專題16 三角形的概念及性質(zhì)（講義）（3考點+28題型）

第16講三角形的概念及性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\u考點一三角形的相關概念 3題型01三角形的分類 3題型02三角形個數(shù)的規(guī)律探究問題 4題型03三角形的穩(wěn)定性 6考點二三角形的重要線段 8題型01畫三角形的高、中線、角平分線 9題型02已知三角形的高、中線、角平分線，判斷式子正誤 11題型03等面積法求三角形的高 11題型04利用網(wǎng)格求三角形的面積 12題型05與垂心性質(zhì)有關的計算 14題型06根據(jù)三角形的中線求長度 16題型07根據(jù)三角形的中線求面積 17題型08判斷重心位置 19題型09與重心性質(zhì)有關的計算 19考點三三角形的性質(zhì) 21題型01應用三角形的三邊關系求第三邊長或取值范圍 21題型02應用三角形的三邊關系化簡含有絕對值的式子 22題型03應用三角形的三邊關系解決線段的和差比較問題 22題型04三角形內(nèi)角和定理的證明 23題型05應用三角形內(nèi)角和定理求角度 24題型06三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應用 25題型07三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應用 26題型08三角形折疊中的角度問題 28題型09應用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題 29題型10應用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關系 30題型11三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合 31題型12應用三角形外角的性質(zhì)求角度 33題型13三角形的外角性質(zhì)與角平分線的綜合 34題型14三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合 37題型15應用三角形的外角性質(zhì)解決折疊問題 38題型16三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合 39考點要求新課標要求命題預測三角形的相關概念理解三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩(wěn)定性.在初中幾何數(shù)學中，三角形的基礎知識是解決后續(xù)很多幾何問題的基礎.所以，在中考中，與其它幾何圖形結(jié)合考察的幾率比較大，特別是全等三角形的性質(zhì)和判定的綜合應用.考生在復習該考點時，不僅要熟悉掌握其本身的性質(zhì)和應用，還要注重轉(zhuǎn)化思想在題目中的應用，同步聯(lián)想，其他幾何圖形在什么情況下會轉(zhuǎn)化成該考點的知識考察.三角形的重要線段三角形的性質(zhì)探索并證明三角形的內(nèi)角和定理.掌握它的推論:三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊.

考點一三角形的相關概念三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所構(gòu)成的圖形叫做三角形.三角形的表示：用符號“Δ”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“ΔABC”，讀作“三角形ABC”.三角形的分類：1）三角形按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形2）三角形按角分類：三角形直角三角形三角形的穩(wěn)定性:三角形三條邊的長度確定之后，三角形的形狀就唯一確定了.易混易錯1.三角形的表示方法中“Δ”代表“三角形”,后邊的字母為三角形的三個頂點,字母的順序可以自由安排.即?ABC,?ACB等均為同一個三角形.2.等腰三角形中至少有兩邊相等,而等邊三角形中三邊都相等,所以等邊三角形是特殊的等腰三角形.3.四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性，要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了.題型01三角形的分類【例1】（2022·河北石家莊·石家莊市第四十一中學?？寄M預測）如圖，一只手蓋住了一個三角形的部分圖形，則這個三角形不可能是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【變式1-1】（2020·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，一個三角形只剩下一個角，這個三角形為()A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能【變式1-2】（2020·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點稱為格點，線段AB的端點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求以AB為邊畫△ABC．要求：（1）在圖①中畫一個鈍角三角形，在圖②中畫一個直角三角形，在圖③中畫一個銳角三角形；（2）三個圖中所畫的三角形的面積均不相等；（3）點C在格點上．【變式1-3】（2021·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，在8×4的正方形網(wǎng)格中，按△ABC的形狀要求，分別找出格點C，且使BC=5，并且直接寫出對應三角形的面積．題型02三角形個數(shù)的規(guī)律探究問題【例2】（2023·浙江杭州·模擬預測）若一個三角形的任意兩條邊都不相等，則稱之為“不規(guī)則三角形”．頂點在一個正方體頂點上的所有三角形中，這樣的“不規(guī)則三角形”的個數(shù)為（

）A．8 B．18 C．24 D．36【變式2-1】（2020·江西南昌·模擬預測）由18根完全相同的火柴棒擺成的圖形如圖所示，如果去掉其中的3根，那么就可以剩下7個三角形．以下去掉3根的方法正確的是（

）A．DE,GH,MI B．GF,EF,MF C．GD,EI,MH D．AD,AG,GD【變式2-2】閱讀下列材料并填空．平面上有n個點（n≥2）且任意三個點不在同一條直線上，過這些點作直線，一共能作出多少條不同的直線？（1）分析：當僅有兩個點時，可連成1條直線；當有3個點時，可連成3條直線；當有4個點時，可連成6條直線；當有5個點時，可連成10條直線……（2）歸納：考察點的個數(shù)和可連成直線的條數(shù)Sn發(fā)現(xiàn)：如下表點的個數(shù)可作出直線條數(shù)21=S33=S46=S510=S…………nS（3）推理：平面上有n個點，兩點確定一條直線．取第一個點A有n種取法，取第二個點B有（n－1）種取法，所以一共可連成n(n-1)條直線，但AB與BA是同一條直線，故應除以2；即S（4）結(jié)論：S試探究以下幾個問題：平面上有n個點（n≥3），任意三個點不在同一條直線上，過任意三個點作三角形，一共能作出多少不同的三角形？（1）分析：當僅有3個點時，可作出________個三角形；當僅有4個點時，可作出__________個三角形；當僅有5個點時，可作出________個三角形；……（2）歸納：考察點的個數(shù)n和可作出的三角形的個數(shù)Sn，發(fā)現(xiàn)：（填下表）點的個數(shù)可連成三角形個數(shù)345……n（3）推理：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________（4）結(jié)論：_____________________________________________________________【變式2-3】（2022·吉林長春·?？寄M預測）一個圓周上有12個點：A1，A2，A3，…，A題型03三角形的穩(wěn)定性【例3】（2023·山西運城·統(tǒng)考二模）學校、工廠、企業(yè)等單位的大門都是收縮性大門，這種門的門體可以伸縮自由移動，以此來控制門的大?。@種方法應用的數(shù)學知識是（

）

A．三角形的穩(wěn)定形 B．四邊形的不穩(wěn)定性C．勾股定理 D．黃金分割【變式3-1】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┮瓜旅娴哪炯懿蛔冃?，至少需要再釘上幾根木條？（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【變式3-2】（2022·河北保定·?？家荒＃┠苡萌切蔚姆€(wěn)定性解釋的生活現(xiàn)象是（

）A． B．C． D．【變式3-3】（2021·浙江臺州·一模）如圖，升降平臺由三個邊長為1.2米的菱形和兩個腰長為1.2米的等腰三角形組成，其中平臺AM與底座A0N平行，長度均為2.4米，B，B0分別在AM和A0N上滑動，且始終保持點B0，C1，A1成一直線．(1)這種升降平臺的設計原理是利用了四邊形的____性；(2)為了安全，該平臺在作業(yè)時∠B1不得超過40°，求平臺高度(AA0)的最大值（sin20°≈0.34）．

考點二三角形的重要線段重要線段概念圖形性質(zhì)三角形的高從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）．∵AD是?ABC中BC邊的高∴∠ADB=∠ADC=90°三角形的中線在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線∵AD是?ABC中BC邊的中線∴BD=CDS△ABD=S△ADCC三角形的角平分線三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線．∵AD是?ABC中∠BAC的角平分線∴∠BAD=∠DAC=12三角形的中位線連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線∵DE是?ABC的中位線∴AD=DBAE=ECDE=12概念圖形性質(zhì)重心三角形三條中線交點1）重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

