一邊與射線重合時(shí)，則________；（答案寫(xiě)在右邊一欄答題區(qū)域）(2)如圖2，將三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，此時(shí)是的角平分線，求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)和的度數(shù)；(3)將三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的度數(shù)．22．一副三角板如圖1放置，點(diǎn)A，O，B在直線上，其中，，(1)如圖2，平分，平分，求的度數(shù)；(2)如圖3，若三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，平分，平分，求；(3)若三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），（2）中其它條件不變，請(qǐng)求出的度數(shù)．23．已知是直線上的一點(diǎn)，射線在直線的上方，，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)放在處，且直角三角板在直線的上方．

(1)如圖，若直角三角板的邊在的內(nèi)部，請(qǐng)直接寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系；(2)若恰好平分，求和的度數(shù)；(3)將圖中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，是否存在值，使？若存在，請(qǐng)求出的值，并求出此時(shí)的度數(shù)．24．小明利用三角尺進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)：

如圖，為直線上一點(diǎn)，將一三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，平分．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)如圖②，若平分，求的度數(shù)；(3)當(dāng)時(shí)，繞點(diǎn)以每秒的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)秒，請(qǐng)?zhí)骄亢椭g的數(shù)量關(guān)系．25．如圖1，直線上有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)在直線上方作射線，，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一條直角邊在射線上，另一邊在直線上方，將直角三角板繞著點(diǎn)按每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒．

(1)當(dāng)直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，恰好平分，求此時(shí)的度數(shù)；(2)若射線的位置保持不變，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線、、中的某一條射線是另兩條射線所成夾角的角平分線？若存在，請(qǐng)求出的取值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若在三角板開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線也繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，從旋轉(zhuǎn)開(kāi)始多長(zhǎng)時(shí)間，射線平分．直接寫(xiě)出的值．（本題中的角均為大于且小于的角）26．將一副直角三角板如圖1擺放在直線上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不動(dòng)，將三角板繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)直至邊第一次重合在直線上，整個(gè)過(guò)程時(shí)間記為t秒．

(1)從旋轉(zhuǎn)開(kāi)始至結(jié)束，整個(gè)過(guò)程共持續(xù)了秒；(2)如圖2，旋轉(zhuǎn)三角板，使得、在直線的異側(cè)，請(qǐng)直接寫(xiě)出與數(shù)量關(guān)系；如圖3，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，使得、同時(shí)在直線的右側(cè)，請(qǐng)問(wèn)上面的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？并說(shuō)明理由．(3)若在三角板旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，另一個(gè)三角板也繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊第一次重合在直線上時(shí)兩三角板同時(shí)停止．①試用字母t分別表示與；②在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)平分．27．如圖，O為直線上一點(diǎn)，將一副直角三角尺（分別含和的角）按圖中方式放在點(diǎn)O處，使．將三角尺繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后停止設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)時(shí)，__________；(2)若在三角尺開(kāi)始旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，三角尺也繞點(diǎn)O以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角尺停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，三角尺也停止旋轉(zhuǎn)．①在線段與第一次相遇前，t為何值時(shí)，平分；②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻使．若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．28．現(xiàn)有一副三角尺，將和重合于點(diǎn)放置，且，，．將三角尺繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周（旋轉(zhuǎn)過(guò)程中和均是指小于的角），分別作出、的平分線、(1)將三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖1的位置時(shí)，點(diǎn)在上，直接寫(xiě)出圖1中______度；(2)將三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖2位的置時(shí)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，直接寫(xiě)出圖2中______度(3)將三角尺旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)，若，①______．（用含的代數(shù)式表示）②請(qǐng)求出的度數(shù)．29．以直線上一點(diǎn)O為端點(diǎn)，在直線的上方作射線，使，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)放在O處，即，直角三角板可繞頂點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，直角三角板所有部分始終保持在直線上或上方．(1)如圖1，若直角三角板的一邊在射線上，則______；(2)將直角三角板繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)后，使其一邊在的內(nèi)部，如圖2所示，①若恰好平分，求此時(shí)的度數(shù)；②若，求此時(shí)的度數(shù)；(3)直角三角板在繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，與之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出來(lái)，不必說(shuō)明理由．30．如圖1，某校七年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在課后綜合實(shí)踐活動(dòng)中，把一個(gè)直角三角尺AOB的直角頂點(diǎn)O放在互相垂直的兩條直線、的垂足O處，并使兩條直角邊落在直線、上，將繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．(1)如圖2，若，則______，______；(2)若射線是的角平分線，且．①旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，______．（用含的代數(shù)式表示）②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若，則此時(shí)______．三、平行線的性質(zhì)與判定（30題）31．如圖，，，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，連接，將沿著翻折得，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，若，那么．

