專題15 三角形的概念和性質(zhì)（講義）

專題15三角形的概念和性質(zhì)核心知識(shí)點(diǎn)精講復(fù)習(xí)目標(biāo)1.理解三角形有關(guān)的中線、角平分線、高線，并會(huì)作三角形的中線、角平分線、高線：2.理解并掌握三角形的中位線的性質(zhì)：3.理解三角形的三邊關(guān)系，并能確定三角形第三邊的取值范圍：4.掌握三角形的內(nèi)角和定理，并會(huì)證明三角形的內(nèi)角和定理：5.能利用三角形的外角進(jìn)行角的有關(guān)計(jì)算與證明?？键c(diǎn)梳理考點(diǎn)1：三角形邊角關(guān)系（1）三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180度。（3）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和：三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)角?？键c(diǎn)2：三角形的重要線段考點(diǎn)3：三角形的內(nèi)角和定理及推論①三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180度。②推論：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和：三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)角。③直角三角形的兩個(gè)銳角互余。典例引領(lǐng)【題型1：三角形的三邊關(guān)系】【典例1】（2023?宿遷）以下列每組數(shù)為長(zhǎng)度（單位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（）A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8即時(shí)檢測(cè)1．（2023?長(zhǎng)沙）下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（）A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，62．（2023?福建）若某三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，m，則m的值可以是（）A．1 B．5 C．7 D．93．（2023?金華）在下列長(zhǎng)度的四條線段中，能與長(zhǎng)6cm，8cm的兩條線段圍成一個(gè)三角形的是（）A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm典例引領(lǐng)【題型2：三角形內(nèi)角和定理及推論】【典例2】（2021?遼寧）一副三角板如圖所示擺放，若∠1＝80°，則∠2的度數(shù)是（）A．80° B．95° C．100° D．110°即時(shí)檢測(cè)1．（2023?遂寧）若三角形三個(gè)內(nèi)角的比為1：2：3，則這個(gè)三角形是三角形．2.（2023?徐州）如圖，在△ABC中，若DE∥BC，F(xiàn)G∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，則∠C＝°．3．（2021?畢節(jié)市）將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則∠1的度數(shù)為（）A．70° B．75° C．80° D．85°典例引領(lǐng)【題型3：三角形中的重要線段】【典例3】（2022?哈爾濱）在△ABC中，AD為邊BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，則∠BAC是度．即時(shí)檢測(cè)1．（2021?雅安）如圖，將△ABC沿BC邊向右平移得到△DEF，DE交AC于點(diǎn)G．若BC：EC＝3：1．S△ADG＝16．則S△CEG的值為（）A．2 B．4 C．6 D．82．（2023?攀枝花）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則∠EBC＝．3．（2022?陜西）如圖，AD是△ABC的中線，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周長(zhǎng)為8，則△ABD的周長(zhǎng)為．基礎(chǔ)過(guò)關(guān)一．選擇題（共11小題）1．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°2．如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在BC上，且CD＝CE，∠D＝74°，則∠B的度數(shù)為（）A．74° B．32° C．22° D．16°3．AD是∠CAE的平分線，∠B＝35°，∠DAE＝60°，則∠ACD＝（）A．25° B．60° C．85° D．95°4．若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2cm，7cm，則它的第三邊的長(zhǎng)可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm5．如圖，直線a∥b，在Rt△ABC中，點(diǎn)C在直線a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，則∠B的度數(shù)為（）A．56° B．34° C．36° D．24°6．如圖所示在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是（）A． B． C． D．7．如圖，一副三角板拼成如圖所示圖形，則∠BAC的度數(shù)為（）A．75° B．60° C．105° D．120°8．下列圖形中，是直角三角形的是（）A． B．C． D．9．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD為∠ACB的平分線，CE⊥AB于點(diǎn)E，則∠ECD度數(shù)為（）A．5° B．8° C．10° D．12°10．一副直角三角板按如圖所示方式擺放，圖中∠α的度數(shù)為（）A．65° B．67.5° C．75° D．80°11．一副三角板按如圖方式擺放，且∠1的度數(shù)比∠2的度數(shù)小20°，則∠2的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．45° D．55°二．填空題（共3小題）12．如圖，AD是△ABC的中線，若AB＝6，AC＝5，則△ABD與△ACD的周長(zhǎng)之差為．13．將一副三角板如圖所示放置，使點(diǎn)D在BC上，DC∥AE，則∠EFB的度數(shù)為．14．