2）重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

3)重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。垂心三角形三條高交點1）銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外；

2）銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。3）三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6組四點共圓.4）銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短.易混易錯1.三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中線可得線段之間的關系，由三角形的角平分線可得角之間的關系．2.常見三角形的高：3.當已知三角形兩邊的中點時，可考慮運用三角形中位線定理，得到相應線段的數(shù)量關系與位置關系.題型01畫三角形的高、中線、角平分線【例1】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）如圖，在△ABC中，邊AB上的高是（）A．AD B．GE C．EF D．CH【變式1-1】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預測）在△ABC中，AB=AC，BC長度不確定，拫據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，用直尺不一定能直接畫出BC邊的高的是（

）A． B． C． D．

【變式1-2】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預測）嘉淇剪一個銳角△ABC做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折痕與BC交于點D，連接AD，則線段AD分別是△ABC的（

）

A．高，中線，角平分線 B．高，角平分線，中線C．中線，高，角平分線 D．高，角平分線，垂直平分線【變式1-3】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）觀察下列尺規(guī)作圖痕跡，其中所作線段AD為△ABC的角平分線的是（

）A． B． C． D．【變式1-4】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，嘉琪任意剪了一張鈍角三角形紙片（∠A是鈍角），他打算用折疊的方法折出∠C的角平分線、AB邊上的中線和高線，能折出的是（）

A．AB邊上的中線和高線 B．∠C的角平分線和AB邊上的高線C．∠C的角平分線和AB邊上的中線 D．∠C的角平分線、AB邊上的中線和高線【變式1-5】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）小熊和小貓把一個三角形紙片折一次后，折痕把原三角形分成兩個三角形．如圖，當∠1=∠2時，折痕是三角形的（

）

A．中線 B．中位線 C．高線 D．角平分線【變式1-6】（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）圖①、圖②均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫格點．△ABC的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中畫△ABC的中位線DE，使點D、E分別在邊AB、BC上；(2)在圖②中畫△ABC的高線BF．題型02已知三角形的高、中線、角平分線，判斷式子正誤【例2】（2023·江蘇揚州·?？级＃┤鐖D，AD，AE，AF分別是△ABC的中線，角平分線，高．則下列各式中錯誤的是（

）

A．∠AFB=90° B．AE=CE C．BC=2CD D．∠BAE=【變式2-1】（2020上·安徽池州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，AF是中線，則下列說法中錯誤的是（

）A．BF＝CF B．∠C＋∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S題型03等面積法求三角形的高【例3】如圖，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC=5，BC=12，AB=13，則點C到直線AB的距離等于（

）A．125 B．135 C．6013【變式3-1】（2023·河北張家口·統(tǒng)考一模）如圖，在點A，B，C，D中選一個點；與點M，N為頂點構(gòu)成一個三角形，其面積等于△KMN的面積，這個點為（

）A．點A B．點B C．點C D．點D【變式3-2】（2023·江蘇蘇州模擬）數(shù)學活動課上，小敏、小穎分別畫了△ABC和△DEF，數(shù)據(jù)如圖，如果把小敏畫的三角形面積記作S△ABC，小穎畫的三角形面積記作S△DEF，那么你認為(

)A．S△ABC>S△DEF B．S△ABC<S△DEFC．S△ABC=S△DEF D．不能確定【變式3-3】（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學校考二模）如圖，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得△ABC，則AC邊上的高長度為（

）A．355 B．3510 C．題型04利用網(wǎng)格求三角形的面積【例4】（2021·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則S△ABC的面積為（）A．52 B．3 C．72【變式4-1】（2023·北京·統(tǒng)考二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點A，B，C，D均在格點上，則SΔABC__________S

【變式4-2】（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，在平面直角坐標系中，網(wǎng)格上的每個小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點坐標分別為A(?1,3)，B(2,0)，C(?3,?1)．

(1)在圖中畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1（點A、B、C的對應點分別為(2)求△ABC的面積．題型05與垂心性質(zhì)有關的計算【例5】（2022·安徽·校聯(lián)考三模）如圖，已知ΔABC中，∠ACB=45°，F(xiàn)是高BD和CE的交點，AD=3，CD=5，則線段BFA．1 B．2 C．22?3 【變式5-1】（2021·山東威?！そy(tǒng)考模擬預測）【信息閱讀】垂心的定義：三角形的三條高（或高所在的直線）交于一點，該點叫三角形的垂心．【問題解決】如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=62°，H為△ABC的垂心，則∠BHC的度數(shù)為（

）A．120° B．115° C．102° D．108°【變式5-2】（2022·浙江紹興·統(tǒng)考一模）在學習三角形高線時，發(fā)現(xiàn)三角形三條高線交于一點，我們把這個交點叫做三角形的垂心．課后小明同學繼續(xù)探究，上網(wǎng)搜索得到了三角形重心的一條性質(zhì)，制作了如下表格進行探究．三角形關型直角三角形銳角三角形鈍角三角形垂心的位置直角頂點_①___________在三角形外部垂心的性質(zhì)三角形任意頂點到垂心的距離等于外心到對邊的距離的兩倍．圖形圖1圖2(1)表格中①處應填：____________．(2)小明先選擇了直角三角形來探究重心的性質(zhì)，寫出了已知求證，請完成證明．已知：如圖1，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠B=Rt∠，H是△ABC的垂心，OE⊥BC，垂足為E．求證：AH=2OE．(3)如圖2，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，高線AF與高線CG交于點H，OE⊥BC于點E，為了證明AH=2OE．小明想把銳角三角形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形，為此他過點B作了⊙O的直徑BD，請繼續(xù)小明的思路證明．【變式5-3】（2021·山西呂梁·統(tǒng)考二模）閱讀下列材料，并完成相應的學習任務：我們知道三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心．由于三角形的三條高（或高所在的直線）相交于一點，因此我們把三角形三條高的交點叫做三角形的垂心．下面我們以銳角三角形為例，證明三角形的三條高相交于一點．如圖，在△ABC中，AD，BE分別是BC，AC邊上的高，且AD與BE相交于點P．連接CP并延長，交AB于點F．求證：CF⊥AB．證明：分別過點A，B，C作它們所對邊的平行線，三條平行線兩兩相交于點M，N，Q．分別連接PM，PN，PQ．∵MN//BC，MQ//AB，NQ//AC，∴四邊形MABC，四邊形ANBC，四邊形ABQC都是平行四邊形．∴BC=AM=AN，AC=BN=BQ，AB=MC=CQ．∵AD⊥BC，∴∠MAD=∠ADB=90°，即AD⊥MN．∴PM=PN．…學習任務：（1）請將上面剩余的證明過程補充完整；（2）點P是△MNQ的_______．（填出字母代號即可）A．內(nèi)心

B．外心 C．垂心 D．重心（3）若∠CAB=40°，則∠MPN=_______°．題型06根據(jù)三角形的中線求長度【例6】（2023·陜西西安·交大附中分校?？寄M預測）如圖，AD是△ABC的中線，AB=5，AC=4，△ACD的周長為10，則△ABD的周長為（）

A．8 B．9 C．10 D．11【變式6-1】（2023·青?！そy(tǒng)考一模）在△ABC中，D是BC邊的中點，若AB=9，AC=5，則△ABC的中線AD長的取值范圍是（