32．已知直線，點(diǎn)、分別在、上，如圖所示，射線按順時(shí)針?lè)较蛞悦棵氲乃俣刃D(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；射線按順時(shí)針?lè)较蛎棵胄D(zhuǎn)至停止．此時(shí)射線也停止旋轉(zhuǎn)，若射線先轉(zhuǎn)秒，射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒時(shí)，．

33．如圖1，，點(diǎn)為直線間一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是直線上的點(diǎn)，連接.

(1)【證明推斷】求證：，請(qǐng)完善下面的證明過(guò)程，并在（

）內(nèi)填寫(xiě)依據(jù).證明：過(guò)點(diǎn)P作直線，（已作），（______），又，（已知）______，（______），______.(2)如圖2，若的平分線與的平分線交于點(diǎn).①【類(lèi)比探究】試猜想與之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；②【結(jié)論運(yùn)用】若，求的度數(shù).(3)【拓展認(rèn)知】如圖3，直線，點(diǎn)P，H為直線間的點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，，的數(shù)量關(guān)系：______.34．已知：直線，點(diǎn)A，B在直線a上，點(diǎn)C，D在直線b上，(1)連接，，平分，平分，且，所在直線交于點(diǎn)．①如圖1，若，，則的度數(shù)為；②如圖2，設(shè)，，則的度數(shù)為（用含有α，β的式子表示）．(2)如圖3，平分，平分，，則和的數(shù)量關(guān)系是．(3)如圖4，若，，且平分，平分，猜想的結(jié)果并且證明你的結(jié)論；35．已知：如圖，，直線分別交于點(diǎn)G，H，點(diǎn)P為直線上的點(diǎn)，連接．

(1)如圖1，點(diǎn)P在線段上時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出，，的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接交于點(diǎn)Q，連接，若，求證：；(3)在（2）的條件下，如圖3，平分，平分，與交點(diǎn)K，連接，若，，，求的大?。?6．如圖，，點(diǎn)，，，不在同一條直線上．(1)如圖，求證：(2)如圖，直線，交于點(diǎn)，且，．①試探究與的數(shù)量關(guān)系；②如圖，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，若，，則的度數(shù)為用含的式子表示．37．如圖1，，為、之間一點(diǎn)．(1)若平分，平分．求證：；(2)如圖2，若，，且的延長(zhǎng)線交的角平分線于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交的角平分線于點(diǎn)，猜想的結(jié)果并且證明你的結(jié)論；(3)如圖3，若點(diǎn)是射線之間一動(dòng)點(diǎn)，平分，平分，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，請(qǐng)猜想與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．38．已知．

知識(shí)回顧（1）如圖，點(diǎn)在兩平行線之間，試說(shuō)明：．知識(shí)應(yīng)用（2）如圖，、分別平分、，利用中的結(jié)論，試說(shuō)明：；（3）如圖，直接寫(xiě)出、、、四個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系．知識(shí)拓展（4）如圖，若，，、分別平分、，那么______；只要直接填上正確結(jié)論即可（5）如圖，若、、三個(gè)角的和是，、分別平分、，那么______用含的式子表示39．如圖1，已知兩條直線被直線所截，交點(diǎn)分別為交于點(diǎn)，且，．(1)判斷是否平分，并說(shuō)明理由．(2)如圖2，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），平分交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，若，求的度數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并說(shuō)明理由．40．【問(wèn)題解決】如圖①，，點(diǎn)是，內(nèi)部一點(diǎn)，連接，．若，，求的度數(shù)；嘉琪想到了如圖②所示的方法，請(qǐng)你幫她將完整的求解過(guò)程補(bǔ)充完整；解：過(guò)點(diǎn)作（________________），（已知）（________________）（________）（________________________）又（________________）（________________），（已知）（等量代換）【問(wèn)題遷移】請(qǐng)參考嘉琪的解題思路，解答下面的問(wèn)題：

