第四章 三角形壓軸題（8個(gè)類型72題）-【?？?jí)狠S題】七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略（北師大版）（解析版）

第四章三角形壓軸題內(nèi)容導(dǎo)航一、全等三角形判定方法的應(yīng)用類型一、用SSS證明三角形全等類型二、用SAS證明三角形全等類型三、用ASA和AAS證明三角形全等二、幾何模型類型一、倍長中線模型類型二、一線三垂直模型類型三、旋轉(zhuǎn)模型類型四、三條線段數(shù)量關(guān)系的證明三、與作圖有關(guān)的幾何問題四、全等三角形的綜合問題一、全等三角形判定方法的應(yīng)用類型一、用SSS證明三角形全等1．如圖，已知，，那么判定的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查全等三角形的判定．根據(jù)，證明三角形全等即可．【詳解】解：∵，∴，在和中，，∴；故選C．2．如圖，△ABC中，AB=BC=5，AC=8，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，連接BD，則BD的長度為.【答案】【詳解】連接AD，延長DB交AC于點(diǎn)F.∵AC＝CD,∠ACD＝60°,∴△ACD是等邊三角形，∴AD＝CD.在△ADF和△CDF中∵AD=CD,AB=BC,BD=BD,∴△ADF≌△CDF,∴∠ADF＝∠CDF,∴DF⊥AC,.,.由勾股定理得..3．農(nóng)科所有一塊五邊形的試驗(yàn)田如圖所示,已知在五邊形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=20m,求這塊試驗(yàn)田的面積.【答案】400m2.【詳解】試題分析：可延長DE至F，使EF=BC，可得△ABC≌△AEF，連AC，AD，AF，可將五邊形ABCDE的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)△ADF的面積，進(jìn)而求出結(jié)論．試題解析：如圖,延長DE至點(diǎn)F,使EF=BC,連接AC,AD,AF.易得CD=FD.因?yàn)樗浴鰽BC≌△AEF(SAS).所以AC=AF.在△ACD與△AFD中,因?yàn)樗浴鰽CD≌△AFD(SSS).所以五邊形ABCDE的面積是2S△ADF=2×·DF·AE=2××20×20=400(m2).4．小明和小亮在學(xué)習(xí)探索三角形全等時(shí)，碰到如下一題：如圖1，若AC=AD，BC=BD，則△ACB與△ADB有怎樣的關(guān)系？（1）請你幫他們解答，并說明理由．（2）細(xì)心的小明在解答的過程中，發(fā)現(xiàn)如果在AB上任取一點(diǎn)E，連接CE、DE，則有CE=DE，你知道為什么嗎？（如圖2）（3）小亮在小明說出理由后，提出如果在AB的延長線上任取一點(diǎn)P，也有第2題類似的結(jié)論．請你幫他畫出圖形，并證明結(jié)論．【答案】（1），理由見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理證得；（2）由（1）中的全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等證得，則由全等三角形的判定定理證得，則對(duì)應(yīng)邊；（3）同（2），利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得結(jié)論．【詳解】解：（1），理由如下：如圖1，在與中，，；（2）如圖2，由（1）知，，則．在與中，，，；（3）如圖3，．理由同（2），，則．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．5．【問題背景】如圖1，在四邊形中，，分別是上的點(diǎn)，且，試探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小亮同學(xué)認(rèn)為：如圖1，延長到點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論______；【探索延伸】如圖2，在四邊形中，分別是上的點(diǎn)，，上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由．【結(jié)論運(yùn)用】如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)1.5小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)處，且兩艦艇之間的夾角為，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．【靈活變通】如圖4，已知在四邊形中，，若點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在的延長線上，仍然滿足【初步探索】中的結(jié)論，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．

圖1

圖2

圖3

圖4【答案】【初步探索】；【探索延伸】仍成立，理由見析；【結(jié)論運(yùn)用】210海里；【靈活變通】，理由見解答過程．【分析】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形．解題時(shí)注意：同角的補(bǔ)角相等．〖初步探索〗延長到，使，連接，先證明，再證明，則可得到結(jié)論；〖探索延伸〗延長到，使，連接，證明，再證明，則結(jié)論可求；〖結(jié)論運(yùn)用〗連接，延長、交于點(diǎn)，利用已知條件得到：四邊形中：，且，符合“探索延伸”具備的條件，則．〖靈活變通〗在延長線上取一點(diǎn)，使得，連接，先判定，再判定，得出，最后根據(jù)，推導(dǎo)得到，即可得出結(jié)論．【詳解】解：〖初步探索〗如圖1，延長到點(diǎn)，使，連接，在和中，，，，，∵，∴，即，∵，∴，在和中，，，，，；〖探索延伸〗仍成立，理由如下：如圖2，延長到點(diǎn)，使，連接，，，，在和中，，，，，，，．，，．在和中，，，，，；〖結(jié)論運(yùn)用〗連接，延長、交于點(diǎn)，如圖3，，，，，，在四邊形中：，且，四邊形符合探索延伸中的條件，結(jié)論成立，即（海里），答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里．〖靈活變通〗結(jié)論：．理由：如圖4，在延長線上取一點(diǎn)，使得，連接，，，，即在和中，，，，，∵點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在的延長線上，仍然滿足【初步探索】中的結(jié)論，即，∴在和中，，，，，，，即，．類型二、用SAS證明三角形全等6．如圖，已知，，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，，上兩點(diǎn)，，．下面能表示最小值的線段是（

）A．線段 B．線段 C．線段 D．線段【答案】B【分析】連接，根據(jù)，，，，證明，結(jié)合，證明，得到，根據(jù)，得到的最小值為的長．本題主要考查了全等三角形，線段和的最小值．熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，連接，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴的最小值為的長．故選：B．7．如圖，在中，，點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD，BE．以下結(jié)論，①；②；③；④；⑤．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．由條件證明可判定①⑤；由得，由等腰直角三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到即可判定②；由就可以得出，就可以得出可判斷②；先說明由條件知，再結(jié)合即可判定③；利用周角減去兩個(gè)直角可判定④．【詳解】解：∵，∴，即：，在和中，,∴，∴，,即①⑤正確；∵為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，即②正確；③∵，∴，∴，∴，即，則③正確；∵，∴，即④正確；故選D．8．如圖，分別是四邊形的邊上的點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，以下結(jié)論正確的有（

）①的周長為4；②；③；④

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】先說明四邊形是正方形，再將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，在上取一點(diǎn)F，使，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及證明≌，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷①②；再證明≌，可得，，，然后說明≌，得出，，可知是直角三角形，進(jìn)而說明③；最后根據(jù)全等三角形的面積相等判斷④即可．【詳解】∵，，∴四邊形是正方形，∴，．將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，在上取一點(diǎn)F，使．