一塊板材如圖所示，測(cè)得∠B＝90°，∠A＝20°，∠C＝35°，根據(jù)需要∠ADC為140°，師傅說(shuō)板材不符合要求且只能改動(dòng)∠A，則可將∠A（選填“增加”或“減少”）．三．解答題（共2小題）15．如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交邊AB于點(diǎn)E，在邊AE上取點(diǎn)F，連結(jié)DF，使∠1＝∠D．（1）求證：DF∥BC：（2）當(dāng)∠A＝40°，∠DFE＝36°時(shí)，求∠2的度數(shù)．16．如圖所示，在△ABC中，AD是角平分線，∠B＝50°，∠C＝70°．（1）求∠ADB的度數(shù)：（2）若DE⊥AC，求∠EDC的度數(shù)．能力提升一．選擇題（共4小題）1．如圖，在△ABC中，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫弧交BC于點(diǎn)D，以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑畫弧交BC于點(diǎn)E，連接AE，AD．設(shè)∠EAD＝α，∠ACB＝β，則∠B的度數(shù)為（）A．α﹣ B．2α﹣β C．α+ D．3α﹣β2．如圖，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按圖進(jìn)行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，則∠C'FE的度數(shù)是（）A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°3．如圖所示，將含角45°的直角三角板與含60°角的直角三角板疊放在一起，若∠1＝70°，則∠2的度數(shù)為（）A．85° B．60° C．50° D．95°4．如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)E，記∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，則以下結(jié)論①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④二．填空題（共3小題）5．若△ABC三條邊長(zhǎng)為a，b，c，化簡(jiǎn)：|a﹣b﹣c|﹣|a+c﹣b|＝．6．如圖，在△ABC中，BE，CD分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且BE，CD相交于一點(diǎn)P，若∠A＝50°，則∠BPC＝．7．如圖，∠ABD，∠ACD的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A＝70°，∠D＝10°，則∠P的度數(shù)為．三．解答題（共2小題）8．如圖所示，在△ABC中，BO、CO是角平分線．（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度數(shù)，并說(shuō)明理由．（2）題（1）中，如將“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改為“∠A＝70°”，求∠BOC的度數(shù)．（3）若∠A＝n°，求∠BOC的度數(shù)．9．如圖，在△ABC中，BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，BP，CP分別是∠EBC，∠FCB的平分線．（1）當(dāng)∠ABC＝64°，∠ACB＝66°時(shí)，∠D＝°，∠P＝°：（2）∠A＝56°，求∠D，∠P的度數(shù)：（3）請(qǐng)你猜想，當(dāng)∠A的大小變化時(shí)，∠D+∠P的值是否變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．真題感知1．（2022?淮安）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是（）A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，92．（2022?玉林）請(qǐng)你量一量如圖△ABC中BC邊上的高的長(zhǎng)度，下列最接近的是（）A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm3．（2022?杭州）如圖，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知∠ABC是鈍角，則（）A．線段CD是△ABC的AC邊上的高線 B．線段CD是△ABC的AB邊上的高線 C．線段AD是△ABC的BC邊上的高線 D．線段AD是△ABC的AC邊上的高線4．（2023?十堰）一副三角板按如圖所示放置，點(diǎn)A在DE上，點(diǎn)F在BC上，若∠EAB＝35°，則∠DFC＝．5．（2022?常州）如圖，在△ABC中，E是中線AD的中點(diǎn)．若△AEC的面積是1，則△ABD的面積是．

專題15三角形的概念和性質(zhì)核心知識(shí)點(diǎn)精講典例引領(lǐng)【題型1：三角形的三邊關(guān)系】【典例1】（2023?宿遷）以下列每組數(shù)為長(zhǎng)度（單位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（）A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8【答案】C【解答】解：∵2+2＝4，∴A不能構(gòu)成三角形：∵1+2＝3，∴B不能構(gòu)成三角形：∵3+4＞5，4﹣3＜5，∴C能構(gòu)成三角形：∵3+4＜8，∴D不能構(gòu)成三角形．故答案為：C．即時(shí)檢測(cè)1．（2023?長(zhǎng)沙）下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（）A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6【答案】C【解答】解：∵1+3＝4，∴1，3，4不能組成三角形，故A選項(xiàng)不符合題意：∵2+2＜7，∴2，2，7不能組成三角形，故B不符合題意：∵4+5＞7，∴4，5，7能組成三角形，故C符合題意：∵3+3＝6，∴3，3，6不能組成三角形，故D不符合題意，故選：C．2．（2023?福建）若某三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，m，則m的值可以是（）A．1 B．5 C．7 D．9【答案】B【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得：4﹣3＜m＜4+3，解得：1＜m＜7，即符合的只有5，故選：B．3．（2023?