如圖③，，射線與直線，分別交于點(diǎn)，，射線與直線，分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，連接，，設(shè)，．（1）如圖③，當(dāng)點(diǎn)在，兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），寫(xiě)出，和之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)在，兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），請(qǐng)畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出，和之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系；41．如圖1，，點(diǎn)、分別在、上，點(diǎn)在直線、之間，且．(1)求的值；(2)如圖2，直線分別交、的角平分線于點(diǎn)、，直接寫(xiě)出的值；(3)如圖3，在內(nèi)，；在內(nèi)，，直線分別交、分別于點(diǎn)、，且，直接寫(xiě)出的值．42．如圖，直線，直線與直線，分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），是直線上的一個(gè)定點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作直線，在直線上取一點(diǎn)，使得．

(1)若直線，則的度數(shù)是______；(2)若直線l與a相交于點(diǎn)D，完成以下問(wèn)題：①當(dāng)時(shí)，猜想與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程；②當(dāng)時(shí)，判斷①中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，直接寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系．43．綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，直線直線，直線分別交直線、直線于點(diǎn)H、G，求證：．獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答王老師提出的問(wèn)題．實(shí)踐探究：（2）在原有問(wèn)題條件不變的情況下，王老師提出新問(wèn)題，請(qǐng)你解答．“如圖2，點(diǎn)N在射線上，點(diǎn)M在射線上，點(diǎn)Q在射線上，點(diǎn)P在射線上，連結(jié)，且，探究直線與直線之間的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；”問(wèn)題解決：（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，在（2）的條件下，連接，使平分，，若給出與一定的數(shù)量關(guān)系，則圖3中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的角中，有些角是可以求出來(lái)的，該小組提出下面的問(wèn)題，請(qǐng)你解答．“如圖3，若，求∠PMH的度數(shù)并說(shuō)明理由．”

44．如圖，，點(diǎn)E在上，點(diǎn)G在上．

(1)如圖1，在、上分別取點(diǎn)M、N，連接，點(diǎn)F在上，已知平分，平分，若，，求，的度數(shù)．(2)如圖2，平分，平分，反向延長(zhǎng)交于K，設(shè)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，用含x的代數(shù)式表示．(3)如圖3，已知，，平分，平分，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系_________________45．如圖，直線，點(diǎn)E、F分別在上，點(diǎn)M為兩平行線內(nèi)部一點(diǎn)．

(1)如圖1，探究的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，若和的角平分線交于點(diǎn)N，且，直接利用（1）中的結(jié)論，求的度數(shù)；(3)如圖3，點(diǎn)G為直線CD上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)Q，在線段上取一點(diǎn)P，連接，使，在射線取一點(diǎn)H，連接，使，設(shè)，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．46．如圖1，直線，直線分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)在線段上（不在端點(diǎn)處），點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，連接．

(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，若，則的度數(shù)為_(kāi)________；(2)如圖2，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)為直線與之間區(qū)域的一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（不與端點(diǎn)重合），連．若，求的度數(shù)；(3)如圖3，于點(diǎn)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)（不與重合），與的角平分線所在直線交于點(diǎn)與的角平分線所在直線交于點(diǎn)與的角平分線交于點(diǎn)，直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系．47．已知，點(diǎn)為平面內(nèi)的一點(diǎn)，，垂足為．(1)問(wèn)題呈現(xiàn)如圖1，，則；(2)問(wèn)題遷移如圖2，點(diǎn)在的上方，請(qǐng)?zhí)骄?，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)聯(lián)想拓展如圖3，在（2）的條件下，已知，，請(qǐng)求出的度數(shù)．