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，．∵，，∴，∴，即．∵，，∴≌，∴，∴的周長．所以①②正確；∵，，，∴≌，∴．∵，，，∴≌，∴，．∵，，∴，∴，∴．在中，，即．所以③正確；∵≌，≌，∴，∴．所以④不正確．正確的有①②③．故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．9．某校八年級(jí)（1）班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了試驗(yàn)探究活動(dòng)，請你和他們一起活動(dòng)吧．【探究與發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1，是的中線，延長至點(diǎn)E，使，連接，寫出圖中全等的兩個(gè)三角形：__________；【理解與運(yùn)用】(2)如圖2，是的中線，若，，設(shè)，求的取值范圍；(3)如圖3，是的中線，，點(diǎn)Q在的延長線上，，求證：．

【答案】(1)≌(2)(3)證明見解析【分析】（1）≌，根據(jù)全等三角形的判定即可得到．（2）根據(jù)（1）中的輔助線作法，延長至點(diǎn)Q，使，再證明≌，得到，再在中，利用三邊關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．（3）根據(jù)（1）中輔助線作法，延長至點(diǎn)M，使，證明≌，得到，，再證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】（1）是的中線，,在和中，，≌．（2）如圖2，延長至點(diǎn)Q，使，連接，

是的中線，在和中，，≌,，，在中，即，∴．（3）如圖3，延長至點(diǎn)M，使，連接，

∴，∵是的中線，∴，在和中，，∴≌，∴，，∵，，，∴，在和中，，∴≌，∴.【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的證明，三角形全等的證明方法以及倍長中線的輔助線作法是本題關(guān)鍵，準(zhǔn)確的作出輔助線是本題難點(diǎn)．10．（問題情境）（1）如圖1，在四邊形中，，，．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是和上的點(diǎn)，且，試探究線段，，之間的關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的方法是：延長到G，使，連接．先證明，再證明，進(jìn)而得出．你認(rèn)為他的做法；（填“正確”或“錯(cuò)誤”）．（探索延伸）（2）如圖2，在四邊形中，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是和上的點(diǎn)，且，上題中的結(jié)論依然成立嗎？請說明理由．（思維提升）（3）小明通過對(duì)前面兩題的認(rèn)真思考后得出：如圖3，在四邊形中，若，，，那么．你認(rèn)為正確嗎？請說明理由．【答案】（1）正確；（2）成立，理由見解析；（3）正確，理由見解析．【分析】（1）延長到點(diǎn)，使，連接，先證明，可得，再證明，可得，進(jìn)而得出，即可解題；（2）證明方法同（1）：延長到點(diǎn)，使，連接，先證明，可得，再證明，可得，進(jìn)而得出即可解題；（3）證明方法同（2）：延長到點(diǎn)，使，連接，先證明，可得，再證明，可得，進(jìn)而得出即可解題．【詳解】（1）解：如圖1，延長到點(diǎn)，使，連接，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，故答案為：正確；（2）解：上題中的結(jié)論依然成立；如圖2，延長到點(diǎn)，使，連接，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，在和中，

，∴，∴，∵，∴；（3）解：正確，如圖3，延長到點(diǎn)，使，連接，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，正確做輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．11．如圖1，在四邊形ABCD中，BA=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，連接對(duì)角線BD．（1）將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接AE．①依題意補(bǔ)全圖1；②試判斷AE與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）在（1）的條件下，直接寫出線段DA、DB和DC之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖2，F(xiàn)是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且滿足∠AFC=150°，連接FA和FC，探究線段FA、FB和FC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）①圖形見解析②AE=BD（2）判斷：（3）判斷，證明見解析【詳解】試題分析：（1）①根據(jù)題意畫圖即可；②連接AC，證明△BCD≌△ACE即可；（2）連接DE，可證三角形ADE為直角三角形，由勾股定理即可得出結(jié)論；（3）將線段CF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接EF、EA，證明△BCD≌△ACE和直角三角形AEF，結(jié)合勾股定理即可證明.試題解析：（1）①補(bǔ)全圖形,如圖1②判斷:AE=BD證明：如圖2，連接AC，∵BA=BC，且∠ABC=60°

∴△ABC是等邊三角形∴∠ACB=60°，且CA=CB∵將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE

∴CD=CE，且∠DCE=60°∴∠BCD=∠ACE∴△BCD≌△ACE（SAS）

∴AE=BD（2）判斷：（3）判斷：證明：如圖3,連接AC，∵BA=BC，且∠ABC=60°∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，且CA=CB將線段CF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接EF、EA∴CE=CF，且∠FCE=60°，∴△CEF是等邊三角形∴∠CFE=60°，且FE=FC，∴∠BCF=∠ACE∴△BCF≌△ACE（SAS），∴AE=BF

∵∠AFC=150°,∠CFE=60°，∴∠AFE=90°

在Rt△AEF中，有：∴.12．如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別在邊上，連接交于點(diǎn)F，．

(1)說明：；(2)若平分，，求的面積；(3)判斷之間的數(shù)量關(guān)系，并加以說明．【答案】(1)見解析(2)45(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)，即可證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，求出，得出，證明，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形面積公式求出；（3）在上截取，連接，證明，得出，，證明，得出，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，又∵，∴，∴；（2）解：過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，如圖所示：

∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵平分，，∴，∴；（3）解：；理由如下：在上截取，連接，如圖所示：

在和中，，∴，∴，∴，根據(jù)解析（2）可知，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．為了進(jìn)一步探究三角形中線的作用，數(shù)學(xué)興趣小組合作交流時(shí)，小紅在組內(nèi)做了如下嘗試：如圖①，在中，是邊上的中線，延長到，使，連接．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①，與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；【初步應(yīng)用】（2）如圖②，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍；【探究提升】（3）如圖③，是的中線，過點(diǎn)分別向外作、，使得，，延長交于點(diǎn)，判斷線段與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請說明理由．

【答案】（1），，（2）；（3），，理由見解析【分析】（1）證，得，，再由平行線的判定即可得出；（2）延長到，使，連接，由（1）可知，，得，再由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）延長到，使得，連接，由（1）可知，，得，再證，得，，則，然后由三角形的外角性質(zhì)證出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）是的中線，，在和中，，，，，，（2）如圖2，延長到，使，連接，由（1）可知，，，在中，，，即，，即邊上的中線的取值范圍為；（3），，理由如下：如圖3，延長到，使得，連接，

由（1）可知，，，，，由（2）可知，，，、，，，，在和中，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、倍長中線法、三角形的三邊關(guān)系、平行線的判定與性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，添加輔助線．14．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，，．

(1)如圖①，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)的坐標(biāo)______；(2)在（1）的條件下，若軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，，連接并延長，交于點(diǎn)，求的長；(3)如圖②，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在的延長線上，過點(diǎn)（，）作軸于點(diǎn)，連接，寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)(2)2(3)，證明見解析【分析】（1）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，證明，得到，，再根據(jù)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得出，，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由（1）可知，從而得到，再證明，即可求出的長；（3）在上取一點(diǎn)，使得，連接并延長交延長線于點(diǎn)，證明，得到，，再利用直角和三角形內(nèi)角和定理，得到，證明，得到，即可得到線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，【詳解】（1）解：如圖①，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，故答案為；；

