專項(xiàng)18-菱形的判定-專題訓(xùn)練

菱形的判定-專題訓(xùn)練一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（微山縣期末）已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，補(bǔ)充下列四個(gè)條件，能使平行四邊形ABCD成為菱形的是（）A．AB＝BD B．AC＝BD C．∠DAB＝90° D．∠AOB＝90°2．（蜀山區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，則下列條件能判定四邊形ABCD一定是菱形的是（）A．AB＝CD B．AB⊥BC C．AC＝BD D．AC⊥BD3．（醴陵市期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，DE，BF分別是∠ADC和∠ABC的平分線，添加一個(gè)條件，仍無法判斷四邊形BFDE為菱形的是（）A．∠A＝60? B．DE＝DF C．EF⊥BD D．BD是∠EDF的平分線4．（昌平區(qū)期末）如圖，將三角尺ABC沿邊BC所在直線平移后得到△DCE，連接AD，下列結(jié)論正確的是（）A．AD＝AB B．四邊形ABCD是平行四邊形 C．AD＝2AC D．四邊形ABCD是菱形5．（長沙模擬）如圖，絲帶重疊的部分一定是（）A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能6．（蘭陵縣期末）如圖，在?ABCD中，下列說法能判定ABCD是菱形的是（）A．AC⊥BD B．BA⊥BD C．AB＝CD D．AD＝BC7．（渭濱區(qū)期末）下列條件中，能判斷四邊形是菱形的是（）A．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形 B．對(duì)角線互相垂直的四邊形 C．對(duì)角線相等的平行四邊形 D．對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形8．（平昌縣期末）下列條件中，不能判定四邊形ABCD為菱形的是（）A．AC⊥BD，AC與BD互相平分 B．AB＝BC＝CD＝DA C．AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD＝BC，AC⊥BD9．（清遠(yuǎn)一模）如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四邊形DBFE是菱形，還需要添加的條件是（）A．BE平分∠ABC B．AD＝BD C．BE⊥AC D．AB＝AC10．（江陰市期末）如圖，ABCD是一張平行四邊形紙片，要求利用所學(xué)知識(shí)作出一個(gè)菱形，甲、乙兩位同學(xué)的作法如下：則關(guān)于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的為（）A．僅甲正確 B．僅乙正確 C．甲、乙均正確 D．甲、乙均錯(cuò)誤二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上11．（鹽城期末）平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，當(dāng)AC、BD滿足時(shí)，平行四邊形ABCD為菱形．12．（錫山區(qū)期中）要使?ABCD是菱形，你添加的條件是．（寫出一種即可）13．（貴港期末）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，則添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：可使其成為菱形（只填一個(gè)即可）．14．（北流市期中）如圖在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D為斜邊AB上一點(diǎn)，以CD、CB為邊作平行四邊形CDEB，當(dāng)AD＝時(shí)，平行四邊形CDEB為菱形．15．（阜寧縣校級(jí)月考）已知AD為△ABC的角平分線，點(diǎn)E、F為AB、AC的中點(diǎn)，連DE、DF使四邊形AEDF為菱形，則添加條件．（只填一個(gè)條件）16．（鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD中點(diǎn)．當(dāng)?ABCD滿足時(shí)，四邊形EHFG是菱形．17．（南通）如圖，在△ABC中，AD，CD分別平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若從三個(gè)條件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，選擇一個(gè)作為已知條件，則能使四邊形ADCE為菱形的是（填序號(hào)）．18．（高新區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD為AC的中線，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長線于點(diǎn)F，在AF的延長線上截取FG＝BD，連接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，則BG＝．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（會(huì)寧縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點(diǎn)C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．（1）求證：CE＝AD；（2）當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由．20．