）A．5<AD<9 B．4<AD<9 C．2<AD<14 D．2<AD<7【變式6-2】（2022·河南焦作·統(tǒng)考模擬預測）如圖，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D，若BF=3EF，則BDDC=（A．43 B．32 C．65【變式6-3】（2022·江蘇泰州·模擬預測）△ABC中，AB：AC=3：2，BC=AC+1，若△ABC的中線BD把△ABC的周長分成兩部分的比是8：7，求邊AB，AC的長．題型07根據(jù)三角形的中線求面積【例7】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC的面積為30，BD=2CD，E為AB的中點，則△ADE的面積等于（

）

A．15 B．12 C．10 D．9【變式7-1】（2023·江蘇南京·南師附中新城初中?？寄M預測）如圖△ABC中，點D是BC邊的中點，E是AC邊上一點，且AE=2EC，連接AD、BE交于點F，若△BDF的面積是3，則△ABC的面積為_______．

【變式7-2】（2023·江蘇揚州·?？级＃┨骄繎茫?1)如圖①，在△ABC中，中線AD、BE交于點O．若△ABC的面積為6，求四邊形ODCE的面積．小明在求解時，利用“三角形的中線平分此三角形的面積”的結(jié)論，連接OC，設△ODC的面積為x，△OEC的面積為y，列出方程組2x+y=3，解得x=y=

，所以四邊形ODCE的面積為x+y＝_____(2)如圖②，在△ABC中，AD是中線，AE=EF=FC，AD與BE、BF分別交于點M、N．若四邊形NDCF的面積為14，求△ABC的面積．(3)在（2）的條件下，求△AME的面積．【變式7-3】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考二模）已知四邊形ABCD中，AC，BD相交于點E，AB=CD，∠ABE=∠DCE．(1)如圖，求證：∠EBC=∠ECB；

(2)如圖2，延長BA，延長CD相交于點F，若點D是CF的中點．在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于△ADF面積的2倍．

題型08判斷重心位置【例8】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，在4×4的正方形格紙中，△ABC的頂點均在格點上，BC邊與網(wǎng)格線交于點D，AC邊過格點E，連接AD，BE相交于點O，則點O為△ABC的（A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．以上結(jié)果均不對【變式8-1】（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）已知△ABC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，點A、B、C、P均在格點上，有下列結(jié)論：①點P在∠ACB的角平分線上；②直線BP可以把△ABC分成面積相等的兩部分；③點P是△ABC的外心；④點P是△ABC的重心．其中正確的有_________．（直接填寫序號）題型09與重心性質(zhì)有關的計算【例9】（2023·江蘇蘇州·蘇州高新區(qū)第二中學?？级＃┑妊鰽BC中，AB=AC=5，BC=6，則重心G到底邊的距離是______．【變式9-1】（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，G是△ABC的重心，延長BG交AC于點D，延長CG交AB于點E，P、Q分別是△BCE和△BCD的重心，BC長為6，則PQ的長為_____．【變式9-2】（2021·河北邢臺·二模）如圖，△ABC中，點D、E分別為AB、AC的中點，連接DE，線段BE、CD相交于點O，若OD=2，則OC=_______．

【變式9-3】（2023·江蘇泰州·校考三模）如圖，在平面直角坐標系中，點B?2，3，點C在x軸負半軸，OB=BC，點M為△OBC的重心，若將△OBC繞著點O

考點三三角形的性質(zhì)三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形的兩邊之差小于第三邊．三角形三邊關系定理及推論的應用：1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形．2）已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個答案的，要注意檢查每個答案能否組成三角形．三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°．推論：直角三角形的兩個銳角互余.三角形的內(nèi)角和定理的應用：1)在三角形中,已知兩個內(nèi)角的度數(shù),可以求出第三個內(nèi)角的度數(shù)；2)在三角形中,已知三個內(nèi)角的比例關系,可以求出三個內(nèi)角的度數(shù)；3)在直角三角形中,已知一個銳角的度數(shù),可以求出另一個銳角的度數(shù).三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角和的性質(zhì)：1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；2）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．題型01應用三角形的三邊關系求第三邊長或取值范圍【例1】（2021·福建寧德·統(tǒng)考一模）下列三條線段中，能組成三角形的是（

）A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，2，4 D．2，2，5【變式1-1】（2022·山東淄博·統(tǒng)考一模）已知三角形的三邊長分別為3，4，x，且x為整數(shù)，則x的最大值為（

）A．8 B．7 C．5 D．6【變式1-2】（2021·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）2,5,m是某三角形三邊的長，則(m?3)2+(m?7)2等于（A．2m?10 B．10?2m C．10 D．4【變式1-3】（2018·甘肅武威·中考真題）已知a，b，c是△ABC的三邊長，a，b滿足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c為奇數(shù)，則c=_______．【變式1-4】．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）一個三角形的兩邊長分別是1和4，若第三邊的長為偶數(shù)，則第三邊的長是______．【變式1-5】（2021上·四川內(nèi)江·九年級四川省隆昌市第一中學?？茧A段練習）三角形兩邊的長分別為2和5，第三邊的長是方程x2?8x+15=0的根，則該三角形的周長為____【變式1-6】（2021·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：m3?2m2m題型02應用三角形的三邊關系化簡含有絕對值的式子【例2】（2019下·山東濰坊·九年級校聯(lián)考期中）如果一個三角形的三邊長分別是2，3，m，則化簡m2?10m+25?【變式2-1】（2021·湖南·長沙市長郡雙語實驗中學?？家荒＃┤鬭，b，c是△ABC的三邊的長，則化簡|a?b?c|+|b?c?a|+|a+b?c|=________．題型03應用三角形的三邊關系解決線段的和差比較問題【例3】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在學習了勾股定理后，數(shù)學興趣小組在李老師的引導下，利用正方形網(wǎng)格和勾股定理，運用構(gòu)圖法進行了探究活動：如圖，在5×5正方形的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，點A、B、C均在格點上，已知△ABC的三邊長分別為25、22、2，李老師在圖中已經(jīng)畫出了其中一邊AB．請你補全△ABC，并根據(jù)圖形比較25

【變式3-1】在△ABC中，AB>AC，AD是△ABC的角平分線，請比較AB?AC與BD?DC的大小，并說明理由．【變式3-2】（2023下·安徽蚌埠·八年級統(tǒng)考期末）下面是小明和小亮比較2+3與2+3大小的過程，關于兩人的思路.（

A．小明對，小亮錯 B．小明錯，小亮對C．兩人都錯 D．兩人都對題型04三角形內(nèi)角和定理的證明【例4】（2023·陜西西安·西安市航天中學校聯(lián)考模擬預測）某班學生對三角形內(nèi)角和為180°展開證明討論，以下四個學生的作法中，不能證明△ABC的內(nèi)角和為180°的是（

）A．過點A作AD∥BCB．延長BC到點D，過點C作CE∥C．過點A作AD⊥BC于點D D．過BC上一點D作DE∥AC，【變式4-1】（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．

三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°，已知：如圖，ΔABC求證：∠A+∠B+∠C=方法一證明：如圖，過點A作DE//BC.

方法二證明：如圖，過點C作CD//AB.