（2）解：，，，由（1）可知，，，在和中，，，；（3）解：，證明如下：如圖②，在上取一點(diǎn)，使得，連接并延長交延長線于點(diǎn)，，，軸，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的特征，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．15．如圖，在中，是邊上的高，是邊上的高，相交于點(diǎn)，且．

(1)求證：．(2)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以每秒4個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒①點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），當(dāng)時(shí)，__________（用含的代數(shù)式表示）；設(shè)，則__________（用含的代數(shù)式表示）②點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)且．是否存在值，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形全等？若存在，請求出符合條件的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)①；；②或時(shí)，使以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形全等【分析】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，線段的和差；（1）由，可得，通過即可證明；（2）①根據(jù)題列出代數(shù)式即可得出，根據(jù)等角的余角相等即可證明；②分兩種情形：如圖2，當(dāng)時(shí)；如圖3，當(dāng)時(shí)，分別進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】（1）證明：是邊上的高，是邊上的高，，，，在和中，，；（2）①解：依題意，，∵是邊上的高，是邊上的高，，，，，，，故答案為：；．②解：存在，如圖2，當(dāng)時(shí)，在和中，，，，，；如圖3，當(dāng)時(shí)，在和中，，，，，，綜上所述：或時(shí)，使以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形全等．類型三、用ASA和AAS證明三角形全等16．如圖，在四邊形中，平分，，，，則面積的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，分別延長與交于點(diǎn)，作交延長線于點(diǎn)，可證明，得到，求面積最大值轉(zhuǎn)化成求線段的最大值即可，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形．【詳解】分別延長與交于點(diǎn)，作交延長線于點(diǎn)，

∵平分，，∴，，又∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴當(dāng)點(diǎn)重合時(shí)，最大，最大值為，∴，故選：．17．如圖，在中，為邊上的點(diǎn)，且，連接，過作，并截取，連接交于，則下列結(jié)論：①；②為的中點(diǎn)；③；④；其中正確的結(jié)論共有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由余角的性質(zhì)可得，故①正確；由“”可證，可得，由“”可證，可得，故②正確；由角的數(shù)量關(guān)系可得，故③正確；由全等三角形的性質(zhì)可得，可得，故④錯(cuò)誤，即可求解．【詳解】解：∵，故①正確；如圖，過點(diǎn)作于，

又點(diǎn)F是的中點(diǎn)，故②正確；故③正確；故④錯(cuò)誤；故正確的有①②③三個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在中，是的中線，延長點(diǎn)，使，．

(1)求證：；(2)如圖，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，試探究的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明解析；(2)，理由見解析．【分析】()延長至點(diǎn)，使，可證，由全等三角形的性質(zhì)從而得出，根據(jù)題目已知，可證，由全等三角形的性質(zhì)從而得出，等量代換即可得出答案；()如圖所示，作，可證，由全等三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)角相等角從而得出，進(jìn)而得出，故可證，得到，等量轉(zhuǎn)化即可求得；本題考查了全等三角形的綜合應(yīng)用，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）如圖所示，延長至點(diǎn)，使，

在與中，，∴，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵平分，，，∴，，∴，作，如圖，

在與中，，∴，∴，∵，，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴，∵，∴．19．（1）如圖1，，E是的中點(diǎn)，平分，求證：平分．（2）如圖2，，和的平分線并于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作，分別交于B、D，請猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論，不要求證明．（3）如圖3，，和的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作不垂直于的線段，分別交于B、D點(diǎn)，且B、D兩點(diǎn)都在的同側(cè)，（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）；（3）成立，理由見解析【分析】（1）過E作于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，從而求出，然后根據(jù)角平分線的判定證明即可；（2）過E作于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，由角平分線的性質(zhì)得到，證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到A，同理，等量代換得到結(jié)論；（3）成立，在上截取，根據(jù)角平分線定義得到，推出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，求得，證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1，過E作于F，∵，平分，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴平分；（2）如圖2，過E作于F，∵，∴，∵平分，∴，在與中，，∴，∴A，同理，∵，∴；（3）成立，如圖3，在上截取，∵平分，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．20．如圖，∠MAN是一個(gè)鈍角，AB平分∠MAN，點(diǎn)C在射線AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足為D．(1)求證：；(2)動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，其中點(diǎn)Q以每秒3個(gè)單位長度的速度沿射線AN方向勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動(dòng)．已知AC＝5，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若點(diǎn)Q在線段AC上，且，求此時(shí)t的值；②如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在直線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在射線AN上運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得APB與BQC全等？若存在，請求出t的值；若不存在，請說出理由．【答案】(1)見解析(2)①；②存在，或【分析】（1）①先證Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），推出∠BAC＝∠BCA．再由角平分線的定義得∠BAM＝∠BAC，等量代換即可證明；（2）①作BH⊥AM，垂足為M．先證△AHB≌△ADB（AAS），推出BH＝BD，再由S△ABP＝S△BQC，推出，結(jié)合P，Q運(yùn)動(dòng)方向及速度即可求解；②分“點(diǎn)P沿射線AM方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段AC上”，以及“點(diǎn)P沿射線AM反向延長線方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段AC延長線上”兩種情況討論，利用三角形全等得出AP與CQ的關(guān)系即可求解．【詳解】（1）證明：∵BD⊥AC，∴，在Rt△BDA和Rt△BDC中，∴Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），∴∠BAC＝∠BCA．∵AB平分∠MAN，∴∠BAM＝∠BAC，∴∠BAM＝∠BCA．（2）解：①如下圖所示，作BH⊥AM，垂足為M．∵BH⊥AM，BD⊥AC，∴∠AHB＝∠ADB＝90°，在△AHB和△ADB中，∴△AHB≌△ADB（AAS），∴BH＝BD，∵S△ABP＝S△BQC，∴，∴，∴，∴．②存在，理由如下：當(dāng)點(diǎn)P沿射線AM方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段AC上時(shí)，如下圖所示，∵AB＝BC，又由（1）得∠BAM＝∠BCA，∴當(dāng)AP＝CQ時(shí)，△APB≌△CQB，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)P沿射線AM反向延長線方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段AC延長線上時(shí)，如下圖所示，由（1）得∠BAM＝∠BCA，∴∠BAP＝∠BCQ，又∵AB＝BC，∴當(dāng)AP＝CQ時(shí)，△APB≌△CQB，∴，∴．綜上所述，當(dāng)或時(shí)，△APB和△CQB全等．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法，并注意分類討論是解題的關(guān)鍵．21．在等邊中，點(diǎn)是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，且(1)若，則_______________；(2)在圖1中，求證：(3)如圖2，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接．猜想的形狀是_______________，并說明理由．【答案】(1)80(2)證明見解析(3)是等邊三角形，理由見解析【分析】（1）由是等邊三角形，得到，由外角的性質(zhì)得到，由，得到是等腰三角形，即可得到結(jié)論；（2）證明，則，，即可得到結(jié)論；（3）連接，先證明是等邊三角形，再證明，最后證明，則，得到，則，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴是等腰三角形，∴，故答案為：80（2）證明：∵是等邊三角形，∴，∵，∴是等腰三角形，∴，∴，∴，∴，∴；（3）是等邊三角形，證明：連接，∵，∴是等腰三角形，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴是等邊三角形．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．如圖所示，在中，，點(diǎn)是線段延長線上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，連接，以為斜邊作等腰，連接，且．