（金塔縣期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）證明四邊形ADCF是菱形．21．（浦東新區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，AD是邊BC上的中線，過點(diǎn)A作AE∥BC，過點(diǎn)D作DE∥AB，DE與AC、AE分別交于點(diǎn)O、點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)EC．（1）求證：四邊形ADCE是平行四邊形；（2）當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，求證：四邊形ADCE是菱形．22．如圖，分別以△ABC的三邊為邊長，在邊BC的同側(cè)作三個(gè)等邊三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，連接DE、EF．（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）在△ABC中添加一個(gè)怎樣的條件，可使四邊形ADEF是菱形？23．（皇姑區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，連接DO并延長，交AB延長線于點(diǎn)E，連接BD，EC．（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；（2）若∠A＝50°，則當(dāng)∠ADE＝°時(shí)，四邊形BECD是菱形．24．（中山市校級(jí)月考）一張矩形紙ABCD，將點(diǎn)B翻折到對(duì)角線AC上的點(diǎn)M處，折痕CE交AB于點(diǎn)E．將點(diǎn)D翻折到對(duì)角線AC上的點(diǎn)H處，折痕AF交DC于點(diǎn)F，折疊出四邊形AECF．（1）求證：AF∥CE；（2）當(dāng)∠BAC＝度時(shí)，四邊形AECF是菱形？說明理由．

菱形的判定-專題訓(xùn)練（解析版）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（微山縣期末）已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，補(bǔ)充下列四個(gè)條件，能使平行四邊形ABCD成為菱形的是（）A．AB＝BD B．AC＝BD C．∠DAB＝90° D．∠AOB＝90°【分析】根據(jù)菱形的判定方法和矩形的判定方法即可作出判斷．【解析】A、AB＝BD，不能判定平行四邊形ABCD是菱形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、AC＝BD，則平行四邊形ABCD是矩形，不一定是菱形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、∠DAB＝90°，則平行四邊形ABCD是矩形，不一定是菱形，故選項(xiàng)B不符合題意；D、∠AOB＝90°，則AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．2．（蜀山區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，則下列條件能判定四邊形ABCD一定是菱形的是（）A．AB＝CD B．AB⊥BC C．AC＝BD D．AC⊥BD【分析】根據(jù)菱形的判定方法和矩形的判定方法分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判定，即可得出結(jié)論．【解析】A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∴當(dāng)AB＝CD時(shí)，四邊形ABCD還是平行四邊形；故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形；故選項(xiàng)B不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形；故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．3．（醴陵市期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，DE，BF分別是∠ADC和∠ABC的平分線，添加一個(gè)條件，仍無法判斷四邊形BFDE為菱形的是（）A．∠A＝60? B．DE＝DF C．EF⊥BD D．BD是∠EDF的平分線【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得∠ABF＝∠CDE，由平行線的性質(zhì)可得∠ABF＝∠AED，可證DE∥BF，可得四邊形DEBF是平行四邊形，利用菱形的判定依次判斷可求解．【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ADC＝∠ABC，又∵DE，BF分別是∠ADC，∠ABC的平分線，∴∠ABF＝∠CDE，∵CD∥AB，∴∠CDE＝∠AED，∴∠ABF＝∠AED，∴DE∥BF，∵DE∥BF，DF∥BE，∴四邊形DEBF是平行四邊形，若DE＝DF，則四邊形BFDE為菱形；若EF⊥BD，則四邊形BFDE為菱形；若BD平分∠EDF，∴∠DBF＝∠DBE，∵DF∥BE，∴∠FDB＝∠DBE＝∠DBF，∴DF＝BF，∴四邊形BFDE為菱形；故選：A．4．（昌平區(qū)期末）如圖，將三角尺ABC沿邊BC所在直線平移后得到△DCE，連接AD，下列結(jié)論正確的是（）A．AD＝AB B．四邊形ABCD是平行四邊形 C．AD＝2AC D．四邊形ABCD是菱形【分析】由平移的性質(zhì)，結(jié)合圖形，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，即可選擇正確答案．【解析】∵將三角尺ABC沿邊BC所在直線平移后得到△DCE，∴AD＝BC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選：B．