題型05應用三角形內(nèi)角和定理求角度【例5】（2022·黑龍江哈爾濱·?？寄M預測）如圖，將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A'B'C，連接AAA．70° B．65° C．60° D．55°【變式5-1】（2022·河北唐山·?？家荒＃┰凇鰽BC中，已知∠A=∠B=2∠C，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【變式5-2】（2022上·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中）在△ABC中，若cosA?32+(1?tanB)題型06三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應用【例6】（2023·山西太原·山西實驗中學?？寄M預測）綠色出行，健康出行，你我同行．某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務．圖1是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖2是其示意圖，其中AB，CD都與地面平行，∠BCD=68°，∠BAC=52°．已知AM與CB平行，則∠MAC的度數(shù)為（

）圖1 圖2A．70° B．68° C．60° D．50°【變式6-1】（2023·河南周口·淮陽第一高級中學?？既＃┪锢韺W光的反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都在同一個平面內(nèi)；反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)；入射角等于反射角．這就是光的反射定律．如圖，兩平面鏡AB與BC的夾角為α，一條光線經(jīng)過兩次反射后，∠AEF=∠GEB，∠BGE=∠CGH，仍可以使入射光線EF與反射光線GH平行但方向相反，則α的度數(shù)為（

）

A．60° B．80° C．90° D．100°【變式6-2】（2022·江蘇蘇州·星海實驗中學?？级＃┤鐖D，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若∠1=19°，則∠2的度數(shù)為______°．題型07三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應用【例7】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，BE是△ABC的角平分線，點D在AB上，且DE∥(1)求證：DB=DE；(2)若∠A=60°，∠C=50°，求∠BED的大?。咀兪?-1】（2022·江蘇無錫·?？家荒＃┤鐖D1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：(1)在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關系：________________；(2)如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．請直接利用（1）中的結(jié)論，完成下列各題：①仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：___________個；②若∠D=40°,∠B=50°，試求∠P的度數(shù)；③若∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間是否存在一定的數(shù)量關系？若存在，請寫出推理過程；若不存在，請說明理由；④若∠D和∠B∠為任意角，∠DAB=3∠2,∠DCB=3∠4，試問∠P與∠D、∠B之間是否存在一定的數(shù)量關系？若存在，請直接寫出結(jié)論；若不存在，請說明理由．【變式7-2】（2020·山西臨汾·校聯(lián)考模擬預測）閱讀下面內(nèi)容，并解答問題．探索三角形的內(nèi)（外）角平分線形成的角的規(guī)律在三角形中，由三角形的內(nèi)角平分線、外角平分線所形成的角存在一定的規(guī)律，如果能理解并掌握其中的規(guī)律，對解決相關的問題會起到事半功倍的效果．規(guī)律1：三角形的兩個內(nèi)角的角平分線形成的角等于90加上第三個內(nèi)角度數(shù)的一半．規(guī)律2：三角形的兩個外角的角平分線形成的角等于90°減去與這兩個外角不相鄰的內(nèi)角度數(shù)的一半．如圖，已知點P是△ABC的內(nèi)角平分線BP與CP的交點，點M是△ABC的外角平分線BM與CM的交點．則∠P=90°+12∠A證明：規(guī)律1，∵BP，CP是△ABC的角平分線，∴∠1=12∠ABC∴∠A=180°?2∠1+∠2∴∠1+∠2=90°?1∴∠P=180°?∠1+∠2規(guī)律2，∵∠3=12∠A+∠ACB∴∠3+∠4=1∴∠M=180°?∠3+∠4請解決以下問題：（1）寫出上述證明過程中依據(jù)的一個定理：______________________________；（2）如圖，已知點Q是△ABC的內(nèi)角平分線BQ與△ABC的外角平分線CQ的交點，試探究∠Q和∠A的數(shù)量關系？并說明理由．題型08三角形折疊中的角度問題【例8】（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）如圖1，已知三角形紙片ABC，AB=AC，∠A=50°，將其折疊，如圖2，使點A與點B重合，折痕為ED，點E，D分別在AB，AC上，那么∠DBC的度數(shù)為（

）

A．10° B．15° C．20° D．30°【變式8-1】（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考二模）如圖，將平行四邊形ABCD折疊，使點C落在AD邊上的點C'處，若∠1=58°，∠2=42°，則∠C的度數(shù)為（

A．100° B．109° C．126.5° D．130°【變式8-2】如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE內(nèi)部時，則∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關系始終保持不變，這個關系是（

）A．2∠A=∠1+∠2 B．3∠A=2∠1+∠2C．∠A=∠1+∠2 D．3∠A=2∠1+2∠2【變式8-3】（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）如圖，有一個三角形紙片ABC，∠A=65°，∠B=75°，將紙片一角折疊，使點C落在△ABC外，若∠DFC'=20°【變式8-4】（2022·湖北恩施·統(tǒng)考一模）圖，把等邊△ABC沿直線DE折疊，點A落在A'處，若∠1=50°，則∠2=________．題型09應用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題【例9】（2022·安徽宿州·?？寄M預測）如圖，直線AB∥CD，含45°角的三角板EFG的直角頂點F在直線AB上，頂點E在直線CD上，若∠DEG=82°，則∠BFG的度數(shù)是（

A．37° B．41° C．42° D．45°【變式9-1】（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）將一副直角三角板如圖放置，已知∠E=60°，∠C=45°，EF∥BC，則∠BND為（

A．45° B．60° C．90° D．105°【變式9-2】（2023·安徽馬鞍山·?？级＃蓧K含45°角的直角三角板ABC,DEF按如圖方式放置，其中點E在BC上，點A在DE上，若∠FEC=30°，則∠EAC的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．70° D．75°【變式9-3】（2023·陜西西安·交大附中分校?？既＃⒁桓比前灏慈鐖D所示擺放，使含30°角的三角板的斜邊與含45°角的三角板的一條直角邊平行，則∠α的角度為（

）A．75° B．105° C．110° D．120°題型10應用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關系【例10】（2023·浙江杭州·?？级＃┤鐖D，O為等腰三角形ABC的外心，AB=AC，連接OB，記∠C=α，∠CBO=β，則α，

A．2β?α=90° B．2β?α=180° C．12β+α=90° 【變式10-1】（2023·江西·模擬預測）如圖，從A點發(fā)出的光線AB，AD經(jīng)平面鏡l反射后得到反射光線BC，DE，m，n為法線，設∠A=α°，∠ABC=β°，∠ADE=γ°，那么α,β,γ之間的數(shù)量關系是（

）A．α+β=γ B．2α+β=γ C．α+2β=γ D．α+2β=2γ題型11三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合【例11】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）定義：如果三角形的一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，那么稱這個三角形為“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A=90°，AC=3，則AB的長為_____________【變式11-1】（2023·江蘇蘇州·蘇州市胥江實驗中學校?？级＃┒x：如果三角形的兩個α與β滿足α?β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“奇妙互余三角形”．

(1)若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠A>90°，∠B=20°，則∠C的度數(shù)為____________；(2)如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，若AB=4，BC=5，點D是線段AB上的一點，若AD=(3)如圖2，在四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，AC=4，CD=5，∠BAC=90°，若∠ACD=2∠ABC，且【變式11-2】（2022·江西撫州·統(tǒng)考一模）定義：從三角形（不是等腰三角形）的一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點所連線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果其中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我么就把這條線段叫做這個三角形的“華麗分割線”．例如：如圖1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“華麗分割線”．【定義感知】(1)如圖1，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=110°，AB=BD．求證：AD是△ABC【問題解決】(2)①如圖2，在△ABC中，∠B=46°，AD是△ABC的“華麗分割線”，且△ABD是等腰三角形，則∠C的度數(shù)是________；②如圖3，在△ABC中，AB=2，AC=3，AD是△ABC的“華麗分割線”，且△ABD是以AD為底邊的等腰三角形，求華麗分割線AD的長．【變式11-3】（2019·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個小等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線．（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC邊上，且AD＝BD＝BC，求∠A的大??；（2）在圖2中分別畫出三個頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標注每個等腰三角形頂角的度數(shù)；（3）在△ABC中，∠B＝36°，AD和DE是△ABC的三分線，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD＝BD，DE＝CE，請直接寫出∠C所有可能的值．題型12應用三角形外角的性質(zhì)求角度【例12】（2021·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，點D、E分別在線段BC、AC上，連接AD、BE．若∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，則∠1的大小為（