(1)過點(diǎn)作，垂足為．①求證：②求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)是線段延長線上一點(diǎn)，其他條件不變，請寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)，理由見解析【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理；（1）①先由得到，然后由得到，從而得到，再結(jié)合、得證；②先由和得到，再結(jié)合、得證，進(jìn)而得到，最后由得到，最后得證；（2）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，則，先由，得到，然后由是以為斜邊的等腰直角三角形得到，，從而得證，因此有，再由得到，然后證明，最后得到．【詳解】（1）①，，，，，在和中，，∴；②，，，在與中，，，，，，．（2），理由如下：如圖2，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，則，

，，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，．23．如圖，等腰中，，，，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作且．

(1)如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，求證：；(2)如圖，在（1）的條件下，連接交于點(diǎn)，若，求證：點(diǎn)為中點(diǎn)；(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，連接與的延長線交于點(diǎn)，若，則________．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到，即可根據(jù)證明；（2）證明，得出，根據(jù)，得出，根據(jù)，，即可證明結(jié)論；（3）作，交的延長線于一點(diǎn)，由（1）（2）可知，，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：，，，，∵，∴，在和中，，．（2）證明：，∴在和中，，∴，，∵，∴，∴，，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)；（3）解：如圖，作，交的延長線于一點(diǎn)，

由（1）知，，設(shè)，，，，，，由（2）知，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線的定義，余角的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．24．【模型呈現(xiàn)】如圖（1）和（2）所示，，，直線經(jīng)過點(diǎn)（不與，重合），過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，則有，．

（1）請你針對(duì)圖（1）給出證明．【模型應(yīng)用】在圖（1）的基礎(chǔ)上，在射線上取一點(diǎn)，把線段繞點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)得到，連接，交直線于點(diǎn)．

（2）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系為___________；（3）如圖（4），當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（4）如圖（5），當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的值為___________．【答案】（1）見解析；（2）；（3），理由見解析；（4）【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，（1）根據(jù)題意得到，然后證明出，然后利用全等三角形的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)題意證明出，然后利用全等三角形的性質(zhì)求解即可；（3）過點(diǎn)N作交于點(diǎn)H，首先根據(jù)題意證明出，進(jìn)而得到，然后證明出，進(jìn)而求解即可；（4）過點(diǎn)N作交于點(diǎn)E，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定得到，，然后利用等量代換求解即可．解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理：，，，，．【詳解】（1）∵∴∵∴∴又∵，∴∴，；（2）∵把線段繞點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)得到，∴∴∵∴∴又∵∴∴；（3）過點(diǎn)N作交于點(diǎn)H，

∵∴∴∵∴∴又∵∴∴∵∴∴又∵，∴∴；（4）如圖所示，過點(diǎn)N作交于點(diǎn)E，

同理可得，∴∵∴∴∴同理可得，∵∴∴∴∴．25．定義：如圖（1），若分別以的三邊，，為邊向三角形外側(cè)作正方形，和，則稱這三個(gè)正方形為的外展三葉正方形，其中任意兩個(gè)正方形為的外展雙葉正方形．(1)作的外展雙葉正方形和，記，的面積分別為和；①如圖（2），當(dāng)時(shí)，求證：；②如圖（3），當(dāng)時(shí)，與是否仍然相等，請說明理由．(2)已知中，，，作其外展三葉正方形，記，，的面積和S，請利用圖（1）探究：當(dāng)?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時(shí)，的值是否發(fā)生變化？若不變，求出的值；若變化，求出的最大值．【答案】(1)①見解析；②相等，理由見解析(2)變化，最大值為18【分析】（1）①由正方形的性質(zhì)可以得出，，，即可得出而得出結(jié)論；②如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，通過證明就有而得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）可以得出，要使最大，就要使最大，當(dāng)時(shí)最大，即可求出結(jié)論．【詳解】（1）解：①證明：正方形和正方形，，，，，，．在和中，，．，．②．理由如下：如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．

．四邊形，四邊形均為正方形，，，，．．在和中，，，．，，，；（2）的值發(fā)生變化；的最大值為18；理由如下：由（1）得，是面積的三倍，要使最大，只需的面積最大，當(dāng)是直角三角形，即時(shí)，有最大值．此時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．二、幾何模型類型一、倍長中線模型26．課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖1所示，延長到點(diǎn)，使，連接．請根據(jù)小明的思路繼續(xù)思考：(1)由已知和作圖能證得，得到，在中求得的取值范圍，從而求得的取值范圍是______________．方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系；(2)如圖2，是的中線，，試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，在中，是的三等分點(diǎn)．求證：．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)見解析【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形全等的性質(zhì)與判定，利用倍長中線輔助線方法是解題的關(guān)鍵．（1）延長到點(diǎn)，使，連接，根據(jù)題意證明，可知，在中，根據(jù)，即可；（2）延長到，使得，連接，由（1）的結(jié)論以及已知條件證明，進(jìn)而可得，由，即可求得與的數(shù)量關(guān)系；（3），取中點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)，使得，連接和，通過“倍長中線”思想全等證明，進(jìn)而得到然后結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式證明即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1所示，延長到點(diǎn)，使，連接．∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴，在中，，∴，即，∴，故答案為：．（2），理由：如圖2，延長到，使得，連接，由（1）知，，∴，∵，∴，∵，即，又∵，∴∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴．（3）證明：如圖所示，取中點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)，使得，連接和，∵為中點(diǎn)，為三等分點(diǎn)，∴，∴，在和中，，∴,同理可得:,∴，此時(shí),延長交于點(diǎn)，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．27．閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：在中，，，邊上的中線的取值范圍．(1)小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：①延長到Q使得；②再連接把集中在中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得，則的取值范圍是____．感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可以考慮倍長中線，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．(2)請寫出圖1中與的關(guān)系并證明；(3)思考：已知，如圖2，是的中線，，，，試探究線段與的數(shù)量和位置關(guān)系，并加以證明．

【答案】(1)(2)，理由見解析(3)，理由見解析【分析】（1）由且即可求解；（2）證可推出即可求解；（3）延長到Q使得，連接，延長交于點(diǎn)，證、即可求解．【詳解】（1）解：∵且∴故答案為：（2）解：，理由如下：∵是邊上的中線∴∴（3）解：，理由如下：延長到Q使得，連接，延長交于點(diǎn)

∵是邊上的中線∴【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的常見模型：倍長中線模型．熟記相關(guān)幾何模型和結(jié)論是解題的關(guān)鍵．28．（1）閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：在中，，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：

①延長到Q，使得；②再連接，把集中在中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得，則AD的取值范圍是．感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可以考慮倍長中線，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．（2）請你寫出圖1中與的位置關(guān)系并證明．（3）思考：已知，如圖2，是的中線，，，．試探究線段與的數(shù)量和位置關(guān)系并加以證明．