48．已知：，EG平分．

(1)如圖1，，，，試判斷EF與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，，，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為_(kāi)__________；(3)如圖2，試寫(xiě)出、、之間滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，，并說(shuō)明理由．49．已知，李想同學(xué)將放置在這兩條平行線上展開(kāi)探究，其中三邊與兩條平行線分別交于點(diǎn)、、、．(1)【特例探究】如圖1，．①______度；②若與的角平分線相交于點(diǎn)，則______度；(2)【一般探索】如圖2，，．①若，，求與的關(guān)系；②若，（且為整數(shù)），直接寫(xiě)出與的關(guān)系；(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，與的角平分線相交于點(diǎn)，與的角平分線相交于點(diǎn)，與的角平分線相交于點(diǎn)；……，以此類(lèi)推，則的值是多少？（直接寫(xiě)出結(jié)果）50．如圖1，已知直線，線段在直線a上運(yùn)動(dòng)，C為直線b上一定點(diǎn)，D為直線a，b之間一定點(diǎn)，E為直線b上C點(diǎn)右側(cè)一點(diǎn)．（本題中的角均為小于的角）

(1)當(dāng)線段運(yùn)動(dòng)到圖2位置時(shí)，若與互余，求的度數(shù)；(2)在線段在直線a上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出，和之間的數(shù)量關(guān)系；(3)當(dāng)線段運(yùn)動(dòng)到如圖3所示的位置時(shí)，的平分線交直線a于點(diǎn)F，G為直線a上點(diǎn)A左側(cè)一點(diǎn)，且，求證：．51．課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．(1)閱讀理解：如圖，已知點(diǎn)是外一點(diǎn)，連接、，求的度數(shù)．閱讀并補(bǔ)充下面推理過(guò)程．

解：過(guò)點(diǎn)作，所以，，又因?yàn)椋裕?/p>

解題反思：從上面的推理過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將、、“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問(wèn)題得以解決．(2)方法運(yùn)用：如圖1，已知，求的度數(shù)；(3)深化拓展：已知直線，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接、．①如圖2，已知，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)；②如圖3，請(qǐng)判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

52．如圖，直線中的邊與直線m相交于D、E兩點(diǎn)，邊與直線n交于F、G兩點(diǎn)．(1)將如圖1位置擺放，如果，則______；(2)將如圖2位置擺放，H為上一點(diǎn)，，請(qǐng)寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)將如圖3位置擺放，若，延長(zhǎng)交直線n于點(diǎn)K，點(diǎn)P是射線上一動(dòng)點(diǎn)，探究與的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論（題中的所有角都大于0°小于180°）．53．“一帶一路”讓中國(guó)和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見(jiàn)在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖1所示燈A射線從開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射線從開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．

(1)填空：______°；(2)若燈射線先轉(zhuǎn)動(dòng)45秒，燈射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線到達(dá)之前，燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？(3)如圖2，若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線到達(dá)之前若射出的光束交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，且，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)求出與的數(shù)量關(guān)系．54．(1)如圖1，將一副直角三角板按照如圖所示的方式放置，其中點(diǎn)，，，在同一條直線上，兩條直角邊所在的直線分別為，，，，與相交于點(diǎn)，則的度數(shù)是______．(2)將圖1中的三角板和三角板分別繞點(diǎn)，按各自的方向旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，其中平分，求的度數(shù)．(3)將圖1位置的三角板繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，速度為每秒15°，三角板不動(dòng)，在此過(guò)程中，經(jīng)過(guò)______秒邊與邊互相平行．

55．“一帶一路”讓中國(guó)和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見(jiàn)，在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈，如圖，燈A射線自開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，且、滿(mǎn)足，假定主道路是平行的，即，且．