）A．60° B．70° C．75° D．85°【變式12-1】（2022·北京朝陽·統(tǒng)考二模）如圖，點C，D在直線AB上，OC⊥OD，若∠ACO=120°，則∠BDO的大小為（A．120° B．140° C．150°【變式12-2】．（2021·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖．在Rt△ABC中，∠C=90°，AF=EF．若∠CFE=72°，則∠B=_______題型13三角形的外角性質(zhì)與角平分線的綜合【例13】（2022·陜西西安·?？级＃┤切蔚囊粋€外角是100°，則與它不相鄰的兩內(nèi)角平分線夾角（鈍角）是_______．【變式13-1】（2023·陜西西安·?？寄M預測）已知△ABC中，∠A=70°，BD是∠ABC的角平分線，CD是∠ACB的外角角平分線，交點為D，則∠D=___________°．

【變式13-2】（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，∠ABD、∠ACD的角平分線交于點P，若∠A=70°，∠D=10°，則∠P=_______．

【變式13-3】（2019·浙江杭州·模擬預測）△ABC中，AB,AC邊上的高CE,BD相交于點F，∠ABC,∠ACB的角平分線交于點G，若∠CGB=125°，則∠CFB=【變式13-4】（2020·山西臨汾·校聯(lián)考模擬預測）閱讀下面內(nèi)容，并解答問題．探索三角形的內(nèi)（外）角平分線形成的角的規(guī)律在三角形中，由三角形的內(nèi)角平分線、外角平分線所形成的角存在一定的規(guī)律，如果能理解并掌握其中的規(guī)律，對解決相關的問題會起到事半功倍的效果．規(guī)律1：三角形的兩個內(nèi)角的角平分線形成的角等于90加上第三個內(nèi)角度數(shù)的一半．規(guī)律2：三角形的兩個外角的角平分線形成的角等于90°減去與這兩個外角不相鄰的內(nèi)角度數(shù)的一半．如圖，已知點P是△ABC的內(nèi)角平分線BP與CP的交點，點M是△ABC的外角平分線BM與CM的交點．則∠P=90°+12∠A證明：規(guī)律1，∵BP，CP是△ABC的角平分線，∴∠1=12∠ABC∴∠A=180°?2∠1+∠2∴∠1+∠2=90°?1∴∠P=180°?∠1+∠2規(guī)律2，∵∠3=12∠A+∠ACB∴∠3+∠4=1∴∠M=180°?∠3+∠4請解決以下問題：（1）寫出上述證明過程中依據(jù)的一個定理：____________________________________；（2）如圖，已知點Q是△ABC的內(nèi)角平分線BQ與△ABC的外角平分線CQ的交點，試探究∠Q和∠A的數(shù)量關系？并說明理由．【變式13-5】如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線與外角∠ACD的平分線交于A1．（1）∵BA1、CA1是∠ABC與∠ACD的平分線，∴∠A1BD＝12∠ABD，∠A1CD＝12∠∴∠A1CD﹣∠A1BD＝12（∠ACD﹣∠ABD∵∠A1CD﹣∠A1BD＝___，∠ACD﹣∠ABD＝∠___，∴∠A1＝___．（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠F為∠ABC的角平分線及外角∠DCE的平分線所在的直線構(gòu)成的角，若∠A+∠D＝230°，求∠F的度數(shù)．（3）如圖3，△ABC中，∠ABC的角平分線與外角∠ACD的平分線交于A1，若E為BA延長線上一動點，連接EC，∠AEC與∠ACE的角平分線交于Q，當E滑動時有下面兩個結(jié)論：①∠Q+∠A1的值為定值；②∠Q﹣∠A1的值為定值，其中有且只有一個是正確的，請寫出正確的結(jié)論，并求出其值．題型14三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合【例14】（2023·貴州貴陽·?？家荒＃┤鐖D，直線AB∥CD，點E是平行線外一點，連接AE，CE，若∠A=22°，∠C=50°，則∠E的度數(shù)是（

A．22° B．24° C．26° D．28°【變式14-1】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預測）某城市幾條道路的位置如圖所示，道路CD與道路EF平行，道路AB與道路CD的夾角∠CDB為50°，城市規(guī)劃部門想修一條新道路BF，要求∠F=∠B，則∠F的大小為（

）A．40° B．35° C．30° D．25°【變式14-2】（2022·遼寧遼陽·一模）如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（

）A．40° B．41° C．49° D．50°【變式14-3】（2021·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，∠A=45°,∠B=30°，直尺的一邊與BC平行，則∠1=_____°．題型15應用三角形的外角性質(zhì)解決折疊問題【例15】（2020·浙江紹興·模擬預測）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠B【變式15-1】（2019·浙江杭州·模擬預測）如圖，在ΔABC中，AC=BC，∠C=90°，點D在BC上，且CD=2DB，將ΔABC折疊，使點A與點D重合，EF為折痕，則sin【變式15-2】（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）數(shù)學探究活動中，小聰同學為了驗證：長條紙片上下邊沿MN與PQ是否平行，把紙片沿著AC折疊（如圖1），并用量角器測出∠1、∠2的度數(shù)．(1)若∠1=∠2，則MN∥PQ．你認為小聰同學的做法正確嗎？請說明理由；(2)在（1）的條件下小聰同學在PQ邊上取點D（不與P，B重合）（如圖2），連接AD并折疊紙片使得射線AB與射線AD重合，折痕交PQ于點E，過E作EF⊥AC于點F，設∠AEF=α，∠ADP=β．①當點D在點C、B之間時，若β=120°，求α的度數(shù)；②當點D在PQ上運動過程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．題型16三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合【例16】（2021·河北·統(tǒng)考中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD=110°，則圖中∠D應___________（填“增加”或“減少”）___________度．【變式16-1】如圖，△ABC中，∠ABC=∠ACB，點D在BC所在的直線上，點E在射線AC上，且AD=AE，連接DE．（1）如圖①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，則∠CDE的度數(shù)為________；（2）如圖②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，則∠BAD的度數(shù)為________；（3）當點D在直線BC上（不與點B、C重合）運動時，則∠BAD與∠CDE的數(shù)量關系為__________．【變式16-2】（2020·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將分別含有30°、45°角的一副三角板重疊，使直角頂點重合，若兩直角重疊形成的角為65°，則圖中角α的度數(shù)為_______．【變式16-3】（2022下·江蘇南京·七年級?？计谀┮阎鰽BC中，∠A=65°，將∠B、∠C按照如圖所示折疊，若∠ADB'=35°，則∠1+∠2+∠3=【變式16-4】（2023·山西晉城·模擬預測）如圖，已知D、E分別是等邊△ABC中AB、AC上的點，且AE=BD，求∠BFC的度數(shù)．