【答案】（1）；（2），證明見解析；（3），，證明見解析【分析】（1）先證，推出，再利用三角形三邊關(guān)系求解；（2）根據(jù)可得，即可證明；（3）同（1）可證，得出，，進(jìn)而可得，推出，可得，，即可求解．【詳解】解：（1）是的中線，，又，，，，在中，，，即，，故答案為：；（2），證明如下：由（1）知，，；（3），，證明如下：如圖，延長至點(diǎn)Q使得，連接，延長交于點(diǎn)P，

同（1）可得，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，綜上可得，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵是通過倍長中線構(gòu)造全等三角形．29．（1）閱讀理解：

如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點(diǎn)使，再連接，這樣就把，，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系可判斷線段的取值范圍是；則中線的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在中，是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，此時(shí)：與的大小關(guān)系，并說明理由．（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)作，邊，分別交，于，兩點(diǎn)，連接，此時(shí)：、與的數(shù)量關(guān)系【答案】（1）；（2），見解析；（3）【分析】（1）延長到點(diǎn)使，再連接，證明，可得，再由三角形三角關(guān)系可得，；（2）延長至，使，連接，證明，可得，連接，可知是等腰三角形，則，在中，，即；（3）延長至使，連接，證明，可推導(dǎo)出，再證明，則，能推導(dǎo)出．【詳解】解：（1）延長到點(diǎn)使，再連接，，，，，，在中，，，，，故答案為：，；（2）延長至，使，連接，

，，，，，連接，，，是等腰三角形，，在中，，即；（3）延長至使，連接，

，，，，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的綜合應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形中線的定義，三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．30．如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍，小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點(diǎn)，使，請根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到的理由是______．(2)求得的取值范圍是______．(3)如圖2，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，若，求證：．【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理解答即可；（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系計(jì)算；（3）延長到E，使，連接，，證明，得到，證明，得到，再利用即可證明．【詳解】（1）解：∵是邊上的中線，∴，在和中，∴，故答案為：（2）解：∵，∴，∵，∴在中，，即，∵，∴，故答案為：（3）解：延長到E，使，連接，，∵，∴，在和中，∴，∴，在和中，∴，

∴，∵在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系應(yīng)用等知識(shí)；熟練掌握三角形的三邊關(guān)系，作出輔助線，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．31．已知ABC．(1)如圖1，按如下要求用尺規(guī)作圖：①作出ABC的中線CD；②延長CD至E，使DE＝CD，連接AE；（不要求寫出作法，但要保留作圖痕跡．）(2)在（1）中，直線AE與直線BC的關(guān)系是；(3)如圖2，若∠ACB＝，CD是中線．試探究CD與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(4)如圖3，若∠ACB＝，AC＝BC，CD是ABC的中線，過點(diǎn)B作BE⊥AC于E，交CD于點(diǎn)F，連接DE．若CF＝4，則DE的長是．【答案】(1)見解析(2)(3)，理由見解析(4)【分析】（1）①根據(jù)三角形的中線的定義，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接即可．②根據(jù)要求，延長CD至E，使DE＝CD，連接AE即可．（2）結(jié)論：，利用全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可．（3）結(jié)論：．利用全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可．（4）利用全等三角形的性質(zhì)證明，再利用（3）中結(jié)論解決問題．【詳解】（1）①如圖1所示，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接，則線段CD即為所求；②如圖1中，線段DE，AE即為所求；（2）結(jié)論：．理由：在△CDB和△EDA中，，∴△CDB≌△EDA（SAS），∴∠B=∠DAE，∴．故答案為：．（3）AB與CD的數(shù)量關(guān)系是：AB=2CD，理由如下：如圖3-2，延長CD至E，使DE=DC，連接BE，∵CD是中線，∴AD=BD，在△ADC和△BDE中，，∴△ADC≌△BDE（SAS），∴∠E=∠ACD，AC=BE，∴，∴∠ACB+∠EBC=，∵∠ACB=，∴∠EBC=，在△ACB和△EBC中，，∴△ACB≌△EBC（SAS），∴AB=CE，∵CE=2CD，∴AB=2CD．（4）如圖3中，∵BE⊥AC，∠ACB=，∴∠CEB=∠BEA=，∠ECB=∠EBC=，∴EC=EB，∵AC=BC，CD是中線，∴CD⊥AB，∵∠CEF=∠BDF=，∠CFE=∠BFD，∴∠ECF=∠ABE，在△CEF和△BEA中，，∴△CEF≌△BEA（ASA），∴CF=AB=4，∵AD=BD，∠AEB=，∴DE=AB=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)倍長中線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．32．閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了如下問題：如圖1，已知中，是邊上的中線．

求證：．智慧小組的證法如下：證明：如圖2，延長至，使，

∵是邊上的中線∴在和中∴（依據(jù)一）∴在中，（依據(jù)二）∴．任務(wù)一：上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1：______________________________________________；依據(jù)2：______________________________________________．歸納總結(jié)：上述方法是通過延長中線，使，構(gòu)造了一對(duì)全等三角形，將，，轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，進(jìn)而解決問題，這種方法叫做“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．任務(wù)二：如圖3，，，則的取值范圍是_____________；

任務(wù)三：如圖4，在圖3的基礎(chǔ)上，分別以和為邊作等腰直角三角形，在中，，；中，，．連接．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【答案】任務(wù)一：依據(jù)1：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（或“邊角邊”或“SAS”）；依據(jù)2：三角形兩邊的和大于第三邊；任務(wù)二：；任務(wù)三：EF=2AD，見解析【分析】任務(wù)一：依據(jù)1：根據(jù)全等的判定方法判斷即可；依據(jù)2：根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷；任務(wù)二：可根據(jù)任務(wù)一的方法直接證明即可；任務(wù)三：根據(jù)任務(wù)一的方法，延長中線構(gòu)造全等三角形證明線段關(guān)系即可．【詳解】解：任務(wù)一：依據(jù)1：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（或“邊角邊”或“SAS”）；依據(jù)2：三角形兩邊的和大于第三邊．任務(wù)二：任務(wù)三：EF=2AD．理由如下：如圖延長AD至G，使DG=AD，

∵AD是BC邊上的中線∴BD=CD在△ABD和△CGD中∴△ABD≌△CGD∴AB=CG，∠ABD=∠GCD又∵AB=AE∴AE=CG在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠GCD+∠BAC+∠ACB=180°又∵∠BAE=90°，∠CAF=90°∴∠EAF+∠BAC=360°-（∠BAE+∠CAF）=180°∴∠EAF=∠GCD在△EAF和△GCA中∴△EAF≌△GCA∴EF=AG∴EF=2AD．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，倍長中線法，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．33．閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對(duì)原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G．（2）請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對(duì)原題進(jìn)行證明．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）見解析；【分析】（1）①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F，AB＝CD；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G，△BEF≌△CEG△BAF≌△CDG，AB＝CD；（2）如圖3，過C點(diǎn)作CM∥AB，交DE的延長線于點(diǎn)M，則∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；【詳解】（1）①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，，∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，在△BAF和△CDG中，，∴△BAF≌△CDG（AAS），∴AB＝CD；（2）如圖3，過C點(diǎn)作CM∥AB，交DE的延長線于點(diǎn)M，則∠BAE＝∠EMC，∵E是BC中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BAE和△CME中，，∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，∵∠BAE＝∠EDC，∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，對(duì)頂角相等，平行線的性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．類型二、一線三垂直模型34．已知：中，，，為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，在直線右側(cè)作，且．連接交直線于，若，則的值為．