(1)求和的值，并求的度數(shù)．(2)若燈先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈到達(dá)之前，燈A轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束第一次互相平行？(3)如圖，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A到達(dá)之前，若射出的光束交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．56．如圖，，、分別為直線、上兩點(diǎn)，且，若射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至后立即回轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點(diǎn)、點(diǎn)不停地旋轉(zhuǎn)，若射線轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是秒，射線轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是秒，且、滿(mǎn)足．（友情提醒：鐘表指針走動(dòng)的方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍?1)，；(2)若射線、射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，問(wèn)至少旋轉(zhuǎn)多少秒時(shí)，射線、射線互相垂直．(3)若射線繞點(diǎn)順時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)18秒，射線才開(kāi)始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在射線到達(dá)之前，問(wèn)射線再轉(zhuǎn)動(dòng)多少秒時(shí)，射線、射線互相平行？57．如圖①，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別在直線和直線上，，，射線從射線的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)A以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線從射線的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)B以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線旋轉(zhuǎn)到的位置時(shí)，兩者停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒．

(1)______；(2)在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線與射線所在直線的夾角為，若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，若射線與射線交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H做交直線于點(diǎn)K，的值是否會(huì)發(fā)生改變？如果不變，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．58．長(zhǎng)江汛期即將來(lái)臨，為了便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈（如圖），假定這一帶長(zhǎng)江兩岸河堤是平行的，即，連結(jié)，且．燈射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視，若燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是度秒，燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是度秒．

(1)若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線第一次轉(zhuǎn)到之前，兩燈射出的光線交于點(diǎn)．①如圖，當(dāng)兩燈光線同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)秒時(shí)，求的度數(shù)．②如圖，當(dāng)兩燈光線同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)秒時(shí)，過(guò)作交于點(diǎn)，求與的比值．(2)若燈射線先轉(zhuǎn)動(dòng)秒，燈射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線第一次轉(zhuǎn)到之前，燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光線互相平行？59．已知，，直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，過(guò)作射線、分別交直線、于點(diǎn)、．(1)如圖，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)如圖，若和的角平分線交于點(diǎn)，求和的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖，在（）的基礎(chǔ)上，當(dāng)，且，時(shí)，射線繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)射線與的一邊互相平行時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．四、平行線的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題（10題）60．如圖，直線上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線、．，與在直線異側(cè)．若，射線、分別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和6度/秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t秒，在射線轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，當(dāng)時(shí)間t的值為（

）時(shí)，與平行．（

）A．4秒 B．10秒 C．40秒 D．4或40秒61．如圖，在科學(xué)《光的反射》活動(dòng)課中，小麥同學(xué)將支架平面鏡放置在水平桌面MN上，鏡面AB的調(diào)節(jié)角的調(diào)節(jié)范圍為12°~69°，激光筆發(fā)出的光束DG射到平面鏡上，若激光筆與水平天花板（直線EF）的夾角，則反射光束GH與天花板所形成的角不可能取到的度數(shù)為（

）A．129° B．72° C．51° D．18°62．某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖1所示，燈A射線從開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且．(1)填空：；(2)如圖2，①若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)，燈A射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，燈A射線與交于點(diǎn)，燈B射線與交于點(diǎn)，在燈A射線到達(dá)之前，設(shè)燈A轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，則，；（用含t的式子表示）②若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)，燈A射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，燈A射線與交于點(diǎn)，燈B射線與交于點(diǎn)，在燈B射線到達(dá)之前，設(shè)燈A轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，當(dāng)，求t的值．(3)如圖3，若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)之前．若射出的光束交于點(diǎn)C，過(guò)C作交于點(diǎn)D，且，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．63．鎮(zhèn)江市旅游局為了亮化某景點(diǎn)，在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、QP上分別放置A、B兩盞激光燈，如圖所示．A燈發(fā)出的光束自AM逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)；B燈發(fā)出的光束自BP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12°，B燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)4°．B燈先轉(zhuǎn)動(dòng)12秒，A燈才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)．當(dāng)B燈光束第一次到達(dá)BQ之前，兩燈的光束互相平行時(shí)A燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是．64．如圖為一臺(tái)燈示意圖，其中燈頭連接桿始終和桌面平行，燈腳始終和桌面垂直，