第16講三角形的概念及性質(zhì)答案解析考點一三角形的相關概念題型01三角形的分類【例1】（2022·河北石家莊·石家莊市第四十一中學校考模擬預測）如圖，一只手蓋住了一個三角形的部分圖形，則這個三角形不可能是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類判斷即可.【詳解】解：A、當另外兩角為50°和100°時，該三角形為鈍角三角形，故此選項不符合題意；B、當另外兩角為90°和60°時，該三角形為直角三角形，故此選項不符合題意；C、當另外兩角為30°和120°時，該三角形為等腰三角形，故此選項不符合題意；D、等邊三角形的每一個內(nèi)角均為60°，由圖可知該三角形有一個內(nèi)角為30°，故不可能為等邊三角形，符合題意.故選：D．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類，會應用三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類求解是解答的關鍵.【變式1-1】（2020·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，一個三角形只剩下一個角，這個三角形為()A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能【答案】B【分析】三角形按角分類，可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形．有一個角是直角的三角形是直角三角形；有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形；三個角都是銳角的三角形是銳角三角形．【詳解】從題中可知，只能看到一個角是鈍角．所以這個三角形為鈍角三角形．故選：B．【點睛】本題考查了三角形的分類的靈活應用．【變式1-2】（2020·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點稱為格點，線段AB的端點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求以AB為邊畫△ABC．要求：（1）在圖①中畫一個鈍角三角形，在圖②中畫一個直角三角形，在圖③中畫一個銳角三角形；（2）三個圖中所畫的三角形的面積均不相等；（3）點C在格點上．【答案】見詳解（答案不唯一）【分析】因為點C在格點上，故可將直尺的一角與線段AB點A重合，直尺邊長所在直線經(jīng)過3×3正方形網(wǎng)格左上角第一個格點，繼而以點A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)直尺，當直尺邊長所在直線與正方形格點相交時，確定點C的可能位置，順次連接A、B、C三點，按照題目要求排除不符合條件的C點，作圖完畢后可根據(jù)三角形面積公式判斷其面積是否相等．【詳解】經(jīng)計算可得下圖中：圖①面積為12；圖②面積為1；圖③面積為3故本題答案如下：【點睛】本題考查三角形的分類及其作圖，難度較低，按照題目要求作圖即可．【變式1-3】（2021·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，在8×4的正方形網(wǎng)格中，按△ABC的形狀要求，分別找出格點C，且使BC=5，并且直接寫出對應三角形的面積．【答案】見解析；S=10；S=252

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，角的分類去求解即可【詳解】解：鈍角三角形時，如圖，∵BC⊥BD，BC=5，∴△ABC是鈍角三角形，根據(jù)平行線間的距離處處相等，得BC邊上高為BD=4,∴S=1直角三角形時，如圖，取格點F使得BF=4，F(xiàn)C=3，根據(jù)勾股定理，得BC=32∵AE=BF=4，EB=FC=3，∠AEB=∠BFC=90°，∴△AEB≌△BFC，∴∠EAB=∠FBC，∵∠EAB+∠EBA=90°，∴∠FBC+∠EBA=90°，∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形，根據(jù)勾股定理，得AB=32∴S=12BA×BC銳角三角形時，如圖，取格點M使得BM=3，CM=4，根據(jù)勾股定理，得BC=32根據(jù)直角三角形時的作圖，知道∠ABN=90°，∴∠ABC＜∠ABN，∴∠ABC＜90°∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠A=∠C＜90°，∴△ABC是銳角三角形，∴S=1【點睛】本題考查了網(wǎng)格上的作圖，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的性質(zhì)和判定，平行線間的距離處處相等，根據(jù)題意，運用所學構(gòu)造符合題意的格點線段是解題的關鍵．題型02三角形個數(shù)的規(guī)律探究問題【例2】（2023·浙江杭州·模擬預測）若一個三角形的任意兩條邊都不相等，則稱之為“不規(guī)則三角形”．頂點在一個正方體頂點上的所有三角形中，這樣的“不規(guī)則三角形”的個數(shù)為（

）A．8 B．18 C．24 D．36【答案】C【分析】根據(jù)立方體的八個頂點之間線段長度僅有三種可能，分別得出所求的不規(guī)則三角形的個數(shù)．【詳解】解：如圖示：設立方體的邊長為a，則在立方體的八個頂點之間線段長度僅有三種可能：邊長為a，面對角線為2a，體對角線為3a．立方體有四條體對角線，先考慮其中的一條如AC1，第三個頂點可以是B、C、D、A1有6個不規(guī)則三角形．因此所求的不規(guī)則三角形的個數(shù)是6×4=24．故選：C．【點睛】此題主要考查了三角形的性質(zhì)以及立體圖形的性質(zhì)，得出立方體的八個頂點之間線段長度僅有三種可能是解決問題的關鍵．【變式2-1】（2020·江西南昌·模擬預測）由18根完全相同的火柴棒擺成的圖形如圖所示，如果去掉其中的3根，那么就可以剩下7個三角形．以下去掉3根的方法正確的是（