【答案】或【分析】添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出線段間的數(shù)量關(guān)系，最后進(jìn)行分類討論即可求解．【詳解】如圖，過作于點(diǎn)，

∴，∴，∵，∴，即：，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，設(shè)，則，∴，，∴，∴，，則，如圖，過作交延長線于點(diǎn)，

∴，∴，∵，∴，即：，∴，在和中，，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，設(shè)，則，∴，，∴，∴，，則，故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，同角的余角相等，全等三角形的判定與性質(zhì)，有關(guān)三角形的面積的求解，解題的關(guān)鍵是正確作出所需要的輔助線．35．如圖，在中，，，．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿折線以每秒3個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．分別過P、Q兩點(diǎn)作于E，于F，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)與全等時(shí)，t的值為．

【答案】1秒，或3.5秒，或12秒【分析】根據(jù)于E，于F，得到與都是直角三角形，當(dāng)與全等時(shí)，得到，分三種情況討論求解即可，當(dāng)P在上，Q在上時(shí)，根據(jù)，，得到，解得；當(dāng)P、Q在上重合時(shí)，根據(jù)，，得到，解得：當(dāng)Q到達(dá)A點(diǎn)后，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到上時(shí)，根據(jù)，得到．滿足條件的t值為1秒，或3.5秒，或12秒．本題主要考查了全等三角形，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)定理，分類討論，是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵于E，于F，∴，∴與都是直角三角形，∴當(dāng)與全等時(shí)，，當(dāng)P在上，Q在上時(shí)，∵，，，，∴，，∴，解得；當(dāng)P、Q在上重合時(shí)，，，∴，解得：當(dāng)Q到達(dá)A點(diǎn)后，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到上時(shí)，，∴．綜上，當(dāng)與全等時(shí)，滿足條件的t值為1秒，或3.5秒，或12秒．故答案為：1秒，或3.5秒，或12秒．36．如圖，已知中，，滿足，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)Q從B出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)P，Q的速度分別以每秒1個(gè)單位長度和每秒3個(gè)單位長度的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，分別過P，Q作于E，于F．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)以P，E，C為頂點(diǎn)的三角形與以Q，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形全等時(shí)，t的值為（不考慮兩三角形重合的情況）．【答案】或【分析】先證明時(shí)，再根據(jù)題意分為五種情況，結(jié)合分別列方程求解，解出方程即可．【詳解】解：①當(dāng)P在上，Q在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖①：

由題意可知：，，，，，，，，，，，，，，即，；②當(dāng)P在上，Q在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖②，

由題意可知：，，由①可知，，，，此時(shí)，故此種情況不符合題意；③當(dāng)P，Q都在上時(shí)，如圖③，兩個(gè)三角形重合，不符合題意；

④當(dāng)Q到A點(diǎn)停止，P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，此時(shí)，；⑤P，Q都在上時(shí)，點(diǎn)P，Q的速度分別以每秒1個(gè)單位長度和每秒3個(gè)單位長度的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，P，Q都在上運(yùn)動(dòng)的情況不存在，綜上所述，t的值為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)全等三角形的性質(zhì)，一元一次方程的幾何應(yīng)用，解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)題意得出方程是解此題的關(guān)鍵．37．通過對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：(1)如圖1，點(diǎn)A在直線l上，，過點(diǎn)B作于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E．得．又，可以推理得到．進(jìn)而得到結(jié)論：_____，_____．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三直角”模型；(2)如圖2，∠于點(diǎn)C，于點(diǎn)E，與直線交于點(diǎn)，求證：．【答案】(1)，(2)見解析【分析】本題考查一線三直角全等問題，（1）由，得，則，而，即可證明，得，，于是得到問題的答案；（2）作于點(diǎn)，因?yàn)橛邳c(diǎn)，于點(diǎn)，所以，由（1）得，因?yàn)?，所以，則，而，即可證明，得，所以，再證明，則．【詳解】（1））解：于點(diǎn)，于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，故答案為：，．（2）證明：如圖2，作于點(diǎn)，∵于點(diǎn)，于點(diǎn)E，∴，由，同理（1）得，∴，在和中，∴，∴．38．如圖，已知中，，，是過的一條直線，且，在，的同側(cè)，于，于．（1）證明：；（2）試說明：；（3）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖位置（此時(shí)，在，的異側(cè)）時(shí)，其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？請證明；（4）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖位置（此時(shí)，在，的同側(cè)）時(shí)其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不需說明理由．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BD=DE+CE；證明見解析；（4）BD=DE?CE【分析】（1）根據(jù)題意可得，結(jié)合，直接用AAS證明三角形全等即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，進(jìn)而可得；（3）方法同（1）證明，進(jìn)而可得（4）方法同（1）結(jié)論同（2）證明，進(jìn)而可得．【詳解】（1）證明：∵，∴．又∵，，∴，，∴．又∵，∴．（2）解：∵，∴，．又∵，∴．（3）解：∵，∴．又∵，，∴，，∴．又∵，∴．∴，，，∴（4）解：．理由如下：∵，∴．又∵，，∴，，∴．又∵，∴，∴，．又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．39．【材料閱讀】小明在學(xué)習(xí)完全等三角形后，為了進(jìn)一步探究，他嘗試用三種不同方式擺放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相應(yīng)的問題(1)【發(fā)現(xiàn)】如圖1，將兩個(gè)三角板互不重疊地?cái)[放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)B擺放在線段上時(shí)，過點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)M，過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)N，易證，若，，則______；(2)【類比】如圖2，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)B在線段上且頂點(diǎn)A在線段上時(shí)，過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)P，猜想，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)【拓展】如圖3，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)A在線段上且頂點(diǎn)B在線段上時(shí)，若，，連接，則的面積為______．【答案】(1)9(2)；理由見解析(3)10【分析】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記相關(guān)定理內(nèi)容進(jìn)行幾何推理是解題關(guān)鍵．（1）由，利用兩個(gè)三角形全等的性質(zhì)，得到，，即可得到；（2）根據(jù)兩個(gè)三角形全等的判定定理，得到，利用兩個(gè)三角形全等的性質(zhì)，得到，，由中，即可得到三者的數(shù)量關(guān)系；（3）延長，過點(diǎn)C作于P，由兩個(gè)三角形全等的判定定理得到，從而，，則可求得，延長，過點(diǎn)C作于F，由平行線間的平行線段相等可得，代入面積公式得，即可得到答案．【詳解】（1）解：，，，，，；故答案為：9．（2）解：理由：，，，，，，，，，，，；．（3）解：延長，過點(diǎn)C作于P，如圖所示：，，，，，，，，，延長，過點(diǎn)C作于F，如圖所示：，，，，，，由平行線間的平行線段相等可得，，故答案為：10．40．直角三角形中，，直線過點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，如圖，分別過點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)．求證：．(2)當(dāng)，時(shí)，如圖，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，連接，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿邊向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．①______，當(dāng)在路徑上時(shí)，______．（用含的代數(shù)式表示）②直接寫出當(dāng)與全等時(shí)的值．【答案】(1)見解析(2)①，②或5或．【分析】（1）利于同角的余角相等，得到，利用證明三角形全等即可；（2）①利用，求出，利用對(duì)稱性，得到，利用，求出即可；②分點(diǎn)分別在，四種情況討論，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：∵直線，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴；（2）解：①由題意，得：，∴，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴，故答案為：，；②當(dāng)與全等時(shí)，和是對(duì)應(yīng)邊，∴，當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，，即：，解得，不符合題意；當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，此時(shí)：，則：，解得：；當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，此時(shí)：，則：，解得：；當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，此時(shí)：，則：，解得：；綜上：當(dāng)與全等時(shí)，或5或．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．注意，分類討論．41．通過對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：【模型呈現(xiàn)】（1）如圖，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．由，得．又，，可以推理得到，進(jìn)而得到＝______，＝______．（請完成填空）我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“字”模型或“一線三等角”模型．【模型應(yīng)用】（2）①如圖，，，，連接、，且于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；②如圖，若點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是否存在以、、為頂點(diǎn)且以為斜邊的三角形為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1），；（2）見解析；（3）存在，或【分析】本題是三角形綜合題目，考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；（1）由全等三角形的性質(zhì)可得出答案；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明，得出；同理可得：．得出，證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出；（3）分兩種情況，由全等三角形的性質(zhì)可得出答案．【詳解】（1）解：由題意可知，，，故答案為：，；（2）證明：如圖1，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，在和中，，，；同理可得：．，，在和中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（3）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上時(shí)，由【模型呈現(xiàn)】可知，，，，，；當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，同理可得．綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．類型三、旋轉(zhuǎn)模型42．如圖，在四邊形中，是的平分線，且．若，則四邊形的周長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在線段AC上作AF=AB，證明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再證明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四邊形的周長．【詳解】解：在線段AC上作AF=AB，∵AE是的平分線，∴∠CAE=∠BAE，又∵AE=AE，∴△AEF≌△AEB（SAS），∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，∵AB∥CD，∴∠D+∠B=180°，∵∠AFE+∠CFE=180°，∴∠D=∠CFE，∵，∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，∴∠CEF=∠CED，在△CEF和△CED中∵,∴△CEF≌△CED（AAS）∴CE=CF，∴四邊形的周長=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判斷．能正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．43．綜合與探究數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們以對(duì)角互補(bǔ)的四邊形為活動(dòng)主題，開展了如下探究．(1)如圖1，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且．請?zhí)骄烤€段之間的數(shù)量關(guān)系．下面是學(xué)習(xí)委員琳琳的解題過程，請將余下內(nèi)容補(bǔ)充完整．解：延長EB到G，使得，連接AG在和中∴，∴∴∴，∴……