金華）在下列長(zhǎng)度的四條線段中，能與長(zhǎng)6cm，8cm的兩條線段圍成一個(gè)三角形的是（）A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm【答案】C【解答】解：設(shè)第三條線段長(zhǎng)為xcm，由題意得：8﹣6＜x＜8+6，解得：2＜x＜14，只有13cm適合，故選：C．典例引領(lǐng)【題型2：三角形內(nèi)角和定理及推論】【典例2】（2021?遼寧）一副三角板如圖所示擺放，若∠1＝80°，則∠2的度數(shù)是（）A．80° B．95° C．100° D．110°【答案】B【解答】解：如圖，∠5＝90°﹣30°＝60°，∠3＝∠1﹣45°＝35°，∴∠4＝∠3＝35°，∴∠2＝∠4+∠5＝95°，故選：B．即時(shí)檢測(cè)1．（2023?遂寧）若三角形三個(gè)內(nèi)角的比為1：2：3，則這個(gè)三角形是直角三角形．【答案】直角．【解答】解：設(shè)這個(gè)三角形最小的內(nèi)角是x°，則另外兩內(nèi)角的度數(shù)分別為2x°，3x°，根據(jù)題意得：x+2x+3x＝180，解得：x＝30，∴3x°＝3×30°＝90°，∴這個(gè)三角形是直角三角形．故答案為：直角．2.（2023?徐州）如圖，在△ABC中，若DE∥BC，F(xiàn)G∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，則∠C＝55°．【答案】55．【解答】解：∵DE∥BC，∠BDE＝120°，∴∠B＝180°﹣120°＝60°，∵FG∥AC，∠DFG＝115°，∴∠A＝180°﹣115°＝65°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝55°，故答案為：55．3．（2021?畢節(jié)市）將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則∠1的度數(shù)為（）A．70° B．75° C．80° D．85°【答案】B【解答】解：如圖，∵∠2＝90°﹣30°＝60°，∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝75°，故選：B．典例引領(lǐng)【題型3：三角形中的重要線段】【典例3】（2022?哈爾濱）在△ABC中，AD為邊BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，則∠BAC是80或40度．【答案】80或40．【解答】解：當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°：當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．綜上所述，∠BAC＝80°或40°．故答案為：80或40．即時(shí)檢測(cè)1．（2021?雅安）如圖，將△ABC沿BC邊向右平移得到△DEF，DE交AC于點(diǎn)G．若BC：EC＝3：1．S△ADG＝16．則S△CEG的值為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解答】解：由平移性質(zhì)可得，AD∥BE，AD＝BE，∴△ADG∽△CEG，∵BC：EC＝3：1，∴BE：EC＝2：1，∴AD：EC＝2：1，∴＝4，∵S△ADG＝16，∴S△CEG＝4，故選：B．2．（2023?攀枝花）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則∠EBC＝10°．【答案】10°．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∵DE是線段AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案為：10°．3．（2022?陜西）如圖，AD是△ABC的中線，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周長(zhǎng)為8，則△ABD的周長(zhǎng)為9．【答案】9．【解答】解：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∵△ACD的周長(zhǎng)為8，∴AC+CD+AD＝8，∵AC＝3，∴BD+AD＝5，∵AB＝4，∴AB+BD+AD＝9．故答案為：9．基礎(chǔ)過(guò)關(guān)一．選擇題（共11小題）1．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】A【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，∴∠A＝40°，∵DF∥EB，∠D＝70°，∴∠D＝∠CEB＝70°，∴∠ACD＝∠CEB﹣∠A＝70°﹣40°＝30°，故選：A．2．如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在BC上，且CD＝CE，∠D＝74°，則∠B的度數(shù)為（）A．74° B．32° C．22° D．16°【答案】B【解答】解：∵CD＝CE，∠D＝74°，∴∠DEC＝∠D＝74°，∴∠C＝180°﹣74°﹣74°＝32°，∵AB∥CD，∴∠B＝∠C＝32°，故選：B．3．AD是∠CAE的平分線，∠B＝35°，∠DAE＝60°，則∠ACD＝（）A．25° B．60° C．85° D．95°【答案】D【解答】解：∵AD是∠CAE的平分線，∴∠EAC＝2∠DAE＝120°，∴∠ACB＝∠EAC﹣∠B＝85°，∴∠ACD＝180°﹣85°＝95°，故選：D．4．若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2cm，7cm，則它的第三邊的長(zhǎng)可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm【答案】C【解答】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為xcm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：7﹣2＜x＜7+2，解得：5＜x＜9，故選：C．5．如圖，直線a∥b，在Rt△ABC中，點(diǎn)C在直線a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，則∠B的度數(shù)為（）A．56° B．34° C．36° D．24°【答案】A【解答】解：如圖，∵a∥b，∠1＝58°，∴∠CDE＝∠1＝58°，∵∠CDE＝∠2+∠A，∠2＝24°，∴∠A＝∠CDE﹣∠2＝34°，∵△ABC為直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣34°＝56°，故選：A．6．如圖所示在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是B，故選：B．