(1)當(dāng)時(shí)，求．(2)連桿、可以繞著、和進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，燈頭始終在左側(cè)，設(shè)，，的度數(shù)分別為，，，請(qǐng)求出，，之間的數(shù)量關(guān)系．65．如圖1是一盞可調(diào)節(jié)臺(tái)燈，圖2，圖3為示意圖．固定底座于點(diǎn)O，與是分別可繞點(diǎn)A和B旋轉(zhuǎn)的調(diào)節(jié)桿．在調(diào)節(jié)過(guò)程中，燈體始終保持平行于，臺(tái)燈最外側(cè)光線組成的始終保持不變．如圖2，調(diào)節(jié)臺(tái)燈使光線，此時(shí)，且的延長(zhǎng)線恰好是的角平分線，則．如圖3，調(diào)節(jié)臺(tái)燈使光線垂直于點(diǎn)B，此時(shí)，則．66．如圖1，一塊直尺和一塊含30°的直角三角板如圖放置，其中直尺和直角三角板的斜邊平行，我們可以抽象出如圖2的數(shù)學(xué)模型：，，，分別交、于點(diǎn)E、F、的角平分線交于點(diǎn)D，H為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），連接交于點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求．(2)在線段上任意移動(dòng)時(shí)，求，，之間的關(guān)系．(3)在（1）的條件下，將繞著點(diǎn)以每秒5°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)?shù)钠渲幸贿吪c的某一邊平行時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)的值．67．甲同學(xué)在學(xué)完《相交線與平行線》后，想通過(guò)折鐵絲的方式進(jìn)一步探索相交線與平行線的知識(shí)，他的具體操作步驟如下：第一步：將一根鐵絲在，，處彎折得到如下圖①的形狀，其中，．第二步：將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一定角度，再將繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定角度并在上某點(diǎn)處彎折，得到如下圖②的形狀．第三步：再拿出另外一根鐵絲彎折成，跟前面彎折的鐵絲疊放成如下圖③的形狀．請(qǐng)根據(jù)上面的操作步驟，解答下列問(wèn)題：(1)如圖①，若，求；(2)如圖②，若，請(qǐng)判斷，，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)在（2）的條件下，如圖③，若，，設(shè)，，求．（用含，的式子表示）68．【學(xué)習(xí)新知】：射到平面鏡上的光線（入射光線）和反射后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，是平面鏡，若入射光線與水平鏡面夾角為，反射光線與水平鏡面夾角為，則．（1）【初步應(yīng)用】：生活中我們可以運(yùn)用“激光”和兩塊相交的平面鏡進(jìn)行測(cè)距．如圖2當(dāng)一束“激光”射入到平面鏡上、被平面鏡反射到平面鏡上，又被平面鏡反射后得到反射光線．回答下列問(wèn)題：①當(dāng)，（即）時(shí)，求的度數(shù)．②當(dāng)時(shí)，任何射入平面鏡上的光線經(jīng)過(guò)平面鏡和的兩次反射后，入射光線與反射光線總是平行的．請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)過(guò)的知識(shí)及新知說(shuō)明．（提示：三角形的內(nèi)角和等于）（2）【拓展探究】：如圖3，有三塊平面鏡，，，入射光線經(jīng)過(guò)三次反射，得到反射光線，已知，，若要使，求的度數(shù)．69．光線反射是一種常見(jiàn)的物理現(xiàn)象，在生活中有廣泛地應(yīng)用．例如提詞器可以幫助演講者在看演講詞的同時(shí)也能面對(duì)攝像機(jī)，自行車(chē)尾部的反光鏡等就是應(yīng)用了光的反射原理．（1）提詞器的原理如圖①，AB表示平面鏡，CP表示入射光線，PD表示反射光線，∠CPD＝90°，求∠APC的度數(shù)；（2）自行車(chē)尾部的反光鏡在車(chē)燈照射下，能把光線按原來(lái)的方向返回（如圖②），a表示入射光線，b表示反射光線，a∥b．平面鏡AB與BC的夾角∠ABC＝，求．（3）如圖③，若＝108°，設(shè)平面鏡CD與BC的夾角∠BCD＝（90°＜＜180°），入射光線a與平面鏡AB的夾角為x（0°＜x＜90°），已知入射光線a從平面鏡AB開(kāi)始反射，經(jīng)過(guò)2或3次反射，當(dāng)反射光線b與入射光線a平行時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．（可用含x的代數(shù)式表示）．70．（1）光線從空氣中射入水中會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時(shí)光線從水中射入空氣中也會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖1，光線a從空氣中射入水中，再?gòu)乃猩淙肟諝庵校纬晒饩€b，根據(jù)光學(xué)知識(shí)有，請(qǐng)判斷光線a與光線b是否平行，并說(shuō)明理由．（2）光線照射到鏡面會(huì)產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識(shí)，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，如圖2有一口井，已知入射光線與水平線的夾角為，問(wèn)如何放置平面鏡，可使反射光線b正好垂直照射到井底?（即求與水平線的夾角）（3）如圖3，直線上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線、．，，射線、分別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和3度/秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t，在射線轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，是否存在某時(shí)刻，使得與平行？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的時(shí)間t．五、平行線+三角板旋轉(zhuǎn)的綜合問(wèn)題（15題）71．如圖，直線，一副三角板按如圖1擺放，其中，，．保持三角板不動(dòng)，現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，且，則經(jīng)過(guò)秒邊與三角板的一條直角邊（邊，）平行．