(2)班長李浩發(fā)現(xiàn)在如圖2所示的四邊形中，若，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論仍然是成立的，請你寫出結(jié)論并說明理由．

(3)如圖3，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊延長線上的點(diǎn)，且，請判斷線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【答案】(1)見解析(2)，理由見解析(3)，理由見解析【分析】（1）證明，即可得出結(jié)論；（2）延長到點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明，即可得出結(jié)論；（3）在上取一點(diǎn)，使，先證明，再證明，即可得出結(jié)論．本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用截長補(bǔ)短法，構(gòu)造全等三角形．【詳解】（1）解：延長到G，使得，連接，

在和中，∴，∴，∴，∴，∴，在和中，∴，∴；（2）；理由如下：延長到點(diǎn)，使，則，

∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，即：，∴，又，∴，∴，∵，∴；（3），理由如下：在上取一點(diǎn)，使，

∵，，∴，又，∴，∴，，∴，∴，又，∴，∴．’44．已知，在四邊形中，分別是邊上的點(diǎn)，且．

(1)為探究上述問題，小王同學(xué)先畫出了其中一種特殊情況，即如圖1，當(dāng)時(shí)．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長到點(diǎn)，使，連接．請你在圖1中添加上述輔助線，并補(bǔ)全下面的思路．小明的解題思路：先證明______；再證明了______，即可得出之間的數(shù)量關(guān)系為．(2)請你借鑒小王的方法探究圖2，當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論是否依然成立，如果成立，請證明你的結(jié)論，如果不成立，請說明理由．(3)如圖3，若分別是邊延長線上的點(diǎn)，其他已知條件不變，此時(shí)線段之間的數(shù)量關(guān)系為______．（不用證明）【答案】(1)圖見解析，(2)成立，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意，畫出圖形，先證明，再證明，即可得出結(jié)論；（2）延長到點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明，即可得出結(jié)論；（3）在上取一點(diǎn)，使，先證明，再證明，即可得出結(jié)論．本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用截長補(bǔ)短法，構(gòu)造全等三角形．【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形，如圖：

解題思路為先證明，再證明，即可得出之間的數(shù)量關(guān)系為；故答案為：；（2）成立，證明如下：延長到點(diǎn)，使，則，

∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，即：，∴，又，∴，∴，∵，∴；（3）解：在上取一點(diǎn)，使，

∵，，∴，又，∴，∴，，∴，∴，又，∴，∴．’故答案為：．45．綜合與實(shí)踐問題提出如圖1，在中，平分，交于點(diǎn)D，且，則，，之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．方法運(yùn)用

（1）我們可以通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形來解題．如圖2，延長至點(diǎn)E，使得，連接，……，請判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系并補(bǔ)充完整解題過程．（2）以上方法叫做“補(bǔ)短法”．我們還可以采用“截長法”，即通過在上截取線段構(gòu)造全等三角形來解題．如圖3，在線段上截取，使得①______，連接②______．請補(bǔ)全空格，并在圖3中畫出輔助線．延伸探究（3）小明發(fā)現(xiàn)“補(bǔ)短法”或“截長法”還可以幫助我們解決其他多邊形中的問題．如圖4，在五邊形中，，，，若，求的度數(shù)．【答案】（1），見解析（2）①AC

②DF，見解析（3）【分析】（1）利用證明，得出，從而證得，所以，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)語言描述作出圖形即可；（3）延長至點(diǎn)G，使，連接，利用證明，得出，，從而可證得．即可利用證明，得出，即可由求解．【詳解】（1）．理由：∵平分，∴．又∵，，∴，∴．∵，∴．又∵，∴，∴．∵，∴．（2）①AC