）A．DE,GH,MI B．GF,EF,MF C．GD,EI,MH D．AD,AG,GD【答案】C【分析】按照選項依次分析即可求解．【詳解】解：A．去掉DE,GH,MI，如圖：圖中共有6個三角形，該項不符合題意；B．去掉GF,EF,MF，如圖：圖中共有4個三角形，該項不符合題意；C．去掉GD,EI,MH，如圖：圖中共有7個三角形，該項符合題意；D．去掉AD,AG,GD，如圖：圖中共有9個三角形，該項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查三角形計數(shù)，掌握三角形的定義是解題的關鍵．.【變式2-2】閱讀下列材料并填空．平面上有n個點（n≥2）且任意三個點不在同一條直線上，過這些點作直線，一共能作出多少條不同的直線？（1）分析：當僅有兩個點時，可連成1條直線；當有3個點時，可連成3條直線；當有4個點時，可連成6條直線；當有5個點時，可連成10條直線……（2）歸納：考察點的個數(shù)和可連成直線的條數(shù)Sn發(fā)現(xiàn)：如下表點的個數(shù)可作出直線條數(shù)21=S33=S46=S510=S…………nS(3)推理：平面上有n個點，兩點確定一條直線．取第一個點A有n種取法，取第二個點B有（n－1）種取法，所以一共可連成n(n-1)條直線，但AB與BA是同一條直線，故應除以2；即S（4）結(jié)論：S試探究以下幾個問題：平面上有n個點（n≥3），任意三個點不在同一條直線上，過任意三個點作三角形，一共能作出多少不同的三角形？（1）分析：當僅有3個點時，可作出_個三角形；當僅有4個點時，可作出_個三角形；當僅有5個點時，可作出_個三角形；……（2）歸納：考察點的個數(shù)n和可作出的三角形的個數(shù)Sn，發(fā)現(xiàn)：（填下表）點的個數(shù)可連成三角形個數(shù)345……n（3）推理：（4）結(jié)論：【答案】（1）1，4，10（2）點的個數(shù)可構(gòu)成三角形個數(shù)31=S44=S510=SnS（3）見解析（4）結(jié)論：Sn=n(n-1)(n-2)【分析】（1）根據(jù)給的點數(shù)一一查出三角形即可；（2）根據(jù)引例學習，仿照引例解法，先定點，再定形的方法，3個點先取第一個點，三點任意一個有3種，第二個點從剩下的兩點任取一個有2種，第三個點只有1種，三角形有3×2×1個，會出現(xiàn)重復現(xiàn)象△ABC，△ACB，△BAC，△BCA，△CAB，△CBA，都是同一種三角形，由此得出S3=3×2×1（3）平面上有n個點，過不在同一條直線上的三個點可以確定一個三角形，取第一個點有n種方法，取第二個點有（n-1）種取法，取第三個點（n-2）種取法，所以一共可以作n（n-1）（n-2）個三角形，但同一個三角形重復6次，再除以6即可；（4）根據(jù)（3）即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）當僅有3個點時，三點分別為A、B、C、可作1個三角形△ABC；當有4個點時，四點分別為A、B、C、D可作4個三角形△ABC，△ABD，△ACD，△BCD；當有5個點時五點分別為A、B、C、D、E，可作10個三角形△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE；△BDE，△CDE．故答案為1,4,10．（2）填表如下：點的個數(shù)可構(gòu)成三角形個數(shù)31=S44=S510=SnS（3）推理：平面上有n個點，過不在同一條直線上的三個點可以確定一個三角形，取第一個點有n種方法，取第二個點有（n-1）種取法，取第三個點（n-2）種取法，所以一共可以作n（n-1）（n-2）個三角形，但同一個三角形重復6次，故應除以6，即Sn=n(n-1)(n-2)（4）結(jié)論：Sn=n(n-1)(n-2)【點睛】本題考查圖形規(guī)律探索，閱讀理解，仔細閱讀，抓住點與線的規(guī)律，拓展點與三角形的規(guī)律，是學習的質(zhì)的飛躍，本題難度不大，是培養(yǎng)邏輯思維的好題．【變式2-3】（2022·吉林長春·?？寄M預測）一個圓周上有12個點：A1，A2，A3，…，A【答案】55【分析】利用遞推的方法，根據(jù)三角形的定義，結(jié)合圖表依次推出圓上有3個點，6個點，9個點和12個點連成三角形的種數(shù)，進而得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如果圓上只有3個點，那么只有一種連法；（2）如果圓上有6個點，除A1所在三角形的三頂點外，剩下的三個點一定只能在A（3）如果圓上有9個點，考慮A1①A1所在三角形的一個邊所對的弧上；②也可能三個點在一個邊所對應的弧上，另三個點在另一邊所對的弧上；在表2中用“+”號表示它們分布在不同的邊所對的?。蝗绻乔樾微?，則由（2），這六個點有三種連法；如果是情形②，則由①，每三個點都只能有一種連法；共有12種連法．（4）最后考慮圓周上有12個點．同樣考慮A1①9個點都在同一段弧上；②有6個點是在一段弧上，另三點在另一段弧上；③每三個點在A1共有12×3+3×6+1=55種．所以共有55種不同的連法．【點睛】本題主要考查了計數(shù)方法，利用遞推的方法，依次推出圓上有3個點，6個點，9個點和12個點連成三角形的種數(shù)，即采用了化難為易的方法解答，要注意各個三角形的邊都不相交這個要求．題型03三角形的穩(wěn)定性【例3】（2023·山西運城·統(tǒng)考二模）學校、工廠、企業(yè)等單位的大門都是收縮性大門，這種門的門體可以伸縮自由移動，以此來控制門的大?。@種方法應用的數(shù)學知識是（

）

A．三角形的穩(wěn)定形 B．四邊形的不穩(wěn)定性C．勾股定理 D．黃金分割【答案】B【分析】由題意可知收縮大門可以伸縮自由移動，這是根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性．【詳解】由題意可知收縮大門可以伸縮自由移動，這是根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性．故選：B【點睛】本題考查四邊形的不穩(wěn)定性，抓住題意的關鍵詞從而解決問題．【變式3-1】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┮瓜旅娴哪炯懿蛔冃?，至少需要再釘上幾根木條？（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，六邊形轉(zhuǎn)化成三角形即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可知，要使六邊形木架不變形，至少要再釘上3根木條．故答案選：C【點睛】本題主要考查的是三角形的穩(wěn)定性，當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．【變式3-2】（2022·河北保定·?？家荒＃┠苡萌切蔚姆€(wěn)定性解釋的生活現(xiàn)象是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)各圖所用到的直線、線段有關知識，即可一一判定【詳解】解：A、利用的是“兩點確定一條直線”，故該選項不符合題意；B、利用的是“兩點之間線段最短”，故該選項不符合題意；C、窗戶的支架是三角形，利用的是“三角形的穩(wěn)定性”，故該選項符合題意；D、利用的是“垂線段最短”，故該選項不符合題意；故選：C【點睛】本題考查了兩點確定一條直線、兩點之間線段最短、三角形的穩(wěn)定性、垂線段最短的應用，結(jié)合題意和圖形準確確定所用到的知識是解決本題的關鍵．【變式3-3】（2021·浙江臺州·一模）如圖，升降平臺由三個邊長為1.2米的菱形和兩個腰長為1.2米的等腰三角形組成，其中平臺AM與底座A0N平行，長度均為2.4米，B，B0分別在AM和A0N上滑動，且始終保持點B0，C1，A1成一直線．(1)這種升降平臺的設計原理是利用了四邊形的____性；(2)為了安全，該平臺在作業(yè)時∠B1不得超過40°，求平臺高度(AA0)的最大值（sin20°≈0.34）．【答案】(1)不穩(wěn)定(2)平臺高度(AA0)的最大值為3.3米．【分析】（1）根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性即可解決問題．（2）當∠B1=40°時，平臺AA0的高度最大，解直角三角形A1B0A0，可得A0A1的長，再由AA3=A3A2=A2A1=A1A0，即可解決問題．【詳解】（1）因為四邊形具有不穩(wěn)定性，點B，B0分別在AM和A0N上滑動，從而達到升降目的，因而這種設計利用了平行四邊形的不穩(wěn)定性；故答案為：不穩(wěn)定．（2）由圖可知，當∠B1=40°時，平臺AA0的高度最大，∠A0B0A1=12∠B1A0A1=A1A2==A2A3==A3A4.∵B0A1=2A1C1=2×1.2=2.4（米），sin20°≈0.34，∴A0A1=2.4×sin20°×4＝3.264≈3.3(米)，∴平臺高度(AA0)的最大值為3.3米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練菱形的性質(zhì)．考點二三角形的重要線段題型01畫三角形的高、中線、角平分線【例1】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）如圖，在△ABC中，邊AB上的高是（）A．AD B．GE C．EF D．CH【答案】D【分析】根據(jù)高線的定義：三角形的頂點到對邊的垂線段為三角形的高線，進行判斷即可．【詳解】解：∵CH⊥AB，∴在△ABC中，邊AB上的高是CH．故選：D．【點睛】本題考查三角形的高線．熟練掌握三角形的高線的定義，是解題的關鍵．【變式1-1】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預測）在△ABC中，AB=AC，BC長度不確定，拫據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，用直尺不一定能直接畫出BC邊的高的是（

）A． B． C． D．

【答案】A【分析】分別考慮選項中的作圖方法，然后結(jié)合三角形高的定義即可求解．【詳解】解：A中以AB邊為直徑作弧，沒有作線段AB中點的作圖痕跡，∴無法直接畫出BC邊上的高，符合題意；B中分別以點B、C為圓心，BC為半徑畫弧，交點為BC邊垂直平分線上的點，連接交點和點A延長到BC邊即為BC邊上的高，不符合題意；C中作的是∠A的角平分線，連接點A與交點并延長與BC相交，即為BC邊上的高，不符合題意；D中分別以AC、AB為半徑畫圖，所得圖形為菱形，連接點A及其相對的交點，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出BC邊上的高，不符合題意；故選A．【點睛】題目主要考查基本的作圖方法及三角形高的判定，熟練掌握各個作圖方法是解題關鍵．【變式1-2】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預測）嘉淇剪一個銳角△ABC做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折痕與BC交于點D，連接AD，則線段AD分別是△ABC的（