7．如圖，一副三角板拼成如圖所示圖形，則∠BAC的度數(shù)為（）A．75° B．60° C．105° D．120°【答案】A【解答】解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，故選：A．8．下列圖形中，是直角三角形的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、第三個(gè)角的度數(shù)是180°﹣60°﹣60°＝60°，是等邊三角形，不符合題意：B、第三個(gè)角的度數(shù)是180°﹣55.5°﹣34.5°＝90°，是直角三角形，符合題意：C、第三個(gè)角的度數(shù)是180°﹣30°﹣30°＝120°，是鈍角三角形，不符合題意：D、第三個(gè)角的度數(shù)是180°﹣40°﹣62.5°＝77.5°，不是直角三角形，不符合題意：故選：B．9．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD為∠ACB的平分線，CE⊥AB于點(diǎn)E，則∠ECD度數(shù)為（）A．5° B．8° C．10° D．12°【答案】C【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°．∵CD是∠ACB的平分線，∴∠ACD＝∠ACB＝50°．∵CE⊥AB于點(diǎn)E，∴∠CEB＝90°．∴∠ACE＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°．故選：C．10．一副直角三角板按如圖所示方式擺放，圖中∠α的度數(shù)為（）A．65° B．67.5° C．75° D．80°【答案】C【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ACD＝∠CED+∠CDE，∴∠CDE＝∠ACD﹣∠CED＝45°﹣30°＝15°，∵∠α＝∠ADE﹣∠CDE＝90°﹣15°＝75°，故選：C．11．一副三角板按如圖方式擺放，且∠1的度數(shù)比∠2的度數(shù)小20°，則∠2的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．45° D．55°【答案】D【解答】解：由題意解得∠2＝55°．故選：D．二．填空題（共3小題）12．如圖，AD是△ABC的中線，若AB＝6，AC＝5，則△ABD與△ACD的周長(zhǎng)之差為1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝DC，∵AB＝6，AC＝5，∴△ABD與△ACD的周長(zhǎng)之差為：（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+DC）＝AB﹣AC＝6﹣5＝1，故答案為：1．13．將一副三角板如圖所示放置，使點(diǎn)D在BC上，DC∥AE，則∠EFB的度數(shù)為75°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵DC∥AE，∴∠BDF＝∠E＝45°，∵∠B＝30°，∴∠BFE＝∠B+∠BDF＝30°+45°＝75°．故答案為：75°．14．一塊板材如圖所示，測(cè)得∠B＝90°，∠A＝20°，∠C＝35°，根據(jù)需要∠ADC為140°，師傅說(shuō)板材不符合要求且只能改動(dòng)∠A，則可將∠A減少（選填“增加”或“減少”）．【答案】減少．【解答】解：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E，∵∠ADC＝∠A+∠CEA，∠CEA＝∠B+∠C，∴∠ADC＝∠A+∠B+∠C，∵∠B＝90°，∠A＝20°，∠C＝35°，∴∠ADC＝20°+90°+35°＝145°，∵∠ADC＝140°，∴可將∠A減少5°．故答案為：減少．三．解答題（共2小題）15．如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交邊AB于點(diǎn)E，在邊AE上取點(diǎn)F，連結(jié)DF，使∠1＝∠D．（1）求證：DF∥BC：（2）當(dāng)∠A＝40°，∠DFE＝36°時(shí)，求∠2的度數(shù)．【答案】（1）證明見解答過(guò)程：（2）88°．【解答】（1）證明：∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠1，又∠1＝∠D，∴∠DCB＝∠D，∴DF∥BC．（2）∵DF∥BC，∠DFE＝36°，∴∠B＝∠DFE＝36°，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝36°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣36°＝104°，又∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠ACB＝52°，∴∠2＝180°﹣40°﹣52°＝88°．16．如圖所示，在△ABC中，AD是角平分線，∠B＝50°，∠C＝70°．（1）求∠ADB的度數(shù)：（2）若DE⊥AC，求∠EDC的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∵AD是角平分線，∴∠BAD＝×60°＝30°，∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣30°＝100°：（2）∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°能力提升一．選擇題（共4小題）1．如圖，在△ABC中，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫弧交BC于點(diǎn)D，以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑畫弧交BC于點(diǎn)E，連接AE，AD．設(shè)∠EAD＝α，∠ACB＝β，則∠B的度數(shù)為（）A．α﹣ B．2α﹣β C．α+ D．3α﹣β【答案】B【解答】解：由題意得：BA＝BD，CA＝CE，∵CA＝CE，∠ACB＝β，∴＝，在△AED中，∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠EAD＝180°﹣＝90°+，∵BA＝BD，∴，在△BAD中，＝2α﹣β．故選：B．2．