72．如圖1，直線上有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)在直線上方作射線，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在處，，，一條直角邊在射線上，另一邊在直線上方，將直角三角板繞著點(diǎn)按每秒10°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，且．(1)若射線的位置保持不變，則當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間______秒時(shí)，邊所在直線與平行；(2)如圖2，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，若射線的位置保持不變，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線，與中的某一條射線是另兩條射線所成夾角的平分線？若存在，求出所有滿(mǎn)足題意的的取值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；73．將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)按如圖所示的方式疊放在一起（其中，，；）．

(1)若，則的度數(shù)為_(kāi)_________；(2)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)當(dāng)且點(diǎn)在直線的上方時(shí)，這兩塊三角尺是否存在一組邊互相平行？若存在，請(qǐng)畫(huà)出相應(yīng)的圖形并直接寫(xiě)出角度所有可能的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．74．如圖，直線，一副三角板（，，，）按如圖①放置，其中點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)B，C均在直線上，且平分．

(1)求的度數(shù)；(2)如圖②，若將繞B點(diǎn)以每秒的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為F，G）．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒；①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若邊，求t的值；②若在繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，繞E點(diǎn)以每秒的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為K、T），請(qǐng)直接寫(xiě)出與平行時(shí)t的值．75．在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們用一個(gè)含有角的直角三角板和兩條平行線展開(kāi)探究．如圖，在中，，，．

(1)如圖1，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上方，點(diǎn)在下方，與交于點(diǎn)，作的角平分線并反向延長(zhǎng)與的角平分線交于點(diǎn)，求的度數(shù)；(3)如圖3，點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線，之間（不含在，上），點(diǎn)在下方，，分別與交于點(diǎn)，．設(shè)，是否存在正整數(shù)和，使得．若存在，請(qǐng)求出和的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．76．如圖，將一副三角板中的兩塊直角三角板如圖1放置，，，，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)，，三點(diǎn)共線．(1)固定的位置不變，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至與首次平行，如圖2所示，此時(shí)的度數(shù)是_________．(2)若直線，固定的位置不變，將圖1中的沿方向平移，使得點(diǎn)正好落在直線上，再將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行旋轉(zhuǎn)，如圖3所示．①若邊與邊交于點(diǎn)，試判斷的值是否為定值，若是定值，則求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．②固定的位置不變，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛞悦棵氲乃俣冗M(jìn)行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)與直線首次重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)經(jīng)過(guò)秒時(shí)，線段與的一條邊平行，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的的值．77．問(wèn)題情境：在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們以“兩條平行直線，和一塊含的直角三角板（，，，）”為背景，開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．問(wèn)題探究：(1)如圖1，將直角三角板的邊放置于直線上，則________，________．(2)把