②DF．輔助線如圖1所示．

（3）如圖2，延長至點(diǎn)G，使，連接，．

∵，，∴．∵，，，∴，∴，．∵，∴．又∵，，∴，∴．又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．46．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直線AB上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），連接DC并延長到E，使得CE＝CD，過點(diǎn)E作EF⊥直線BC，交直線BC于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí)，用等式表示線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D為線段BA的延長線上一點(diǎn)時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，猜想線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變，并證明．(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的延長線上時(shí)，直接寫出線段EF、CF、AC之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)AC＝EF+FC，證明見解析(2)補(bǔ)全圖形見解析，AC＝EF-CF，證明見解析(3)AC＝CF-EF【分析】（1）過D作DH⊥CB于H，由“AAS”可證△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得結(jié)論；（2）過D作DH⊥CB于H，由“AAS”可證△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得結(jié)論．（3）過D作DH⊥CB交CB的延長線于H，由“AAS”可證△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得結(jié)論．【詳解】（1）結(jié)論：AC＝EF+FC，理由如下：過D作DH⊥CB于H，∴∠DHC＝∠DHB＝90°∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，，∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠ACB＝90°，AC=BC，∴∠B＝45°，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CB+HB∴AC＝FC+EF；（2）依題意補(bǔ)全圖形，結(jié)論：AC＝EF-CF，理由如下：過D作DH⊥CB交BC的延長線于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，，∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°∴DH＝HB＝EF，∵BC=HB-CH∴AC＝EF-CF．（3）AC=CF-EF．如圖3，過D作DH⊥CB交CB的延長線于H，同理可證△FEC≌△HDC（AAS），∴CH=FC，DH=EF，∵∠DHB=90°，∴∠B=∠HDB=45°，∴DH=HB=EF，∵BC=CH-BH，∴AC=CF-EF．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．47．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為的兩條射線，并連接它們與該頂點(diǎn)的兩對(duì)邊的交點(diǎn)構(gòu)成的基本平面幾何模型稱為半角模型．半角模型可證出多個(gè)幾何結(jié)論，例如：如圖1，在正方形中，以為頂點(diǎn)的，、與、邊分別交于、兩點(diǎn)．易證得．大致證明思路：如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，由可得、、三點(diǎn)共線，，進(jìn)而可證明，故．任務(wù)：如圖3，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)的，、與、邊分別交于、兩點(diǎn)．請參照閱讀材料中的解題方法，你認(rèn)為結(jié)論是否依然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．【答案】成立，見解析【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，，，推出、、三點(diǎn)共線，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：成立．證明：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，、、三點(diǎn)共線，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．48．【問題提出】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，探究當(dāng)為多少度時(shí)，使得成立．小亮同學(xué)認(rèn)為：延長FD到點(diǎn)G，使，連接AG，先證明，再證明，則可求出∠EAF的度數(shù)為______；【問題探究】（2）如圖2，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，依然有成立，并說明理由．【問題解決】（3）如圖3，在正方形ABCD中，，若的周長為8，求正方形ABCD的面積．【答案】（1）60°；（2）當(dāng)時(shí)，成立，理由見解析；（3）16【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到證明得到根據(jù)題意，計(jì)算即可得出結(jié)果．（2）延長FD到點(diǎn)H，使，連接AH，分別證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．（3）根據(jù)（2）的結(jié)論得到，進(jìn)而求出AD，根據(jù)正方形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，理由如下，延長FD到點(diǎn)G，使，連接AG，在和中，在和中，；（2）當(dāng)時(shí)，成立，理由如下：如圖2，延長FD到點(diǎn)H，使，連接AH，∵，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴（SAS），∴；（3）∵四邊形ABCD為正方形，∴．∵，∴，∴，∵的周長為8，∴，∴，∴AD+CD=8，∴，∴正方形ABCD的面積．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．類型四、三條線段數(shù)量關(guān)系的證明49．問題1：在數(shù)學(xué)課本中我們研究過這樣一道題目：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分別為E、D．圖中哪條線段與AD相等？并說明理由．問題2：試問在這種情況下線段DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出來，不需要說明理由．問題3：當(dāng)直線CE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2中直線MN的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個(gè)等量關(guān)系，并說明理由．【答案】問題1，AD＝EC，證明見解析；問題2：DE+BE＝AD；問題3：DE＝AD+BE，證明見解析．【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因?yàn)椤螦CD+∠BCE=90°，∠DAC+ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據(jù)AAS即可得到△ADC≌△CEB，即可得出AD=EC；（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；（3）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到DE、AD、BE之間的等量關(guān)系．【詳解】解：（1）AD＝EC；證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝EC；（2）DE+BE＝AD；由（1）已證△ADC≌△CEB，∴AD＝EC，CD=EB，CE=AD∴CE=CD+DE=BE+DE=AD即DE+BE＝AD；（3）DE＝AD+BE．證明：∵BE⊥BC，AD⊥CE，∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∵CD+CE＝DC，∴DE＝AD+BE．【點(diǎn)睛】此題主要考查了鄰補(bǔ)角的意義，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)已知證出符合全等的條件是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強(qiáng)．50．如圖1，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在y軸正半軸和x軸負(fù)半軸上，且OA=OB，點(diǎn)C和點(diǎn)D分別在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC=OD，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），且滿足+|n﹣2|=0．（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求∠AKO的度數(shù)；（3）如圖2，點(diǎn)P，Q分別在y軸正半軸和x軸負(fù)半軸上，且OP=OQ，直線ON⊥BP交AB于點(diǎn)N，MN⊥AQ交BP的延長線于點(diǎn)M，判斷ON，MN，BM的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)(4,2);(2)135°;(3)見解析.【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；（2）如圖1中，作OE⊥BD于E，OF⊥AC于F．只要證明△BOD≌△AOC，推出EO=OF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），推出OK平分∠BKC，再證明∠AKB=∠BOA=90°，即可解決問題；（3）結(jié)論：BM=MN+ON；只要證明△BNH≌△BNO，以及MH=MB即可解決問題；【詳解】解：（1）∵=0，又∵≥0，|n﹣2|≥0，∴n=2，m=4，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，2）．（2）如圖1中，作OE⊥BD于E，OF⊥AC于F．∵OA=OB，OD=OC，∠AOB=∠COD=90°，∴∠BOD=∠AOC，∴△BOD≌△AOC，∴EO=OF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），∴OK平分∠BKC，∴∠OBD=∠OAC，易證∠AKB=∠BOA=90°，∴∠OKE=45°，∴∠AKO=135°．（3）結(jié)論：BM=MN+ON．理由：如圖2中，過點(diǎn)B作BH∥y軸交MN的延長線于H．∵OQ=OP，OA=OB，∠AOQ=∠BOP=90°，∴△AOQ≌△BOP，∴∠OBP=∠OAQ，∵∠OBA=∠OAB=45°，∴∠ABP=∠BAQ，∵NM⊥AQ，BM⊥ON，∴∠ANM+∠BAQ=90°，∠BNO+∠ABP=90°，∴∠ANM=∠BNO=∠HNB，∵∠HBN=∠OBN=45°，BN=BN，∴△BNH≌△BNO，∴HN=NO，∠H=∠BON，∵∠HBM+∠MBO=90°，∠BON+∠MBO=90°，∴∠HBM=∠BON=∠H，∴MH=MB，∴BM=MN+NH=MN+ON．【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)