）

A．高，中線，角平分線 B．高，角平分線，中線C．中線，高，角平分線 D．高，角平分線，垂直平分線【答案】B【分析】根據(jù)三角形的高線、角平分線及中線的定義依次判斷即可．【詳解】解：由圖可得，圖①中，線段AD是△ABC的高線，圖②中，線段AD是△ABC的角平分線，圖③中，線段AD是△ABC的中線，故選：B．【點睛】題目主要考查三角形的高線、角平分線及中線的定義，理解題意是解題關鍵．【變式1-3】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）觀察下列尺規(guī)作圖痕跡，其中所作線段AD為△ABC的角平分線的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)基本作圖的方法對各選項進行判斷即可．【詳解】解：對于A選項，由作圖痕跡可知，AD為∠CAB的平分線，故A選項符合題意；對于B選項，由作圖痕跡可知，AD為△ABC中BC邊上的高線，故B選項不符合題意；對于C選項，由作圖痕跡可知，AD為△ABC的中線，故C選項不符合題意；對于D選項，由作圖痕跡可知，AD為△ABC中BC邊上的高線，故D選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查作圖—基本作圖：作三角形的角平分線、中線和高，熟練掌握基本作圖的方法是解答本題的關鍵．【變式1-4】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，嘉琪任意剪了一張鈍角三角形紙片（∠A是鈍角），他打算用折疊的方法折出∠C的角平分線、AB邊上的中線和高線，能折出的是（）

A．AB邊上的中線和高線 B．∠C的角平分線和AB邊上的高線C．∠C的角平分線和AB邊上的中線 D．∠C的角平分線、AB邊上的中線和高線【答案】C【分析】由折疊的性質(zhì)可求解．【詳解】解：當AC與BC重合時，折痕是∠C的角平分線；當點A與點B重合時，折疊是AB的中垂線，故選：C．【點睛】本題考查了翻折變換，掌握折疊的性質(zhì)是本題的關鍵．【變式1-5】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）小熊和小貓把一個三角形紙片折一次后，折痕把原三角形分成兩個三角形．如圖，當∠1=∠2時，折痕是三角形的（

）

A．中線 B．中位線 C．高線 D．角平分線【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和平角定義得到∠1=∠2=90°，再根據(jù)三角形的高線定義求解即可．【詳解】解：∵∠1+∠2=180°，∠1=∠2，∴∠1=∠2=90°，又∵折痕經(jīng)過三角形的頂點，∴折痕是三角形的高線，故選：C．【點睛】本題考查折疊性質(zhì)、平角定義、三角形的高線，理解三角形的高線定義是解答的關鍵．【變式1-6】（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）圖①、圖②均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫格點．△ABC的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中畫△ABC的中位線DE，使點D、E分別在邊AB、BC上；(2)在圖②中畫△ABC的高線BF．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格線的特點、矩形性質(zhì)，先找到AB,BC的中點，再連接即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格線的特點，利用全等三角形性質(zhì)構(gòu)造過點B的斜邊等于AC的直角三角形即可．【詳解】（1）解：如下圖所示：∴線段DE即為所求；（2）解：如下圖所示：∴線段BF即為所求．【點睛】本題考查作圖的應用和設計，掌握網(wǎng)格線的特點和三角的的中位線、高線的定義是解題的關鍵．題型02已知三角形的高、中線、角平分線，判斷式子正誤【例2】（2023·江蘇揚州·?？级＃┤鐖D，AD，AE，AF分別是△ABC的中線，角平分線，高．則下列各式中錯誤的是（

）

A．∠AFB=90° B．AE=CE C．BC=2CD D．∠BAE=【答案】B【分析】根據(jù)三角形的中線，角平分線，高的定義逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：∵AD，AE，AF分別是△ABC的中線，角平分線，高，A、∠AFB=90°，故該選項正確，不符合題意；B、AE，C、BC=2CD，故該選項正確，不符合題意；D、∠BAE=1故選：B．【點睛】本題考查了三角形的中線，角平分線，高的定義，熟練掌握三角形的中線，角平分線，高的定義是解題的關鍵．【變式2-1】（2020上·安徽池州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，AF是中線，則下列說法中錯誤的是（

）A．BF＝CF B．∠C＋∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S【答案】C【分析】根據(jù)三角形的角平分線、中線和高的概念判斷．【詳解】解：∵AF是△ABC的中線，∴BF=CF，A說法正確，不符合題意；∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠C+∠CAD=90°，B說法正確，不符合題意；∵AE是角平分線，∴∠BAE=∠CAE，C說法錯誤，符合題意；∵BF=CF，∴S△ABC=2S△ABF，D說法正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，掌握它們的概念是解題的關鍵．題型03等面積法求三角形的高【例3】如圖，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC=5，BC=12，AB=13，則點C到直線AB的距離等于（

）A．125 B．135 C．6013【答案】C【分析】根據(jù)等積法求出點C到直線AB的距離即可．【詳解】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴S△ABC∴CD=AC×BC即點C到直線AB的距離為6013故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形面積計算，點到直線的距離，解題的關鍵是根據(jù)等積法求出CD=60【變式3-1】（2023·河北張家口·統(tǒng)考一模）如圖，在點A，B，C，D中選一個點；與點M，N為頂點構(gòu)成一個三角形，其面積等于△KMN的面積，這個點為（

）A．點A B．點B C．點C D．點D【答案】C【分析】與點M，N為頂點構(gòu)成一個三角形，其面積等于△KMN的面積，即尋找以MN為底邊，高為KN長的三角形．根據(jù)兩平行線間的距離處處相等，只需要找到過點K且與MN平行的直線即可．【詳解】解：由于平行線間的距離處處相等，所有在過點K且與MN平行的直線上的點與M、N組成的三角形都滿足其面積與△KMN的面積相等，有網(wǎng)格的特點可知只有過點K、C的直線與MN平行，故選C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形面積，熟知平行線間的距離處處相等是解題的關鍵．【變式3-2】（2023·江蘇蘇州模擬）數(shù)學活動課上，小敏、小穎分別畫了△ABC和△DEF，數(shù)據(jù)如圖，如果把小敏畫的三角形面積記作S△ABC，小穎畫的三角形面積記作S△DEF，那么你認為(

)A．S△ABC>S△DEF B．S△ABC<S△DEFC．S△ABC=S△DEF D．不能確定【答案】C【分析】在兩個圖形中分別作BC、EF邊上的高，欲比較面積，由于底邊相等，所以只需比較兩條高即可．【詳解】解：如圖，過點A、D分別作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分別為G、H，在△ABG和△DHE中，AB=DE=5，∠B=50°，∠DEH=180°-130°=50°，∴∠B=∠DEH，∠AGB=∠DHE=90°，∴△AGB≌△DHE(AAS)，∴AG=DH．∵BC=4，EF=4，∴S△ABC=S△DEF．故選：C．【點睛】要題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等底等高兩三角形面積相等．證明△AGB≌△DHE是解題的關鍵．【變式3-3】（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學?？级＃┤鐖D，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得△ABC，則AC邊上的高長度為（

）A．355 B．3510 C．【答案】A【分析】求出三角形ABC的面積，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得AC邊上的高．【詳解】解：四邊形DEFA是正方形，面積是4；△ABF，△ACD的面積相等，且都是12△BCE的面積是：12則△ABC的面積是：4?1?1?1在直角△ADC中根據(jù)勾股定理得到：AC=2設AC邊上