如圖，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按圖進(jìn)行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，則∠C'FE的度數(shù)是（）A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°【答案】D【解答】解：設(shè)∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y(tǒng)，∠C′FE＝x，∵B'D∥C'G，∴γ+β＝∠B+∠C＝α，∵EB′∥FG，∴∠CFG＝∠CEB′＝y(tǒng)，∴x+2y＝180°①，∵γ+y＝2∠B，β+x＝2∠C，∴γ+y+β+x＝2α，∴x+y＝α②，②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，∴∠C′FE＝2α﹣180°．故選：D．3．如圖所示，將含角45°的直角三角板與含60°角的直角三角板疊放在一起，若∠1＝70°，則∠2的度數(shù)為（）A．85° B．60° C．50° D．95°【答案】D【解答】解：如圖，∵∠1＝70°，∴∠3＝180°﹣60°﹣∠1＝50°，∵∠4＝45°，∴∠2＝∠3+∠4＝50°+45°＝95°，故選：D．4．如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)E，記∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，則以下結(jié)論①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④【答案】C【解答】解：∵CE為外角∠ACD的平分線，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠1，故①正確：∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠1）＝90°+∠1，故②、③錯(cuò)誤：∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD，∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正確：故選：C．二．填空題（共3小題）5．若△ABC三條邊長(zhǎng)為a，b，c，化簡(jiǎn)：|a﹣b﹣c|﹣|a+c﹣b|＝2b﹣2a．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：a﹣b﹣c＜0，c+a﹣b＞0，∴原式＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（a+c﹣b）＝﹣a+b+c﹣a﹣c+b＝2b﹣2a．故答案為：2b﹣2a6．如圖，在△ABC中，BE，CD分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且BE，CD相交于一點(diǎn)P，若∠A＝50°，則∠BPC＝115°．【答案】115°．【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分線BE、CD相交于點(diǎn)F，∴∠CBF＝∠ABC，∠BCF＝∠ACB，∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∴∠BFC＝180°﹣（∠CBF+∠BCF）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝115°．故答案為：115°．7．如圖，∠ABD，∠ACD的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A＝70°，∠D＝10°，則∠P的度數(shù)為30°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，延長(zhǎng)PC交BD于E，∵∠ABD，∠ACD的角平分線交于點(diǎn)P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形的內(nèi)角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①，在△PBE中，∠5＝∠2+∠P，在△BCE中，∠5＝∠4﹣∠D，∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②，①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D，∴∠P＝（∠A﹣∠D），∵∠A＝70°，∠D＝10°，∴∠P＝（70°﹣10°）＝30°．故答案為：30°．三．解答題（共2小題）8．如圖所示，在△ABC中，BO、CO是角平分線．（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度數(shù)，并說(shuō)明理由．（2）題（1）中，如將“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改為“∠A＝70°”，求∠BOC的度數(shù)．（3）若∠A＝n°，求∠BOC的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，∵BO、CO是角平分線，∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴2∠1+2∠2+∠A＝180°，∵∠1+∠2+∠BOC＝180°，∴2∠1+2∠2+2∠BOC＝360°，∴2∠BOC﹣∠A＝180°，∴∠BOC＝90°+∠A，（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∴∠A＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠BOC＝90°+×70°＝125°：（2）∠BOC＝90°+∠A＝125°：（3）∠BOC＝90°+n°．9．如圖，在△ABC中，BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，BP，CP分別是∠EBC，∠FCB的平分線．（1）當(dāng)∠ABC＝64°，∠ACB＝66°時(shí)，∠D＝115°，∠P＝65°：（2）∠A＝56°，求∠D，∠P的度數(shù)：（3）請(qǐng)你猜想，當(dāng)∠A的大小變化時(shí)，∠D+∠P的值是否變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）115，65：（2）∠D＝118°，∠P＝62°：（3）∠D+∠P的值不變．∠D+∠P＝180°，理由見解析．【解答】解：（1）∵BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∠ABC＝64°，∠ACB＝66°，∴，∠EBC＝116°，∠BCF＝114°，∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝115°：∵BP，CP分別是∠EBC，∠FCB的平分線，∴，∴∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝65°：（2）在△ABC中，∠ABC