5．（長沙模擬）如圖，絲帶重疊的部分一定是（）A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能【分析】首先可判斷重疊部分為平行四邊形，且兩條絲帶寬度相同；再由平行四邊形的面積可得鄰邊相等，則重疊部分為菱形．【解析】過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因?yàn)閮蓷l彩帶寬度相同，所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF．∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵S?ABCD＝BC?AE＝CD?AF．又AE＝AF．∴BC＝CD，∴四邊形ABCD是菱形．故選：C．6．（蘭陵縣期末）如圖，在?ABCD中，下列說法能判定ABCD是菱形的是（）A．AC⊥BD B．BA⊥BD C．AB＝CD D．AD＝BC【分析】由菱形的判定可求解．【解析】∵對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形，或一組鄰邊相等的平行四邊形是平行四邊形，∴當(dāng)AC⊥BD或AB＝BC或AB＝AD或AD＝CD或BC＝CD時(shí)，平行四邊形ABCD是菱形，故選：A．7．（渭濱區(qū)期末）下列條件中，能判斷四邊形是菱形的是（）A．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形 B．對(duì)角線互相垂直的四邊形 C．對(duì)角線相等的平行四邊形 D．對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形【分析】利用菱形的判定方法對(duì)各個(gè)選項(xiàng)一一進(jìn)行判斷即可．【解析】A、對(duì)角線互相垂直相等的四邊形不一定是菱形，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、對(duì)角線相等的平行四邊形也可能是矩形，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，此選項(xiàng)正確；故選：D．8．（平昌縣期末）下列條件中，不能判定四邊形ABCD為菱形的是（）A．AC⊥BD，AC與BD互相平分 B．AB＝BC＝CD＝DA C．AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD＝BC，AC⊥BD【分析】直接利用菱形的判定定理求解即可求得答案，注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用．【解析】A、∵AC與BD互相平分，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD為菱形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵AB＝BC＝CD＝DA，∴四邊形ABCD為菱形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項(xiàng)符合題意；D、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD為菱形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．9．（清遠(yuǎn)一模）如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四邊形DBFE是菱形，還需要添加的條件是（）A．BE平分∠ABC B．AD＝BD C．BE⊥AC D．AB＝AC【分析】當(dāng)BE平分∠ABC時(shí)，四邊形DBFE是菱形，可知先證明四邊形BDEF是平行四邊形，再證明BD＝DE即可解決問題．【解析】當(dāng)BE平分∠ABC時(shí)，四邊形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC，∵∠EBC＝∠EBD，∴∠EBD＝∠DEB，∴BD＝DE，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DBFE是平行四邊形，∵BD＝DE，∴四邊形DBFE是菱形．其余選項(xiàng)均無法判斷四邊形DBFE是菱形，故選：A．10．（江陰市期末）如圖，ABCD是一張平行四邊形紙片，要求利用所學(xué)知識(shí)作出一個(gè)菱形，甲、乙兩位同學(xué)的作法如下：則關(guān)于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的為（）A．僅甲正確 B．僅乙正確 C．甲、乙均正確 D．甲、乙均錯(cuò)誤【分析】首先證明△AOE≌△COF（ASA），可得AE＝CF，再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判定判定四邊形AECF是平行四邊形，再由AC⊥EF，可根據(jù)對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形判定出AECF是菱形；四邊形ABCD是平行四邊形，可根據(jù)角平分線的定義和平行線的定義，求得AB＝AF，所以四邊形ABEF是菱形．【解析】甲的作法正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵EF是AC的垂直平分線，∴AO＝CO，在△AOE和△COF中，∠EAO=∠BCAAO=CO∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形；乙的作法正確；∵AD∥BC，∴∠1＝∠2，∠6＝∠7，∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，∴∠2＝∠3，∠5＝∠6，∴∠1＝∠3，∠5＝∠7，∴AB＝AF，AB＝BE，∴AF＝BE∵AF∥BE，且AF＝BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵AB＝AF，∴平行四邊形ABEF是菱形；故選：C．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上11．（鹽城期末）平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，當(dāng)AC、BD滿足AC⊥BD時(shí)，平行四邊形ABCD為菱形．【分析】由“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形”即可得出結(jié)論．【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)AC⊥BD，平行四邊形ABCD是菱形；故答案為：AC⊥BD．12．（錫山區(qū)期中）要使?ABCD是菱形，你添加的條件是AD＝AB（答案不唯一）．（寫出一種即可）【分析】根據(jù)菱形的判定定理：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可推出結(jié)論．【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，AD＝AB，∴平行四邊形ABCD是菱形，故答案為：AD＝AB（答案不唯一）．13．（貴港期末）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，則添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：AC⊥BD或AB＝BC（答案不唯一）可使其成為菱形（只填一個(gè)即可）．【分析】利用菱形的判定方法確定出適當(dāng)?shù)臈l件即可．【解析】?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，當(dāng)AC⊥BD或AB＝BC使其成為菱形．故答案為：AC⊥BD或AB＝BC（答案不唯一）．14．（北流市期中）如圖在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D為斜邊AB上一點(diǎn)，以CD、CB為邊作平行四邊形CDEB，當(dāng)AD＝145時(shí)，平行四邊形CDEB【分析】首先根據(jù)勾股定理求得AB＝10，由菱形的性質(zhì)可得OD＝OB，CD＝CB，根據(jù)勾股定理可得OB的值，由AD＝AB﹣2OB可求AD的長．【解析】如圖，連接CE交AB于點(diǎn)O．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB=AC若平行四邊形CDEB為菱形時(shí)，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB．∵12AB?OC=12AC∴OC=24∴OB=∴AD＝AB﹣2OB=故答案為：1415．（阜寧縣校級(jí)月考）已知AD為△ABC的角平分線，點(diǎn)E、F為AB、AC的中點(diǎn)，連DE、DF使四邊形AEDF為菱形，則添加條件AB＝AC．（只填一個(gè)條件）【分析】由三角形的中位線的性質(zhì)，可得四邊形AEDF為平行四邊形，如AE＝AF，則四邊形AEDF為菱形，則添加條件：AB＝AC．【解析】需加條件AB＝AC，這樣可根據(jù)三線合一的性質(zhì)，得出D是BC的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理可得，DE平行且等于AF，則AEDF為平行四邊形，又可得AE＝AF，則四邊形AEDF為菱形．則添加條件：AB＝AC．16．（鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD中點(diǎn)．當(dāng)?ABCD滿足AB⊥BC時(shí)，四邊形EHFG是菱形．【分析】由題意可證四邊形EHFG是平行四邊形，△EBC≌△FCB，可得EC＝BF，BH＝CH，即可得EH＝FH，則可證四邊形EHFG是菱形．【解析】當(dāng)?ABCD滿足AB⊥BC時(shí)，四邊形EHFG是菱形．∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AB⊥BC∴四邊形ABCD是矩形∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝CD，AB∥CD∵E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，∴BE＝CF＝AE＝DF∵BE＝DF，AB∥CD∴四邊形BEDF是平行四邊形∴ED∥BF同理可得：EC∥AF∴四邊形EHFG是平行四邊形．在△EBC與△FCB中，∵BE=CF∠ABC=∠DCB∴△EBC≌△FCB（SAS）∴CE＝BF，∴∠ECB＝∠FBC，∴BH＝CH，∴EH＝FH，∴平行四邊形EHFG是菱形，故答案為：AB⊥BC．17．（南通）如圖，在△ABC中，AD，CD分別平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若從三個(gè)條件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，選擇一個(gè)作為已知條件，則能使四邊形ADCE為菱形的是②（填序號(hào)）．【分析】當(dāng)BA＝BC時(shí)，四邊形ADCE是菱形．只要證明四邊形ADCE是平行四邊形，DA＝DC即可解決問題．【解析】當(dāng)BA＝BC時(shí)，四邊形ADCE是菱形．理由：∵AE∥CD，CE∥AD，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵AD，CD分別平分∠BAC和∠ACB，∴∠DAC＝∠DCA，∴DA＝DC，∴四邊形ADCE是菱形．故答案為②18．（高新區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD為AC的中線，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長線于點(diǎn)F，在AF的延長線上截取FG＝BD，連接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，則BG＝5．【分析】首先可判斷四邊形BGFD是平行四邊形，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，可得BD＝FD，則可判斷四邊形BGFD是菱形，設(shè)GF＝x，則AF＝13﹣x，AC＝2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．【解析】∵AG∥BD，BD＝FG，∴四邊形BGFD是平行四邊形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，∴BD＝DF=12∴四邊形BGFD是菱形，設(shè)GF＝x，則AF＝13﹣x，AC＝2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，解得：x＝5，即BG＝5．故答案是：5．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（會(huì)寧縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點(diǎn)C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．（1）求證：CE＝AD；（2）當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由．【分析】（1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可；（2）求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD＝BD，根據(jù)菱形的判定推出即可．【解析】（1）證明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵M(jìn)N∥AB，即CE∥AD，∴四邊形ADEC是平行四邊形，∴CE＝AD；（2）解：四邊形BECD是菱形，理由如下：∵D為AB中點(diǎn)，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四邊形BECD是平行四邊形，∵∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，∴CD＝BD，∴四邊形BECD是菱形．20．（金塔縣期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）證明四邊形ADCF是菱形．【分析】（1）根據(jù)AAS證△AFE≌△DBE；（2）利用（1）中全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AF＝BD．結(jié)合已知條件，利用“有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”得到AD＝DC，從而得出結(jié)論．【解析】證明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，∠AFE=∠DBE∠FEA=∠BED∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，則AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，∴AD＝DC=12∴四邊形ADCF是菱形．21．（浦東新區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，AD是邊BC上的中線，過點(diǎn)A作AE∥BC，過點(diǎn)D作DE∥AB，DE與AC、AE分別交于點(diǎn)O、點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)EC．（1）求證：四邊形ADCE是平行四邊形；（2）當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，求證：四邊形ADCE是菱形．【分析】（1）先證四邊形ABDE是平行四邊形，再證四邊形ADCE是平行四邊形；（2）由∠BAC＝90°，AD是邊BC上的中線，即得AD＝BD＝CD，證得四邊形ADCE是平行四邊形，即證；【解析】（1）證明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE＝BD，∵AD是邊BC上的中線，∴BD＝DC，∴AE＝DC，又∵AE∥BC，∴四邊形ADCE是平行四邊形，（2）∵∠BAC＝90°，AD是邊BC上的中線．∴AD＝CD，∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴四邊形ADCE是菱形，22．如圖，分別以△ABC的三邊為邊長，在邊BC的同側(cè)作三個(gè)等邊三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，連接DE、EF．（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）在△ABC中添加一個(gè)怎樣的條件，可使四邊形ADEF是菱形？【分析】（1）證△BDE≌△BCA（SAS），得出DE＝AC．證出DE＝AF．同理DA＝EF，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：∵△BCE和△ABD是等邊三角形，∴BE＝BC，BD＝BA＝AD．又∵∠DBE＝60°﹣∠ABE，∠ABC＝60°﹣∠ABE，∴∠DBE＝∠ABC．在△BDE和△BAC中，BE=BC∠DBE=∠ABC∴△BDE≌△BCA（SAS）．∴DE＝AC．∵在等邊三角形ACF中，EF＝AC＝AF，∴DE＝AF．同理DA＝EF．∴四邊形ADE